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高中人教版 (2019)4 生活中的圆周运动学案
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这是一份高中人教版 (2019)4 生活中的圆周运动学案，共26页。学案主要包含了学习目标，课堂合作探究，课堂检测，达标训练等内容，欢迎下载使用。
《6.4 生活中的圆周运动》学案
【学习目标】
1.会分析火车转弯、汽车过拱形桥等实际运动问题中向心力的来源，能解决生活中的圆周运动问题.
2.了解航天器中的失重现象及原因.
3.了解离心运动及物体做离心运动的条件，知道离心运动的应用及危害
【课堂合作探究】
新课引入：
问题1：同学们，你们了解有关高铁技术的一些参数么？观察下表，试找出高铁时速与最小曲线半径的规律？
问题2：在铁路弯道处，内、外轨道的高度一样吗？
一、 火车转弯
观察火车轮缘结构
问题:1：正常行驶时，火车轨道的内外轨是一样高的。如果在火车转弯时，火车在这样的轨道上行驶会发生什么？
问题2：如果外轨略高于内轨，情况又如何呢？
我们如何计算这种情况下的向心力呢？
1.火车转弯的临界速度的推导
我们先假设火车某次过倾角为θ的弯道时，火车与轨道之间没有挤压，求此时的速度v0：
火车转弯的向心力由重力与轨道对火车的支持力提供：
根据向心力公式：
θ比较小时
因此可以解得：
2.火车转弯时速度和轮缘与轨道之间的相互作用
由以上分析可以看到，根据弯道半径和规定的行驶速度，选择合适的内外轨的高度差h ,可以使火车转弯时所需向心力几乎完全由重力和支持力的合力提供。
（1） 如果火车行驶速度v=v0：
（2） 如果火车行驶速度v>v0
（3） 如果火车行驶速度v
例1.火车转弯可近似看成是做匀速圆周运动。当火车以规定速度行驶时，内外轨道均不受侧向挤压。现要降低火车转弯时的规定速度，须对铁路进行改造，从理论上讲以下措施可行的是( )
A．减小内外轨的高度差
B．增加内外轨的高度差
C．减小弯道半径
D．增大弯道半径
二、汽车过拱形桥和凹形桥
1.汽车过拱形桥
质量为m的汽车在拱形桥上以速度v行驶，若桥面的圆弧半径为R，试画出受力分析图，分析汽车通过桥的最高点时对桥的压力．
由牛顿第三定律得，汽车通过桥的最高点时对桥的压力：
2.汽车过凹形桥
下面自己分析汽车通过凹形桥最低点时，汽车对桥的压力比汽车的重力大些还是小些?
由牛顿第三定律得，汽车通过桥的最高点时对桥的压力
例2.有一辆质量为800千克的小汽车驶上圆弧半径为50米的拱桥。
（1）汽车到达桥顶的速度为5米/秒，汽车对桥的压力多大?
（2）汽车以多大速度经过桥顶时恰好腾空，对桥没有压力？
（3）对于同样的车速，拱形圆弧的半径大些比较安全，还是小些比较安全？
（4）如果拱形桥的半径增大到与地球半径R一样，汽车要在桥面上腾空，速度要多大？
二、 航天器中的失重现象
问题1.地球可以看做一个巨大的拱形桥，桥面的半径就是地球的半径.会不会出现这样的情况：速度大到一定程度时，地面对车的支持力是零？这时驾驶员与座椅之间的压力是多少？……
该“问题探究”中描述的情景其实已经实现，不过不是在汽车上，而是在航天飞机中．
问题2：航天器在发射升空（加速上升）时，航天员处在超重还是失重状态？
问题3；航天器在轨道正常运行（绕地球做匀速圆周运动）时，航天员处在超重还是失重状态？
问题4：有人把航天器失重的原因说成是它离地球太远，从而摆脱了地球引力，这种说法对吗？
问题5：当 时，座舱对航天员的支持力为多少？
四、离心运动
如果旋转桌子的速度较小，物品能随着桌子一起转动；如果速度变大，物体将会“飞出去”，这是什么原因呢？
将生活中的场景，抽象为物理模型
静摩擦力提供了向心力，如果最大静摩擦力等于滑动摩擦力
1. 定义：做匀速圆周运动的物体，在所受合力突然消失，或者不足以提供圆周运动所需的向心力时，做逐渐远离圆心的运动，这种运动叫做
2. 条件：
3. 离心运动的应用
要使原来作匀速圆周运动的物体作离心运动，该怎么办？
4. 离心运动的防止
在水平公路上行驶的汽车，转弯时所需的向心力是由车轮与路面的静摩擦力提供的.如果转弯时速度过大，所需向心力Fn大于最大静摩擦力Fmax （Fmax不足以提供向心力），汽车将做离心运动而造成交通事故.因此，在公路弯道处，车辆行驶不允许超过规定的速度.
要防止离心现象发生，该怎么办？
例3.有一辆质量为2000千克的汽车在水平公路上行驶，轮胎与路面间的最大静摩擦力为14000牛顿。汽车经过半径为50米的弯路时，如果车速达到72千米/小时，这辆车会不会发生侧滑？
四、竖直面内圆周运动的临界问题
“水流星”是我国传统的杂技节目，演员将盛水的容器用绳子拴住，在空中如流星般快速舞动，同时表演高难度的动作。你知道水为什么洒出来吗？
竖直平面内的圆周运动，一般情况下是变速圆周运动，物体能否通过最高点是有条件的。
1.轻绳（或内轨道）——小球组成无支撑的物理模型（称为“轻绳模型”）
注：“轻绳”只能对小球产生拉力，不能产生支持力。（内轨道约束类似）
假设质量为m的小球达到最高点时的速度为v,受到绳子的拉力为T，则根据牛顿第二定律，可以得出
当T=0时，小球再做高点的速度为最小，即：
（1） 小球恰好能达到最高点的临界条件是：
（2）小球恰好能通过最高点的条件是 ： ， 当 绳子有拉力（轨道对球有压力）。
（3）当 ，小球还未达到最高点就离开轨道。
2.轻杆（或管道）——小球组成有支撑的物理模型（称为“轻杆模型”）
注：“轻杆”既能对小球产生拉力，也能产生支持力。（管道约束类似）
球过最高点时，设轻杆对小球产生的弹力FN方向向上。
由牛顿第二定律得：
由此可知：
（1）小球恰好能达到最高点的临界条件是： ， 故而V0>0就可以通过最高点。
（2） 当 ，FN为支持力，方向竖直向上，且随着速度增大而减小。
（3）当 ，FN=0
（4） 当 ，FN为拉力，方向竖直向下，且随着速度增大而增大。
例4.如图所示，一个小球沿竖直固定的光滑圆形轨道的内侧做圆周运动，圆形轨道的半径为R，小球可看作质点，则关于小球的运动情况，下列说法正确的是（ ）
A. 小球的线速度方向时刻在变化，但总在圆周切线方向上
B. 小球通过最高点的速度可以等于0
C. 小球线速度的大小可以小于
D. 小球线速度的大小总大于或等于
例5.(多选)(2017·常州中学)如图所示，小球在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，内侧壁半径为R，小球半径为r，则下列说法中正确的是( )
A. 小球通过最高点时的最小速度vmin＝
B. 小球通过最高点时的最小速度vmin＝0
C. 小球在水平线ab以下的管道中运动时，内侧管壁对小球一定无作用力
D. 小球在水平线ab以上的管道中运动时，外侧管壁对小球一定有作用力
【课堂检测】
1、铁路在弯道处的内外轨道高度是不同的，已知内外轨道平面与水平面的夹角为θ，如图5所示，弯道处的圆弧半径为R，若质量为m的火车转弯时速度等于，则( )
A．内轨对内侧车轮轮缘有挤压
B．外轨对外侧车轮轮缘有挤压
C．这时铁轨对火车的支持力等于mg/cos θ
D．这时铁轨对火车的支持力大mg/cos θ
