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广东省惠州市大亚湾区2021-2022学年八年级下学期期末教学质量检测数学试卷(word版含答案)
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这是一份广东省惠州市大亚湾区2021-2022学年八年级下学期期末教学质量检测数学试卷(word版含答案)，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
广东省惠州市大亚湾区2021-2022学年八年级下学期期末教学
质量检测数学试卷
一、选择题（每题3分，共30分，每题只有一个正确答案）
1．（3分）若二次根式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≥﹣2 B．x＞﹣2 C．x≥2 D．x＞2
2．（3分）下列计算中正确的是（ ）
A．÷＝3 B．+＝ C．＝±3 D．2﹣＝2
3．（3分）下列各组数中，以它们为边长的线段能构成直角三角形的是（ ）
A．2，3，4 B． C．1，1， D．5，12，13
4．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D，则BD的长度是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．（3分）在平行四边形ABCD中，下列结论中，错误的是（ ）
A．AB＝CD
B．AC＝BD
C．当AC⊥BD时，平行四边形ABCD是菱形
D．当∠ABC＝90°，平行四边形ABCD是矩形
6．（3分）对于函数y＝﹣3x+4，下列结论正确的是（ ）
A．它的图象必经过点（﹣1，1）
B．它的图象不经过第三象限
C．当x＞0时，y＞0
D．y的值随x值的增大而增大
7．（3分）在平面直角坐标系中，要得到函数y＝2x﹣1的图象，只需要将函数y＝2x的图象（ ）
A．向上平移1个单位 B．向下平移1个单位
C．向左平移1个单位 D．向右平移1个单位
8．（3分）八年级甲、乙两班学生在一次数学测试中，成绩的方差如下：s甲2＝9.8，s乙2＝7.6，则成绩较为稳定的是（ ）
A．甲班 B．乙班
C．两班成绩一样稳定 D．无法确定
9．（3分）在▱ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D可以为（ ）
A．1：2：3：4 B．3：2：3：2 C．2：2：1：1 D．1：3：3：1
10．（3分）如图，点P从正方形ABCD的顶点C出发，沿着正方形的边运动，依次经过点D和点A到达点B后停止运动．当运动路程为x时，△PBC的面积为y，则y随x变化的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（共7个小题，每题4分，共28分）
11．（4分）计算：＝ ．
12．（4分）已知最简二次根式与可以合并，则a+b的值为 ．
13．（4分）在Rt△ABC中，斜边BC＝10，则BC2+AB2+AC2＝ ．
14．（4分）某公司需招聘一名职员，对甲、乙进行测试，将学历、经验、工作态度三项得分按2：1：3的比例确定两人的最终得分，甲的三项得分分别为：9、7、8；乙的三项得分分别为8、5、9．那么 （填“甲”或“乙”）将被录用．
15．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E是边BC的中点，连接OE．若∠DAB＝60°，∠ADB＝80°，则∠1＝ ．
16．（4分）如图，已知直线y＝ax+b和直线y＝kx交于点P，若二元一次方程组的解为x、y，则关于x+y＝ ．
17．（4分）在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，点P在边AB上．若将△DAP沿DP折叠，使点A落在矩形对角线上的点A′处，则AP的长为 ．
三、解答题（一）（3个小题，每题6分，共18分，要求写出解题过程）
18．（6分）计算：．
19．（6分）已知：一次函数y＝（3﹣m）x+m﹣5．
（1）若一次函数的图象过原点，求实数m的值；
（2）当一次函数的图象经过第二、三、四象限时，求实数m的取值范围．
20．（6分）如图，E，F分别是平行四边形ABCD的边AD、BC边上的点，且AE＝CF，连接BE，DF．求证：四边形BFDE是平行四边形．
四、解答题(二)(3个小题，每题8分，共24分，要求写出解题过程)
21．（8分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD垂直平分对角线AC，垂足为点O．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若∠DBC＝30°，BC＝2，求四边形ABCD的面积．
22．（8分）我市某中学举行“中国梦•校园好声音”歌手大赛，高、初中根据初赛成绩各选出5名选手组成初中代表队和高中代表队参加学校决赛，两个队各选出的5名选手的决赛成绩（满分100）如图所示：
根据图示信息，整理分析数据如表：
平均数（分）
中位数（分）
众数（分）
初中部
a
85
c
高中部
85
b
100
（1）求出表格中a＝ ；b＝ ；c＝ ．
（2）结合两队成绩的平均数和中位数，分析哪个队的决赛成绩较好；
（3）计算两队决赛成绩的方差，并判断哪一个代表队选手成绩较为稳定．
23．（8分）如图所示，已知AD，AE分别是△ABC的高和中线，AB＝6cm，AC＝8cm，BC＝10cm，∠CAB＝90°．试求：
（1）AD的长；
（2）△ABE的面积；
（3）△ACE和△ABE的周长的差．
五、解答题(三)(2个小题，每题10分，共20分，要求写出解题过程)
24．（10分）某文具店销售功能完全相同的A、B两种品牌的计算器，若购买2个A品牌和3个B品牌的计算器共需156元；购买3个A品牌和1个B品牌的计算器共需122元．
（1）求这两种品牌计算器的单价；
（2）学校开学前夕，该商店对这两种计算器开展了促销活动，具体办法如下：A品牌计算器按原价的八折销售，B品牌计算器超出5个的部分按原价的七折销售，设购买x个A品牌的计算器需要y1元，购买x个B品牌的计算器需要y2元，请分别求出y1、y2关于x的函数关系式；
（3）当需要购买50个计算器时，买哪种品牌的计算器更合算？
25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A在y轴的正半轴上，点C在x轴的正半轴上，AO＝，∠BAC＝30°，点D是线段OC上一点，将△AOD沿直线AD翻折，点O落在矩形对角线AC上的点E处．
（1）求点B的坐标；
（2）求直线DE的解析式；
（3）点M在直线DE上，在坐标轴上是否存在点N，使得以N、A、M、C为顶点的四边形是菱形，若存在直接写出N的坐标；若不存在请说明理由．
广东省惠州市大亚湾区2021-2022学年八年级下学期期末教学
质量检测数学试卷参考答案与试题解析
一、选择题（每题3分，共30分，每题只有一个正确答案）
1．（3分）若二次根式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≥﹣2 B．x＞﹣2 C．x≥2 D．x＞2
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：由题意得：x+2≥0，
解得：x≥﹣2，
故选：A．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
2．（3分）下列计算中正确的是（ ）
A．÷＝3 B．+＝ C．＝±3 D．2﹣＝2
