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陕西省渭南市蒲城县2021_2022学年八年级下学期期末质量检测数学试题(word版含答案)
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这是一份陕西省渭南市蒲城县2021_2022学年八年级下学期期末质量检测数学试题(word版含答案)，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
陕西省渭南市蒲城县2021~2022学年八年级下学期期末
质量检测数学试题
一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分。每小题只有一个选项是符合题意的）
1．（3分）下列图案中，是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）若a＞b，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．2a＞3b B．﹣2a＞﹣2b C．a+1＞b+1 D．a﹣1＞b+1
3．（3分）多项式6xy+3x2y﹣4x2yz3各项的公因式是（ ）
A．xy B．2xz C．3xy D．3yz
4．（3分）如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（ ）
A．△ABC的三条中线的交点
B．△ABC三条角平分线的交点
C．△ABC三条高所在直线的交点
D．△ABC三边的中垂线的交点
5．（3分）化简÷﹣，正确结果是（ ）
A． B．x﹣y C．x+y D．2x﹣2y
6．（3分）如图，在△ABC中，点D、E、F分别是BC、AB、AC的中点，如果△ABC的周长为20，那么△DEF的周长是（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
7．（3分）“六一八”购物狂欢节来临之际，某电商平台为了扩大销量，决定打折促销，已知某款音响的进价为600元，标价为900元，要保持获利不低于5%，则该电商平台至多可以打（ ）销售．
A．九五折 B．八折 C．七五折 D．七折
8．（3分）下列能确定△ABC为等腰三角形的是（ ）
A．∠A＝50°、∠B＝80° B．∠A＝42°、∠B＝48°
C．∠A＝2∠B＝70° D．AB＝4、BC＝5，周长为15
9．（3分）若关于x的不等式组有且只有4个整数解，则a的取值范围是（ ）
A．2≤a≤4 B．2＜a≤4 C．2≤a＜4 D．2＜a＜4
10．（3分）如图，点O是▱ABCD的对角线的交点，OD＝AD，点E、F分别是OC、OD的中点，连接BE，过点F作FP∥BE交边AB于点P，连接PE，则下列结论中不一定正确的是（ ）
A．CD＝2AP B．PF⊥AC C．BE＝PF D．2∠BAC＝∠DAC
二、填空题（共8小题，每小题3分，计24分）
11．（3分）不等式5x﹣2＞3的解集为 ．
12．（3分）若n边形的每一个外角都是40°，则n的值为 ．
13．（3分）当x 时，分式有意义．
14．（3分）如图，在△ABC中，AD⊥BC于D．下列条件：①BD＝CD，②∠B＝∠DAC，③∠B＝∠C，其中能使△ABC是等腰三角形的是 ．（写出所有满足题意条件的序号）
15．（3分）已知ab＝4，a﹣b＝﹣5，则a3b﹣2a2b2+ab3的值为 ．
16．（3分）如图，△ABC是等边三角形，BC＝BD，∠BAD＝20°，则∠BCD的度数为 ．
17．（3分）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转102°得到△ADE，点D恰好在BC的延长线上，连接DE，若BD＝BE，则∠EBD＝ °．
18．（3分）如图，E、F是平行四边形ABCD的边AB、CD上的点，AF与DE相交于点P，BF与CE相交于点Q．若S△APD＝15cm2，S△BQC＝25cm2，则阴影部分的面积为 cm2．
三、解答题（共7小题，计66分。解答应写出过程）
19．（7分）解方程：．
20．（8分）因式分解：
（1）ax2﹣2axy+ay2；
（2）m2（x﹣2y）﹣n2（x﹣2y）．
21．（9分）如图，在▱ABCD中，BD为对角线．
（1）请用尺规作图法在CD上求作点E，使得DE＝BE（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）中所作的图中，连接BE，求证：BD平分∠ABE．
22．（10分）在如图所示的平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，△ABC的顶点坐标分别为A（1，1），B（3，0），C（2，3）．
（1）将△ABC向左平移4个单位长度得到△A1B1C1，点A、B、C的对应点分别为A1、B1、C1，请画出△A1B1C1，并写出点C1的坐标；
（2）以原点O为旋转中心，将△ABC顺时针旋转90°得到△A2B2C2，点A、B、C的对应点分别为A2、B2、C2，请画出△A2B2C2．
23．（10分）如图，在▱ABCD中，∠ABC＝60°，∠BAD的平分线交CD于点E，交BC的延长线于点F，连接DF．
（1）求证：△ABF是等边三角形；
（2）过点F作FG⊥EC于G，若AD＝1，AB＝3，求CG的长．
24．（10分）为进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举工作，某学校计划购买甲、乙两种品牌的奖品，在举行的运动会中用于表彰表现突出的学生．已知乙种品牌奖品的单价比甲种品牌奖品的单价的3倍少50元，用600元购买甲种品牌奖品的数量与用800元购买乙种品牌奖品的数量相同．
（1）求甲、乙两种品牌奖品的单价各是多少元？
（2）若该学校一次性购买甲、乙两种品牌的奖品共60个，且总费用不高于2000元，则最少要购买多少个甲种品牌奖品？
25．（12分）如图，在▱ABCD中，∠ABC，∠BCD的平分线交于点F，E是边BC的中点，连接EF，AF，AF的延长线交边CD于点G，BF的延长线交CD的延长线于点H．
（1）∠BFC＝ °；
（2）求证：BC＝CH；
（3）若EF＝5，AB＝6，求CG的长．
陕西省渭南市蒲城县2021~2022学年八年级下学期期末
质量检测数学试题参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分。每小题只有一个选项是符合题意的）
1．（3分）下列图案中，是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形的定义进行判断，即可得出答案．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