2、如图所示，汽车在炎热的夏天沿不平的曲面行驶，其中最容易发生爆胎的点是(假定汽车运动速率va＝vc，vb＝vd)( )
A．a点 B．b点 C．c点 D．d点
3、一个质量为m的物体(体积可忽略)，在半径为R的光滑半球顶点处以水平速度v0运动，如图所示，重力加速度为g，则下列说法正确的是( )
A．若v0＝，则物体对半球顶点无压力
B．若v0＝，则物体对半球顶点的压力为mg
C．若v0＝0，则物体对半球顶点的压力为mg
D．若v0＝0，则物体对半球顶点的压力为零
4、如图所示，在匀速转动的洗衣机脱水筒内壁上，有一件湿衣服随圆筒一起转动而未滑动，则( )
A．衣服随脱水筒做圆周运动的向心力由衣服的重力提供
B．水会从脱水筒甩出是因为水滴受到的向心力很大
C．加快脱水筒转动角速度，衣服对筒壁的压力增大
D．加快脱水筒转动角速度，脱水效果会更好
5、某人为了测定一个凹形桥的半径，在乘汽车通过凹桥最低点时，他注意到车上的速度计示数为72km/h，悬挂1kg钩码的弹簧秤的示数为11.8N，则桥的半径为多大?（g取9.8m/s2）
【达标训练】
一、单选题
1. 关于如图a、图b、图c、图d所示的四种圆周运动模型，下列说法不正确 的是( )
A. 图a圆形桥半径R，若最高点车速为gR时，车对桥面的压力为零，车将做平抛运动
B. 图b中，在固定圆锥筒(内壁光滑)内做匀速圆周运动的小球，受重力、弹力和向心力
C. 图c中，仅在重力和轻绳拉力作用下，绕另一固定端0在竖直面内做圆周运动的小球，最容易拉断轻绳的位置一定是最低点
D. 图d中，火车以大于规定速度经过外轨高于内轨的弯道时，外轨对火车有侧压力，火车易脱轨做离心运动
2. 有关圆周运动的基本模型，下列说法正确的是( )
A. 如图甲，汽车通过凹形桥的最低点处于失重状态
B. 如图乙，小球固定在杆的一端，在竖直面内绕杆的另一端做圆周运动，小球的过最高点的速度至少等于gR
C. 如图丙，用相同材料做成的A、B两个物体放在匀速转动的水平转台上随转台一起做匀速圆周运动，mB=2mA，rA=2rB，转台转速缓慢加快时，物体A最先开始滑动
D. 如图丁，火车转弯超过规定速度行驶时，内轨对外轮缘会有挤压作用
3. 如图所示，下列有关生活中的圆周运动实例分析，其中说法正确的是( )
A. 汽车通过凹形桥的最低点时，汽车处于失重状态
B. 在铁路的转弯处，通常要求外轨比内轨高，目的是利用轮缘与外轨的侧压力助火车转弯
C. 杂技演员在表演“水流星”节目时，盛水的杯子通过最高点而水不流出，水对杯底压力可以为零
D. 脱水桶的脱水原理是水滴受到的离心力大于它受到的向心力，从而沿切线方向甩出
4. 汽车正在圆环形赛道上水平转弯，图示为赛道的剖面图。赛道路面倾角为θ，汽车质量为m，转弯时恰好没有受到侧向摩擦力。若汽车再次通过该位置时速度变为原来的二倍，则以下说法正确的是( )
A. 汽车受到沿路面向下的侧向摩擦力，大小为3mgsinθ
B. 汽车受到沿路面向上的侧向摩擦力，大小为mgsinθ
C. 无侧向摩擦力时，路面对汽车的支持力大小为mgcosθ
D. 速度变为原来的二倍后，路面对汽车的支持力大小为mg/cosθ
5. 如图所示的四幅图表示的是有关圆周运动的基本模型，下列说法正确的是：
A. 如图a，汽车通过拱桥的最高点时处于失重状态
B. 图b所示是一圆锥摆，增大θ，但保持圆锥的高度不变，则圆锥摆的角速度减小
C. 如图c，同一小球在光滑而固定的圆锥筒内的A、B位置先后做匀速圆周运动，则在A、B两位置小球的角速度及所受筒壁的支持力大小均相等
D. 如图d，火车转弯超过规定速度行驶时，内轨对内轮缘会有挤压作用
6. 以下是我们所研究有关圆周运动的基本模型，如图所示，下列说法正确的是( )
A. 如图甲，火车转弯小于规定速度行驶时，外轨对轮缘会有挤压作用
B. 如图乙，汽车通过拱桥的最高点时受到的支持力大于重力
C. 如图丙，两个圆锥摆摆线与竖直方向夹角θ不同，但圆锥高相同，则两圆锥摆的线速度大小不相等
D. 如图丁，同一小球在光滑而固定的圆锥筒内的A、B位置先后分别做匀速圆周运动，则在A、B两位置小球所受筒壁的支持力大小不相等
7. 如图所示的四幅图表示的是有关圆周运动的基本模型，下列说法正确的是：( )
A. 如图a，汽车通过拱桥的最高点时处于失重状态
B. 图b所示是一圆锥摆，增大θ，但保持圆锥的高度不变，则圆锥摆的角速度减小
C. 如图c，同一小球在光滑而固定的圆锥筒内的A、B位置先后做匀速圆周运动，则在A、B两位置小球的角速度及所受筒壁的支持力大小均相等
D. 如图d，火车转弯超过规定速度行驶时，内轨对内轮缘会有挤压作用
8. 火车以半径r=900m转弯，火车质量为8×105kg，轨道宽为l=1.4m，外轨比内轨高ℎ=14cm，则下列说法中正确的是( )(当角度很小时，可以认为其正弦值近似等于正切值，重力加速度g取10m/s2)
A. 若火车在该弯道实际运行速度为40m/s，外轨对车轮有向内的侧压力
B. 若火车在该弯道实际运行速度为30m/s，内轨对车轮有向外的侧压力
C. 若火车在该弯道实际运行速度为30m/s，外轨对车轮有向内的侧压力
D. 若火车在该弯道实际运行速度为25m/s，外轨对车轮有向内的侧压力
9. 甲图是质量为m的小球，在竖直平面内绕O点做半径为R的圆周运动(OA为细绳).乙图是质量为m的小球，在竖直平面内绕O点做半径为R的圆周运动(OB为轻质杆).丙图是质量为m的小球，在半径为R的竖直光滑圆轨道内侧做圆周运动．丁图是质量为m的小球在竖直放置的半径为R的光滑圆形管道内做圆周运动．则下列说法正确的是( )
A. 四个图中，小球通过最高点的最小速度都是ν=gR
B. 四个图中，小球通过最高点的最小速度都是0
C. 在丁图中，小球在水平线ab以下管道中运动时，外侧管壁对小球一定有作用力
D. 在丁图中，小球在水平线ab以上管道中运动时，内侧管壁对小球一定有作用力
10. 如下图所示．质量为m的小球固定在杆的一端，在竖直面内绕杆的另一端O做圆周运动．当小球运动到最高点时，瞬时速度大小为ν=12gL，L是球心到O点的距离，则球对杆的作用力是( )
A. 12mg的拉力
B. 12mg的压力
C. 零
D. 32mg的压力
11. 杂技演员表演“水流星”，在长为1.6m的细绳的一端，系一个与水的总质量为m=0.5kg的大小不计的盛水容器，以绳的另一端为圆心，在竖直平面内做圆周运动，如下图所示，若“水流星”通过最高点时的速率为4m/s，则下列说法正确的是(g取10m/s2)
A. “水流星”通过最高点时，有水从容器中流出
B. “水流星”通过最高点时，绳的张力及容器底部受到的压力均为零
C. “水流星”通过最高点时，处于完全失重状态，不受力的作用
D. “水流是”通过最高点时，绳子的拉力大小为5N
12. 如图所示，半径为R的半球形容器固定在水平转台上，转台绕过容器球心O的竖直轴线以角速度ω匀速转动。质量不同的小物块A、B随容器转动且相对器壁静止，A、B和球心O点连线与竖直方向的夹角分别为α和β，α>β.。则
A. A的质量一定小于B的质量
B. A、B受到的摩擦力可能同时为零
C. 若A不受摩擦力，则B受沿容器壁向上的摩擦力
D. 若ω增大，A、B受到的摩擦力可能都增大
