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吉林省松原市油田第二中学2021-2022学年八年级下学期期末考试数学试题(word版含答案)
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这是一份吉林省松原市油田第二中学2021-2022学年八年级下学期期末考试数学试题(word版含答案)，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年吉林省松原市油田二中八年级（下）期末
数学试卷
一、选择题（每题2分，共12分）
1．（2分）二次根式中，a的取值范围是（ ）
A．a≠﹣1 B．a＞﹣1 C．a≤﹣1 D．a≥﹣1
2．（2分）下列各组数，是勾股数的是（ ）
A． B．0.3，0.4，0.5
C．6，7，8 D．5，12，13
3．（2分）如图，E是平行四边形ABCD边AD延长线上一点，且DE＝AD，连接BE、CE、BD．若AB＝BE，则四边形BCED是（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
4．（2分）一次函数y＝kx+3（k≠0）的函数值y随x的增大而增大，它的图象不经过的象限是（ ）
A．第一 B．第二 C．第三 D．第四
5．（2分）如图，在△ABC中，点D是AB上一点，连接CD，AC＝2，BC＝2，DB＝1，CD＝，则AB的长为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
6．（2分）已知一组数据：﹣3，6，2，﹣1，0，4，则这组数据的中位数是（ ）
A．1 B． C．0 D．2
二、填空题（每题3分，共24分）
7．（3分）已知，则a＝ ．
8．（3分）如图，已知△ABO为等腰三角形，且OA＝AB＝5，B（﹣6，0），则点A的坐标为 ．
9．（3分）如图，菱形ABCD的边长为10，对角线BD的长为16，点E，F分别是边AD，CD的中点，连接EF并延长与BC的延长线相交于点G，则EG的长为 ．
10．（3分）当m 时，函数y＝（m﹣3）x﹣2中y随x的增大而减小．
11．（3分）小张同学的射击成绩为5，7，9，10，7，则这组数据的众数是 ．
12．（3分）如图，正方形ABCD的边长是2，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别在边AD、AB上，且OE⊥OF，则四边形AFOE的面积为 ．
13．（3分）已知x、y为实数，且y＝++1，则（﹣y）x的值为 ．
14．（3分）如图所示，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB＝6，BC＝10，则EF的长为 ．
三、解答题（每题5分共20分）
15．（5分）计算：2﹣+3．
16．（5分）化简：．
17．（5分）已知y关于x成正比例，且当x＝2时，y＝﹣6，求：当x＝1时，y的值．
18．（5分）如图，在菱形ABCD中，∠A＝120°，E是AD上的点，沿BE折叠△ABE，点A恰好落在BD上的点F处，求∠BFC的度数．
四、解答题（每题7分，共28分）
19．（7分）某乡镇企业生产部有技术工人15人，生产部为了合理制定产品的每月生产定额，统计了15人某月的加工零件个数：
加工件数
540
450
300
240
210
120
人数
1
1
2
6
3
2
（1）写出这15人该月加工零件数的平均数、中位数和众数．
（2）假如生产部负责人把每位工人的月加工零件数定为260（件），你认为这个定额是否合理，为什么？
20．（7分）一架方梯长25米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，
（1）这个梯子的顶端距地面有多高？
（2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？
21．（7分）若最简二次根式与是可以合并的二次根式，求a的值．
22．（7分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别是线段BC、AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．
（1）求证：△BDE≌△FAE；
（2）求证：四边形ADCF为矩形．
五、解答题（每题8分，共16分）
23．（8分）冰墩墩（BingDwenDwen），是2022年北京冬季奥运会的吉祥物．将熊猫形象与富有超能量的冰晶外壳相结合，头部外壳造型取自冰雪运动头盔，装饰彩色光环，整体形象酷似航天员．冬奥会来临之际，冰墩墩玩偶非常畅销．小冬在某网店选中A，B两款冰墩墩玩偶，决定从该网店进货并销售．两款玩偶的进货价和销售价如表：
A款玩偶
B款玩偶
进货价（元/个）
20
15
销售价（元/个）
28
20
（1）第一次小冬550元购进了A，B两款玩偶共30个，求两款玩偶各购进多少个．
（2）第二次小冬进货时，网店规定A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半．小冬计划购进两款玩偶共30个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？
24．（8分）如图，已知矩形ABCD的对角线交于点O，点E、F和G分别平分线段AB、OD和OA．
（1）求证：四边形OFGE是平行四边形．
（2）猜想：当∠ABD＝ °时四边形OFGE是菱形，并证明．
六、解答题（每题10分，共20分）
25．（10分）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，动点P从点B出发沿射线BC以1cm/s的速度移动，设运动的时间为ts．
（1）求BC边的长；
（2）当△ABP为直角三角形时，求t的值．
26．（10分）甲、乙两人同时从相距90千米的A地前往B地，甲乘汽车，乙骑电动车，甲到达B地停留半个小时后返回A地，如图是他们离A地的距离y（千米）与经过时间x（小时）之间的函数关系图象．
（1）甲从B地返回A地的过程中，直接写出y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围；
（2）若乙出发后108分钟和甲相遇，求乙从A地到B地用了多少分钟？
（3）在（2）的条件下，甲与乙同时出发后，直接写出经过多长时间他们相距20千米？
2021-2022学年吉林省松原市油田二中八年级（下）期末
数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每题2分，共12分）
1．（2分）二次根式中，a的取值范围是（ ）
A．a≠﹣1 B．a＞﹣1 C．a≤﹣1 D．a≥﹣1
【分析】根据二次根式有意义的条件列不等式组求解即可．
【解答】解：由题意可得1+a≥0，
解得a≥﹣1．
故选：D．
【点评】本题考查二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件（被开方数为非负数）是解题关键．
2．（2分）下列各组数，是勾股数的是（ ）
A． B．0.3，0.4，0.5
C．6，7，8 D．5，12，13