【解答】解：选项A、B、C均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形，
选项D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形，
故选：D．
【点评】此题主要考查了中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2．（3分）若a＞b，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．2a＞3b B．﹣2a＞﹣2b C．a+1＞b+1 D．a﹣1＞b+1
【分析】根据不等式的性质进行运算辨别即可．
【解答】解：∵a＞b，
由不等式的性质3，得﹣2a＜﹣2b，
由不等式的性质1，得a+1＞b+1，
而2a与3b，a﹣1与b+1不能进行比较，
故选C．
【点评】此题考查了不等式性质的应用能力，关键是能正确运用不等式的性质进行正确的变形．
3．（3分）多项式6xy+3x2y﹣4x2yz3各项的公因式是（ ）
A．xy B．2xz C．3xy D．3yz
【分析】根据公因式的定义可求解．
【解答】解：6xy+3x2y﹣4x2yz3＝xy（6+3x﹣4xz3），
故多项式6xy+3x2y﹣4x2yz3各项的公因式是xy．
故选：A．
【点评】本题主要考查公因式，掌握公因式的定义是解题的关键．
4．（3分）如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（ ）
A．△ABC的三条中线的交点
B．△ABC三条角平分线的交点
C．△ABC三条高所在直线的交点
D．△ABC三边的中垂线的交点
【分析】由于凉亭到草坪三条边的距离相等，所以根据角平分线上的点到边的距离相等，可知是△ABC三条角平分线的交点．由此即可确定凉亭位置．
【解答】解：∵凉亭到草坪三条边的距离相等，
∴凉亭选择△ABC三条角平分线的交点．
故选：B．
【点评】本题主要考查的是角平分线的性质在实际生活中的应用．主要利用了利用了角平分线上的点到角两边的距离相等．
5．（3分）化简÷﹣，正确结果是（ ）
A． B．x﹣y C．x+y D．2x﹣2y
【分析】原式先算除法，再算减法即可得到结果．
【解答】解：原式＝•﹣
＝﹣
＝
＝
＝x+y．
故选：C．
【点评】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
6．（3分）如图，在△ABC中，点D、E、F分别是BC、AB、AC的中点，如果△ABC的周长为20，那么△DEF的周长是（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
【分析】利用三角形的中位线定理可以得到：DE＝AC，EF＝BC，DF＝AB，则△DEF的周长是△ABC的周长的一半，据此即可求解．
【解答】解：∵D、E分别是△ABC的边BC、AB的中点，
∴DE＝AC，
同理 EF＝BC，DF＝AB，
∴C△DEF＝DE+EF+DF＝（AC+BC+AB）＝×20＝10．
故选：B．
【点评】本题考查了三角形的中位线定理，正确根据三角形中位线定理证得：△DEF的周长是△ABC的周长的一半是关键．
7．（3分）“六一八”购物狂欢节来临之际，某电商平台为了扩大销量，决定打折促销，已知某款音响的进价为600元，标价为900元，要保持获利不低于5%，则该电商平台至多可以打（ ）销售．
A．九五折 B．八折 C．七五折 D．七折
【分析】设该电商平台可以打x折销售，由获利不低于5%，列出不等式可求解．
【解答】解：设该电商平台可以打x折销售，
由题意可得：900×﹣600≥600×5%，
解得：x≥7，
∴该电商平台至多可以打七折，
故选：D．
【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，找出正确的不等关系是解题的关键．
8．（3分）下列能确定△ABC为等腰三角形的是（ ）
A．∠A＝50°、∠B＝80° B．∠A＝42°、∠B＝48°
C．∠A＝2∠B＝70° D．AB＝4、BC＝5，周长为15
【分析】A、由∠A＝50°、∠B＝80°，利用三角形内角和定理，可求得∠C的度数，继而可得∠A＝∠C，则可判定△ABC为等腰三角形；
B、由∠A＝42°、∠B＝48°，利用三角形内角和定理，可求得∠C的度数，则可判定△ABC不是等腰三角形；
C、由∠A＝2∠B＝70°，利用三角形内角和定理，可求得∠C的度数，则可判定△ABC不是等腰三角形；
C、由AB＝4、BC＝5，周长为15，可求得第三边长AC的长，继而可判定△ABC不是等腰三角形．
【解答】解：A、∵∠A＝50°、∠B＝80°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝50°，
∴∠A＝∠C，
∴△ABC为等腰三角形；
故本选项能确定△ABC为等腰三角形；
B、∵∠A＝42°、∠B＝48°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝90°，
∴∠A≠∠B≠∠C，
∴△ABC不是等腰三角形；
故本选项能确定△ABC不是等腰三角形；
C、∵∠A＝2∠B＝70°，
∴∠B＝35°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝75°，
∴∠A≠∠B≠∠C，
∴△ABC不是等腰三角形；
故本选项能确定△ABC不是等腰三角形；
D、∵AB＝4、BC＝5，周长为15，
∴AC＝15﹣4﹣5＝6，
∴AB≠BC≠AC，
∴△ABC不是等腰三角形；
故本选项能确定△ABC不是等腰三角形．
故选：A．
【点评】此题考查了等腰三角形的判定以及三角形内角和定理．注意掌握等角对等边定理的应用．
9．（3分）若关于x的不等式组有且只有4个整数解，则a的取值范围是（ ）
A．2≤a≤4 B．2＜a≤4 C．2≤a＜4 D．2＜a＜4
【分析】表示出不等式组的解集，由解集恰好只有4个整数解，确定出a的范围即可．
【解答】解：由2x﹣a＜8，得：x＜，
由x﹣≥，得：x≥，
∵不等式组只有4个整数解，
∴5＜≤6，
解得2＜a≤4，
故选：B．
【点评】此题考查了一元一次不等式组的整数解，表示出不等式组的解集是解本题的关键．
10．（3分）如图，点O是▱ABCD的对角线的交点，OD＝AD，点E、F分别是OC、OD的中点，连接BE，过点F作FP∥BE交边AB于点P，连接PE，则下列结论中不一定正确的是（ ）
A．CD＝2AP B．PF⊥AC C．BE＝PF D．2∠BAC＝∠DAC
