2023年高考数学人教A版（2019）大一轮复习--4.1　导数的概念、几何意义及运算（课件）

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知识梳理1.导数的概念(1)平均变化率:对于函数y=f(x),我们把比值 ,即 =　　　　　　　称为函数y=f(x)从x0到x0+Δx的平均变化率. (2)函数y=f(x)在x=x0处的导数:函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是　　　　　　　　　　=　　　　,我们称它为函数y=f(x)在x=x0处的导数,
导数是用极限来刻画的
(3)导函数:对于函数y=f(x),当x=x0时,f'(x0)是一个唯一确定的数,当x变化时,f'(x)就是x的函数,我们称它为函数y=f(x)的导函数(简称为导数),即f'(x)=y'=　　　　　　　　　. 
微点拨关于导数概念的理解 (1)瞬时变化率是平均变化率的极限.(2)导数就是瞬时变化率.(3)导数的物理意义:若物体运动的路程与时间的关系式是s(t),则s'(t)就是速度与时间的关系式.
2.导数的几何意义函数y=f(x)在x=x0处的导数f'(x0),就是曲线y=f(x)在x=x0处的　　　　　　,即k0=　　　　. 
　即在点(x0,f(x0))处
微思考“曲线在点P处的切线”与“曲线过点P的切线”有何区别?
提示 “曲线在点P处的切线”与“曲线过点P的切线”含义是不同的,“曲线在点P处的切线”时,点P是曲线上的点,且点P就是切点;而“曲线过点P的切线”时,点P不一定在曲线上,点P不一定是切点.
3.基本初等函数的导数公式
4.导数的四则运算法则(1)[f(x)±g(x)]'=　　　　　　. (2)[f(x)g(x)]'=　　　　　　　　　　　　　　,特别地,[cf(x)]'=　　　　. 
f'(x)±g'(x)
f'(x)g(x)+f(x)g'(x)
5.复合函数的导数(1)复合函数的概念:一般地,对于两个函数y=f(u)和u=g(x),如果通过中间变量u,y可以表示成　　的函数,那么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数,记作　　　　　　　　. (2)复合函数的求导法则:复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为y'x=　　　　　,即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积. 
常用结论1.奇函数的导数是偶函数,偶函数的导数是奇函数,周期函数的导数还是周期函数.
3.曲线的切线与曲线不一定只有1个公共点.
对点演练1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)f'(x0)=[f(x0)]'.(　　)(2)曲线y=f(x)的过点(x1,y1)的切线的斜率为f'(x1).(　　)
A.(3,3)B.(-3,-3)C.(9,1)D.(3,3)或(-3,-3)
3.经过点(2,0)且与曲线y= 相切的直线方程为　　　　　　　　. 
答案 x+y-2=0　
例1.(1)(2021辽宁实验中学高三二模)随着科学技术的发展,放射性同位素技术已经广泛应用于医学、航天等众多领域,并取得了显著经济效益.假设某放射性同位素的衰变过程中,其含量P(单位:贝克)与时间t(单位:天)满足函数关系 ,其中P0为初始时该放射性同位素的含量,已知t=15时,该放射性同位素的瞬时变化率为 ,则该放射性同位素含量为9贝克时衰变所需时间为(　　)A.20天B.30天 C.45天D.60天
(2)(2021山东德州高三月考)已知函数f(x)的导函数为f'(x),f(x)= +2f'(1)·x,则f'(1)=　　　　. 
名师点析导数运算注意点(1)函数在某一点处的瞬时变化率即为函数在该点处的导数值.(2)求函数的导数时,必须明确函数的构成及类型,必要时先对函数解析式进行化简变形,复合函数求导时,应由外到内逐层求导,必要时可换元.(3)当函数解析式中含有未知的导数值时,可先求导,然后通过赋值构建方程组求解.
解析 (1)对等式(x+1)2 020=a1+a2x+a3x2+…+a2 020x2 019+a2 021x2 020(x∈R)两边分别求导可得:2 020(1+x)2 019=a2+2a3x+3a4x2+…+2 020a2 021x2 019,令x=1,有2 020×22 019=a2+2a3+…+2 019a2 020+2 020a2 021,故选C.