【分析】利用二次根式的除法法则对A进行判断；利用二次根式的加减法对B、D进行判断；利用二次根式的性质对C进行判断．
【解答】解：A、原式＝＝3，所以A选项正确；
B、与不能合并，所以B选项错误；
C、原式＝|﹣3|＝3，所以C选项错误；
D、原式＝，所以D选项错误．
故选：A．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
3．（3分）下列各组数中，以它们为边长的线段能构成直角三角形的是（ ）
A．2，3，4 B． C．1，1， D．5，12，13
【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．如果没有这种关系，这个就不是直角三角形，逐一判定即可．
【解答】解：A、22+32≠42，不符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意；
B、（）2+（）2≠（）2，不符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意；
C、12+12≠（）2，不符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意；
D、52+122＝132，符合勾股定理的逆定理，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
4．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D，则BD的长度是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】首先利用勾股定理可以算出AB的长，再根据题意可得到AD＝AC，根据BD＝AB﹣AD即可算出答案．
【解答】解：∵AC＝3，BC＝4，
∴AB＝＝5，
∵以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D，
∴AD＝AC，
∴AD＝3，
∴BD＝AB﹣AD＝5﹣3＝2．
故选：A．
【点评】此题主要考查了勾股定理，关键是熟练掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
5．（3分）在平行四边形ABCD中，下列结论中，错误的是（ ）
A．AB＝CD
B．AC＝BD
C．当AC⊥BD时，平行四边形ABCD是菱形
D．当∠ABC＝90°，平行四边形ABCD是矩形
【分析】直接利用平行四边形的性质和菱形的判定、矩形的判定分别判断得出答案．
【解答】解：A、平行四边形ABCD，AB＝CD，说法正确，不符合题意；
B、平行四边形ABCD，AC不一定等于BD，说法错误，符合题意；
C、平行四边形ABCD，当AC⊥BD时，平行四边形ABCD是菱形，说法正确，不符合题意；
D、平行四边形ABCD，当∠ABC＝90°，平行四边形ABCD是矩形，说法正确，不符合题意；
故选：B．
【点评】此题主要考查了矩形的性质和平行四边形的性质，正确把握相关性质是解题关键．
6．（3分）对于函数y＝﹣3x+4，下列结论正确的是（ ）
A．它的图象必经过点（﹣1，1）
B．它的图象不经过第三象限
C．当x＞0时，y＞0
D．y的值随x值的增大而增大
【分析】利用一次函数图象经过的点必能满足解析式，结合一次函数图象的性质可得答案．
【解答】解：A、它的图象不经过点（﹣1，1），故原题说法错误；
B、它的图象不经过第三象限，故原题说法正确；
C、当x＜时，y＞0，故原题说法错误；
D、y的值随x值的增大而减小，故原题说法错误；
故选：B．
【点评】此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特点，以及一次函数的性质，关键是掌握k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b．
7．（3分）在平面直角坐标系中，要得到函数y＝2x﹣1的图象，只需要将函数y＝2x的图象（ ）
A．向上平移1个单位 B．向下平移1个单位
C．向左平移1个单位 D．向右平移1个单位
【分析】根据“上加下减”的原则写出新直线解析式．
【解答】解：由“上加下减”的原则可知，将函数y＝2x的图象向下平移1个单位长度所得函数的解析式为y＝2x﹣1．
故选：B．
【点评】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减”的原则是解答此题的关键．
8．（3分）八年级甲、乙两班学生在一次数学测试中，成绩的方差如下：s甲2＝9.8，s乙2＝7.6，则成绩较为稳定的是（ ）
A．甲班 B．乙班
C．两班成绩一样稳定 D．无法确定
【分析】利用方差的意义求解即可．
【解答】解：∵s甲2＝9.8，s乙2＝7.6，
∴s乙2＜s甲2，
∴成绩较为稳定的是乙班，
故选：B．
【点评】本题主要考查方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
9．（3分）在▱ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D可以为（ ）
A．1：2：3：4 B．3：2：3：2 C．2：2：1：1 D．1：3：3：1
【分析】根据平行四边形对角相等可得答案．
【解答】解：∵平行四边形对角相等，
∴对角的比值数应该相等，
其中A，C，D都不满足，只有B满足．
故选：B．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质．解题的关键是掌握平行四边形的两组对角分别相等．
10．（3分）如图，点P从正方形ABCD的顶点C出发，沿着正方形的边运动，依次经过点D和点A到达点B后停止运动．当运动路程为x时，△PBC的面积为y，则y随x变化的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据运动可以发现△PBC的面积，从增大到不变，再到不断减小，结合图象可选出答案．
【解答】解：y与x的函数关系的图象大致可分三段来分析：
当点P从C运动到D时，因为底BC不变，高PC逐渐增大，所以△PBC的面积随着CP的增大而增大；
当点P从D运动到A时时，△PBC的底和高都不变，所以面积也不变；
当点P从A运动到B的时候，因为底BC不变，高PB逐渐减小，所以△PBC的面积随着PB的减小而减小．
所以选项B符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象，弄清点P分别在三条边上运动时，面积的变化情况是解题关键．
二、填空题（共7个小题，每题4分，共28分）
11．（4分）计算：＝ 5 ．
【分析】根据二次根式的基本性质进行解答即可．
【解答】解：原式＝＝5．
故答案为：5．
【点评】本题考查的是二次根式的性质与化简，熟知二次根式的基本性质是解答此题的关键．
12．（4分）已知最简二次根式与可以合并，则a+b的值为 2 ．
【分析】根据同类二次根式的概念列出方程组，解方程组求出a、b，计算即可．
【解答】解：由题意得，，
解得，，
则a+b＝1+1＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查的是同类二次根式的概念，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．
13．（4分）在Rt△ABC中，斜边BC＝10，则BC2+AB2+AC2＝ 200 ．
【分析】根据勾股定理计算即可．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，斜边BC＝10，