【分析】根据平行四边形的性质和直角三角形的性质解答即可．
【解答】解：如图，连接EF，
∵E、F分别是OC、OD的中点，
∴EF∥CD，EF＝CD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴PB∥EF，
又∵FP∥BE，
∴四边形BEFP为平行四边形，
∴CD＝2EF＝2BP＝2AP，故A正确，不符合题意；
在▱ABCD中，OB＝OD，BC＝AD，OD＝AD，
∴OB＝BC，
又∵E为OC中点，
∴BE⊥AC，
∴PF⊥AC，故B正确，不符合题意；
∵四边形BEFP为平行四边形，
∴BE＝PF，
故C正确，不符合题意；
只有当▱ABCD是矩形时，2∠BAC＝∠DAC，故结论错误，符合题意．
故选：D．
【点评】此题考查平行四边形的性质，三角形中位线定理，关键是根据平行四边形的对边相等且平行解答．
二、填空题（共8小题，每小题3分，计24分）
11．（3分）不等式5x﹣2＞3的解集为 x＞1 ．
【分析】移项、合并同类项、系数化为1即可．
【解答】解：移项，得：5x＞3+2，
合并同类项，得：5x＞5，
系数化为1，得：x＞1，
故答案为：x＞1．
【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
12．（3分）若n边形的每一个外角都是40°，则n的值为 9 ．
【分析】先判断出此多边形是正多边形，然后根据正多边形的边数等于360°除以每一个外角的度数计算即可得解．
【解答】解：∵n边形的每一个外角都是40°，
∴此n边形是正n边形，
n＝360°÷40°＝9，
故答案为：9．
【点评】本题考查了多边形的内角与外角，熟练掌握正多边形的边数、每一个外角的度数、外角和三者之间的关系是解题的关键．
13．（3分）当x ≠5 时，分式有意义．
【分析】根据分式的分母不为0列出不等式，解不等式即可．
【解答】解：由题意得：x﹣5≠0，
解得：x≠5，
故答案为：≠5．
【点评】本题考查的是分式有意义的条件，掌握分式的分母不为0是解题的关键．
14．（3分）如图，在△ABC中，AD⊥BC于D．下列条件：①BD＝CD，②∠B＝∠DAC，③∠B＝∠C，其中能使△ABC是等腰三角形的是 ①③ ．（写出所有满足题意条件的序号）
【分析】根据等腰三角形的判定，逐一判断即可解答．
【解答】解：∵AD⊥BC，BD＝CD，
∴AD是BC边的垂直平分线，
∴AB＝AC，
故①符合题意；
∵AD⊥BC，∠B＝∠DAC，
∴不能使△ABC是等腰三角形，
故②不符合题意；
∵∠B＝∠C，
∴AB＝AC，
故③符合题意；
所以，上列条件能使△ABC是等腰三角形的是①③，
故答案为：①③．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定是解题的关键．
15．（3分）已知ab＝4，a﹣b＝﹣5，则a3b﹣2a2b2+ab3的值为 100 ．
【分析】首先提取公因式ab，然后利用完全平方差公式分解因式，最后利用整体代值的思想即可解决问题．
【解答】解：a3b﹣2a2b2+ab3
＝ab（a﹣b）2，
当ab＝4，a﹣b＝﹣5时，原式＝4×（﹣5）2＝100．
故答案为100．
【点评】本题主要考查了因式分解的应用，也利用了整体代值的思想解决问题．
16．（3分）如图，△ABC是等边三角形，BC＝BD，∠BAD＝20°，则∠BCD的度数为 50° ．
【分析】由等边三角形的性质可得AB＝BC，∠ABC＝60°，由等腰三角形的性质可求∠ABD＝140°，可求解．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠ABC＝60°，
∵BC＝BD，
∴AB＝BD，
∴∠BAD＝∠ADB＝20°，
∴∠ABD＝140°，
∴∠CBD＝80°，
又∵BC＝BD，
∴∠BCD＝50°＝∠BDC，
故答案为：50°．
【点评】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
17．（3分）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转102°得到△ADE，点D恰好在BC的延长线上，连接DE，若BD＝BE，则∠EBD＝ 24 °．
【分析】由旋转的性质可得AB＝AD，∠BAD＝102°，∠ABC＝∠ADE，由等腰三角形的性质可得∠BDE＝∠BED＝78°，即可求解．
【解答】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转102°得到△ADE，
∴AB＝AD，∠BAD＝102°，∠ABC＝∠ADE，
∴∠ABD＝∠ADB＝39°，
∴∠ABD＝∠ADE＝39°，
∴∠BDE＝78°，
∵BD＝BE，
∴∠BDE＝∠BED＝78°，
∴∠EBD＝24°，
故答案为：24．
【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
18．（3分）如图，E、F是平行四边形ABCD的边AB、CD上的点，AF与DE相交于点P，BF与CE相交于点Q．若S△APD＝15cm2，S△BQC＝25cm2，则阴影部分的面积为 40 cm2．
【分析】作出辅助线EF，因为△ADF与△DEF同底等高，所以面积相等，所以阴影图形的面积可解．
【解答】解：如图，连接EF
∵△ADF与△DEF同底等高，
∴S△ADF＝S△DEF，
即S△ADF﹣S△DPF＝S△DEF﹣S△DPF，
即S△APD＝S△EPF＝15cm2，
同理可得S△BQC＝S△EFQ＝25cm2，
∴阴影部分的面积为S△EPF+S△EFQ＝15+25＝40cm2．
故答案为40．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，解答此题关键是作出辅助线，找出同底等高的三角形．
三、解答题（共7小题，计66分。解答应写出过程）
19．（7分）解方程：．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：x2﹣3（x﹣2）＝x（x﹣2），
解得：x＝6，
检验：把x＝6代入得：x（x﹣2）≠0，
∴分式方程的解为x＝6．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
20．（8分）因式分解：
（1）ax2﹣2axy+ay2；
（2）m2（x﹣2y）﹣n2（x﹣2y）．
【分析】（1）直接提取公因式a，再利用完全平方公式分解因式得出答案；
（2）直接提取公因式（x﹣2y），再利用平方差公式分解因式即可．
【解答】解：（1）原式＝a（x2﹣2xy+y2）
＝a（x﹣y）2；
（2）原式＝（x﹣2y）（m2﹣n2）