【分析】根据勾股数的定义：满足a2+b2＝c2的三个正整数，称为勾股数判定即可．
【解答】解：A、不是整数，故不是勾股数，不符合题意；
B、不是整数，故不是勾股数，不符合题意；
C、62+72≠82，不能构成直角三角形，不是勾股数，不符合题意；
D、52+122＝132，能构成直角三角形，是正整数，故是勾股数，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了勾股数的定义，注意：一组勾股数必须同时满足两个条件：①三个数都是正整数；②两个较小数的平方和等于最大数的平方．
3．（2分）如图，E是平行四边形ABCD边AD延长线上一点，且DE＝AD，连接BE、CE、BD．若AB＝BE，则四边形BCED是（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
【分析】由平行四边形的性质得到AD∥BC，AD＝BC，AB＝DC，继而证得四边形BCED是平行四边形，再证得BE＝DC，根据矩形的判定即可证得▱BCED是矩形．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，AB＝DC，
∴DE∥BC，
∵DE＝AD，
∴DE＝BC，
∴四边形BCED是平行四边形，
∵AB＝BE，
∴BE＝DC，
∴▱BCED是矩形，
故选：B．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质和判定，矩形的判定，根据平行四边形的判定证得四边形BCED是平行四边形是解决问题的关键．
4．（2分）一次函数y＝kx+3（k≠0）的函数值y随x的增大而增大，它的图象不经过的象限是（ ）
A．第一 B．第二 C．第三 D．第四
【分析】根据一次函数y＝kx+3（k≠0）的函数值y随x的增大而增大，可以得到k＞0，与y轴的交点为（0，3），然后根据一次函数的性质，即可得到该函数图象经过哪几个象限，不经过哪个象限，从而可以解答本题．
【解答】解：∵一次函数y＝kx+3（k≠0）的函数值y随x的增大而增大，
∴k＞0，该函数过点（0，3），
∴该函数的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限，
故选：D．
【点评】本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
5．（2分）如图，在△ABC中，点D是AB上一点，连接CD，AC＝2，BC＝2，DB＝1，CD＝，则AB的长为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【分析】根据勾股定理的逆定理可得∠CDB＝90°，可得∠CDA＝90°，再根据勾股定理可得AD，依此可求AB的长．
【解答】解：在△BDC中，BC＝2，DB＝1，CD＝，
12+（）2＝22，
∴△BDC是直角三角形，∠CDB＝90°，
∴∠CDA＝90°，
在△ADC中，AC＝2，CD＝，
∴AD＝＝3，
∴AB＝AD+BD＝3+1＝4．
故选：B．
【点评】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，关键是根据勾股定理的逆定理得到∠CDB＝90°．
6．（2分）已知一组数据：﹣3，6，2，﹣1，0，4，则这组数据的中位数是（ ）
A．1 B． C．0 D．2
【分析】先把数据按从小到大排列：﹣3，﹣1，0，2，4，6，然后根据中位数的定义求出中间两个数0和2的平均数即可．
【解答】解：把数据按从小到大排列：﹣3，﹣1，0，2，4，6，
共有6个数，最中间的两个数为0和2，它们的平均数为（0+2）÷2＝1，
即这组数据的中位数是1．
故选：A．
【点评】本题考查了中位数的定义：把一组数据按从小到大（或从大到小）排列，最中间那个数（或最中间两个数的平均数）叫这组数据的中位数．
二、填空题（每题3分，共24分）
7．（3分）已知，则a＝ ±2 ．
【分析】把已知条件两边平方，再解关于a的一元二次方程即可．
【解答】解：∵＝2，
∴a2＝4，
∴a＝±2．
故答案为：±2．
【点评】本题考查了二次根式的性质与化简：熟练掌握二次根式的性质是解决此类问题的关键．
8．（3分）如图，已知△ABO为等腰三角形，且OA＝AB＝5，B（﹣6，0），则点A的坐标为 （﹣3，4） ．
【分析】根据AB＝AO，AC⊥BO，得OC＝，在Rt△AOC中，由勾股定理得：AC＝4，即可求出点A的坐标．
【解答】解：如图，
∵B（﹣6，0），
∴OB＝6，
∵AB＝AO，AC⊥BO，
∴OC＝，
在Rt△AOC中，由勾股定理得：
AC＝，
∴A（﹣3，4）
故答案为：（﹣3，4）．
【点评】本题主要考查了坐标与图形的性质、等腰三角形的性质、以及勾股定理等知识，运用勾股定理求AC的长是解题的关键．
9．（3分）如图，菱形ABCD的边长为10，对角线BD的长为16，点E，F分别是边AD，CD的中点，连接EF并延长与BC的延长线相交于点G，则EG的长为 12 ．
【分析】连接AC，交BD于点O，先证EF是△ACD的中位线，得EF∥AC，再证四边形CAEG是平行四边形，得AC＝EG，然后由勾股定理求出OA＝OC＝6，即可解决问题．
【解答】解：连接AC，交BD于点O，如图所示：
∵菱形ABCD的边长为10，
∴AD∥BC，AB＝BC＝CD＝DA＝10，
∵点E、F分别是边AD，CD的中点，
∴EF是△ACD的中位线，
∴EF∥AC，
∵AC、BD是菱形的对角线，BD＝16，
∴AC⊥BD，OB＝OD＝8，OA＝OC，
又∵AD∥BC，EF∥AC，
∴四边形CAEG是平行四边形，
∴AC＝EG，
在Rt△AOB中，AB＝10，OB＝8，
∴OA＝OC＝＝6，
∴AC＝2OA＝12，
∴EG＝AC＝12；
故答案为：12．
【点评】本题主要考查了菱形的性质，平行四边形的判定与性质，三角形中位线定理及勾股定理等知识；熟练掌握菱形、平行四边形的性质和勾股定理是解题的关键．
10．（3分）当m ＜3 时，函数y＝（m﹣3）x﹣2中y随x的增大而减小．
【分析】利用一次函数的性质可求解．
【解答】解：∵函数y＝（m﹣3）x﹣2中y随x的增大而减小．
∴m﹣3＜0
∴m＜3
故答案为：＜3
【点评】本题考查了一次函数的性质，熟练运用一次函数的性质是本题的关键．
11．（3分）小张同学的射击成绩为5，7，9，10，7，则这组数据的众数是 7 ．
【分析】根据众数的定义即可求解．
【解答】解：因为这组数据7出现的次数最多，
所以这组数据的众数是7．
故答案为：7．
【点评】本题主要考查了众数的概念．关键是根据众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．
12．（3分）如图，正方形ABCD的边长是2，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别在边AD、AB上，且OE⊥OF，则四边形AFOE的面积为 1 ．
【分析】证明△AOE≌△BOF（ASA），得出△AOE的面积＝△BOF的面积，得出四边形AFOE的面积＝正方形ABCD的面积＝×22＝1即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴OA＝OB，∠OAE＝∠OBF＝45°，AC⊥BD，
∴∠AOB＝90°，
∵OE⊥OF，