∴AB2+AC2＝BC2＝100，
∴BC2+AB2+AC2＝2BC2＝200．
故答案是：200．
【点评】本题考查勾股定理、解题的关键是记住在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
14．（4分）某公司需招聘一名职员，对甲、乙进行测试，将学历、经验、工作态度三项得分按2：1：3的比例确定两人的最终得分，甲的三项得分分别为：9、7、8；乙的三项得分分别为8、5、9．那么 甲 （填“甲”或“乙”）将被录用．
【分析】将三项得分分别乘以对应权重，再求和，继而除以权重之和，从而得到甲、乙的最终得分，比较大小即可得出答案．
【解答】解：甲最终得分为＝，
乙最终得分为＝8，
∵＞8，
∴甲将被录用，
故答案为：甲．
【点评】本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握若n个数x1，x2，x3，…，xn的权分别是w1，w2，w3，…，wn，则（x1w1+x2w2+…+xnwn）÷（w1+w2+…+wn）叫做这n个数的加权平均数．
15．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E是边BC的中点，连接OE．若∠DAB＝60°，∠ADB＝80°，则∠1＝ 40° ．
【分析】直接利用三角形内角和定理得出∠ABD的度数，再利用三角形中位线定理结合平行线的性质得出答案．
【解答】解：∵∠DAB＝60°，∠ADB＝80°，
∴∠ABD＝180°﹣60°﹣80°＝40°，
∵平行四边形ABCD对角线AC与BD相交于点O，
∴OA＝OC，
∵E是边CD的中点，
∴EO是△ABC的中位线，
∴EO∥AB，
∴∠1＝∠ABD＝40°．
故答案为：40°．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质、三角形中位线定理等知识，得出EO是△ABC的中位线是解题关键．
16．（4分）如图，已知直线y＝ax+b和直线y＝kx交于点P，若二元一次方程组的解为x、y，则关于x+y＝ 3 ．
【分析】利用点P的坐标为方程组的解得到x、y的值，从而得x+y的值．
【解答】解：∵直线y＝ax+b和直线y＝kx交点P的坐标为（1，2），
∴二元一次方程组的解为，
∴x+y＝1+2＝3．
故答案为3．
【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
17．（4分）在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，点P在边AB上．若将△DAP沿DP折叠，使点A落在矩形对角线上的点A′处，则AP的长为 3或 ．
【分析】在分两种情况探讨：点A落在矩形对角线BD上，点A落在矩形对角线AC上，在直角三角形中利用勾股定理列出方程，通过解方程可得答案．
【解答】解：①点A落在矩形对角线BD上，如图1所示．
∵AB＝8，AD＝6，
∴BD＝10，
根据折叠的性质，AD＝A′D＝6，AP＝A′P，∠A＝∠PA′D＝90°，
∴BA′＝4，
设AP＝x，则BP＝8﹣x，
∵BP2＝BA′2+PA′2，
∴（8﹣x）2＝x2+42，
解得：x＝3，
∴AP＝3；
②点A落在矩形对角线AC上，如图2所示：
由折叠的性质可知PD垂直平分AA′，
∴∠BAC+∠A′AD＝∠PDA+∠A′AD＝90°．
∴∠BAC＝∠PDA．
∴tan∠BAC＝tan∠PDA．
∴＝，即＝．
∴AP＝．
综上所述AP的长为3或．
故答案为：3或．
【点评】本题考查了折叠问题、勾股定理，矩形的性质以及三角形相似的判定与性质；依据翻折的性质找准相等的量是解题的关键．
三、解答题（一）（3个小题，每题6分，共18分，要求写出解题过程）
18．（6分）计算：．
【分析】直接利用二次根式的性质分别化简，进而合并同类二次根式得出答案．
【解答】解：原式＝2
＝．
【点评】此题主要考查了二次根式的加减，正确化简二次根式是解题关键．
19．（6分）已知：一次函数y＝（3﹣m）x+m﹣5．
（1）若一次函数的图象过原点，求实数m的值；
（2）当一次函数的图象经过第二、三、四象限时，求实数m的取值范围．
【分析】根据一次函数的性质即可求出m的取值范围．
【解答】解：（1）∵一次函数图象过原点，
∴
解得：m＝5
（2）∵一次函数的图象经过第二、三、四象限，
∴
∴3＜m＜5．
【点评】本题考查一次函数，解题的关键是熟练运用一次函数的性质，本题属于基础题型．
20．（6分）如图，E，F分别是平行四边形ABCD的边AD、BC边上的点，且AE＝CF，连接BE，DF．求证：四边形BFDE是平行四边形．
【分析】由平行四边形的性质得到AD＝BC，AD∥BC，由已知得到ED＝BF，根据平行四边形的判定即可得到结论．
【解答】证明：∵ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴ED∥BF，
又∵AE＝CF，
且ED＝AD﹣AE，BF＝BC﹣CF，
∴ED＝BF，
∴四边形BFDE是平行四边形．
【点评】本题考查平行四边形的判定和性质，灵活运用平行四边形的性质是本题的关键．
四、解答题(二)(3个小题，每题8分，共24分，要求写出解题过程)
21．（8分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD垂直平分对角线AC，垂足为点O．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若∠DBC＝30°，BC＝2，求四边形ABCD的面积．
【分析】（1）根据AAS证明△ADO与△BCO全等，利用平行四边形的判定和菱形的判定解答即可；
（2）根据含30°角的直角三角形的性质得出OC＝1，OB＝，进而利用菱形的面积公式解答即可．
【解答】证明：（1）∵AD∥BC，
∴∠ADO＝∠CBO，
∵对角线BD垂直平分对角线AC，
∴OA＝OC，
在△ADO与△BCO中，
，
∴△ADO≌△BCO（AAS），
∴AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵BD⊥AC，
∴平行四边形ABCD是菱形；
（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∵∠DBC＝30°，BC＝2，
∴OC＝1，OB＝，
∴菱形ABCD的面积＝．
【点评】此题主要考查了菱形的判定、全等三角形的判定与性质，关键是熟练掌握菱形的判定定理．
22．（8分）我市某中学举行“中国梦•校园好声音”歌手大赛，高、初中根据初赛成绩各选出5名选手组成初中代表队和高中代表队参加学校决赛，两个队各选出的5名选手的决赛成绩（满分100）如图所示：
根据图示信息，整理分析数据如表：
平均数（分）
中位数（分）
众数（分）
初中部
a
85
c
高中部
85
b
100
（1）求出表格中a＝ 85 ；b＝ 80 ；c＝ 85 ．
（2）结合两队成绩的平均数和中位数，分析哪个队的决赛成绩较好；
（3）计算两队决赛成绩的方差，并判断哪一个代表队选手成绩较为稳定．
【分析】（1）根据平均数的计算公式和众数、中位数的定义分别进行解答，然后把表补充完整即可；
（2）根据平均数相同的情况下，中位数高的那个队的决赛成绩较好；
（3）根据方差公式先算出各队的方差，然后根据方差的意义即可得出答案．
【解答】解：（1）初中代表队的平均成绩是：（75+80+85+85+100）÷5＝85（分），
在初中代表队中85出现了2次，出现的次数最多，则众数是85分；