13. 中央电视台《今日说法》栏目曾报道过一起离奇交通事故。家住公路拐弯处的张先生和李先生在三个月内连续遭遇了七次大卡车侧翻在自家门口的场面，第八次有辆卡车冲撞进李先生家，造成三死一伤和房屋严重损毁的血腥惨案。经公安部门和交通部门协力调查，画出的现场示意图如图所示。交警根据图示做出以下判断：
①由图可知卡车在拐弯时发生侧翻是因为车做离心运动
②由图可知卡车在拐弯时发生侧翻是因为车做向心运动
③公路在设计上最有可能内高外低
④公路在设计上最有可能外高内低
你认为正确的是( )
A. ①③ B. ②④ C. ①④ D. ②③
14. 如图所示，固定在水平地面上的圆锥体，顶端用轻绳系有一小球(视为质点)，悬点到小球的距离为1.5m。现给小球一初速度，使小球恰好能在圆锥体侧面做匀速圆周运动。已知圆锥体母线与水平面的夹角为37°，取sin37°=0.6，cos37°=0.8，重力加速度大小g=10m/s2 ，不计空气阻力。则小球做匀速圆周运动的线速度大小为( )
A. 2m/s B. 4m/s C. 5m/s D. 6m/s
15. 质量为m的小球由不能伸长的轻绳a和b分别系于一轻质细杆的A点和B点，如图所示，当绳a与水平方向成θ角时，绳b恰处于伸直状态且水平，此时绳b的长度为l。当轻杆绕轴AB以不同的角速度ω匀速转动时，小球在水平面内做匀速圆周运动，重力加速度为g，则下列说法正确的是( )
A. a绳与水平方向的夹角θ随角速度ω的增大而一直减小
B. a绳的张力随角速度ω的增大而一直增大
C. 当角速度ω
二、计算题
16. 如图所示，长为L的绳子(质量不计)下端连着质量为m的小球，上端悬于天花板上，当把绳子恰好拉直时，绳子与竖直线的夹角θ=60°，此时小球静止于光滑的水平桌面上．
(1)当球以ω1=gL做圆锥摆运动时，绳子张力T1为多大？桌面受到的压力N1为多大？
(2)当球以角速度ω2=4gL做圆锥摆运动时，绳子的张力T2及桌面受到的压力N2分别为多少？
17. 动画片《熊出没》中有这样一个情节：某天熊大和熊二中了光头强设计的陷阱，被挂在了树上(如图甲)，聪明的熊大想出了一个办法，让自己和熊二荡起来使绳断裂从而得救，其过程可简化如图乙所示，设悬点为O，离地高度为2 L，两熊可视为质点且总质量为m，绳长为L2且保持不变，绳子能承受的最大张力为3 mg，不计一切阻力，重力加速度为g，求：
(1)设熊大和熊二刚好在向右摆到最低点时绳子刚好断裂，则他们的落地点离O点的水平距离为多少；
(2)改变绳长，且两熊仍然在向右到最低点绳子刚好断裂，则绳长为多长时，他们的落地点离O点的水平距离最大，最大为多少；
(3)若绳长改为L，两熊在水平面内做圆锥摆运动，如图丙，且两熊做圆锥摆运动时绳子刚好断裂，则他们落地点离O点的水平距离为多少。
18. 如图所示，水平转台上有一个质量为m的物块，用长为l的轻质细绳将物块连接在转轴上，细绳与竖直转轴的夹角θ=30°，此时细绳伸直但无张力，物块与转台间的动摩擦因数为μ=13，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，物块随转台由静止开始缓慢加速转动，重力加速度为g，则
(1)当水平转盘以角速度ω1匀速转动时，绳上恰好有张力，求ω1的值；
(2)当水平转盘以角速度ω2=g2l匀速转动时，求物体所受的摩擦力大小；
(3)当水平转盘以角速度ω3=2gl匀速转动时，求细绳拉力大小．
参考答案
【课堂合作探究】1.A 2.（1）7600N (2)22.4米/秒 （3）半径越大越安全 （4）8000米/秒 3.会发生侧滑 4.AD 5.BC
【课堂检测】
1、 C 2、D 3、AC 4、CD 5、200米
【达标训练】
1.B【解析】A.图a中，在最高点，汽车受重力及桥面的支持力，若由重力提供向心力，则有：mg=mv2R，解得v=gR，故此时车对桥面的压力为零，车将做平抛运动，故A正确；B.由于向心力是球所受的几个力的合力，是效果力，故对球受力分析可知，图b中，在固定圆锥筒(内壁光滑)内做匀速圆周运动的小球，只受重力、弹力，故 B错误；
C.图c中，球在最低点，其向心力竖直向上，由牛顿第二定律可得：F−mg=mv2R，可得绳对球的拉力：F=mg+mv2R，而在最高点有：mg+F′=mv′2R，随速度增大，由表达式可知，球在最低点时，绳对球的拉力越大，故最容易拉断轻绳的位置一定是最低点，故C正确；D.火车以大于规定速度经过外轨高于内轨的弯道时，火车的部分向心力由外轨的侧向压力提供，故速度越大，当合力不足以提供向心力时，火车易脱轨做离心运动，故D正确。由于本题选不正确的，故选B。
2.C【解析】A.汽车过凹桥最低点时，加速度的方向向上，处于超重状态，故A错误；
B.小球在竖直面内绕杆的另一端做圆周运动，杆不仅提供拉力也可以提供支持力，所以小球的过最高点的速度只要大于零即可，故B错误；C.物体放在匀速转动的水平转台上随转台一起做圆周运动，摩擦力充当向心力，最大角速度对应最大静摩擦力：μmg=mω2r，即：，所以A最先开始滑动，故C正确；D.火车转弯超过规定速度行驶时，重力和支持力的合力不够提供向心力，外轨对外轮缘会有向内侧的挤压作用，故D错误。
故选C。
3.C【解析】A、汽车通过凹形桥最低点时，具有向上的加速度(向心加速度)，处于超重状态，故A错误；B、在铁路的转弯处，通常要求外轨比内轨高，当火车按规定速度转弯时，由重力和支持力的合力完全提供向心力，从而减轻轮缘对外轨的挤压，故B错误；
C、演员表演“水流星”，当“水流星”通过最高点时，FN1+mg=mω2r，解得FN1=mω2r−mg在最低点，FN2−mg=mω2r，解得FN2=mω2r+mg，故F N1
4.A【解析】ABC.汽车转弯时恰好没有受到侧向摩擦力，由重力和支持力的合力提供向心力，若汽车再次通过该位置时速度变为原来的二倍，所需要的向心力增大，重力和支持力的合力不够提供向心力，所以汽车受到沿路面向下的侧向摩擦力，
设汽车转弯时恰好没有受到侧向摩擦力时汽车速度为v，根据牛顿第二定律得：
竖直方向：FNcosθ=mg，解得：FN=mgcosθ；
水平方向：FNsinθ=mv2r
则得v=grtanθ
根据牛顿第二定律得：
竖直方向：FN′cosθ=mg+Ffsinθ；
水平方向：FN′sinθ+Ffcosθ=m(2v)2r
联立解得Ff=3mgsinθ，故A正确，BC错误；
D.路面对汽车的支持力大小为FN′=mgcosθ+3mgsinθtanθ，故D错误。
故选A。
5.A【解析】A.汽车通过拱桥的最高点时，加速度方向向下，处于失重状态，故A正确；
B.图b是圆锥摆，重力和绳子的拉力充当向心力，故有Fn=mgtanθ=mω2r，设圆锥的高度为h，则运动半径为r=ℎtanθ，故有mgtanθ=mω2ℎtanθ，解得mg=mω2ℎ，角速度大小与角度无关，故B错误；C.在两个位置上小球的重力相同，支持力方向相同，所以合力相同，即向心力相同，根据公式Fn=mω2r可得半径越大，角速度越小，故角速度不同，所受筒壁的支持力大小相等，故C错误；D.当火车在规定的速度转弯时，由支持力与重力的合力提供火车转弯所需的向心力，当速度大于规定的速度时，火车的支持力与重力的合力不足以提供火车所需的向心力，外轨对轮缘有挤压作用，火车轮缘挤压外轨，故D错误。
故选A。
6.C【解析】A、火车转弯时，刚好由重力和支持力的合力提供向心力时，有mgtanθ=mv2r，解得：v=grtanθ，当v