∴∠EOF＝90°，
∴∠AOE＝∠BOF，
在△AOE和△BOF中，，
∴△AOE≌△BOF（ASA），
∴△AOE的面积＝△BOF的面积，
∴四边形AFOE的面积＝正方形ABCD的面积＝×22＝1；
故答案为：1．
【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
13．（3分）已知x、y为实数，且y＝++1，则（﹣y）x的值为 1 ．
【分析】根据二次根式有意义的条件列不等式组求解，确定x和y的值，然后代入求值．
【解答】解：由题意可得，
解得：x＝2014，
∴y＝++1＝1，
∴原式＝（﹣1）2014＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件（被开方数为非负数）是解题关键．
14．（3分）如图所示，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB＝6，BC＝10，则EF的长为 2 ．
【分析】根据三角形中位线定理求出DE，根据直角三角形的性质求出DF，计算即可．
【解答】解：∵DE为△ABC的中位线，
∴DE＝BC＝5，
∵∠AFB＝90°，D是AB 的中点，
∴DF＝AB＝3，
∴EF＝DE﹣DF＝2，
故答案为：2
【点评】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
三、解答题（每题5分共20分）
15．（5分）计算：2﹣+3．
【分析】先进行二次根式的化简，再进行二次根式的乘法，最后进行加减运算，合并同类二次根式．
【解答】解：2﹣+3
＝2×﹣+3×
＝4﹣+
＝4．
【点评】此题考查了二次根式的加减运算能力，关键是能按先化简，再乘法，后加减的顺序进行正确计算．
16．（5分）化简：．
【分析】先进行二次根式的化简，再进行二次根式的加减运算，合并同类二次根式．
【解答】解：
＝3﹣4++
＝（3﹣4+1）+
＝0+
＝．
【点评】此题考查了二次根式的加减运算能力，关键是能按先化简，后加减的顺序进行正确计算．
17．（5分）已知y关于x成正比例，且当x＝2时，y＝﹣6，求：当x＝1时，y的值．
【分析】先利用待定系数法求出y＝﹣3x，然后计算x＝1对应的函数值．
【解答】解：设y＝kx，
∵当x＝2时，y＝﹣6，
∴2k＝﹣6，解得k＝﹣3，
∴y＝﹣3x，
∴当x＝1时，y＝﹣3×1＝﹣3．
【点评】本题考查了待定系数法求正比例函数的解析式：设正比例函数解析式为y＝kx（k≠0），然后把一个已知点的坐标代入求出k即可．
18．（5分）如图，在菱形ABCD中，∠A＝120°，E是AD上的点，沿BE折叠△ABE，点A恰好落在BD上的点F处，求∠BFC的度数．
【分析】由菱形的性质可得AB＝BC，∠ABC＝60°，∠ABD＝∠CBD＝30°，由折叠的性质可得AB＝BF＝BC，由等腰三角形的性质可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∠A＝120°，
∴AB＝BC，∠ABC＝60°，∠ABD＝∠CBD＝30°，
∵沿BE折叠△ABE，
∴AB＝BF，
∴BF＝BC，
∴∠BFC＝∠BCF＝75°．
【点评】本题考查了翻折变换，菱形的性质，等腰三角形的性质，掌握菱形的对角线平分每一组对角是解题的关键．
四、解答题（每题7分，共28分）
19．（7分）某乡镇企业生产部有技术工人15人，生产部为了合理制定产品的每月生产定额，统计了15人某月的加工零件个数：
加工件数
540
450
300
240
210
120
人数
1
1
2
6
3
2
（1）写出这15人该月加工零件数的平均数、中位数和众数．
（2）假如生产部负责人把每位工人的月加工零件数定为260（件），你认为这个定额是否合理，为什么？
【分析】（1）平均数＝加工零件总数÷总人数，中位数是将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．本题中应是第7个数．众数又是指一组数据中出现次数最多的数据．240出现6次．
（2）应根据中位数和众数综合考虑．
【解答】解：（1）平均数：＝260（件）；
中位数：240（件）；
众数：240（件）；
（2）不合理，因为表中数据显示，每月能完成260件的人数一共是4人，还有11人不能达到此定额，尽管260是平均数，但不利于调动多数员工的积极性，因为240既是中位数，又是众数，是大多数人能达到的定额，故定额为240较为合理．
【点评】在做本题的平均数时，应注意先算出15个人加工的零件总数．为了大多数人能达到的定额，制定标准零件总数时一般应采用中位数或众数．
20．（7分）一架方梯长25米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，
（1）这个梯子的顶端距地面有多高？
（2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？
【分析】（1）利用勾股定理可以得出梯子的顶端距离地面的高度．
（2）由（1）可以得出梯子的初始高度，下滑4米后，可得出梯子的顶端距离地面的高度，再次使用勾股定理，已知梯子的底端距离墙的距离为7米，可以得出，梯子底端水平方向上滑行的距离．
【解答】解：（1）根据勾股定理：
梯子距离地面的高度为：＝24米；
（2）梯子下滑了4米，
即梯子距离地面的高度为A'B＝AB﹣AA′＝24﹣4＝20，
根据勾股定理得：25＝，
解得CC′＝8．
即梯子的底端在水平方向滑动了8米．
【点评】本题考查的是对勾股定理在解直角三角形中的应用，要求熟练掌握．
21．（7分）若最简二次根式与是可以合并的二次根式，求a的值．
【分析】根据一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式列出方程求解即可．
【解答】解：根据题意得：a+1＝2a﹣3，
解得：a＝4．
答：a的值为4．
【点评】本题考查了同类二次根式，掌握一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式是解题的关键．
22．（7分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别是线段BC、AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．
（1）求证：△BDE≌△FAE；
（2）求证：四边形ADCF为矩形．
【分析】（1）根据平行线的性质得到∠AFE＝∠DBE，根据线段中点的定义得到AE＝DE，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；
（2）根据全等三角形的性质得到AF＝BD，推出四边形ADCF是平行四边形，根据等腰三角形的性质得到∠ADC＝90°，于是得到结论．
【解答】证明：（1）∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DBE，
∵E是线段AD的中点，
∴AE＝DE，
∵∠AEF＝∠DEB，
∴△BDE≌△FAE（AAS）；
（2）∵△BDE≌△FAE，
∴AF＝BD，
∵D是线段BC的中点，
∴BD＝CD，
∴AF＝CD，