把高中代表队的成绩从小到大排列为：70，75，80，100，100，最中间的数是80，则中位数是80分；
填表如下：
平均数/分
中位数/分
众数/分
初中代表队
85
85
85
高中代表队
85
80
100
故答案为：85，80，85；
（2）初中部成绩好些，因为两个队的平均数都相同，初中部的中位数高，
所以在平均数相同的情况下，中位数高的初中部成绩好些；
（3）初中代表队的方差是：[（75﹣85）2+（80﹣85）2+（85﹣85）2+（85﹣85）2+（100﹣85）2]＝70，
高中代表队的方差是：[（70﹣85）2+（75﹣85）2+（80﹣85）2+（100﹣85）2+（100﹣85）2]＝160，
∵S初中2＜S高中2，
∴初中代表队选手成绩较稳定．
【点评】本题考查方差的定义：一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
23．（8分）如图所示，已知AD，AE分别是△ABC的高和中线，AB＝6cm，AC＝8cm，BC＝10cm，∠CAB＝90°．试求：
（1）AD的长；
（2）△ABE的面积；
（3）△ACE和△ABE的周长的差．
【分析】（1）利用“面积法”来求线段AD的长度；
（2）△AEC与△ABE是等底同高的两个三角形，它们的面积相等；
（3）由于AE是中线，那么BE＝CE，于是△ACE的周长﹣△ABE的周长＝AC+AE+CE﹣（AB+BE+AE），化简可得△ACE的周长﹣△ABE的周长＝AC﹣AB，易求其值．
【解答】解：∵∠BAC＝90°，AD是边BC上的高，
∴AB•AC＝BC•AD，
∴AD＝＝＝4.8（cm），即AD的长度为4.8cm；
（2）方法一：如图，∵△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝6cm，AC＝8cm，
∴S△ABC＝AB•AC＝×6×8＝24（cm2）．
又∵AE是边BC的中线，
∴BE＝EC，
∴BE•AD＝EC•AD，即S△ABE＝S△AEC，
∴S△ABE＝S△ABC＝12（cm2）．
∴△ABE的面积是12cm2．
方法二：因为BE＝BC＝5，由（1）知AD＝4.8，
所以S△ABE＝BE•AD＝×5×4.8＝12（cm2）．
∴△ABE的面积是12cm2．
（3）∵AE为BC边上的中线，
∴BE＝CE，
∴△ACE的周长﹣△ABE的周长＝AC+AE+CE﹣（AB+BE+AE）＝AC﹣AB＝8﹣6＝2（cm），即△ACE和△ABE的周长的差是2cm．
【点评】本题考查了中线的定义、三角形周长的计算．解题的关键是利用三角形面积的两个表达式相等，求出AD．
五、解答题(三)(2个小题，每题10分，共20分，要求写出解题过程)
24．（10分）某文具店销售功能完全相同的A、B两种品牌的计算器，若购买2个A品牌和3个B品牌的计算器共需156元；购买3个A品牌和1个B品牌的计算器共需122元．
（1）求这两种品牌计算器的单价；
（2）学校开学前夕，该商店对这两种计算器开展了促销活动，具体办法如下：A品牌计算器按原价的八折销售，B品牌计算器超出5个的部分按原价的七折销售，设购买x个A品牌的计算器需要y1元，购买x个B品牌的计算器需要y2元，请分别求出y1、y2关于x的函数关系式；
（3）当需要购买50个计算器时，买哪种品牌的计算器更合算？
【分析】（1）设A、B两种品牌的计算器的单价分别为a元、b元，然后根据156元，122元列出二元一次方程组，求解即可；
（2）A品牌，根据八折销售列出关系式即可，B品牌分不超过5个，按照原价销售和超过5个两种情况列出关系式整理即可；
（3）把x＝50代入两种品牌计算器的解析式求解即可．
【解答】解：（1）设A、B两种品牌的计算器的单价分别为a元、b元，
根据题意得，，
解得：，
答：A种品牌计算器30元/个，B种品牌计算器32元/个；
（2）A品牌：y1＝30x•0.8＝24x；
B品牌：①当0≤x≤5时，y2＝32x，
②当x＞5时，y2＝5×32+32×（x﹣5）×0.7＝22.4x+48，
综上所述：
y1＝24x，
y2＝；
（3）当x＝50时，y1＝24×50＝1200元；y2＝22.4×50+48＝1168元，
所以，购买超过50个的计算器时，B品牌的计算器更合算．
【点评】本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用，（1）读懂题目信息，理清题中等量关系是解题的关键，（2）B品牌计算器难点在于要分情况讨论，（3）把x＝50代入两种品牌计算器的解析式求解是解题的关键．
25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A在y轴的正半轴上，点C在x轴的正半轴上，AO＝，∠BAC＝30°，点D是线段OC上一点，将△AOD沿直线AD翻折，点O落在矩形对角线AC上的点E处．
（1）求点B的坐标；
（2）求直线DE的解析式；
（3）点M在直线DE上，在坐标轴上是否存在点N，使得以N、A、M、C为顶点的四边形是菱形，若存在直接写出N的坐标；若不存在请说明理由．
【分析】（1）由矩形的性质得BC＝AO＝，再由含30°角的直角三角形的性质得AC＝2BC＝2，然后由勾股定理求出AB＝3，即可求解；
（2）求出C（3，0），A（0，），得点E的坐标为（，），再求出D（1，0），然后由待定系数法求出直线DE的解析式即可；
（3）①AC为菱形的对角线时，直线DE是AC的垂直平分线，则菱形顶点N必在直线DE上，
a、直线DE与x轴相交，点N与D重合，构成菱形ANCM，则N（1，0）；
b、直线DE与y轴相交，构成菱形AN1CM1，则N1（0，﹣）；
②AC为菱形的边长时，
a、N2、M2在AC边的上方，N2在y轴上，AN2＝AC＝2，则ON2＝OA+AN2＝3，得N2（0，3）；
b、N3、M3在A边的下方，N3在x轴上，构成菱形AN3M3C，则ON3＝OC＝3，得N3（﹣3，0）．
【解答】解：（1）∵四边形OABC是矩形，
∴BC＝AO＝，
在Rt△ACB中，∠BAC＝30°，
∴AC＝2BC＝2，
∴AB＝＝＝3，
∴点B的坐标为（3，）；
（2）∵四边形OABC是矩形，
∴∠AOC＝90°，AB∥OC，
∴∠ACO＝∠BAC＝30°，
∴∠OAC＝60°，OC＝OA＝3，
∴C（3，0），
由折叠的性质得：∠OAD＝∠EAD＝30°，∠AED＝∠AOD＝90°，
∴∠EAD＝∠ACO，DE⊥AC，
∴AD＝CD，
∴AE＝CE，
∵OA＝，
∴A（0，），
∴点E的坐标为（，），
即（，），
∵∠OAD＝30°，∠AOD＝90°，
∴OD＝OA＝1，
∴D（1，0），
设直线DE的解析式为y＝kx+b，
则，
解得：，
∴直线ED的解析式为：y＝x﹣；
（3）存在点N，使得以N、A、M、C为顶点的四边形是菱形，N的坐标为（1，0）或（0，﹣）或（0，3）或N（﹣3，0），理由如下：
①AC为菱形的对角线时，直线DE是AC的垂直平分线，则菱形顶点N必在直线DE上，如图1所示：
a、直线DE与x轴相交，点N与D重合，构成菱形ANCM，
则N（1，0）；
b、直线DE与y轴相交，y＝x﹣，
令x＝0，则y＝﹣，构成菱形AN1CM1，
则N1（0，﹣）；
②AC为菱形的边长时，如图2所示：
a、N2、M2在AC边的上方，N2在y轴上，AN2＝AC＝2，
则ON2＝OA+AN2＝3，
∴N2（0，3）；
b、N3、M3在A边的下方，N3在x轴上，构成菱形AN3M3C，
则ON3＝OC＝3，
∴N3（﹣3，0）；
综上所述，存在点N，使得以N、A、M、C为顶点的四边形是菱形，N的坐标为（1，0）或（0，﹣）或（0，3）或N（﹣3，0）．