B.图b是圆锥摆，重力和绳子的拉力充当向心力，故有Fn=mgtanθ=mω2r，设圆锥的高度为h，则运动半径为r=ℎtanθ，故有mgtanθ=mω2ℎtanθ，解得mg=mω2ℎ，角速度大小与角度无关，故B错误；C.在两个位置上小球的重力相同，支持力方向相同，所以合力相同，即向心力相同，根据公式Fn=mω2r可得半径越大，角速度越小，故角速度不同，所受筒壁的支持力大小相等，故C错误；D.当火车在规定的速度转弯时，由支持力与重力的合力提供火车转弯所需的向心力，当速度大于规定的速度时，火车的支持力与重力的合力不足以提供火车所需的向心力，外轨对轮缘有挤压作用，火车轮缘挤压外轨，故D错误。
故选A。
8.A【解析】
火车拐弯时不受轮缘的挤压时，靠重力和支持力的合力提供向心力，其受力如图，
根据牛顿第二定律得，mgtanθ=mv2r因θ很小，则有tanθ≈sinθ=ℎl
联立得v=gℎrl=10×0.14×9001.4m/s=30m/s。
A.若火车在该弯道实际运行速度为40m/s，大于规定速度，仅外轨对车轮有侧压力，故A正确；
BC.若火车在该弯道实际运行速度为30m/s，内、外轨对车轮都无侧压力，故BC错误；
D.若火车在该弯道实际运行速度为25m/s，小于规定速度，仅内轨对车轮有侧压力，故D错误。
故选A。
9.C【解析】AB.甲、丙图中当小球的重力恰好提供向心力时，小球的速度最小，有mg=mv2R，所以小球通过最高点的最小速度为v=Rg；乙、丁图中由于杆或者内侧管壁可以对小球提供支持力，所以小球通过最高点的速度可以为零，故A、B错误；
C.在丁图中，小球在水平线ab以下管道中运动时，小球的向心力由管壁的支持力和小球重力沿半径方向的分力的合力来提供，所以外侧管壁对小球一定有作用力，故C正确；
D.小球在水平线ab以上管道中运动时，沿半径方向的合力提供向心力，由于小球速度大小未知，可能外侧管壁对小球有作用力，也可能内侧管壁对小球有作用力，故D错误．
10.B【解析】球在最高点对杆恰好无压力时，重力提供向心力，根据牛顿第二定律，有：
mg=mv02L
解得：
v0=gL
由于v=12Lg
mg−N=mv2L
解得：N=mg−mv2L=12mg
根据牛顿第三定律，球对杆有向下的压力，大小为12mg；
故选B。
11.B【解析】ABD.当水对桶底压力为零时有：mg=mv2r，解得：v=gr=4m/s，“水流星”通过最高点的速度为4m/s，知水对桶底压力为零，不会从容器中流出；对水和桶分析，有：T+Mg=mv2r，解得：T=0N，知此时绳子的拉力为零，故B正确，AD错误；
C.“水流星”通过最高点时，仅受重力，处于完全失重状态，故C错误。
故选B。
12.D【解析】AB.当B摩擦力恰为零时，受力分析如图
根据牛顿第二定律得：mgtan β=mωB2Rsin β
解得：ωB=gRcos β，
同理可得：ωA=gRcos α
物块转动角速度与物块的质量无关，所以无法判断质量的大小，
由于α>β，所以ωA>ωB，即A、B受到的摩擦力不可能同时为零，故AB错误；
C.若A不受摩擦力，此时转台的角速度为ωA>ωB，所以B物块此时的向心力大于摩擦力为零时的向心力，所以此时B受沿容器壁向下的摩擦力，故C错误；
D.如果转台角速度从A不受摩擦力开始增大，A、B的向心力都增大，所受的摩擦力都增大，故D正确。
故选D。
13.A【解析】①②汽车发生侧翻是因为提供的力不足以满足做圆周运动所需的向心力，发生离心运动，故①正确，②错误；
③④汽车在水平路面上拐弯时，靠静摩擦力提供向心力，现在易发生侧翻可能是路面设计不合理，公路的设计上可能内侧高外侧低，重力沿斜面方向的分力背离圆心，导致合力不够提供向心力而致，故③正确，④错误。
故选A。
14.B【解析】解：当小球恰好能在圆锥体侧面做匀速圆周运动时，小球对圆锥体表面的压力为零，此时绳子的拉力与重力的合力提供向心力，即：mgtanθ=mv2r=mv2l⋅cosθ
代入数据可得：v=4m/s
故ACD错误，B正确。
故选：B。
15.C【解析】AB.当b绳伸直后，根据竖直方向上平衡得，Fasinθ=mg，解得Fa=mgsinθ，可知a绳的拉力不变，a绳与水平方向的夹角不再变化，故AB错误；
C.当b绳拉力为零时，有：mgtanθ=mω2l，解得ω=gltanθ，可知当角速度ω>gltanθ时，b绳出现弹力，当角速度ω
故选C。
16.解：(1)对小球受力分析如图，
球在水平面内做匀速圆周运动，由重力、水平面的支持力和绳子拉力的合力提供向心力，则根据牛顿第二定律，得
水平方向有：T1sin60°=mω12Lsin60° ①
竖直方向有：N1′+T1cos60°−mg=0 ②
又ω1=gL
解得T1=mg，N1′=12mg
根据牛顿第三定律得知桌面受到的压力N1=N1′=12mg；
(2)设小球对桌面恰好无压力时角速度为ω0，
水平方向有：Tsin60°=mω02Lsin60°
竖直方向有：Tcos60°−mg=0
联立解得，ω0=2gL
由于ω2=4gL>ω0，故小球离开桌面做匀速圆周运动，即桌面受到的压力N2=0，由绳子的拉力与球的重力的合力提供向心力
设绳子与竖直方向的夹角为α，则有
mgtanα=mω22·Lsinα ③
mg=T2cosα ④
联立解得T2=4mg
17.【答案】(1)在最低点3mg−mg=mv12L2
绳子断后，两熊做平抛运动，则32L=12gt12
两熊落地点离O点的水平距离x1=v1t1
联立可得x1=3L
(2)设绳长为d 则在最低点3mg−mg=mv22d
绳子断后，两熊做平抛运动，则2L−d=12gt22
两熊落地点离O点的水平距离x2=v2t2
即x2=2(2L−d)d
则当d=L时，两熊落地点离O点水平距离最远，此时最大值x2=2L
(3)两熊做圆锥摆运动时，设绳子与竖直方向的夹角为θ时，绳子被拉断。
竖直方向3mgcosθ=mg
水平方向3mgsinθ=mv32Lsinθ
此时两熊离地面的高度为ℎ=2L−Lcosθ
此后两熊做平抛运动ℎ=12gt32
水平位移x3=v3t3
由几何关系：落地点到O点的水平距离s=(Lsinθ)2+x32
联立可求得s=2223L【解析】
(1)绳子断后，两熊做平抛运动，根据平抛运动规律求出他们的落地点离O点的水平距离；
(2)根据平抛运动规律和向心力公式求出绳长为多长时，他们的落地点离O点的水平距离最大；
(3)根据平抛运动规律求解平抛距离
18.【答案】解：(1)当最大静摩擦力不能满足所需要向心力时，细绳上开始有张力，则由牛顿第二定律得：
μmg=mω12(lsinθ)
代入数据解得：ω1=2g3l；
(2)当水平转盘以角速度ω2=g2l匀速转动时，由于ω2<ω1，摩擦力提供向心力
f=mω22r=mω22lsinθ=14mg
(3)当支持力为零时，物块所需要的向心力由重力和细绳拉力的合力提供，由牛顿第二定律得：
mgtanθ=mω02lsinθ
解得：ω0=23g3l；
当水平转盘以角速度ω3=2gl 匀速转动时，由于ω3>ω0，物块已经离开转台在空中做圆周运动。
设细绳与竖直方向夹角为α，
有：mgtanα=mω32(lsinα)
代入数据解得：α=60°
则绳上的拉力为：F=mgcosα=2mg。
《6.4 生活中的圆周运动》学案
【学习目标】
1.会分析火车转弯、汽车过拱形桥等实际运动问题中向心力的来源，能解决生活中的圆周运动问题.