考向1.求曲线的切线方程典例突破例2.(1)(2021全国甲,理13)曲线y= 在点(-1,-3)处的切线方程为　　　　　. (2)(2020全国Ⅰ,文15)曲线y=ln x+x+1的一条切线的斜率为2,则该切线的方程为　　　　　. 
答案 (1)5x-y+2=0　(2)y=2x　
方法总结利用导数几何意义求切线方程的方法
对点训练2(1)(2021山西太原高三三模)函数f(x)=x3-sin x的图象的切线的斜率可能为(　　)A.-4B.-3C.-2D.-1(2)已知函数f(x)=xln x,若直线l过点(0,-1)且与曲线y=f(x)相切,则直线l的方程为　　　　　　　　　. 
答案 (1)D　(2)y=x-1　解析 (1)因为f'(x)=3x2-cs x≥-cs x≥-1(当x=0时等号成立),所以切线的斜率可能为-1,故选D.(2)设直线l与曲线的切点为(x0,y0),由于f'(x)=ln x+1,所以切线斜率为k=ln x0+1,于是切线方程为y-x0ln x0=(ln x0+1)(x-x0),又因为直线l过点(0,-1),所以-1-x0ln x0=(ln x0+1)(0-x0),整理解得x0=1,故切线方程为y=x-1.
考向2.求切点坐标及参数值典例突破例3.(1)(2021陕西咸阳高三月考)已知直线y=kx-1是曲线y=1+ln x的一条切线,则实数k的值为(　　)A.eB.e2C.1D.e-1(2)(2021山东滨州高三期中)若曲线f(x)=x3-2x在点P处的切线与直线x-y-2=0平行,则点P的坐标为　　　　. 
答案 (1)A　(2)(-1,1)　
技巧点拨解决曲线切线问题的关键利用导数几何意义求曲线过某一点的切线方程、已知直线与曲线相切求切点坐标及参数值等问题时,关键是设出切点坐标,然后通过导数就是斜率、点在曲线上、点在切线上等建立方程(组)进行求解.
对点训练3(2021湖南岳阳高三期中)已知直线y=kx(k>0)和曲线f(x)=x-aln x(a≠0)相切,则实数a的取值范围是(　　)A.(-∞,0)∪(0,e)B.(0,e)C.(0,1)∪(1,e) D.(-∞,0)∪(1,e)
考向3.曲线的公切线问题典例突破例4.(1)若存在a>0,使得函数f(x)=6a2ln x与g(x)=x2-4ax-b的图象在这两个函数图象的公共点处的切线相同,则实数b的最大值为(　　)
(2)(2021山西高三二模)若曲线y=ln(3x-8)与曲线y=x2-3x在公共点处有相同的切线,则该切线的方程为　　　　　　　. 
答案 (1)D　(2)y=3x-9　
方法点拨利用导数几何意义解决公切线问题的基本方法利用导数的几何意义解决两条曲线的公切线问题,通常有两种基本方法:(1)利用其中一条曲线在某点处的切线与另一条曲线相切,列出关系式求解;(2)分别设出公切线与两曲线的切点P1(x1,y1),P2(x2,y2),则有f'(x1)=g'(x2)= ,据此列式求解.
对点训练4(2021广东韶关高三一模)若曲线C1:y=ax2(a>0)与曲线C2:y=ex存在公共切线,则实数a的取值范围为　　　　. 
考向4.导数几何意义的综合应用典例突破
(2)(2021新高考Ⅰ,7)若过点(a,b)可以作曲线y=ex的两条切线,则(　　)A.eb答案 (1)D　(2)D　
则g'(x)=ex(a-x)=0,解得x=a,所以g(x)在区间(-∞,a)内单调递增,在区间(a,+∞)内单调递减.当x0,所以0方法总结导数几何意义综合应用的基本策略(1)求曲线上的一点到某一直线的距离的最值时,可转化为曲线与该直线平行的切线的切点与直线的距离问题,因此可借助导数几何意义,先通过直线平行斜率相等得到切线斜率,进而求得切点坐标,最后根据点到直线的距离公式求得距离的最值.(2)利用导数几何意义解决一些范围问题时,一方面可以通过严格的代数推理进行求解,另一方面也可以基于对常见函数图象清晰的认识与理解,通过图象直观地解决问题.