【点评】本题是一次函数综合题目，考查了待定系数法求一次函数的解析式、一次函数的应用、矩形的性质、坐标与图形性质、菱形的性质、折叠的性质、勾股定理、含30°角的直角三角形的性质以及分类讨论等知识；本题综合性强，熟练掌握矩形的性质和菱形的性质，由待定系数法求出直线DE的解析式是解题的关键，属于中考常考题型．
广东省惠州市大亚湾区2021-2022学年八年级下学期期末教学
质量检测数学试卷
一、选择题（每题3分，共30分，每题只有一个正确答案）
1．（3分）若二次根式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≥﹣2 B．x＞﹣2 C．x≥2 D．x＞2
2．（3分）下列计算中正确的是（ ）
A．÷＝3 B．+＝ C．＝±3 D．2﹣＝2
3．（3分）下列各组数中，以它们为边长的线段能构成直角三角形的是（ ）
A．2，3，4 B． C．1，1， D．5，12，13
4．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D，则BD的长度是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．（3分）在平行四边形ABCD中，下列结论中，错误的是（ ）
A．AB＝CD
B．AC＝BD
C．当AC⊥BD时，平行四边形ABCD是菱形
D．当∠ABC＝90°，平行四边形ABCD是矩形
6．（3分）对于函数y＝﹣3x+4，下列结论正确的是（ ）
A．它的图象必经过点（﹣1，1）
B．它的图象不经过第三象限
C．当x＞0时，y＞0
D．y的值随x值的增大而增大
7．（3分）在平面直角坐标系中，要得到函数y＝2x﹣1的图象，只需要将函数y＝2x的图象（ ）
A．向上平移1个单位 B．向下平移1个单位
C．向左平移1个单位 D．向右平移1个单位
8．（3分）八年级甲、乙两班学生在一次数学测试中，成绩的方差如下：s甲2＝9.8，s乙2＝7.6，则成绩较为稳定的是（ ）
A．甲班 B．乙班
C．两班成绩一样稳定 D．无法确定
9．（3分）在▱ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D可以为（ ）
A．1：2：3：4 B．3：2：3：2 C．2：2：1：1 D．1：3：3：1
10．（3分）如图，点P从正方形ABCD的顶点C出发，沿着正方形的边运动，依次经过点D和点A到达点B后停止运动．当运动路程为x时，△PBC的面积为y，则y随x变化的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（共7个小题，每题4分，共28分）
11．（4分）计算：＝ ．
12．（4分）已知最简二次根式与可以合并，则a+b的值为 ．
13．（4分）在Rt△ABC中，斜边BC＝10，则BC2+AB2+AC2＝ ．
14．（4分）某公司需招聘一名职员，对甲、乙进行测试，将学历、经验、工作态度三项得分按2：1：3的比例确定两人的最终得分，甲的三项得分分别为：9、7、8；乙的三项得分分别为8、5、9．那么 （填“甲”或“乙”）将被录用．
15．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E是边BC的中点，连接OE．若∠DAB＝60°，∠ADB＝80°，则∠1＝ ．
16．（4分）如图，已知直线y＝ax+b和直线y＝kx交于点P，若二元一次方程组的解为x、y，则关于x+y＝ ．
17．（4分）在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，点P在边AB上．若将△DAP沿DP折叠，使点A落在矩形对角线上的点A′处，则AP的长为 ．
三、解答题（一）（3个小题，每题6分，共18分，要求写出解题过程）
18．（6分）计算：．
19．（6分）已知：一次函数y＝（3﹣m）x+m﹣5．
（1）若一次函数的图象过原点，求实数m的值；
（2）当一次函数的图象经过第二、三、四象限时，求实数m的取值范围．
20．（6分）如图，E，F分别是平行四边形ABCD的边AD、BC边上的点，且AE＝CF，连接BE，DF．求证：四边形BFDE是平行四边形．
四、解答题(二)(3个小题，每题8分，共24分，要求写出解题过程)
21．（8分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD垂直平分对角线AC，垂足为点O．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若∠DBC＝30°，BC＝2，求四边形ABCD的面积．
22．（8分）我市某中学举行“中国梦•校园好声音”歌手大赛，高、初中根据初赛成绩各选出5名选手组成初中代表队和高中代表队参加学校决赛，两个队各选出的5名选手的决赛成绩（满分100）如图所示：
根据图示信息，整理分析数据如表：
平均数（分）
中位数（分）
众数（分）
初中部
a
85
c
高中部
85
b
100
（1）求出表格中a＝ ；b＝ ；c＝ ．
（2）结合两队成绩的平均数和中位数，分析哪个队的决赛成绩较好；
（3）计算两队决赛成绩的方差，并判断哪一个代表队选手成绩较为稳定．
23．（8分）如图所示，已知AD，AE分别是△ABC的高和中线，AB＝6cm，AC＝8cm，BC＝10cm，∠CAB＝90°．试求：
（1）AD的长；
（2）△ABE的面积；
（3）△ACE和△ABE的周长的差．
五、解答题(三)(2个小题，每题10分，共20分，要求写出解题过程)
24．（10分）某文具店销售功能完全相同的A、B两种品牌的计算器，若购买2个A品牌和3个B品牌的计算器共需156元；购买3个A品牌和1个B品牌的计算器共需122元．
（1）求这两种品牌计算器的单价；
（2）学校开学前夕，该商店对这两种计算器开展了促销活动，具体办法如下：A品牌计算器按原价的八折销售，B品牌计算器超出5个的部分按原价的七折销售，设购买x个A品牌的计算器需要y1元，购买x个B品牌的计算器需要y2元，请分别求出y1、y2关于x的函数关系式；
（3）当需要购买50个计算器时，买哪种品牌的计算器更合算？
25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A在y轴的正半轴上，点C在x轴的正半轴上，AO＝，∠BAC＝30°，点D是线段OC上一点，将△AOD沿直线AD翻折，点O落在矩形对角线AC上的点E处．
（1）求点B的坐标；
（2）求直线DE的解析式；
（3）点M在直线DE上，在坐标轴上是否存在点N，使得以N、A、M、C为顶点的四边形是菱形，若存在直接写出N的坐标；若不存在请说明理由．
广东省惠州市大亚湾区2021-2022学年八年级下学期期末教学
质量检测数学试卷参考答案与试题解析
一、选择题（每题3分，共30分，每题只有一个正确答案）
1．（3分）若二次根式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≥﹣2 B．x＞﹣2 C．x≥2 D．x＞2
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：由题意得：x+2≥0，
解得：x≥﹣2，
故选：A．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
2．（3分）下列计算中正确的是（ ）
A．÷＝3 B．+＝ C．＝±3 D．2﹣＝2
【分析】利用二次根式的除法法则对A进行判断；利用二次根式的加减法对B、D进行判断；利用二次根式的性质对C进行判断．
【解答】解：A、原式＝＝3，所以A选项正确；
B、与不能合并，所以B选项错误；
C、原式＝|﹣3|＝3，所以C选项错误；
D、原式＝，所以D选项错误．