2.了解航天器中的失重现象及原因.
3.了解离心运动及物体做离心运动的条件，知道离心运动的应用及危害
【课堂合作探究】
新课引入：
问题1：同学们，你们了解有关高铁技术的一些参数么？观察下表，试找出高铁时速与最小曲线半径的规律？
问题2：在铁路弯道处，内、外轨道的高度一样吗？
一、 火车转弯
观察火车轮缘结构
问题:1：正常行驶时，火车轨道的内外轨是一样高的。如果在火车转弯时，火车在这样的轨道上行驶会发生什么？
问题2：如果外轨略高于内轨，情况又如何呢？
我们如何计算这种情况下的向心力呢？
1.火车转弯的临界速度的推导
我们先假设火车某次过倾角为θ的弯道时，火车与轨道之间没有挤压，求此时的速度v0：
火车转弯的向心力由重力与轨道对火车的支持力提供：
根据向心力公式：
θ比较小时
因此可以解得：
2.火车转弯时速度和轮缘与轨道之间的相互作用
由以上分析可以看到，根据弯道半径和规定的行驶速度，选择合适的内外轨的高度差h ,可以使火车转弯时所需向心力几乎完全由重力和支持力的合力提供。
（1） 如果火车行驶速度v=v0：
（2） 如果火车行驶速度v>v0
（3） 如果火车行驶速度v
例1.火车转弯可近似看成是做匀速圆周运动。当火车以规定速度行驶时，内外轨道均不受侧向挤压。现要降低火车转弯时的规定速度，须对铁路进行改造，从理论上讲以下措施可行的是( )
A．减小内外轨的高度差
B．增加内外轨的高度差
C．减小弯道半径
D．增大弯道半径
二、汽车过拱形桥和凹形桥
1.汽车过拱形桥
质量为m的汽车在拱形桥上以速度v行驶，若桥面的圆弧半径为R，试画出受力分析图，分析汽车通过桥的最高点时对桥的压力．
由牛顿第三定律得，汽车通过桥的最高点时对桥的压力：
2.汽车过凹形桥
下面自己分析汽车通过凹形桥最低点时，汽车对桥的压力比汽车的重力大些还是小些?
由牛顿第三定律得，汽车通过桥的最高点时对桥的压力
例2.有一辆质量为800千克的小汽车驶上圆弧半径为50米的拱桥。
（1）汽车到达桥顶的速度为5米/秒，汽车对桥的压力多大?
（2）汽车以多大速度经过桥顶时恰好腾空，对桥没有压力？
（3）对于同样的车速，拱形圆弧的半径大些比较安全，还是小些比较安全？
（4）如果拱形桥的半径增大到与地球半径R一样，汽车要在桥面上腾空，速度要多大？
二、 航天器中的失重现象
问题1.地球可以看做一个巨大的拱形桥，桥面的半径就是地球的半径.会不会出现这样的情况：速度大到一定程度时，地面对车的支持力是零？这时驾驶员与座椅之间的压力是多少？……
该“问题探究”中描述的情景其实已经实现，不过不是在汽车上，而是在航天飞机中．
问题2：航天器在发射升空（加速上升）时，航天员处在超重还是失重状态？
问题3；航天器在轨道正常运行（绕地球做匀速圆周运动）时，航天员处在超重还是失重状态？
问题4：有人把航天器失重的原因说成是它离地球太远，从而摆脱了地球引力，这种说法对吗？
问题5：当 时，座舱对航天员的支持力为多少？
四、离心运动
如果旋转桌子的速度较小，物品能随着桌子一起转动；如果速度变大，物体将会“飞出去”，这是什么原因呢？
将生活中的场景，抽象为物理模型
静摩擦力提供了向心力，如果最大静摩擦力等于滑动摩擦力
1. 定义：做匀速圆周运动的物体，在所受合力突然消失，或者不足以提供圆周运动所需的向心力时，做逐渐远离圆心的运动，这种运动叫做
2. 条件：
3. 离心运动的应用
要使原来作匀速圆周运动的物体作离心运动，该怎么办？
4. 离心运动的防止
在水平公路上行驶的汽车，转弯时所需的向心力是由车轮与路面的静摩擦力提供的.如果转弯时速度过大，所需向心力Fn大于最大静摩擦力Fmax （Fmax不足以提供向心力），汽车将做离心运动而造成交通事故.因此，在公路弯道处，车辆行驶不允许超过规定的速度.
要防止离心现象发生，该怎么办？
例3.有一辆质量为2000千克的汽车在水平公路上行驶，轮胎与路面间的最大静摩擦力为14000牛顿。汽车经过半径为50米的弯路时，如果车速达到72千米/小时，这辆车会不会发生侧滑？
四、竖直面内圆周运动的临界问题
“水流星”是我国传统的杂技节目，演员将盛水的容器用绳子拴住，在空中如流星般快速舞动，同时表演高难度的动作。你知道水为什么洒出来吗？
竖直平面内的圆周运动，一般情况下是变速圆周运动，物体能否通过最高点是有条件的。
1.轻绳（或内轨道）——小球组成无支撑的物理模型（称为“轻绳模型”）
注：“轻绳”只能对小球产生拉力，不能产生支持力。（内轨道约束类似）
假设质量为m的小球达到最高点时的速度为v,受到绳子的拉力为T，则根据牛顿第二定律，可以得出
当T=0时，小球再做高点的速度为最小，即：
（1） 小球恰好能达到最高点的临界条件是：
（2）小球恰好能通过最高点的条件是 ： ， 当 绳子有拉力（轨道对球有压力）。
（3）当 ，小球还未达到最高点就离开轨道。
2.轻杆（或管道）——小球组成有支撑的物理模型（称为“轻杆模型”）
注：“轻杆”既能对小球产生拉力，也能产生支持力。（管道约束类似）
球过最高点时，设轻杆对小球产生的弹力FN方向向上。
由牛顿第二定律得：
由此可知：
（1）小球恰好能达到最高点的临界条件是： ， 故而V0>0就可以通过最高点。
（2） 当 ，FN为支持力，方向竖直向上，且随着速度增大而减小。
（3）当 ，FN=0
（4） 当 ，FN为拉力，方向竖直向下，且随着速度增大而增大。
例4.如图所示，一个小球沿竖直固定的光滑圆形轨道的内侧做圆周运动，圆形轨道的半径为R，小球可看作质点，则关于小球的运动情况，下列说法正确的是（ ）
A. 小球的线速度方向时刻在变化，但总在圆周切线方向上
B. 小球通过最高点的速度可以等于0
C. 小球线速度的大小可以小于
D. 小球线速度的大小总大于或等于
例5.(多选)(2017·常州中学)如图所示，小球在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，内侧壁半径为R，小球半径为r，则下列说法中正确的是( )
A. 小球通过最高点时的最小速度vmin＝
B. 小球通过最高点时的最小速度vmin＝0
C. 小球在水平线ab以下的管道中运动时，内侧管壁对小球一定无作用力
D. 小球在水平线ab以上的管道中运动时，外侧管壁对小球一定有作用力
【课堂检测】
1、铁路在弯道处的内外轨道高度是不同的，已知内外轨道平面与水平面的夹角为θ，如图5所示，弯道处的圆弧半径为R，若质量为m的火车转弯时速度等于，则( )
A．内轨对内侧车轮轮缘有挤压
B．外轨对外侧车轮轮缘有挤压
C．这时铁轨对火车的支持力等于mg/cos θ
D．这时铁轨对火车的支持力大mg/cos θ
2、如图所示，汽车在炎热的夏天沿不平的曲面行驶，其中最容易发生爆胎的点是(假定汽车运动速率va＝vc，vb＝vd)( )
A．a点 B．b点 C．c点 D．d点
3、一个质量为m的物体(体积可忽略)，在半径为R的光滑半球顶点处以水平速度v0运动，如图所示，重力加速度为g，则下列说法正确的是( )
A．若v0＝，则物体对半球顶点无压力
B．若v0＝，则物体对半球顶点的压力为mg
C．若v0＝0，则物体对半球顶点的压力为mg
D．若v0＝0，则物体对半球顶点的压力为零