＝（x﹣2y）（m+n）（m﹣n）．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用乘法公式分解因式是解题关键．
21．（9分）如图，在▱ABCD中，BD为对角线．
（1）请用尺规作图法在CD上求作点E，使得DE＝BE（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）中所作的图中，连接BE，求证：BD平分∠ABE．
【分析】（1）作线段BD的垂直平分线交CD于点E；
（2）证明∠ABD＝∠EBD即可．
【解答】（1）解：如图，点E即为所求；
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，
∴∠CDB＝∠ABD，
∵ED＝EB，
∴∠EDB＝∠EBD，
∴∠ABD＝∠EBD，
∴BD平分∠ABE．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，平行四边形的性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
22．（10分）在如图所示的平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，△ABC的顶点坐标分别为A（1，1），B（3，0），C（2，3）．
（1）将△ABC向左平移4个单位长度得到△A1B1C1，点A、B、C的对应点分别为A1、B1、C1，请画出△A1B1C1，并写出点C1的坐标；
（2）以原点O为旋转中心，将△ABC顺时针旋转90°得到△A2B2C2，点A、B、C的对应点分别为A2、B2、C2，请画出△A2B2C2．
【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；
（2）利用旋转变换的性质分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2即可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求，点C1的坐标（﹣2，3）；
（2）如图，△A2B2C2即为所求．
【点评】本题考查作图﹣旋转变换，平移变换等知识，解题的关键是掌握旋转变换，平移变换的性质，属于中考常考题型．
23．（10分）如图，在▱ABCD中，∠ABC＝60°，∠BAD的平分线交CD于点E，交BC的延长线于点F，连接DF．
（1）求证：△ABF是等边三角形；
（2）过点F作FG⊥EC于G，若AD＝1，AB＝3，求CG的长．
【分析】（1）利用平行四边形的性质得∠BAD＝120°，再利用角平分线的定义得∠BAF＝60°，从而证明结论；
（2）首先可得CF＝2，再说明∠CFG＝30°，利用含30°角的直角三角形的性质可得答案．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAB+∠ABC＝180°，
∵∠ABC＝60°，
∴∠DAB＝120°，
∵AF平分∠DAB，
∴∠FAB＝60°，
∴∠FAB＝∠ABF＝60°，
∴∠FAB＝∠ABF＝∠AFB＝60°，
∴△ABF是等边三角形；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD＝1，由（1）知△ABF是等边三角形，
∴BF＝AB＝3，
∴CF＝BF﹣BC＝2，
∵AB∥CD，
∴∠DCF＝∠ABF＝60°，
∵FG⊥EC，
∴∠GFC＝30°，
在Rt△FGC中，∠GFC＝30°，CF＝2，
∴CG＝．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定，含30°角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握平行线和角平分线推出等腰三角形是解题的关键．
24．（10分）为进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举工作，某学校计划购买甲、乙两种品牌的奖品，在举行的运动会中用于表彰表现突出的学生．已知乙种品牌奖品的单价比甲种品牌奖品的单价的3倍少50元，用600元购买甲种品牌奖品的数量与用800元购买乙种品牌奖品的数量相同．
（1）求甲、乙两种品牌奖品的单价各是多少元？
（2）若该学校一次性购买甲、乙两种品牌的奖品共60个，且总费用不高于2000元，则最少要购买多少个甲种品牌奖品？
【分析】（1）设甲种品牌奖品单价是x元，可得：＝，解方程并检验可得甲种品牌奖品单价是30元，乙种品牌奖品单价是40元；
（2）设购买m个甲种品牌奖品，根据总费用不高于2000元，有30m+40（60﹣m）≤2000，即可解得最少要购买40个甲种品牌奖品．
【解答】解：（1）设甲种品牌奖品单价是x元，则乙种品牌奖品单价是（3x﹣50）元，
根据题意得：＝，
解得x＝30，
经检验，x＝30是原方程的解，也符合题意，
∴3x﹣50＝3×30﹣50＝40，
∴甲种品牌奖品单价是30元，乙种品牌奖品单价是40元；
（2）设购买m个甲种品牌奖品，则购买（60﹣m）个乙种品牌奖品，
∵总费用不高于2000元，
∴30m+40（60﹣m）≤2000，
解得m≥40，
答：最少要购买40个甲种品牌奖品．
【点评】本题考查分式方程和一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程和不等式．
25．（12分）如图，在▱ABCD中，∠ABC，∠BCD的平分线交于点F，E是边BC的中点，连接EF，AF，AF的延长线交边CD于点G，BF的延长线交CD的延长线于点H．
（1）∠BFC＝ 90 °；
（2）求证：BC＝CH；
（3）若EF＝5，AB＝6，求CG的长．
【分析】（1）由平行四边形的性质可得∠ABC+∠BCD＝180°，由角平分线的性质和三角形内角和定理可求解；
（2）由“ASA”可证△BCF≌△HCF，可得BC＝CH；
（3）由三角形中位线可得HC＝2EF＝10，由“ASA”可证△ABF≌△HGF，可得AB＝HG，即可求解．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD＝180°，
∵BF平分∠ABC，CF平分∠BCD，
∴∠FBC＝∠ABC，∠DCF＝∠BCF＝∠BCD，
∴∠FBC+∠BCF＝90°，
∴∠BFC＝90°，
故答案为90；
（2）在△BCF和△HCF中，
，
∴△BCF≌△HCF（ASA），
∴BC＝CH；
（3）∵△BCF≌△HCF，
∴BF＝FH，
又∵E是边BC的中点，
∴CH＝2EF＝10，
∵AB∥CD，
∴∠H＝∠ABF，
在△ABF和△GHF中，
，
∴△ABF≌△HGF（ASA），