故选：A．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
3．（3分）下列各组数中，以它们为边长的线段能构成直角三角形的是（ ）
A．2，3，4 B． C．1，1， D．5，12，13
【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．如果没有这种关系，这个就不是直角三角形，逐一判定即可．
【解答】解：A、22+32≠42，不符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意；
B、（）2+（）2≠（）2，不符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意；
C、12+12≠（）2，不符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意；
D、52+122＝132，符合勾股定理的逆定理，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
4．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D，则BD的长度是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】首先利用勾股定理可以算出AB的长，再根据题意可得到AD＝AC，根据BD＝AB﹣AD即可算出答案．
【解答】解：∵AC＝3，BC＝4，
∴AB＝＝5，
∵以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D，
∴AD＝AC，
∴AD＝3，
∴BD＝AB﹣AD＝5﹣3＝2．
故选：A．
【点评】此题主要考查了勾股定理，关键是熟练掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
5．（3分）在平行四边形ABCD中，下列结论中，错误的是（ ）
A．AB＝CD
B．AC＝BD
C．当AC⊥BD时，平行四边形ABCD是菱形
D．当∠ABC＝90°，平行四边形ABCD是矩形
【分析】直接利用平行四边形的性质和菱形的判定、矩形的判定分别判断得出答案．
【解答】解：A、平行四边形ABCD，AB＝CD，说法正确，不符合题意；
B、平行四边形ABCD，AC不一定等于BD，说法错误，符合题意；
C、平行四边形ABCD，当AC⊥BD时，平行四边形ABCD是菱形，说法正确，不符合题意；
D、平行四边形ABCD，当∠ABC＝90°，平行四边形ABCD是矩形，说法正确，不符合题意；
故选：B．
【点评】此题主要考查了矩形的性质和平行四边形的性质，正确把握相关性质是解题关键．
6．（3分）对于函数y＝﹣3x+4，下列结论正确的是（ ）
A．它的图象必经过点（﹣1，1）
B．它的图象不经过第三象限
C．当x＞0时，y＞0
D．y的值随x值的增大而增大
【分析】利用一次函数图象经过的点必能满足解析式，结合一次函数图象的性质可得答案．
【解答】解：A、它的图象不经过点（﹣1，1），故原题说法错误；
B、它的图象不经过第三象限，故原题说法正确；
C、当x＜时，y＞0，故原题说法错误；
D、y的值随x值的增大而减小，故原题说法错误；
故选：B．
【点评】此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特点，以及一次函数的性质，关键是掌握k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b．
7．（3分）在平面直角坐标系中，要得到函数y＝2x﹣1的图象，只需要将函数y＝2x的图象（ ）
A．向上平移1个单位 B．向下平移1个单位
C．向左平移1个单位 D．向右平移1个单位
【分析】根据“上加下减”的原则写出新直线解析式．
【解答】解：由“上加下减”的原则可知，将函数y＝2x的图象向下平移1个单位长度所得函数的解析式为y＝2x﹣1．
故选：B．
【点评】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减”的原则是解答此题的关键．
8．（3分）八年级甲、乙两班学生在一次数学测试中，成绩的方差如下：s甲2＝9.8，s乙2＝7.6，则成绩较为稳定的是（ ）
A．甲班 B．乙班
C．两班成绩一样稳定 D．无法确定
【分析】利用方差的意义求解即可．
【解答】解：∵s甲2＝9.8，s乙2＝7.6，
∴s乙2＜s甲2，
∴成绩较为稳定的是乙班，
故选：B．
【点评】本题主要考查方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
9．（3分）在▱ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D可以为（ ）
A．1：2：3：4 B．3：2：3：2 C．2：2：1：1 D．1：3：3：1
【分析】根据平行四边形对角相等可得答案．
【解答】解：∵平行四边形对角相等，
∴对角的比值数应该相等，
其中A，C，D都不满足，只有B满足．
故选：B．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质．解题的关键是掌握平行四边形的两组对角分别相等．
10．（3分）如图，点P从正方形ABCD的顶点C出发，沿着正方形的边运动，依次经过点D和点A到达点B后停止运动．当运动路程为x时，△PBC的面积为y，则y随x变化的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据运动可以发现△PBC的面积，从增大到不变，再到不断减小，结合图象可选出答案．
【解答】解：y与x的函数关系的图象大致可分三段来分析：
当点P从C运动到D时，因为底BC不变，高PC逐渐增大，所以△PBC的面积随着CP的增大而增大；
当点P从D运动到A时时，△PBC的底和高都不变，所以面积也不变；
当点P从A运动到B的时候，因为底BC不变，高PB逐渐减小，所以△PBC的面积随着PB的减小而减小．
所以选项B符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象，弄清点P分别在三条边上运动时，面积的变化情况是解题关键．
二、填空题（共7个小题，每题4分，共28分）
11．（4分）计算：＝ 5 ．
【分析】根据二次根式的基本性质进行解答即可．
【解答】解：原式＝＝5．
故答案为：5．
【点评】本题考查的是二次根式的性质与化简，熟知二次根式的基本性质是解答此题的关键．
12．（4分）已知最简二次根式与可以合并，则a+b的值为 2 ．
【分析】根据同类二次根式的概念列出方程组，解方程组求出a、b，计算即可．
【解答】解：由题意得，，
解得，，
则a+b＝1+1＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查的是同类二次根式的概念，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．
13．（4分）在Rt△ABC中，斜边BC＝10，则BC2+AB2+AC2＝ 200 ．
【分析】根据勾股定理计算即可．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，斜边BC＝10，
∴AB2+AC2＝BC2＝100，
∴BC2+AB2+AC2＝2BC2＝200．
故答案是：200．
【点评】本题考查勾股定理、解题的关键是记住在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
