2021-2022学年广西南宁市高二（下）期末数学试卷（理科）（Word解析版）

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2021-2022学年广西南宁市高二（下）期末数学试卷（理科）

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 已知集合，，则(    )

A.  B.
C.  D.

2. 若，则的虚部为(    )

A.  B.  C.  D.

3. 展开式中的系数为(    )

A.  B.  C.  D.

4. 若函数的导函数，则(    )

A. 的极小值点为 B. 的极小值点为
C. 的极大值点为 D. 的极大值点为

5. 直线：被圆：截得的弦长为(    )

A.  B.  C.  D.

6. 某单位组织员工进行跳绳，分为甲、乙两组，其中甲组有人，乙组有人，在一分钟内，统计出甲组单人跳绳次数的平均数为，乙组单人跳绳次数的平均数为，则甲、乙两组单人跳绳次数的平均数为(    )

A.  B.  C.  D.

7. 已知，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

8. 已知，则(    )

A.  B.  C.  D.

9. 若函数则(    )

A.  B.  C.  D.

10. 函数的部分图象如图所示，则函数的图象可以由的图象(    )

A. 向左平移个单位长度得到
B. 向左平移个单位长度得到
C. 向右平移个单位长度得到
D. 向右平移个单位长度得到

11. 已知抛物线焦点的坐标为，为抛物线上的任意一点，，则的最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

12. 如图，在直三棱柱中，，，是的中点，则直线与平面所成角的正弦值为(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 若实数，满足则的最大值为______．
14. 已知向量，满足，，，则______．
15. 已知一个圆柱与一个圆锥的轴截面分别为正方形与正三角形，且正方形与正三角形的边长相等，则该圆柱的体积与圆锥的体积的比值为______．
16. 已知双曲线：的顶点到一条渐近线的距离为实轴长的，则双曲线的离心率为______．

三、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 已知在正方体中，，，分别是棱，，的中点．
    证明：与平面不平行；
    求直线与平面所成角的正弦值．

18. 已知是公差不为的等差数列，，且，的等比中项为．
    求通项公式；
    若，求数列的前项和．
19. 在中，角，，的对边分别为，，，且．
    求角；
    若，，求的面积．
20. 已知函数．
    求的导函数；
    若在上有零点，求的取值范围．
21. 第届冬季奥运会于年月日在北京开幕，本次冬季奥运会共设个大项，个分项，个小项．为调查学生对冬季奥运会项目的了解情况，某学校进行了一次抽样调查，被调查的男女生人数均为，其中对冬季奥运会项目了解比较全面的学生中男生人数是女生人数的倍．将频率视为概率，从被调查的男生和女生中各选人，人都对冬季奥运会项目了解不够全面的概率．
    求对冬季奥运会项目了解比较全面的学生人数；
    将频率视为概率，用样本估计总体，从该校全体学生中随机抽取人，记其中对冬季奥运会项目了解比较全面的人数为，求的分布列与数学期望．
22. 已知椭圆的离心率，且椭圆经过点．
    求椭圆的方程；
    不过点的直线：与椭圆交于，两点，记直线，的斜率分别为，，试判断是否为定值．若是，求计该定值；若不是，请说明理由．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：因为，，
则．
故选：．
由已知结合集合交集运算的定义即可求解．
本题主要考查了集合交集运算，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
的虚部为．
故选：．
利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数的基本概念得答案．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：的展开式中含的展开项是．
故含的系数为．
故选：．
直接利用二项式的展开式及组合数的应用求出结果．
本题考查的知识要点：二项式的展开式，组合数的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
当时，；当时，．
所以的极小值点为，无极大值点．
故选：．
利用导数研究函数的单调性与极值即可判断出结论．
本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：化 圆：为，
则圆心为，半径为，
圆心到直线的距离为，
直线被圆截得的弦长为．
故选：．
化圆的方程为标准方程，求出圆心坐标与半径，再求出圆心到直线的距离，然后利用垂径定理求弦长．
本题考查直线与圆位置关系的应用，训练了利用垂径定理求弦长，是基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：某单位组织员工进行跳绳，分为甲、乙两组，其中甲组有人，乙组有人
设甲组单人跳绳的次数分别为，，，，，，
乙组单人跳绳的次数分别为，，，．
因为甲组单人跳绳次数的平均数，乙组单人跳绳次数的平均数，
所以甲、乙两组的平均数为．
故选：．
利用加权平均数公式直接求解．
本题考查平均数公式、加权平均数公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
，
，
．
故选：．
利用对数函数、指数函数的单调性直接求解．
本题考查三个数的大小的判断，考查对数函数、指数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：由于，
所以：．
故选：．
直接利用三角函数的诱导公式和二倍角公式求出三角函数的值．
本题考查的知识要点：三角函数的诱导公式和二倍角公式，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
 

9.【答案】 

【解析】解：，
，
故选：．
根据函数的解析式求出函数值即可．
本题考查了函数求值问题，考查分段函数，是基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：由图可知，，，则，所以．
由，，得，所以．
把函数的图象向左平移个单位长度，可得的图象，故A错误；
把函数的图象向左平移个单位长度，可得的图象，故B错误；
把函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象，故C错误；
把函数的图象向右平移个单位长度，
所得图象对应的函数解析式为，故D正确，
故选：．
由题意，根据根据正弦函数的图象和性质，由顶点坐标求出，由周期求出，由最低点的坐标求出，可得的解析式，再根据函数的图象变换规律，得出结论．
本题主要考查函数的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，属于中档题．
 