∴AB＝HG＝6，
∴CG＝CH﹣GH＝4．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，三角形中位线定理，证△ABF≌△HGF是解题的关键．
陕西省渭南市蒲城县2021~2022学年八年级下学期期末
质量检测数学试题
一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分。每小题只有一个选项是符合题意的）
1．（3分）下列图案中，是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）若a＞b，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．2a＞3b B．﹣2a＞﹣2b C．a+1＞b+1 D．a﹣1＞b+1
3．（3分）多项式6xy+3x2y﹣4x2yz3各项的公因式是（ ）
A．xy B．2xz C．3xy D．3yz
4．（3分）如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（ ）
A．△ABC的三条中线的交点
B．△ABC三条角平分线的交点
C．△ABC三条高所在直线的交点
D．△ABC三边的中垂线的交点
5．（3分）化简÷﹣，正确结果是（ ）
A． B．x﹣y C．x+y D．2x﹣2y
6．（3分）如图，在△ABC中，点D、E、F分别是BC、AB、AC的中点，如果△ABC的周长为20，那么△DEF的周长是（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
7．（3分）“六一八”购物狂欢节来临之际，某电商平台为了扩大销量，决定打折促销，已知某款音响的进价为600元，标价为900元，要保持获利不低于5%，则该电商平台至多可以打（ ）销售．
A．九五折 B．八折 C．七五折 D．七折
8．（3分）下列能确定△ABC为等腰三角形的是（ ）
A．∠A＝50°、∠B＝80° B．∠A＝42°、∠B＝48°
C．∠A＝2∠B＝70° D．AB＝4、BC＝5，周长为15
9．（3分）若关于x的不等式组有且只有4个整数解，则a的取值范围是（ ）
A．2≤a≤4 B．2＜a≤4 C．2≤a＜4 D．2＜a＜4
10．（3分）如图，点O是▱ABCD的对角线的交点，OD＝AD，点E、F分别是OC、OD的中点，连接BE，过点F作FP∥BE交边AB于点P，连接PE，则下列结论中不一定正确的是（ ）
A．CD＝2AP B．PF⊥AC C．BE＝PF D．2∠BAC＝∠DAC
二、填空题（共8小题，每小题3分，计24分）
11．（3分）不等式5x﹣2＞3的解集为 ．
12．（3分）若n边形的每一个外角都是40°，则n的值为 ．
13．（3分）当x 时，分式有意义．
14．（3分）如图，在△ABC中，AD⊥BC于D．下列条件：①BD＝CD，②∠B＝∠DAC，③∠B＝∠C，其中能使△ABC是等腰三角形的是 ．（写出所有满足题意条件的序号）
15．（3分）已知ab＝4，a﹣b＝﹣5，则a3b﹣2a2b2+ab3的值为 ．
16．（3分）如图，△ABC是等边三角形，BC＝BD，∠BAD＝20°，则∠BCD的度数为 ．
17．（3分）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转102°得到△ADE，点D恰好在BC的延长线上，连接DE，若BD＝BE，则∠EBD＝ °．
18．（3分）如图，E、F是平行四边形ABCD的边AB、CD上的点，AF与DE相交于点P，BF与CE相交于点Q．若S△APD＝15cm2，S△BQC＝25cm2，则阴影部分的面积为 cm2．
三、解答题（共7小题，计66分。解答应写出过程）
19．（7分）解方程：．
20．（8分）因式分解：
（1）ax2﹣2axy+ay2；
（2）m2（x﹣2y）﹣n2（x﹣2y）．
21．（9分）如图，在▱ABCD中，BD为对角线．
（1）请用尺规作图法在CD上求作点E，使得DE＝BE（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）中所作的图中，连接BE，求证：BD平分∠ABE．
22．（10分）在如图所示的平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，△ABC的顶点坐标分别为A（1，1），B（3，0），C（2，3）．
（1）将△ABC向左平移4个单位长度得到△A1B1C1，点A、B、C的对应点分别为A1、B1、C1，请画出△A1B1C1，并写出点C1的坐标；
（2）以原点O为旋转中心，将△ABC顺时针旋转90°得到△A2B2C2，点A、B、C的对应点分别为A2、B2、C2，请画出△A2B2C2．
23．（10分）如图，在▱ABCD中，∠ABC＝60°，∠BAD的平分线交CD于点E，交BC的延长线于点F，连接DF．
（1）求证：△ABF是等边三角形；
（2）过点F作FG⊥EC于G，若AD＝1，AB＝3，求CG的长．
24．（10分）为进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举工作，某学校计划购买甲、乙两种品牌的奖品，在举行的运动会中用于表彰表现突出的学生．已知乙种品牌奖品的单价比甲种品牌奖品的单价的3倍少50元，用600元购买甲种品牌奖品的数量与用800元购买乙种品牌奖品的数量相同．
（1）求甲、乙两种品牌奖品的单价各是多少元？
（2）若该学校一次性购买甲、乙两种品牌的奖品共60个，且总费用不高于2000元，则最少要购买多少个甲种品牌奖品？
25．（12分）如图，在▱ABCD中，∠ABC，∠BCD的平分线交于点F，E是边BC的中点，连接EF，AF，AF的延长线交边CD于点G，BF的延长线交CD的延长线于点H．
（1）∠BFC＝ °；
（2）求证：BC＝CH；
（3）若EF＝5，AB＝6，求CG的长．
陕西省渭南市蒲城县2021~2022学年八年级下学期期末
质量检测数学试题参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分。每小题只有一个选项是符合题意的）
1．（3分）下列图案中，是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形的定义进行判断，即可得出答案．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
【解答】解：选项A、B、C均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形，
选项D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形，