14．（4分）某公司需招聘一名职员，对甲、乙进行测试，将学历、经验、工作态度三项得分按2：1：3的比例确定两人的最终得分，甲的三项得分分别为：9、7、8；乙的三项得分分别为8、5、9．那么 甲 （填“甲”或“乙”）将被录用．
【分析】将三项得分分别乘以对应权重，再求和，继而除以权重之和，从而得到甲、乙的最终得分，比较大小即可得出答案．
【解答】解：甲最终得分为＝，
乙最终得分为＝8，
∵＞8，
∴甲将被录用，
故答案为：甲．
【点评】本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握若n个数x1，x2，x3，…，xn的权分别是w1，w2，w3，…，wn，则（x1w1+x2w2+…+xnwn）÷（w1+w2+…+wn）叫做这n个数的加权平均数．
15．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E是边BC的中点，连接OE．若∠DAB＝60°，∠ADB＝80°，则∠1＝ 40° ．
【分析】直接利用三角形内角和定理得出∠ABD的度数，再利用三角形中位线定理结合平行线的性质得出答案．
【解答】解：∵∠DAB＝60°，∠ADB＝80°，
∴∠ABD＝180°﹣60°﹣80°＝40°，
∵平行四边形ABCD对角线AC与BD相交于点O，
∴OA＝OC，
∵E是边CD的中点，
∴EO是△ABC的中位线，
∴EO∥AB，
∴∠1＝∠ABD＝40°．
故答案为：40°．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质、三角形中位线定理等知识，得出EO是△ABC的中位线是解题关键．
16．（4分）如图，已知直线y＝ax+b和直线y＝kx交于点P，若二元一次方程组的解为x、y，则关于x+y＝ 3 ．
【分析】利用点P的坐标为方程组的解得到x、y的值，从而得x+y的值．
【解答】解：∵直线y＝ax+b和直线y＝kx交点P的坐标为（1，2），
∴二元一次方程组的解为，
∴x+y＝1+2＝3．
故答案为3．
【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
17．（4分）在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，点P在边AB上．若将△DAP沿DP折叠，使点A落在矩形对角线上的点A′处，则AP的长为 3或 ．
【分析】在分两种情况探讨：点A落在矩形对角线BD上，点A落在矩形对角线AC上，在直角三角形中利用勾股定理列出方程，通过解方程可得答案．
【解答】解：①点A落在矩形对角线BD上，如图1所示．
∵AB＝8，AD＝6，
∴BD＝10，
根据折叠的性质，AD＝A′D＝6，AP＝A′P，∠A＝∠PA′D＝90°，
∴BA′＝4，
设AP＝x，则BP＝8﹣x，
∵BP2＝BA′2+PA′2，
∴（8﹣x）2＝x2+42，
解得：x＝3，
∴AP＝3；
②点A落在矩形对角线AC上，如图2所示：
由折叠的性质可知PD垂直平分AA′，
∴∠BAC+∠A′AD＝∠PDA+∠A′AD＝90°．
∴∠BAC＝∠PDA．
∴tan∠BAC＝tan∠PDA．
∴＝，即＝．
∴AP＝．
综上所述AP的长为3或．
故答案为：3或．
【点评】本题考查了折叠问题、勾股定理，矩形的性质以及三角形相似的判定与性质；依据翻折的性质找准相等的量是解题的关键．
三、解答题（一）（3个小题，每题6分，共18分，要求写出解题过程）
18．（6分）计算：．
【分析】直接利用二次根式的性质分别化简，进而合并同类二次根式得出答案．
【解答】解：原式＝2
＝．
【点评】此题主要考查了二次根式的加减，正确化简二次根式是解题关键．
19．（6分）已知：一次函数y＝（3﹣m）x+m﹣5．
（1）若一次函数的图象过原点，求实数m的值；
（2）当一次函数的图象经过第二、三、四象限时，求实数m的取值范围．
【分析】根据一次函数的性质即可求出m的取值范围．
【解答】解：（1）∵一次函数图象过原点，
∴
解得：m＝5
（2）∵一次函数的图象经过第二、三、四象限，
∴
∴3＜m＜5．
【点评】本题考查一次函数，解题的关键是熟练运用一次函数的性质，本题属于基础题型．
20．（6分）如图，E，F分别是平行四边形ABCD的边AD、BC边上的点，且AE＝CF，连接BE，DF．求证：四边形BFDE是平行四边形．
【分析】由平行四边形的性质得到AD＝BC，AD∥BC，由已知得到ED＝BF，根据平行四边形的判定即可得到结论．
【解答】证明：∵ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴ED∥BF，
又∵AE＝CF，
且ED＝AD﹣AE，BF＝BC﹣CF，
∴ED＝BF，
∴四边形BFDE是平行四边形．
【点评】本题考查平行四边形的判定和性质，灵活运用平行四边形的性质是本题的关键．
四、解答题(二)(3个小题，每题8分，共24分，要求写出解题过程)
21．（8分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD垂直平分对角线AC，垂足为点O．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若∠DBC＝30°，BC＝2，求四边形ABCD的面积．
【分析】（1）根据AAS证明△ADO与△BCO全等，利用平行四边形的判定和菱形的判定解答即可；
（2）根据含30°角的直角三角形的性质得出OC＝1，OB＝，进而利用菱形的面积公式解答即可．
【解答】证明：（1）∵AD∥BC，
∴∠ADO＝∠CBO，
∵对角线BD垂直平分对角线AC，
∴OA＝OC，
在△ADO与△BCO中，
，
∴△ADO≌△BCO（AAS），
∴AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵BD⊥AC，
∴平行四边形ABCD是菱形；
（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∵∠DBC＝30°，BC＝2，
∴OC＝1，OB＝，
∴菱形ABCD的面积＝．
【点评】此题主要考查了菱形的判定、全等三角形的判定与性质，关键是熟练掌握菱形的判定定理．
22．（8分）我市某中学举行“中国梦•校园好声音”歌手大赛，高、初中根据初赛成绩各选出5名选手组成初中代表队和高中代表队参加学校决赛，两个队各选出的5名选手的决赛成绩（满分100）如图所示：
根据图示信息，整理分析数据如表：
平均数（分）
中位数（分）
众数（分）
初中部
a
85
c
高中部
85
b
100
（1）求出表格中a＝ 85 ；b＝ 80 ；c＝ 85 ．
（2）结合两队成绩的平均数和中位数，分析哪个队的决赛成绩较好；
（3）计算两队决赛成绩的方差，并判断哪一个代表队选手成绩较为稳定．
【分析】（1）根据平均数的计算公式和众数、中位数的定义分别进行解答，然后把表补充完整即可；
（2）根据平均数相同的情况下，中位数高的那个队的决赛成绩较好；
（3）根据方差公式先算出各队的方差，然后根据方差的意义即可得出答案．
【解答】解：（1）初中代表队的平均成绩是：（75+80+85+85+100）÷5＝85（分），
在初中代表队中85出现了2次，出现的次数最多，则众数是85分；
把高中代表队的成绩从小到大排列为：70，75，80，100，100，最中间的数是80，则中位数是80分；
填表如下：
平均数/分
中位数/分
众数/分
初中代表队
85
85
85
高中代表队
85
80
100
故答案为：85，80，85；
（2）初中部成绩好些，因为两个队的平均数都相同，初中部的中位数高，
所以在平均数相同的情况下，中位数高的初中部成绩好些；