11.【答案】 

【解析】解：因为抛物线焦点的坐标为，所以，解得抛物线方程为：．
为抛物线上的任意一点，，
记抛物线准线的方程为，作于，做于，

则，当且仅当为与抛物线的交点时，等号成立．
故选：．
画出图形，结合抛物线的性质求解抛物线方程，列出不等关系，推出结果．
本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
 

12.【答案】 

【解析】解：由题设，且到平面的距离为，
又，故E到上高为，所以，
设到平面的距离为，由，解得，
故直线与平面所成角的正弦值为．
故选：．
应用等体积法求到平面的距离，结合的长，即可求直线与平面所成角的正弦值．
本题考查了线面角的计算，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：作出不等式组对应的可行域，如图：
联立，解得，
可知当直线经过点时，取得最大值．
故答案为：．
根据条件作出可行域，数形结合可得结果．
本题考查了简单的线性规划问题，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：，，，
．
，
，
故答案为：．
由，，平方建立方程即可求解．
本题考查向量数量积的性质，方程思想，属基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：设正方形与正三角形的边长为，则圆柱的底面半径为，高为，所以体积为；
圆雉的底面半径为，高为，所以体积为．
所以圆柱的体积与圆锥的体积的比值为．
故答案为：．
根据圆柱和圆锥的体积公式直接计算，然后求比可得．
本题考查了圆柱和圆锥体积的计算，属于基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：因为双曲线：的顶点到一条渐近线的距离为实轴长的，
双曲线的顶点到一条渐近线的距离为，所以，
所以，所以，双曲线的离心率．
故答案为：．
利用已知条件列出方程，转化求解离心率即可．
本题考查双曲线的简单性质的应用，离心率的求法，是基础题．
 

17.【答案】证明：以为坐标原点，的方向分别为，，轴的正方向建立空间直角坐标系，
设，则，，，，，，
所以，
设平面的法向量为，则，
令，得，
因为，
所以与平面不平行．
解：由可得，
所以，
设直线与平面所成的角为，则，
故直线与平面所成的角为．
 

【解析】以为坐标原点，建立空间直角坐标系，设，写出各点坐标，求出平面的一个法向量，计算的值后，即可得结论；
求出与平面的法向量夹角的余弦值后，可得线面角的正弦值．
本题考查线面角的求法，线面平行的判定，熟练掌握利用空间向量判断线面平行，求线面角的方法是解题的关键，考查空间立体感，推理论证能力和运算能力，属于中档题．
 

18.【答案】解：设的公差为，
因为，的等比中项为，所以，
因为，所以，解得或舍，
所以数列是首项为，公差为的等差数列，
故．
因为，
所以． 

【解析】结合等差数列的通项公式与等比中项的性质可求得公差，再由等差数列的通项公式，得解；
写出数列的通项公式后，再由裂项求和法，即可得解．
本题考查数列的求和，熟练掌握等差数列的通项公式，等比中项性质，以及裂项求和法是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 

19.【答案】解：在中，角，，的对边分别为，，，
因为    ，
所以 ，
所以  ，
所以 ．
因为，所以．
因为，，，
所以由余弦定理 ，
可得，即，
解得或舍去，
故的面积为 ． 

【解析】利用已知条件，结合正弦定理以及余弦定理转化求解即可．
利用余弦定理求解，然后求解三角形的面积．
本题考查三角形的解法，余弦定理的应用，考查计算能力，是中档题．
 

20.【答案】解：函数，
的导函数．
若在上有零点，即在上能成立，
即在上有解，
即函数和直线在上有交点．
由于直线经过定点，
函曲线在上的端点为，，
直线的斜率为，直线的斜率为，
故． 

【解析】由题意，根据函数的解析式，求函数的导数．
由题意，函数和直线在上有交点，数形结合求得的范围．
本题主要考查求函数的导数，函数的能成立问题，求曲线的交点，属于中档题．
 

21.【答案】解：设对冬季奥运会项目了解比较全面的女生人数为，
对冬季奥运会项目了解比较全面的学生中男生人数是女生人数的倍．
对冬季奥运会项目了解比较全面的男生人数为，
从被调查的男生和女生中各选人，人都对冬季奥运会项目了解不够全面的概率为，
，
故对冬季奥运会项目了解比较全面的学生人数为．
从全校学生中随机抽取人且该学生对冬季奥运会项目了解比较全面的概率，
由题意可知，随机变量，故所有可能取值为，，，，
，，，，
故的分布列为

故由二项分布的期望公式可得，． 

【解析】根据已知条件，结合频率与频数的关系，即可求解．
从全校学生中随机抽取人且该学生对冬季奥运会项目了解比较全面的概率，由题意可知，随机变量，故所有可能取值为，，，，分别求出对应的概率，再结合期望公式，即可求解．
本题主要考查了离散型随机变量及其分布列，需要学生熟练掌握期望公式，属于中档题．
 

22.【答案】解：由题意可得，
解得，，
故椭圆的方程为．
因为直线不过，且直线，的斜率存在，所以且，
设，，联立方程组，得，
则，，
由，得且，
因为，
所以，
即为定值，且． 

【解析】根据已知条件求得，，由此求得椭圆的方程．
联立直线的方程和椭圆的方程，化简写出根与系数关系，从而计算出为定值．
本题主要考查椭圆方程的求解，直线与圆锥曲线的位置关系，韦达定理及其应用，圆锥曲线中的定点定值问题等知识，属于中等题．