故选：D．
【点评】此题主要考查了中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2．（3分）若a＞b，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．2a＞3b B．﹣2a＞﹣2b C．a+1＞b+1 D．a﹣1＞b+1
【分析】根据不等式的性质进行运算辨别即可．
【解答】解：∵a＞b，
由不等式的性质3，得﹣2a＜﹣2b，
由不等式的性质1，得a+1＞b+1，
而2a与3b，a﹣1与b+1不能进行比较，
故选C．
【点评】此题考查了不等式性质的应用能力，关键是能正确运用不等式的性质进行正确的变形．
3．（3分）多项式6xy+3x2y﹣4x2yz3各项的公因式是（ ）
A．xy B．2xz C．3xy D．3yz
【分析】根据公因式的定义可求解．
【解答】解：6xy+3x2y﹣4x2yz3＝xy（6+3x﹣4xz3），
故多项式6xy+3x2y﹣4x2yz3各项的公因式是xy．
故选：A．
【点评】本题主要考查公因式，掌握公因式的定义是解题的关键．
4．（3分）如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（ ）
A．△ABC的三条中线的交点
B．△ABC三条角平分线的交点
C．△ABC三条高所在直线的交点
D．△ABC三边的中垂线的交点
【分析】由于凉亭到草坪三条边的距离相等，所以根据角平分线上的点到边的距离相等，可知是△ABC三条角平分线的交点．由此即可确定凉亭位置．
【解答】解：∵凉亭到草坪三条边的距离相等，
∴凉亭选择△ABC三条角平分线的交点．
故选：B．
【点评】本题主要考查的是角平分线的性质在实际生活中的应用．主要利用了利用了角平分线上的点到角两边的距离相等．
5．（3分）化简÷﹣，正确结果是（ ）
A． B．x﹣y C．x+y D．2x﹣2y
【分析】原式先算除法，再算减法即可得到结果．
【解答】解：原式＝•﹣
＝﹣
＝
＝
＝x+y．
故选：C．
【点评】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
6．（3分）如图，在△ABC中，点D、E、F分别是BC、AB、AC的中点，如果△ABC的周长为20，那么△DEF的周长是（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
【分析】利用三角形的中位线定理可以得到：DE＝AC，EF＝BC，DF＝AB，则△DEF的周长是△ABC的周长的一半，据此即可求解．
【解答】解：∵D、E分别是△ABC的边BC、AB的中点，
∴DE＝AC，
同理 EF＝BC，DF＝AB，
∴C△DEF＝DE+EF+DF＝（AC+BC+AB）＝×20＝10．
故选：B．
【点评】本题考查了三角形的中位线定理，正确根据三角形中位线定理证得：△DEF的周长是△ABC的周长的一半是关键．
7．（3分）“六一八”购物狂欢节来临之际，某电商平台为了扩大销量，决定打折促销，已知某款音响的进价为600元，标价为900元，要保持获利不低于5%，则该电商平台至多可以打（ ）销售．
A．九五折 B．八折 C．七五折 D．七折
【分析】设该电商平台可以打x折销售，由获利不低于5%，列出不等式可求解．
【解答】解：设该电商平台可以打x折销售，
由题意可得：900×﹣600≥600×5%，
解得：x≥7，
∴该电商平台至多可以打七折，
故选：D．
【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，找出正确的不等关系是解题的关键．
8．（3分）下列能确定△ABC为等腰三角形的是（ ）
A．∠A＝50°、∠B＝80° B．∠A＝42°、∠B＝48°
C．∠A＝2∠B＝70° D．AB＝4、BC＝5，周长为15
【分析】A、由∠A＝50°、∠B＝80°，利用三角形内角和定理，可求得∠C的度数，继而可得∠A＝∠C，则可判定△ABC为等腰三角形；
B、由∠A＝42°、∠B＝48°，利用三角形内角和定理，可求得∠C的度数，则可判定△ABC不是等腰三角形；
C、由∠A＝2∠B＝70°，利用三角形内角和定理，可求得∠C的度数，则可判定△ABC不是等腰三角形；
C、由AB＝4、BC＝5，周长为15，可求得第三边长AC的长，继而可判定△ABC不是等腰三角形．
【解答】解：A、∵∠A＝50°、∠B＝80°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝50°，
∴∠A＝∠C，
∴△ABC为等腰三角形；
故本选项能确定△ABC为等腰三角形；
B、∵∠A＝42°、∠B＝48°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝90°，
∴∠A≠∠B≠∠C，
∴△ABC不是等腰三角形；
故本选项能确定△ABC不是等腰三角形；
C、∵∠A＝2∠B＝70°，
∴∠B＝35°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝75°，
∴∠A≠∠B≠∠C，
∴△ABC不是等腰三角形；
故本选项能确定△ABC不是等腰三角形；
D、∵AB＝4、BC＝5，周长为15，
∴AC＝15﹣4﹣5＝6，
∴AB≠BC≠AC，
∴△ABC不是等腰三角形；
故本选项能确定△ABC不是等腰三角形．
故选：A．
【点评】此题考查了等腰三角形的判定以及三角形内角和定理．注意掌握等角对等边定理的应用．
9．（3分）若关于x的不等式组有且只有4个整数解，则a的取值范围是（ ）
A．2≤a≤4 B．2＜a≤4 C．2≤a＜4 D．2＜a＜4
【分析】表示出不等式组的解集，由解集恰好只有4个整数解，确定出a的范围即可．
【解答】解：由2x﹣a＜8，得：x＜，
由x﹣≥，得：x≥，
∵不等式组只有4个整数解，
∴5＜≤6，
解得2＜a≤4，
故选：B．
【点评】此题考查了一元一次不等式组的整数解，表示出不等式组的解集是解本题的关键．
10．（3分）如图，点O是▱ABCD的对角线的交点，OD＝AD，点E、F分别是OC、OD的中点，连接BE，过点F作FP∥BE交边AB于点P，连接PE，则下列结论中不一定正确的是（ ）
A．CD＝2AP B．PF⊥AC C．BE＝PF D．2∠BAC＝∠DAC
【分析】根据平行四边形的性质和直角三角形的性质解答即可．
【解答】解：如图，连接EF，
∵E、F分别是OC、OD的中点，
∴EF∥CD，EF＝CD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴PB∥EF，
又∵FP∥BE，
∴四边形BEFP为平行四边形，