∵AF∥CD，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵AB＝AC，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴四边形ADCF为矩形．
【点评】本题考查了矩形的判定，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．
五、解答题（每题8分，共16分）
23．（8分）冰墩墩（BingDwenDwen），是2022年北京冬季奥运会的吉祥物．将熊猫形象与富有超能量的冰晶外壳相结合，头部外壳造型取自冰雪运动头盔，装饰彩色光环，整体形象酷似航天员．冬奥会来临之际，冰墩墩玩偶非常畅销．小冬在某网店选中A，B两款冰墩墩玩偶，决定从该网店进货并销售．两款玩偶的进货价和销售价如表：
A款玩偶
B款玩偶
进货价（元/个）
20
15
销售价（元/个）
28
20
（1）第一次小冬550元购进了A，B两款玩偶共30个，求两款玩偶各购进多少个．
（2）第二次小冬进货时，网店规定A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半．小冬计划购进两款玩偶共30个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？
【分析】（1）根据题意和表格中的数据，可以列出相应的方程，然后求解即可；
（2）根据题意，可以写出利润与购进A中玩偶数量的函数关系式，再根据网店规定A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半，可以得到A中玩偶数量的取值范围，然后根据一次函数的性质，即可得到如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少．
【解答】解：（1）设购进A款玩偶x个，则购进B款玩偶（30﹣x）个，
由题意可得：20x+15（30﹣x）＝550，
解得x＝20，
∴30﹣x＝10，
答：购进A款玩偶20个，则购进B款玩偶10个；
（2）设购进A款玩偶a个，则购进B款玩偶（30﹣a）个，利润为w元，
由题意可得：w＝（28﹣20）a+（20﹣15）（30﹣a）＝3a+150，
∴w随a的增大而增大，
∵网店规定A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半，
∴a≤（30﹣a），
解得a≤10，
∴当a＝10时，w取得最大值，此时w＝180，30﹣a＝20，
答：购进A款玩偶10个，购进B款玩偶20个时才能获得最大利润，最大利润是180元．
【点评】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数关系式，利用一次函数的性质求最值．
24．（8分）如图，已知矩形ABCD的对角线交于点O，点E、F和G分别平分线段AB、OD和OA．
（1）求证：四边形OFGE是平行四边形．
（2）猜想：当∠ABD＝ 30 °时四边形OFGE是菱形，并证明．
【分析】（1）由三角形中位线知识可得OE∥FG，OE＝FG，进而可以得到四边形OFGE是平行四边形；
（2）证明△AOD为等边三角形，可得当∠ABD＝30°时，四边形OFGE是菱形．
【解答】（1）证明：∵矩形ABCD的对角线交于点O，
∴OD＝OB＝OA，
又∵点E、F和G分别平分线段AB、OD和OA，
∴OE为△ABD的中位线，FG为△AOD的中位线，
∴，OE∥AD，FG∥AD，，
∴OE∥FG，OE＝FG，
∴四边形OFGE是平行四边形；
（2）解：由（1）知，四边形OFGE是平行四边形，当四边形OFGE是菱形时，
则OF＝FG，
∴OD＝AD，
∴△AOD为等边三角形，
∴∠ADB＝60°，
∴∠ABD＝30°，
∴当∠ABD＝30°时，四边形OFGE是菱形．
故答案为：30．
【点评】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，解决本题的关键是掌握特殊四边形的性质．
六、解答题（每题10分，共20分）
25．（10分）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，动点P从点B出发沿射线BC以1cm/s的速度移动，设运动的时间为ts．
（1）求BC边的长；
（2）当△ABP为直角三角形时，求t的值．
【分析】（1）由勾股定理求解即可；
（2）①由题意得：BP＝tcm，分两种情况：①当∠APB＝90°时，点P与点C重合，则BP＝BC＝4cm，得t＝4；
②当∠BAP＝90°时，CP＝（t﹣4）cm，在Rt△ACP和Rt△ABP中，由勾股定理得：AP2＝AC2+CP2＝BP2﹣AB2，即32+（t﹣4）2＝t2﹣52，求解即可．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC＝＝＝4（cm）；
（2）由题意得：BP＝tcm，分两种情况：
①当∠APB＝90°时，如图1所示：
点P与点C重合，
∴BP＝BC＝4cm，
∴t＝4；
②当∠BAP＝90°时，如图2所示：
则CP＝（t﹣4）cm，∠ACP＝90°，
在Rt△ACP中，由勾股定理得：AP2＝AC2+CP2，
在Rt△ABP中，由勾股定理得：AP2＝BP2﹣AB2，
∴AC2+CP2＝BP2﹣AB2，
即32+（t﹣4）2＝t2﹣52，
解得：t＝；
综上所述，当△ABP为直角三角形时，t的值为4s或s．
【点评】本题考查了勾股定理以及分类讨论；熟练掌握勾股定理，进行分类讨论是解题的关键．
26．（10分）甲、乙两人同时从相距90千米的A地前往B地，甲乘汽车，乙骑电动车，甲到达B地停留半个小时后返回A地，如图是他们离A地的距离y（千米）与经过时间x（小时）之间的函数关系图象．
（1）甲从B地返回A地的过程中，直接写出y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围；
（2）若乙出发后108分钟和甲相遇，求乙从A地到B地用了多少分钟？
（3）在（2）的条件下，甲与乙同时出发后，直接写出经过多长时间他们相距20千米？
【分析】（1）首先设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，根据图象可得直线经过（1.5，90），（3，0），利用待定系数法把此两点坐标代入y＝kx+b，即可求出一次函数关系式；
（2）利用甲从B地返回A地的过程中，y与x之间的函数关系式算出y的值，即可得到108分钟时骑电动车所行驶的路程，再根据路程与时间算出电动车的速度，再用总路程90千米÷电动车的速度可得乙从A地到B地用了多长时间；
（3）根据题意列出方程解答即可．
【解答】解：（1）设甲从B地返回A地的过程中，y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，
根据题意得：，
解得，
所以y＝﹣60x+180（1.5≤x≤3）；
（2）∵当x＝时，y＝﹣60×1.8+180＝72，
∴骑电动车的速度为72÷1.8＝40（千米/时），
∴乙从A地到B地用时为90÷40＝2.25（小时）＝135分钟．
答：乙从A地到B地用了135分钟．
（3）根据题意得：90x﹣40x＝20或60（x﹣1.5）+40x＝90﹣20或60（x﹣1.5）+40x＝90+20，