4、如图所示，在匀速转动的洗衣机脱水筒内壁上，有一件湿衣服随圆筒一起转动而未滑动，则( )
A．衣服随脱水筒做圆周运动的向心力由衣服的重力提供
B．水会从脱水筒甩出是因为水滴受到的向心力很大
C．加快脱水筒转动角速度，衣服对筒壁的压力增大
D．加快脱水筒转动角速度，脱水效果会更好
5、某人为了测定一个凹形桥的半径，在乘汽车通过凹桥最低点时，他注意到车上的速度计示数为72km/h，悬挂1kg钩码的弹簧秤的示数为11.8N，则桥的半径为多大?（g取9.8m/s2）
【达标训练】
一、单选题
1. 关于如图a、图b、图c、图d所示的四种圆周运动模型，下列说法不正确 的是( )
A. 图a圆形桥半径R，若最高点车速为gR时，车对桥面的压力为零，车将做平抛运动
B. 图b中，在固定圆锥筒(内壁光滑)内做匀速圆周运动的小球，受重力、弹力和向心力
C. 图c中，仅在重力和轻绳拉力作用下，绕另一固定端0在竖直面内做圆周运动的小球，最容易拉断轻绳的位置一定是最低点
D. 图d中，火车以大于规定速度经过外轨高于内轨的弯道时，外轨对火车有侧压力，火车易脱轨做离心运动
2. 有关圆周运动的基本模型，下列说法正确的是( )
A. 如图甲，汽车通过凹形桥的最低点处于失重状态
B. 如图乙，小球固定在杆的一端，在竖直面内绕杆的另一端做圆周运动，小球的过最高点的速度至少等于gR
C. 如图丙，用相同材料做成的A、B两个物体放在匀速转动的水平转台上随转台一起做匀速圆周运动，mB=2mA，rA=2rB，转台转速缓慢加快时，物体A最先开始滑动
D. 如图丁，火车转弯超过规定速度行驶时，内轨对外轮缘会有挤压作用
3. 如图所示，下列有关生活中的圆周运动实例分析，其中说法正确的是( )
A. 汽车通过凹形桥的最低点时，汽车处于失重状态
B. 在铁路的转弯处，通常要求外轨比内轨高，目的是利用轮缘与外轨的侧压力助火车转弯
C. 杂技演员在表演“水流星”节目时，盛水的杯子通过最高点而水不流出，水对杯底压力可以为零
D. 脱水桶的脱水原理是水滴受到的离心力大于它受到的向心力，从而沿切线方向甩出
4. 汽车正在圆环形赛道上水平转弯，图示为赛道的剖面图。赛道路面倾角为θ，汽车质量为m，转弯时恰好没有受到侧向摩擦力。若汽车再次通过该位置时速度变为原来的二倍，则以下说法正确的是( )
A. 汽车受到沿路面向下的侧向摩擦力，大小为3mgsinθ
B. 汽车受到沿路面向上的侧向摩擦力，大小为mgsinθ
C. 无侧向摩擦力时，路面对汽车的支持力大小为mgcosθ
D. 速度变为原来的二倍后，路面对汽车的支持力大小为mg/cosθ
5. 如图所示的四幅图表示的是有关圆周运动的基本模型，下列说法正确的是：
A. 如图a，汽车通过拱桥的最高点时处于失重状态
B. 图b所示是一圆锥摆，增大θ，但保持圆锥的高度不变，则圆锥摆的角速度减小
C. 如图c，同一小球在光滑而固定的圆锥筒内的A、B位置先后做匀速圆周运动，则在A、B两位置小球的角速度及所受筒壁的支持力大小均相等
D. 如图d，火车转弯超过规定速度行驶时，内轨对内轮缘会有挤压作用
6. 以下是我们所研究有关圆周运动的基本模型，如图所示，下列说法正确的是( )
A. 如图甲，火车转弯小于规定速度行驶时，外轨对轮缘会有挤压作用
B. 如图乙，汽车通过拱桥的最高点时受到的支持力大于重力
C. 如图丙，两个圆锥摆摆线与竖直方向夹角θ不同，但圆锥高相同，则两圆锥摆的线速度大小不相等
D. 如图丁，同一小球在光滑而固定的圆锥筒内的A、B位置先后分别做匀速圆周运动，则在A、B两位置小球所受筒壁的支持力大小不相等
7. 如图所示的四幅图表示的是有关圆周运动的基本模型，下列说法正确的是：( )
A. 如图a，汽车通过拱桥的最高点时处于失重状态
B. 图b所示是一圆锥摆，增大θ，但保持圆锥的高度不变，则圆锥摆的角速度减小
C. 如图c，同一小球在光滑而固定的圆锥筒内的A、B位置先后做匀速圆周运动，则在A、B两位置小球的角速度及所受筒壁的支持力大小均相等
D. 如图d，火车转弯超过规定速度行驶时，内轨对内轮缘会有挤压作用
8. 火车以半径r=900m转弯，火车质量为8×105kg，轨道宽为l=1.4m，外轨比内轨高ℎ=14cm，则下列说法中正确的是( )(当角度很小时，可以认为其正弦值近似等于正切值，重力加速度g取10m/s2)
A. 若火车在该弯道实际运行速度为40m/s，外轨对车轮有向内的侧压力
B. 若火车在该弯道实际运行速度为30m/s，内轨对车轮有向外的侧压力
C. 若火车在该弯道实际运行速度为30m/s，外轨对车轮有向内的侧压力
D. 若火车在该弯道实际运行速度为25m/s，外轨对车轮有向内的侧压力
9. 甲图是质量为m的小球，在竖直平面内绕O点做半径为R的圆周运动(OA为细绳).乙图是质量为m的小球，在竖直平面内绕O点做半径为R的圆周运动(OB为轻质杆).丙图是质量为m的小球，在半径为R的竖直光滑圆轨道内侧做圆周运动．丁图是质量为m的小球在竖直放置的半径为R的光滑圆形管道内做圆周运动．则下列说法正确的是( )
A. 四个图中，小球通过最高点的最小速度都是ν=gR
B. 四个图中，小球通过最高点的最小速度都是0
C. 在丁图中，小球在水平线ab以下管道中运动时，外侧管壁对小球一定有作用力
D. 在丁图中，小球在水平线ab以上管道中运动时，内侧管壁对小球一定有作用力
10. 如下图所示．质量为m的小球固定在杆的一端，在竖直面内绕杆的另一端O做圆周运动．当小球运动到最高点时，瞬时速度大小为ν=12gL，L是球心到O点的距离，则球对杆的作用力是( )
A. 12mg的拉力
B. 12mg的压力
C. 零
D. 32mg的压力
11. 杂技演员表演“水流星”，在长为1.6m的细绳的一端，系一个与水的总质量为m=0.5kg的大小不计的盛水容器，以绳的另一端为圆心，在竖直平面内做圆周运动，如下图所示，若“水流星”通过最高点时的速率为4m/s，则下列说法正确的是(g取10m/s2)
A. “水流星”通过最高点时，有水从容器中流出
B. “水流星”通过最高点时，绳的张力及容器底部受到的压力均为零
C. “水流星”通过最高点时，处于完全失重状态，不受力的作用
D. “水流是”通过最高点时，绳子的拉力大小为5N
12. 如图所示，半径为R的半球形容器固定在水平转台上，转台绕过容器球心O的竖直轴线以角速度ω匀速转动。质量不同的小物块A、B随容器转动且相对器壁静止，A、B和球心O点连线与竖直方向的夹角分别为α和β，α>β.。则
A. A的质量一定小于B的质量
B. A、B受到的摩擦力可能同时为零
C. 若A不受摩擦力，则B受沿容器壁向上的摩擦力
D. 若ω增大，A、B受到的摩擦力可能都增大
13. 中央电视台《今日说法》栏目曾报道过一起离奇交通事故。家住公路拐弯处的张先生和李先生在三个月内连续遭遇了七次大卡车侧翻在自家门口的场面，第八次有辆卡车冲撞进李先生家，造成三死一伤和房屋严重损毁的血腥惨案。经公安部门和交通部门协力调查，画出的现场示意图如图所示。交警根据图示做出以下判断：
①由图可知卡车在拐弯时发生侧翻是因为车做离心运动
②由图可知卡车在拐弯时发生侧翻是因为车做向心运动