∴CD＝2EF＝2BP＝2AP，故A正确，不符合题意；
在▱ABCD中，OB＝OD，BC＝AD，OD＝AD，
∴OB＝BC，
又∵E为OC中点，
∴BE⊥AC，
∴PF⊥AC，故B正确，不符合题意；
∵四边形BEFP为平行四边形，
∴BE＝PF，
故C正确，不符合题意；
只有当▱ABCD是矩形时，2∠BAC＝∠DAC，故结论错误，符合题意．
故选：D．
【点评】此题考查平行四边形的性质，三角形中位线定理，关键是根据平行四边形的对边相等且平行解答．
二、填空题（共8小题，每小题3分，计24分）
11．（3分）不等式5x﹣2＞3的解集为 x＞1 ．
【分析】移项、合并同类项、系数化为1即可．
【解答】解：移项，得：5x＞3+2，
合并同类项，得：5x＞5，
系数化为1，得：x＞1，
故答案为：x＞1．
【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
12．（3分）若n边形的每一个外角都是40°，则n的值为 9 ．
【分析】先判断出此多边形是正多边形，然后根据正多边形的边数等于360°除以每一个外角的度数计算即可得解．
【解答】解：∵n边形的每一个外角都是40°，
∴此n边形是正n边形，
n＝360°÷40°＝9，
故答案为：9．
【点评】本题考查了多边形的内角与外角，熟练掌握正多边形的边数、每一个外角的度数、外角和三者之间的关系是解题的关键．
13．（3分）当x ≠5 时，分式有意义．
【分析】根据分式的分母不为0列出不等式，解不等式即可．
【解答】解：由题意得：x﹣5≠0，
解得：x≠5，
故答案为：≠5．
【点评】本题考查的是分式有意义的条件，掌握分式的分母不为0是解题的关键．
14．（3分）如图，在△ABC中，AD⊥BC于D．下列条件：①BD＝CD，②∠B＝∠DAC，③∠B＝∠C，其中能使△ABC是等腰三角形的是 ①③ ．（写出所有满足题意条件的序号）
【分析】根据等腰三角形的判定，逐一判断即可解答．
【解答】解：∵AD⊥BC，BD＝CD，
∴AD是BC边的垂直平分线，
∴AB＝AC，
故①符合题意；
∵AD⊥BC，∠B＝∠DAC，
∴不能使△ABC是等腰三角形，
故②不符合题意；
∵∠B＝∠C，
∴AB＝AC，
故③符合题意；
所以，上列条件能使△ABC是等腰三角形的是①③，
故答案为：①③．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定是解题的关键．
15．（3分）已知ab＝4，a﹣b＝﹣5，则a3b﹣2a2b2+ab3的值为 100 ．
【分析】首先提取公因式ab，然后利用完全平方差公式分解因式，最后利用整体代值的思想即可解决问题．
【解答】解：a3b﹣2a2b2+ab3
＝ab（a﹣b）2，
当ab＝4，a﹣b＝﹣5时，原式＝4×（﹣5）2＝100．
故答案为100．
【点评】本题主要考查了因式分解的应用，也利用了整体代值的思想解决问题．
16．（3分）如图，△ABC是等边三角形，BC＝BD，∠BAD＝20°，则∠BCD的度数为 50° ．
【分析】由等边三角形的性质可得AB＝BC，∠ABC＝60°，由等腰三角形的性质可求∠ABD＝140°，可求解．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠ABC＝60°，
∵BC＝BD，
∴AB＝BD，
∴∠BAD＝∠ADB＝20°，
∴∠ABD＝140°，
∴∠CBD＝80°，
又∵BC＝BD，
∴∠BCD＝50°＝∠BDC，
故答案为：50°．
【点评】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
17．（3分）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转102°得到△ADE，点D恰好在BC的延长线上，连接DE，若BD＝BE，则∠EBD＝ 24 °．
【分析】由旋转的性质可得AB＝AD，∠BAD＝102°，∠ABC＝∠ADE，由等腰三角形的性质可得∠BDE＝∠BED＝78°，即可求解．
【解答】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转102°得到△ADE，
∴AB＝AD，∠BAD＝102°，∠ABC＝∠ADE，
∴∠ABD＝∠ADB＝39°，
∴∠ABD＝∠ADE＝39°，
∴∠BDE＝78°，
∵BD＝BE，
∴∠BDE＝∠BED＝78°，
∴∠EBD＝24°，
故答案为：24．
【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
18．（3分）如图，E、F是平行四边形ABCD的边AB、CD上的点，AF与DE相交于点P，BF与CE相交于点Q．若S△APD＝15cm2，S△BQC＝25cm2，则阴影部分的面积为 40 cm2．
【分析】作出辅助线EF，因为△ADF与△DEF同底等高，所以面积相等，所以阴影图形的面积可解．
【解答】解：如图，连接EF
∵△ADF与△DEF同底等高，
∴S△ADF＝S△DEF，
即S△ADF﹣S△DPF＝S△DEF﹣S△DPF，
即S△APD＝S△EPF＝15cm2，
同理可得S△BQC＝S△EFQ＝25cm2，
∴阴影部分的面积为S△EPF+S△EFQ＝15+25＝40cm2．
故答案为40．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，解答此题关键是作出辅助线，找出同底等高的三角形．
三、解答题（共7小题，计66分。解答应写出过程）
19．（7分）解方程：．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：x2﹣3（x﹣2）＝x（x﹣2），
解得：x＝6，
检验：把x＝6代入得：x（x﹣2）≠0，
∴分式方程的解为x＝6．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
20．（8分）因式分解：
（1）ax2﹣2axy+ay2；
（2）m2（x﹣2y）﹣n2（x﹣2y）．
【分析】（1）直接提取公因式a，再利用完全平方公式分解因式得出答案；
（2）直接提取公因式（x﹣2y），再利用平方差公式分解因式即可．
【解答】解：（1）原式＝a（x2﹣2xy+y2）
＝a（x﹣y）2；
（2）原式＝（x﹣2y）（m2﹣n2）
＝（x﹣2y）（m+n）（m﹣n）．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用乘法公式分解因式是解题关键．
21．（9分）如图，在▱ABCD中，BD为对角线．
（1）请用尺规作图法在CD上求作点E，使得DE＝BE（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）中所作的图中，连接BE，求证：BD平分∠ABE．