解得x＝或x＝或x＝2，
答：经过时或时或2时，他们相距20千米．
【点评】此题主要考查了一次函数的应用，关键是看懂图象所表示的意义，利用待定系数法求出甲从B地返回A地的过程中，y与x之间的函数关系式．
2021-2022学年吉林省松原市油田二中八年级（下）期末
数学试卷
一、选择题（每题2分，共12分）
1．（2分）二次根式中，a的取值范围是（ ）
A．a≠﹣1 B．a＞﹣1 C．a≤﹣1 D．a≥﹣1
2．（2分）下列各组数，是勾股数的是（ ）
A． B．0.3，0.4，0.5
C．6，7，8 D．5，12，13
3．（2分）如图，E是平行四边形ABCD边AD延长线上一点，且DE＝AD，连接BE、CE、BD．若AB＝BE，则四边形BCED是（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
4．（2分）一次函数y＝kx+3（k≠0）的函数值y随x的增大而增大，它的图象不经过的象限是（ ）
A．第一 B．第二 C．第三 D．第四
5．（2分）如图，在△ABC中，点D是AB上一点，连接CD，AC＝2，BC＝2，DB＝1，CD＝，则AB的长为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
6．（2分）已知一组数据：﹣3，6，2，﹣1，0，4，则这组数据的中位数是（ ）
A．1 B． C．0 D．2
二、填空题（每题3分，共24分）
7．（3分）已知，则a＝ ．
8．（3分）如图，已知△ABO为等腰三角形，且OA＝AB＝5，B（﹣6，0），则点A的坐标为 ．
9．（3分）如图，菱形ABCD的边长为10，对角线BD的长为16，点E，F分别是边AD，CD的中点，连接EF并延长与BC的延长线相交于点G，则EG的长为 ．
10．（3分）当m 时，函数y＝（m﹣3）x﹣2中y随x的增大而减小．
11．（3分）小张同学的射击成绩为5，7，9，10，7，则这组数据的众数是 ．
12．（3分）如图，正方形ABCD的边长是2，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别在边AD、AB上，且OE⊥OF，则四边形AFOE的面积为 ．
13．（3分）已知x、y为实数，且y＝++1，则（﹣y）x的值为 ．
14．（3分）如图所示，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB＝6，BC＝10，则EF的长为 ．
三、解答题（每题5分共20分）
15．（5分）计算：2﹣+3．
16．（5分）化简：．
17．（5分）已知y关于x成正比例，且当x＝2时，y＝﹣6，求：当x＝1时，y的值．
18．（5分）如图，在菱形ABCD中，∠A＝120°，E是AD上的点，沿BE折叠△ABE，点A恰好落在BD上的点F处，求∠BFC的度数．
四、解答题（每题7分，共28分）
19．（7分）某乡镇企业生产部有技术工人15人，生产部为了合理制定产品的每月生产定额，统计了15人某月的加工零件个数：
加工件数
540
450
300
240
210
120
人数
1
1
2
6
3
2
（1）写出这15人该月加工零件数的平均数、中位数和众数．
（2）假如生产部负责人把每位工人的月加工零件数定为260（件），你认为这个定额是否合理，为什么？
20．（7分）一架方梯长25米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，
（1）这个梯子的顶端距地面有多高？
（2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？
21．（7分）若最简二次根式与是可以合并的二次根式，求a的值．
22．（7分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别是线段BC、AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．
（1）求证：△BDE≌△FAE；
（2）求证：四边形ADCF为矩形．
五、解答题（每题8分，共16分）
23．（8分）冰墩墩（BingDwenDwen），是2022年北京冬季奥运会的吉祥物．将熊猫形象与富有超能量的冰晶外壳相结合，头部外壳造型取自冰雪运动头盔，装饰彩色光环，整体形象酷似航天员．冬奥会来临之际，冰墩墩玩偶非常畅销．小冬在某网店选中A，B两款冰墩墩玩偶，决定从该网店进货并销售．两款玩偶的进货价和销售价如表：
A款玩偶
B款玩偶
进货价（元/个）
20
15
销售价（元/个）
28
20
（1）第一次小冬550元购进了A，B两款玩偶共30个，求两款玩偶各购进多少个．
（2）第二次小冬进货时，网店规定A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半．小冬计划购进两款玩偶共30个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？
24．（8分）如图，已知矩形ABCD的对角线交于点O，点E、F和G分别平分线段AB、OD和OA．
（1）求证：四边形OFGE是平行四边形．
（2）猜想：当∠ABD＝ °时四边形OFGE是菱形，并证明．
六、解答题（每题10分，共20分）
25．（10分）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，动点P从点B出发沿射线BC以1cm/s的速度移动，设运动的时间为ts．
（1）求BC边的长；
（2）当△ABP为直角三角形时，求t的值．
26．（10分）甲、乙两人同时从相距90千米的A地前往B地，甲乘汽车，乙骑电动车，甲到达B地停留半个小时后返回A地，如图是他们离A地的距离y（千米）与经过时间x（小时）之间的函数关系图象．
（1）甲从B地返回A地的过程中，直接写出y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围；
（2）若乙出发后108分钟和甲相遇，求乙从A地到B地用了多少分钟？
（3）在（2）的条件下，甲与乙同时出发后，直接写出经过多长时间他们相距20千米？
2021-2022学年吉林省松原市油田二中八年级（下）期末
数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每题2分，共12分）
1．（2分）二次根式中，a的取值范围是（ ）
A．a≠﹣1 B．a＞﹣1 C．a≤﹣1 D．a≥﹣1
【分析】根据二次根式有意义的条件列不等式组求解即可．
【解答】解：由题意可得1+a≥0，
解得a≥﹣1．
故选：D．
【点评】本题考查二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件（被开方数为非负数）是解题关键．
2．（2分）下列各组数，是勾股数的是（ ）
A． B．0.3，0.4，0.5
C．6，7，8 D．5，12，13
【分析】根据勾股数的定义：满足a2+b2＝c2的三个正整数，称为勾股数判定即可．
【解答】解：A、不是整数，故不是勾股数，不符合题意；
B、不是整数，故不是勾股数，不符合题意；
C、62+72≠82，不能构成直角三角形，不是勾股数，不符合题意；