③公路在设计上最有可能内高外低
④公路在设计上最有可能外高内低
你认为正确的是( )
A. ①③ B. ②④ C. ①④ D. ②③
14. 如图所示，固定在水平地面上的圆锥体，顶端用轻绳系有一小球(视为质点)，悬点到小球的距离为1.5m。现给小球一初速度，使小球恰好能在圆锥体侧面做匀速圆周运动。已知圆锥体母线与水平面的夹角为37°，取sin37°=0.6，cos37°=0.8，重力加速度大小g=10m/s2 ，不计空气阻力。则小球做匀速圆周运动的线速度大小为( )
A. 2m/s B. 4m/s C. 5m/s D. 6m/s
15. 质量为m的小球由不能伸长的轻绳a和b分别系于一轻质细杆的A点和B点，如图所示，当绳a与水平方向成θ角时，绳b恰处于伸直状态且水平，此时绳b的长度为l。当轻杆绕轴AB以不同的角速度ω匀速转动时，小球在水平面内做匀速圆周运动，重力加速度为g，则下列说法正确的是( )
A. a绳与水平方向的夹角θ随角速度ω的增大而一直减小
B. a绳的张力随角速度ω的增大而一直增大
C. 当角速度ω
二、计算题
16. 如图所示，长为L的绳子(质量不计)下端连着质量为m的小球，上端悬于天花板上，当把绳子恰好拉直时，绳子与竖直线的夹角θ=60°，此时小球静止于光滑的水平桌面上．
(1)当球以ω1=gL做圆锥摆运动时，绳子张力T1为多大？桌面受到的压力N1为多大？
(2)当球以角速度ω2=4gL做圆锥摆运动时，绳子的张力T2及桌面受到的压力N2分别为多少？
17. 动画片《熊出没》中有这样一个情节：某天熊大和熊二中了光头强设计的陷阱，被挂在了树上(如图甲)，聪明的熊大想出了一个办法，让自己和熊二荡起来使绳断裂从而得救，其过程可简化如图乙所示，设悬点为O，离地高度为2 L，两熊可视为质点且总质量为m，绳长为L2且保持不变，绳子能承受的最大张力为3 mg，不计一切阻力，重力加速度为g，求：
(1)设熊大和熊二刚好在向右摆到最低点时绳子刚好断裂，则他们的落地点离O点的水平距离为多少；
(2)改变绳长，且两熊仍然在向右到最低点绳子刚好断裂，则绳长为多长时，他们的落地点离O点的水平距离最大，最大为多少；
(3)若绳长改为L，两熊在水平面内做圆锥摆运动，如图丙，且两熊做圆锥摆运动时绳子刚好断裂，则他们落地点离O点的水平距离为多少。
18. 如图所示，水平转台上有一个质量为m的物块，用长为l的轻质细绳将物块连接在转轴上，细绳与竖直转轴的夹角θ=30°，此时细绳伸直但无张力，物块与转台间的动摩擦因数为μ=13，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，物块随转台由静止开始缓慢加速转动，重力加速度为g，则
(1)当水平转盘以角速度ω1匀速转动时，绳上恰好有张力，求ω1的值；
(2)当水平转盘以角速度ω2=g2l匀速转动时，求物体所受的摩擦力大小；
(3)当水平转盘以角速度ω3=2gl匀速转动时，求细绳拉力大小．
参考答案
【课堂合作探究】1.A 2.（1）7600N (2)22.4米/秒 （3）半径越大越安全 （4）8000米/秒 3.会发生侧滑 4.AD 5.BC
【课堂检测】
1、 C 2、D 3、AC 4、CD 5、200米
【达标训练】
1.B【解析】A.图a中，在最高点，汽车受重力及桥面的支持力，若由重力提供向心力，则有：mg=mv2R，解得v=gR，故此时车对桥面的压力为零，车将做平抛运动，故A正确；B.由于向心力是球所受的几个力的合力，是效果力，故对球受力分析可知，图b中，在固定圆锥筒(内壁光滑)内做匀速圆周运动的小球，只受重力、弹力，故 B错误；
C.图c中，球在最低点，其向心力竖直向上，由牛顿第二定律可得：F−mg=mv2R，可得绳对球的拉力：F=mg+mv2R，而在最高点有：mg+F′=mv′2R，随速度增大，由表达式可知，球在最低点时，绳对球的拉力越大，故最容易拉断轻绳的位置一定是最低点，故C正确；D.火车以大于规定速度经过外轨高于内轨的弯道时，火车的部分向心力由外轨的侧向压力提供，故速度越大，当合力不足以提供向心力时，火车易脱轨做离心运动，故D正确。由于本题选不正确的，故选B。
2.C【解析】A.汽车过凹桥最低点时，加速度的方向向上，处于超重状态，故A错误；
B.小球在竖直面内绕杆的另一端做圆周运动，杆不仅提供拉力也可以提供支持力，所以小球的过最高点的速度只要大于零即可，故B错误；C.物体放在匀速转动的水平转台上随转台一起做圆周运动，摩擦力充当向心力，最大角速度对应最大静摩擦力：μmg=mω2r，即：，所以A最先开始滑动，故C正确；D.火车转弯超过规定速度行驶时，重力和支持力的合力不够提供向心力，外轨对外轮缘会有向内侧的挤压作用，故D错误。
故选C。
3.C【解析】A、汽车通过凹形桥最低点时，具有向上的加速度(向心加速度)，处于超重状态，故A错误；B、在铁路的转弯处，通常要求外轨比内轨高，当火车按规定速度转弯时，由重力和支持力的合力完全提供向心力，从而减轻轮缘对外轨的挤压，故B错误；
C、演员表演“水流星”，当“水流星”通过最高点时，FN1+mg=mω2r，解得FN1=mω2r−mg在最低点，FN2−mg=mω2r，解得FN2=mω2r+mg，故F N1
4.A【解析】ABC.汽车转弯时恰好没有受到侧向摩擦力，由重力和支持力的合力提供向心力，若汽车再次通过该位置时速度变为原来的二倍，所需要的向心力增大，重力和支持力的合力不够提供向心力，所以汽车受到沿路面向下的侧向摩擦力，
设汽车转弯时恰好没有受到侧向摩擦力时汽车速度为v，根据牛顿第二定律得：
竖直方向：FNcosθ=mg，解得：FN=mgcosθ；
水平方向：FNsinθ=mv2r
则得v=grtanθ
根据牛顿第二定律得：
竖直方向：FN′cosθ=mg+Ffsinθ；
水平方向：FN′sinθ+Ffcosθ=m(2v)2r
联立解得Ff=3mgsinθ，故A正确，BC错误；
D.路面对汽车的支持力大小为FN′=mgcosθ+3mgsinθtanθ，故D错误。
故选A。
5.A【解析】A.汽车通过拱桥的最高点时，加速度方向向下，处于失重状态，故A正确；
B.图b是圆锥摆，重力和绳子的拉力充当向心力，故有Fn=mgtanθ=mω2r，设圆锥的高度为h，则运动半径为r=ℎtanθ，故有mgtanθ=mω2ℎtanθ，解得mg=mω2ℎ，角速度大小与角度无关，故B错误；C.在两个位置上小球的重力相同，支持力方向相同，所以合力相同，即向心力相同，根据公式Fn=mω2r可得半径越大，角速度越小，故角速度不同，所受筒壁的支持力大小相等，故C错误；D.当火车在规定的速度转弯时，由支持力与重力的合力提供火车转弯所需的向心力，当速度大于规定的速度时，火车的支持力与重力的合力不足以提供火车所需的向心力，外轨对轮缘有挤压作用，火车轮缘挤压外轨，故D错误。
故选A。
6.C【解析】A、火车转弯时，刚好由重力和支持力的合力提供向心力时，有mgtanθ=mv2r，解得：v=grtanθ，当v