【分析】（1）作线段BD的垂直平分线交CD于点E；
（2）证明∠ABD＝∠EBD即可．
【解答】（1）解：如图，点E即为所求；
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，
∴∠CDB＝∠ABD，
∵ED＝EB，
∴∠EDB＝∠EBD，
∴∠ABD＝∠EBD，
∴BD平分∠ABE．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，平行四边形的性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
22．（10分）在如图所示的平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，△ABC的顶点坐标分别为A（1，1），B（3，0），C（2，3）．
（1）将△ABC向左平移4个单位长度得到△A1B1C1，点A、B、C的对应点分别为A1、B1、C1，请画出△A1B1C1，并写出点C1的坐标；
（2）以原点O为旋转中心，将△ABC顺时针旋转90°得到△A2B2C2，点A、B、C的对应点分别为A2、B2、C2，请画出△A2B2C2．
【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；
（2）利用旋转变换的性质分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2即可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求，点C1的坐标（﹣2，3）；
（2）如图，△A2B2C2即为所求．
【点评】本题考查作图﹣旋转变换，平移变换等知识，解题的关键是掌握旋转变换，平移变换的性质，属于中考常考题型．
23．（10分）如图，在▱ABCD中，∠ABC＝60°，∠BAD的平分线交CD于点E，交BC的延长线于点F，连接DF．
（1）求证：△ABF是等边三角形；
（2）过点F作FG⊥EC于G，若AD＝1，AB＝3，求CG的长．
【分析】（1）利用平行四边形的性质得∠BAD＝120°，再利用角平分线的定义得∠BAF＝60°，从而证明结论；
（2）首先可得CF＝2，再说明∠CFG＝30°，利用含30°角的直角三角形的性质可得答案．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAB+∠ABC＝180°，
∵∠ABC＝60°，
∴∠DAB＝120°，
∵AF平分∠DAB，
∴∠FAB＝60°，
∴∠FAB＝∠ABF＝60°，
∴∠FAB＝∠ABF＝∠AFB＝60°，
∴△ABF是等边三角形；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD＝1，由（1）知△ABF是等边三角形，
∴BF＝AB＝3，
∴CF＝BF﹣BC＝2，
∵AB∥CD，
∴∠DCF＝∠ABF＝60°，
∵FG⊥EC，
∴∠GFC＝30°，
在Rt△FGC中，∠GFC＝30°，CF＝2，
∴CG＝．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定，含30°角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握平行线和角平分线推出等腰三角形是解题的关键．
24．（10分）为进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举工作，某学校计划购买甲、乙两种品牌的奖品，在举行的运动会中用于表彰表现突出的学生．已知乙种品牌奖品的单价比甲种品牌奖品的单价的3倍少50元，用600元购买甲种品牌奖品的数量与用800元购买乙种品牌奖品的数量相同．
（1）求甲、乙两种品牌奖品的单价各是多少元？
（2）若该学校一次性购买甲、乙两种品牌的奖品共60个，且总费用不高于2000元，则最少要购买多少个甲种品牌奖品？
【分析】（1）设甲种品牌奖品单价是x元，可得：＝，解方程并检验可得甲种品牌奖品单价是30元，乙种品牌奖品单价是40元；
（2）设购买m个甲种品牌奖品，根据总费用不高于2000元，有30m+40（60﹣m）≤2000，即可解得最少要购买40个甲种品牌奖品．
【解答】解：（1）设甲种品牌奖品单价是x元，则乙种品牌奖品单价是（3x﹣50）元，
根据题意得：＝，
解得x＝30，
经检验，x＝30是原方程的解，也符合题意，
∴3x﹣50＝3×30﹣50＝40，
∴甲种品牌奖品单价是30元，乙种品牌奖品单价是40元；
（2）设购买m个甲种品牌奖品，则购买（60﹣m）个乙种品牌奖品，
∵总费用不高于2000元，
∴30m+40（60﹣m）≤2000，
解得m≥40，
答：最少要购买40个甲种品牌奖品．
【点评】本题考查分式方程和一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程和不等式．
25．（12分）如图，在▱ABCD中，∠ABC，∠BCD的平分线交于点F，E是边BC的中点，连接EF，AF，AF的延长线交边CD于点G，BF的延长线交CD的延长线于点H．
（1）∠BFC＝ 90 °；
（2）求证：BC＝CH；
（3）若EF＝5，AB＝6，求CG的长．
【分析】（1）由平行四边形的性质可得∠ABC+∠BCD＝180°，由角平分线的性质和三角形内角和定理可求解；
（2）由“ASA”可证△BCF≌△HCF，可得BC＝CH；
（3）由三角形中位线可得HC＝2EF＝10，由“ASA”可证△ABF≌△HGF，可得AB＝HG，即可求解．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD＝180°，
∵BF平分∠ABC，CF平分∠BCD，
∴∠FBC＝∠ABC，∠DCF＝∠BCF＝∠BCD，
∴∠FBC+∠BCF＝90°，
∴∠BFC＝90°，
故答案为90；
（2）在△BCF和△HCF中，
，
∴△BCF≌△HCF（ASA），
∴BC＝CH；
（3）∵△BCF≌△HCF，
∴BF＝FH，
又∵E是边BC的中点，
∴CH＝2EF＝10，
∵AB∥CD，
∴∠H＝∠ABF，
在△ABF和△GHF中，
，
∴△ABF≌△HGF（ASA），
∴AB＝HG＝6，
∴CG＝CH﹣GH＝4．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，三角形中位线定理，证△ABF≌△HGF是解题的关键．
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