D、52+122＝132，能构成直角三角形，是正整数，故是勾股数，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了勾股数的定义，注意：一组勾股数必须同时满足两个条件：①三个数都是正整数；②两个较小数的平方和等于最大数的平方．
3．（2分）如图，E是平行四边形ABCD边AD延长线上一点，且DE＝AD，连接BE、CE、BD．若AB＝BE，则四边形BCED是（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
【分析】由平行四边形的性质得到AD∥BC，AD＝BC，AB＝DC，继而证得四边形BCED是平行四边形，再证得BE＝DC，根据矩形的判定即可证得▱BCED是矩形．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，AB＝DC，
∴DE∥BC，
∵DE＝AD，
∴DE＝BC，
∴四边形BCED是平行四边形，
∵AB＝BE，
∴BE＝DC，
∴▱BCED是矩形，
故选：B．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质和判定，矩形的判定，根据平行四边形的判定证得四边形BCED是平行四边形是解决问题的关键．
4．（2分）一次函数y＝kx+3（k≠0）的函数值y随x的增大而增大，它的图象不经过的象限是（ ）
A．第一 B．第二 C．第三 D．第四
【分析】根据一次函数y＝kx+3（k≠0）的函数值y随x的增大而增大，可以得到k＞0，与y轴的交点为（0，3），然后根据一次函数的性质，即可得到该函数图象经过哪几个象限，不经过哪个象限，从而可以解答本题．
【解答】解：∵一次函数y＝kx+3（k≠0）的函数值y随x的增大而增大，
∴k＞0，该函数过点（0，3），
∴该函数的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限，
故选：D．
【点评】本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
5．（2分）如图，在△ABC中，点D是AB上一点，连接CD，AC＝2，BC＝2，DB＝1，CD＝，则AB的长为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【分析】根据勾股定理的逆定理可得∠CDB＝90°，可得∠CDA＝90°，再根据勾股定理可得AD，依此可求AB的长．
【解答】解：在△BDC中，BC＝2，DB＝1，CD＝，
12+（）2＝22，
∴△BDC是直角三角形，∠CDB＝90°，
∴∠CDA＝90°，
在△ADC中，AC＝2，CD＝，
∴AD＝＝3，
∴AB＝AD+BD＝3+1＝4．
故选：B．
【点评】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，关键是根据勾股定理的逆定理得到∠CDB＝90°．
6．（2分）已知一组数据：﹣3，6，2，﹣1，0，4，则这组数据的中位数是（ ）
A．1 B． C．0 D．2
【分析】先把数据按从小到大排列：﹣3，﹣1，0，2，4，6，然后根据中位数的定义求出中间两个数0和2的平均数即可．
【解答】解：把数据按从小到大排列：﹣3，﹣1，0，2，4，6，
共有6个数，最中间的两个数为0和2，它们的平均数为（0+2）÷2＝1，
即这组数据的中位数是1．
故选：A．
【点评】本题考查了中位数的定义：把一组数据按从小到大（或从大到小）排列，最中间那个数（或最中间两个数的平均数）叫这组数据的中位数．
二、填空题（每题3分，共24分）
7．（3分）已知，则a＝ ±2 ．
【分析】把已知条件两边平方，再解关于a的一元二次方程即可．
【解答】解：∵＝2，
∴a2＝4，
∴a＝±2．
故答案为：±2．
【点评】本题考查了二次根式的性质与化简：熟练掌握二次根式的性质是解决此类问题的关键．
8．（3分）如图，已知△ABO为等腰三角形，且OA＝AB＝5，B（﹣6，0），则点A的坐标为 （﹣3，4） ．
【分析】根据AB＝AO，AC⊥BO，得OC＝，在Rt△AOC中，由勾股定理得：AC＝4，即可求出点A的坐标．
【解答】解：如图，
∵B（﹣6，0），
∴OB＝6，
∵AB＝AO，AC⊥BO，
∴OC＝，
在Rt△AOC中，由勾股定理得：
AC＝，
∴A（﹣3，4）
故答案为：（﹣3，4）．
【点评】本题主要考查了坐标与图形的性质、等腰三角形的性质、以及勾股定理等知识，运用勾股定理求AC的长是解题的关键．
9．（3分）如图，菱形ABCD的边长为10，对角线BD的长为16，点E，F分别是边AD，CD的中点，连接EF并延长与BC的延长线相交于点G，则EG的长为 12 ．
【分析】连接AC，交BD于点O，先证EF是△ACD的中位线，得EF∥AC，再证四边形CAEG是平行四边形，得AC＝EG，然后由勾股定理求出OA＝OC＝6，即可解决问题．
【解答】解：连接AC，交BD于点O，如图所示：
∵菱形ABCD的边长为10，
∴AD∥BC，AB＝BC＝CD＝DA＝10，
∵点E、F分别是边AD，CD的中点，
∴EF是△ACD的中位线，
∴EF∥AC，
∵AC、BD是菱形的对角线，BD＝16，
∴AC⊥BD，OB＝OD＝8，OA＝OC，
又∵AD∥BC，EF∥AC，
∴四边形CAEG是平行四边形，
∴AC＝EG，
在Rt△AOB中，AB＝10，OB＝8，
∴OA＝OC＝＝6，
∴AC＝2OA＝12，
∴EG＝AC＝12；
故答案为：12．
【点评】本题主要考查了菱形的性质，平行四边形的判定与性质，三角形中位线定理及勾股定理等知识；熟练掌握菱形、平行四边形的性质和勾股定理是解题的关键．
10．（3分）当m ＜3 时，函数y＝（m﹣3）x﹣2中y随x的增大而减小．
【分析】利用一次函数的性质可求解．
【解答】解：∵函数y＝（m﹣3）x﹣2中y随x的增大而减小．
∴m﹣3＜0
∴m＜3
故答案为：＜3
【点评】本题考查了一次函数的性质，熟练运用一次函数的性质是本题的关键．
11．（3分）小张同学的射击成绩为5，7，9，10，7，则这组数据的众数是 7 ．
【分析】根据众数的定义即可求解．
【解答】解：因为这组数据7出现的次数最多，
所以这组数据的众数是7．
故答案为：7．
【点评】本题主要考查了众数的概念．关键是根据众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．
12．（3分）如图，正方形ABCD的边长是2，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别在边AD、AB上，且OE⊥OF，则四边形AFOE的面积为 1 ．
【分析】证明△AOE≌△BOF（ASA），得出△AOE的面积＝△BOF的面积，得出四边形AFOE的面积＝正方形ABCD的面积＝×22＝1即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴OA＝OB，∠OAE＝∠OBF＝45°，AC⊥BD，
∴∠AOB＝90°，
∵OE⊥OF，
∴∠EOF＝90°，
∴∠AOE＝∠BOF，
在△AOE和△BOF中，，
∴△AOE≌△BOF（ASA），
∴△AOE的面积＝△BOF的面积，
∴四边形AFOE的面积＝正方形ABCD的面积＝×22＝1；
故答案为：1．
【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