B.图b是圆锥摆，重力和绳子的拉力充当向心力，故有Fn=mgtanθ=mω2r，设圆锥的高度为h，则运动半径为r=ℎtanθ，故有mgtanθ=mω2ℎtanθ，解得mg=mω2ℎ，角速度大小与角度无关，故B错误；C.在两个位置上小球的重力相同，支持力方向相同，所以合力相同，即向心力相同，根据公式Fn=mω2r可得半径越大，角速度越小，故角速度不同，所受筒壁的支持力大小相等，故C错误；D.当火车在规定的速度转弯时，由支持力与重力的合力提供火车转弯所需的向心力，当速度大于规定的速度时，火车的支持力与重力的合力不足以提供火车所需的向心力，外轨对轮缘有挤压作用，火车轮缘挤压外轨，故D错误。
故选A。
8.A【解析】
火车拐弯时不受轮缘的挤压时，靠重力和支持力的合力提供向心力，其受力如图，
根据牛顿第二定律得，mgtanθ=mv2r因θ很小，则有tanθ≈sinθ=ℎl
联立得v=gℎrl=10×0.14×9001.4m/s=30m/s。
A.若火车在该弯道实际运行速度为40m/s，大于规定速度，仅外轨对车轮有侧压力，故A正确；
BC.若火车在该弯道实际运行速度为30m/s，内、外轨对车轮都无侧压力，故BC错误；
D.若火车在该弯道实际运行速度为25m/s，小于规定速度，仅内轨对车轮有侧压力，故D错误。
故选A。
9.C【解析】AB.甲、丙图中当小球的重力恰好提供向心力时，小球的速度最小，有mg=mv2R，所以小球通过最高点的最小速度为v=Rg；乙、丁图中由于杆或者内侧管壁可以对小球提供支持力，所以小球通过最高点的速度可以为零，故A、B错误；
C.在丁图中，小球在水平线ab以下管道中运动时，小球的向心力由管壁的支持力和小球重力沿半径方向的分力的合力来提供，所以外侧管壁对小球一定有作用力，故C正确；
D.小球在水平线ab以上管道中运动时，沿半径方向的合力提供向心力，由于小球速度大小未知，可能外侧管壁对小球有作用力，也可能内侧管壁对小球有作用力，故D错误．
10.B【解析】球在最高点对杆恰好无压力时，重力提供向心力，根据牛顿第二定律，有：
mg=mv02L
解得：
v0=gL
由于v=12Lg
mg−N=mv2L
解得：N=mg−mv2L=12mg
根据牛顿第三定律，球对杆有向下的压力，大小为12mg；
故选B。
11.B【解析】ABD.当水对桶底压力为零时有：mg=mv2r，解得：v=gr=4m/s，“水流星”通过最高点的速度为4m/s，知水对桶底压力为零，不会从容器中流出；对水和桶分析，有：T+Mg=mv2r，解得：T=0N，知此时绳子的拉力为零，故B正确，AD错误；
C.“水流星”通过最高点时，仅受重力，处于完全失重状态，故C错误。
故选B。
12.D【解析】AB.当B摩擦力恰为零时，受力分析如图
根据牛顿第二定律得：mgtan β=mωB2Rsin β
解得：ωB=gRcos β，
同理可得：ωA=gRcos α
物块转动角速度与物块的质量无关，所以无法判断质量的大小，
由于α>β，所以ωA>ωB，即A、B受到的摩擦力不可能同时为零，故AB错误；
C.若A不受摩擦力，此时转台的角速度为ωA>ωB，所以B物块此时的向心力大于摩擦力为零时的向心力，所以此时B受沿容器壁向下的摩擦力，故C错误；
D.如果转台角速度从A不受摩擦力开始增大，A、B的向心力都增大，所受的摩擦力都增大，故D正确。
故选D。
13.A【解析】①②汽车发生侧翻是因为提供的力不足以满足做圆周运动所需的向心力，发生离心运动，故①正确，②错误；
③④汽车在水平路面上拐弯时，靠静摩擦力提供向心力，现在易发生侧翻可能是路面设计不合理，公路的设计上可能内侧高外侧低，重力沿斜面方向的分力背离圆心，导致合力不够提供向心力而致，故③正确，④错误。
故选A。
14.B【解析】解：当小球恰好能在圆锥体侧面做匀速圆周运动时，小球对圆锥体表面的压力为零，此时绳子的拉力与重力的合力提供向心力，即：mgtanθ=mv2r=mv2l⋅cosθ
代入数据可得：v=4m/s
故ACD错误，B正确。
故选：B。
15.C【解析】AB.当b绳伸直后，根据竖直方向上平衡得，Fasinθ=mg，解得Fa=mgsinθ，可知a绳的拉力不变，a绳与水平方向的夹角不再变化，故AB错误；
C.当b绳拉力为零时，有：mgtanθ=mω2l，解得ω=gltanθ，可知当角速度ω>gltanθ时，b绳出现弹力，当角速度ω
故选C。
16.解：(1)对小球受力分析如图，
球在水平面内做匀速圆周运动，由重力、水平面的支持力和绳子拉力的合力提供向心力，则根据牛顿第二定律，得
水平方向有：T1sin60°=mω12Lsin60° ①
竖直方向有：N1′+T1cos60°−mg=0 ②
又ω1=gL
解得T1=mg，N1′=12mg
根据牛顿第三定律得知桌面受到的压力N1=N1′=12mg；
(2)设小球对桌面恰好无压力时角速度为ω0，
水平方向有：Tsin60°=mω02Lsin60°
竖直方向有：Tcos60°−mg=0
联立解得，ω0=2gL
由于ω2=4gL>ω0，故小球离开桌面做匀速圆周运动，即桌面受到的压力N2=0，由绳子的拉力与球的重力的合力提供向心力
设绳子与竖直方向的夹角为α，则有
mgtanα=mω22·Lsinα ③
mg=T2cosα ④
联立解得T2=4mg
17.【答案】(1)在最低点3mg−mg=mv12L2
绳子断后，两熊做平抛运动，则32L=12gt12
两熊落地点离O点的水平距离x1=v1t1
联立可得x1=3L
(2)设绳长为d 则在最低点3mg−mg=mv22d
绳子断后，两熊做平抛运动，则2L−d=12gt22
两熊落地点离O点的水平距离x2=v2t2
即x2=2(2L−d)d
则当d=L时，两熊落地点离O点水平距离最远，此时最大值x2=2L
(3)两熊做圆锥摆运动时，设绳子与竖直方向的夹角为θ时，绳子被拉断。
竖直方向3mgcosθ=mg
水平方向3mgsinθ=mv32Lsinθ
此时两熊离地面的高度为ℎ=2L−Lcosθ
此后两熊做平抛运动ℎ=12gt32
水平位移x3=v3t3
由几何关系：落地点到O点的水平距离s=(Lsinθ)2+x32
联立可求得s=2223L【解析】
(1)绳子断后，两熊做平抛运动，根据平抛运动规律求出他们的落地点离O点的水平距离；
(2)根据平抛运动规律和向心力公式求出绳长为多长时，他们的落地点离O点的水平距离最大；
(3)根据平抛运动规律求解平抛距离
18.【答案】解：(1)当最大静摩擦力不能满足所需要向心力时，细绳上开始有张力，则由牛顿第二定律得：
μmg=mω12(lsinθ)
代入数据解得：ω1=2g3l；
(2)当水平转盘以角速度ω2=g2l匀速转动时，由于ω2<ω1，摩擦力提供向心力
f=mω22r=mω22lsinθ=14mg
(3)当支持力为零时，物块所需要的向心力由重力和细绳拉力的合力提供，由牛顿第二定律得：
mgtanθ=mω02lsinθ
解得：ω0=23g3l；
当水平转盘以角速度ω3=2gl 匀速转动时，由于ω3>ω0，物块已经离开转台在空中做圆周运动。
设细绳与竖直方向夹角为α，
有：mgtanα=mω32(lsinα)
代入数据解得：α=60°
则绳上的拉力为：F=mgcosα=2mg。
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