（3）初中代表队的方差是：[（75﹣85）2+（80﹣85）2+（85﹣85）2+（85﹣85）2+（100﹣85）2]＝70，
高中代表队的方差是：[（70﹣85）2+（75﹣85）2+（80﹣85）2+（100﹣85）2+（100﹣85）2]＝160，
∵S初中2＜S高中2，
∴初中代表队选手成绩较稳定．
【点评】本题考查方差的定义：一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
23．（8分）如图所示，已知AD，AE分别是△ABC的高和中线，AB＝6cm，AC＝8cm，BC＝10cm，∠CAB＝90°．试求：
（1）AD的长；
（2）△ABE的面积；
（3）△ACE和△ABE的周长的差．
【分析】（1）利用“面积法”来求线段AD的长度；
（2）△AEC与△ABE是等底同高的两个三角形，它们的面积相等；
（3）由于AE是中线，那么BE＝CE，于是△ACE的周长﹣△ABE的周长＝AC+AE+CE﹣（AB+BE+AE），化简可得△ACE的周长﹣△ABE的周长＝AC﹣AB，易求其值．
【解答】解：∵∠BAC＝90°，AD是边BC上的高，
∴AB•AC＝BC•AD，
∴AD＝＝＝4.8（cm），即AD的长度为4.8cm；
（2）方法一：如图，∵△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝6cm，AC＝8cm，
∴S△ABC＝AB•AC＝×6×8＝24（cm2）．
又∵AE是边BC的中线，
∴BE＝EC，
∴BE•AD＝EC•AD，即S△ABE＝S△AEC，
∴S△ABE＝S△ABC＝12（cm2）．
∴△ABE的面积是12cm2．
方法二：因为BE＝BC＝5，由（1）知AD＝4.8，
所以S△ABE＝BE•AD＝×5×4.8＝12（cm2）．
∴△ABE的面积是12cm2．
（3）∵AE为BC边上的中线，
∴BE＝CE，
∴△ACE的周长﹣△ABE的周长＝AC+AE+CE﹣（AB+BE+AE）＝AC﹣AB＝8﹣6＝2（cm），即△ACE和△ABE的周长的差是2cm．
【点评】本题考查了中线的定义、三角形周长的计算．解题的关键是利用三角形面积的两个表达式相等，求出AD．
五、解答题(三)(2个小题，每题10分，共20分，要求写出解题过程)
24．（10分）某文具店销售功能完全相同的A、B两种品牌的计算器，若购买2个A品牌和3个B品牌的计算器共需156元；购买3个A品牌和1个B品牌的计算器共需122元．
（1）求这两种品牌计算器的单价；
（2）学校开学前夕，该商店对这两种计算器开展了促销活动，具体办法如下：A品牌计算器按原价的八折销售，B品牌计算器超出5个的部分按原价的七折销售，设购买x个A品牌的计算器需要y1元，购买x个B品牌的计算器需要y2元，请分别求出y1、y2关于x的函数关系式；
（3）当需要购买50个计算器时，买哪种品牌的计算器更合算？
【分析】（1）设A、B两种品牌的计算器的单价分别为a元、b元，然后根据156元，122元列出二元一次方程组，求解即可；
（2）A品牌，根据八折销售列出关系式即可，B品牌分不超过5个，按照原价销售和超过5个两种情况列出关系式整理即可；
（3）把x＝50代入两种品牌计算器的解析式求解即可．
【解答】解：（1）设A、B两种品牌的计算器的单价分别为a元、b元，
根据题意得，，
解得：，
答：A种品牌计算器30元/个，B种品牌计算器32元/个；
（2）A品牌：y1＝30x•0.8＝24x；
B品牌：①当0≤x≤5时，y2＝32x，
②当x＞5时，y2＝5×32+32×（x﹣5）×0.7＝22.4x+48，
综上所述：
y1＝24x，
y2＝；
（3）当x＝50时，y1＝24×50＝1200元；y2＝22.4×50+48＝1168元，
所以，购买超过50个的计算器时，B品牌的计算器更合算．
【点评】本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用，（1）读懂题目信息，理清题中等量关系是解题的关键，（2）B品牌计算器难点在于要分情况讨论，（3）把x＝50代入两种品牌计算器的解析式求解是解题的关键．
25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A在y轴的正半轴上，点C在x轴的正半轴上，AO＝，∠BAC＝30°，点D是线段OC上一点，将△AOD沿直线AD翻折，点O落在矩形对角线AC上的点E处．
（1）求点B的坐标；
（2）求直线DE的解析式；
（3）点M在直线DE上，在坐标轴上是否存在点N，使得以N、A、M、C为顶点的四边形是菱形，若存在直接写出N的坐标；若不存在请说明理由．
【分析】（1）由矩形的性质得BC＝AO＝，再由含30°角的直角三角形的性质得AC＝2BC＝2，然后由勾股定理求出AB＝3，即可求解；
（2）求出C（3，0），A（0，），得点E的坐标为（，），再求出D（1，0），然后由待定系数法求出直线DE的解析式即可；
（3）①AC为菱形的对角线时，直线DE是AC的垂直平分线，则菱形顶点N必在直线DE上，
a、直线DE与x轴相交，点N与D重合，构成菱形ANCM，则N（1，0）；
b、直线DE与y轴相交，构成菱形AN1CM1，则N1（0，﹣）；
②AC为菱形的边长时，
a、N2、M2在AC边的上方，N2在y轴上，AN2＝AC＝2，则ON2＝OA+AN2＝3，得N2（0，3）；
b、N3、M3在A边的下方，N3在x轴上，构成菱形AN3M3C，则ON3＝OC＝3，得N3（﹣3，0）．
【解答】解：（1）∵四边形OABC是矩形，
∴BC＝AO＝，
在Rt△ACB中，∠BAC＝30°，
∴AC＝2BC＝2，
∴AB＝＝＝3，
∴点B的坐标为（3，）；
（2）∵四边形OABC是矩形，
∴∠AOC＝90°，AB∥OC，
∴∠ACO＝∠BAC＝30°，
∴∠OAC＝60°，OC＝OA＝3，
∴C（3，0），
由折叠的性质得：∠OAD＝∠EAD＝30°，∠AED＝∠AOD＝90°，
∴∠EAD＝∠ACO，DE⊥AC，
∴AD＝CD，
∴AE＝CE，
∵OA＝，
∴A（0，），
∴点E的坐标为（，），
即（，），
∵∠OAD＝30°，∠AOD＝90°，
∴OD＝OA＝1，
∴D（1，0），
设直线DE的解析式为y＝kx+b，
则，
解得：，
∴直线ED的解析式为：y＝x﹣；
（3）存在点N，使得以N、A、M、C为顶点的四边形是菱形，N的坐标为（1，0）或（0，﹣）或（0，3）或N（﹣3，0），理由如下：
①AC为菱形的对角线时，直线DE是AC的垂直平分线，则菱形顶点N必在直线DE上，如图1所示：
a、直线DE与x轴相交，点N与D重合，构成菱形ANCM，
则N（1，0）；
b、直线DE与y轴相交，y＝x﹣，
令x＝0，则y＝﹣，构成菱形AN1CM1，
则N1（0，﹣）；
②AC为菱形的边长时，如图2所示：
a、N2、M2在AC边的上方，N2在y轴上，AN2＝AC＝2，
则ON2＝OA+AN2＝3，
∴N2（0，3）；
b、N3、M3在A边的下方，N3在x轴上，构成菱形AN3M3C，
则ON3＝OC＝3，
∴N3（﹣3，0）；
综上所述，存在点N，使得以N、A、M、C为顶点的四边形是菱形，N的坐标为（1，0）或（0，﹣）或（0，3）或N（﹣3，0）．
【点评】本题是一次函数综合题目，考查了待定系数法求一次函数的解析式、一次函数的应用、矩形的性质、坐标与图形性质、菱形的性质、折叠的性质、勾股定理、含30°角的直角三角形的性质以及分类讨论等知识；本题综合性强，熟练掌握矩形的性质和菱形的性质，由待定系数法求出直线DE的解析式是解题的关键，属于中考常考题型．
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