13．（3分）已知x、y为实数，且y＝++1，则（﹣y）x的值为 1 ．
【分析】根据二次根式有意义的条件列不等式组求解，确定x和y的值，然后代入求值．
【解答】解：由题意可得，
解得：x＝2014，
∴y＝++1＝1，
∴原式＝（﹣1）2014＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件（被开方数为非负数）是解题关键．
14．（3分）如图所示，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB＝6，BC＝10，则EF的长为 2 ．
【分析】根据三角形中位线定理求出DE，根据直角三角形的性质求出DF，计算即可．
【解答】解：∵DE为△ABC的中位线，
∴DE＝BC＝5，
∵∠AFB＝90°，D是AB 的中点，
∴DF＝AB＝3，
∴EF＝DE﹣DF＝2，
故答案为：2
【点评】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
三、解答题（每题5分共20分）
15．（5分）计算：2﹣+3．
【分析】先进行二次根式的化简，再进行二次根式的乘法，最后进行加减运算，合并同类二次根式．
【解答】解：2﹣+3
＝2×﹣+3×
＝4﹣+
＝4．
【点评】此题考查了二次根式的加减运算能力，关键是能按先化简，再乘法，后加减的顺序进行正确计算．
16．（5分）化简：．
【分析】先进行二次根式的化简，再进行二次根式的加减运算，合并同类二次根式．
【解答】解：
＝3﹣4++
＝（3﹣4+1）+
＝0+
＝．
【点评】此题考查了二次根式的加减运算能力，关键是能按先化简，后加减的顺序进行正确计算．
17．（5分）已知y关于x成正比例，且当x＝2时，y＝﹣6，求：当x＝1时，y的值．
【分析】先利用待定系数法求出y＝﹣3x，然后计算x＝1对应的函数值．
【解答】解：设y＝kx，
∵当x＝2时，y＝﹣6，
∴2k＝﹣6，解得k＝﹣3，
∴y＝﹣3x，
∴当x＝1时，y＝﹣3×1＝﹣3．
【点评】本题考查了待定系数法求正比例函数的解析式：设正比例函数解析式为y＝kx（k≠0），然后把一个已知点的坐标代入求出k即可．
18．（5分）如图，在菱形ABCD中，∠A＝120°，E是AD上的点，沿BE折叠△ABE，点A恰好落在BD上的点F处，求∠BFC的度数．
【分析】由菱形的性质可得AB＝BC，∠ABC＝60°，∠ABD＝∠CBD＝30°，由折叠的性质可得AB＝BF＝BC，由等腰三角形的性质可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∠A＝120°，
∴AB＝BC，∠ABC＝60°，∠ABD＝∠CBD＝30°，
∵沿BE折叠△ABE，
∴AB＝BF，
∴BF＝BC，
∴∠BFC＝∠BCF＝75°．
【点评】本题考查了翻折变换，菱形的性质，等腰三角形的性质，掌握菱形的对角线平分每一组对角是解题的关键．
四、解答题（每题7分，共28分）
19．（7分）某乡镇企业生产部有技术工人15人，生产部为了合理制定产品的每月生产定额，统计了15人某月的加工零件个数：
加工件数
540
450
300
240
210
120
人数
1
1
2
6
3
2
（1）写出这15人该月加工零件数的平均数、中位数和众数．
（2）假如生产部负责人把每位工人的月加工零件数定为260（件），你认为这个定额是否合理，为什么？
【分析】（1）平均数＝加工零件总数÷总人数，中位数是将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．本题中应是第7个数．众数又是指一组数据中出现次数最多的数据．240出现6次．
（2）应根据中位数和众数综合考虑．
【解答】解：（1）平均数：＝260（件）；
中位数：240（件）；
众数：240（件）；
（2）不合理，因为表中数据显示，每月能完成260件的人数一共是4人，还有11人不能达到此定额，尽管260是平均数，但不利于调动多数员工的积极性，因为240既是中位数，又是众数，是大多数人能达到的定额，故定额为240较为合理．
【点评】在做本题的平均数时，应注意先算出15个人加工的零件总数．为了大多数人能达到的定额，制定标准零件总数时一般应采用中位数或众数．
20．（7分）一架方梯长25米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，
（1）这个梯子的顶端距地面有多高？
（2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？
【分析】（1）利用勾股定理可以得出梯子的顶端距离地面的高度．
（2）由（1）可以得出梯子的初始高度，下滑4米后，可得出梯子的顶端距离地面的高度，再次使用勾股定理，已知梯子的底端距离墙的距离为7米，可以得出，梯子底端水平方向上滑行的距离．
【解答】解：（1）根据勾股定理：
梯子距离地面的高度为：＝24米；
（2）梯子下滑了4米，
即梯子距离地面的高度为A'B＝AB﹣AA′＝24﹣4＝20，
根据勾股定理得：25＝，
解得CC′＝8．
即梯子的底端在水平方向滑动了8米．
【点评】本题考查的是对勾股定理在解直角三角形中的应用，要求熟练掌握．
21．（7分）若最简二次根式与是可以合并的二次根式，求a的值．
【分析】根据一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式列出方程求解即可．
【解答】解：根据题意得：a+1＝2a﹣3，
解得：a＝4．
答：a的值为4．
【点评】本题考查了同类二次根式，掌握一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式是解题的关键．
22．（7分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别是线段BC、AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．
（1）求证：△BDE≌△FAE；
（2）求证：四边形ADCF为矩形．
【分析】（1）根据平行线的性质得到∠AFE＝∠DBE，根据线段中点的定义得到AE＝DE，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；
（2）根据全等三角形的性质得到AF＝BD，推出四边形ADCF是平行四边形，根据等腰三角形的性质得到∠ADC＝90°，于是得到结论．
【解答】证明：（1）∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DBE，
∵E是线段AD的中点，
∴AE＝DE，
∵∠AEF＝∠DEB，
∴△BDE≌△FAE（AAS）；
（2）∵△BDE≌△FAE，
∴AF＝BD，
∵D是线段BC的中点，
∴BD＝CD，
∴AF＝CD，
∵AF∥CD，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵AB＝AC，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴四边形ADCF为矩形．
【点评】本题考查了矩形的判定，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．
五、解答题（每题8分，共16分）
23．（8分）冰墩墩（BingDwenDwen），是2022年北京冬季奥运会的吉祥物．将熊猫形象与富有超能量的冰晶外壳相结合，头部外壳造型取自冰雪运动头盔，装饰彩色光环，整体形象酷似航天员．冬奥会来临之际，冰墩墩玩偶非常畅销．小冬在某网店选中A，B两款冰墩墩玩偶，决定从该网店进货并销售．两款玩偶的进货价和销售价如表：
A款玩偶
B款玩偶
进货价（元/个）
20
15
销售价（元/个）
28
20
（1）第一次小冬550元购进了A，B两款玩偶共30个，求两款玩偶各购进多少个．
（2）第二次小冬进货时，网店规定A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半．小冬计划购进两款玩偶共30个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？
【分析】（1）根据题意和表格中的数据，可以列出相应的方程，然后求解即可；
（2）根据题意，可以写出利润与购进A中玩偶数量的函数关系式，再根据网店规定A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半，可以得到A中玩偶数量的取值范围，然后根据一次函数的性质，即可得到如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少．
【解答】解：（1）设购进A款玩偶x个，则购进B款玩偶（30﹣x）个，
由题意可得：20x+15（30﹣x）＝550，
解得x＝20，
∴30﹣x＝10，
答：购进A款玩偶20个，则购进B款玩偶10个；
（2）设购进A款玩偶a个，则购进B款玩偶（30﹣a）个，利润为w元，
由题意可得：w＝（28﹣20）a+（20﹣15）（30﹣a）＝3a+150，
∴w随a的增大而增大，
∵网店规定A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半，
∴a≤（30﹣a），
解得a≤10，
∴当a＝10时，w取得最大值，此时w＝180，30﹣a＝20，
答：购进A款玩偶10个，购进B款玩偶20个时才能获得最大利润，最大利润是180元．
【点评】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数关系式，利用一次函数的性质求最值．
24．（8分）如图，已知矩形ABCD的对角线交于点O，点E、F和G分别平分线段AB、OD和OA．
（1）求证：四边形OFGE是平行四边形．
（2）猜想：当∠ABD＝ 30 °时四边形OFGE是菱形，并证明．
【分析】（1）由三角形中位线知识可得OE∥FG，OE＝FG，进而可以得到四边形OFGE是平行四边形；
（2）证明△AOD为等边三角形，可得当∠ABD＝30°时，四边形OFGE是菱形．
【解答】（1）证明：∵矩形ABCD的对角线交于点O，
∴OD＝OB＝OA，
又∵点E、F和G分别平分线段AB、OD和OA，
∴OE为△ABD的中位线，FG为△AOD的中位线，
∴，OE∥AD，FG∥AD，，
∴OE∥FG，OE＝FG，
∴四边形OFGE是平行四边形；
（2）解：由（1）知，四边形OFGE是平行四边形，当四边形OFGE是菱形时，
则OF＝FG，
∴OD＝AD，
∴△AOD为等边三角形，
∴∠ADB＝60°，
∴∠ABD＝30°，
∴当∠ABD＝30°时，四边形OFGE是菱形．
故答案为：30．
【点评】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，解决本题的关键是掌握特殊四边形的性质．
六、解答题（每题10分，共20分）
25．（10分）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，动点P从点B出发沿射线BC以1cm/s的速度移动，设运动的时间为ts．
（1）求BC边的长；
（2）当△ABP为直角三角形时，求t的值．
【分析】（1）由勾股定理求解即可；
（2）①由题意得：BP＝tcm，分两种情况：①当∠APB＝90°时，点P与点C重合，则BP＝BC＝4cm，得t＝4；
②当∠BAP＝90°时，CP＝（t﹣4）cm，在Rt△ACP和Rt△ABP中，由勾股定理得：AP2＝AC2+CP2＝BP2﹣AB2，即32+（t﹣4）2＝t2﹣52，求解即可．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC＝＝＝4（cm）；
（2）由题意得：BP＝tcm，分两种情况：
①当∠APB＝90°时，如图1所示：
点P与点C重合，
∴BP＝BC＝4cm，
∴t＝4；
②当∠BAP＝90°时，如图2所示：
则CP＝（t﹣4）cm，∠ACP＝90°，
在Rt△ACP中，由勾股定理得：AP2＝AC2+CP2，
在Rt△ABP中，由勾股定理得：AP2＝BP2﹣AB2，
∴AC2+CP2＝BP2﹣AB2，
即32+（t﹣4）2＝t2﹣52，
解得：t＝；
综上所述，当△ABP为直角三角形时，t的值为4s或s．
【点评】本题考查了勾股定理以及分类讨论；熟练掌握勾股定理，进行分类讨论是解题的关键．
26．（10分）甲、乙两人同时从相距90千米的A地前往B地，甲乘汽车，乙骑电动车，甲到达B地停留半个小时后返回A地，如图是他们离A地的距离y（千米）与经过时间x（小时）之间的函数关系图象．
（1）甲从B地返回A地的过程中，直接写出y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围；
（2）若乙出发后108分钟和甲相遇，求乙从A地到B地用了多少分钟？
（3）在（2）的条件下，甲与乙同时出发后，直接写出经过多长时间他们相距20千米？
【分析】（1）首先设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，根据图象可得直线经过（1.5，90），（3，0），利用待定系数法把此两点坐标代入y＝kx+b，即可求出一次函数关系式；
（2）利用甲从B地返回A地的过程中，y与x之间的函数关系式算出y的值，即可得到108分钟时骑电动车所行驶的路程，再根据路程与时间算出电动车的速度，再用总路程90千米÷电动车的速度可得乙从A地到B地用了多长时间；
（3）根据题意列出方程解答即可．
【解答】解：（1）设甲从B地返回A地的过程中，y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，
根据题意得：，
解得，
所以y＝﹣60x+180（1.5≤x≤3）；
（2）∵当x＝时，y＝﹣60×1.8+180＝72，
∴骑电动车的速度为72÷1.8＝40（千米/时），
∴乙从A地到B地用时为90÷40＝2.25（小时）＝135分钟．
答：乙从A地到B地用了135分钟．
（3）根据题意得：90x﹣40x＝20或60（x﹣1.5）+40x＝90﹣20或60（x﹣1.5）+40x＝90+20，
解得x＝或x＝或x＝2，
答：经过时或时或2时，他们相距20千米．
【点评】此题主要考查了一次函数的应用，关键是看懂图象所表示的意义，利用待定系数法求出甲从B地返回A地的过程中，y与x之间的函数关系式．
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