2021-2022学年四川省成都市蓉城名校联盟高二（下）入学数学试卷（文科）（Word解析版）

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2021-2022学年四川省成都市蓉城名校联盟高二（下）入学数学试卷（文科）

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 若直线的方程为，则直线的纵截距为(    )

A.  B.  C.  D.

2. 双曲线的一个焦点到渐近线的距离为(    )

A.  B.  C.  D.

3. 同时抛掷两枚骰子，向上点数之和为的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 在空间直角坐标系中，点到点的距离为(    )

A.  B.  C.  D.

5. “”是“”的(    )

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

6. 已知直线：，直线：，若，则(    )

A.  B.  C.  D.

7. 执行如图所示的程序，若输入的，则输出的(    )

A.  B.  C.  D.

8. 已知抛物线的焦点为，定点，点是抛物线上一个动点，则的最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

9. 若两定点，，动点满足，则动点的轨迹围成区域的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

10. 已知椭圆：上有一异于顶点的点，，分别是椭圆的左、右顶点，且两直线，的斜率的乘积为，则椭圆的离心率为(    )

A.  B.  C.  D.

11. 已知直线：，圆：，为上一动点，过点作圆的切线，，切点为，，则四边形面积的最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

12. 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，若存在点，满足，则的斜率的最大值为(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 若直线：与直线：平行，则______．
14. 某班级积极响应“书香校园”活动的号召，如图所示茎叶图记录了该班甲、乙两个小组的同学在寒假中阅读打卡的天数单位：天，已知甲组数据的中位数为，乙组数据的平均数为，则的值为______．

15. 斜率为的直线与抛物线相交于，两点，若，两点的中点为，则的值为______．
16. 已知椭圆，过点的直线与椭圆交于不同的两点、，为坐标原点，若为锐角，则直线的斜率的取值范围为______．

三、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分
    已知直线的方程为，求直线恒过定点的坐标；
    已知点，，，若过点的直线与线段有公共交点，求直线的斜率的取值范围．
18. 本小题分
    某班级利用寒假假期推行“学习互助小组”．
    班上有个同学，女生与男生的比例为：，开学后老师按男女生比例抽查一个样本容量为的样本，则男生被抽到的人数是多少？
    现有小明同学和小华同学结对相互学习，两人约定到公共图书馆学习，约定时间为早上点到点注：两人在这一段时间内任一时刻到达公共图书馆的可能性均相等，相互约定，等待对方的时间不超过分钟，否则就取消当天的学习活动．求他们俩当天能成功一起学习的概率是多少？
19. 本小题分
    已知圆：．
    过点作圆的切线，求切线的方程；
    已知圆：上只有个点到直线：的距离为，求的取值范围．
20. 本小题分
    开学在即，某校对全校学生返校所花费的时间进行调查，统计了该校学生居住地到学校的距离单位：千米和学生花费在返校路上的时间单位：分钟，得到如下数据：

由统计资料表明与具有线性相关关系．
求线性回归方程精确到；
小明家离学校千米，请问小明到学校所花费的时间约为多少分钟？精确到整数
若的距离数据，称为“完美距离”，那么从个距离中任取个，求抽取到的个数据中至少有一个是“完美距离”的概率．
参考公式及数据：，，．

21. 本小题分
    若点到直线的距离比它到点的距离大．
    求点的轨迹方程；
    过点的直线与点的轨迹曲线交于，两点，过点的直线与点的轨迹曲线交于，两点，若，求的值．
22. 本小题分
    已知双曲线的离心率，虚轴在轴上且长为．
    求双曲线的标准方程；
    过点作直线与双曲线的左支只有一个交点，求直线的斜率的取值范围；
    已知椭圆：，若，分别是，上的动点，且，到直线的距离是否为定值，若是，求出此定值；若不是，请说明理由．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：令得，
故直线的纵截距为．
故选：．
结合直线纵截距的概念即可求解．
本题主要考查了直线的纵截距的求解，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：根据题意，由双曲线，
可得焦点坐标为，渐近线的方程为；
结合双曲线的对称性，其任一个焦点到它的渐近线的距离相等，
故只需计算一个焦点到其中一条渐近线的距离即可，其距离为，
故选：．
根据双曲线的方称可得其焦点坐标与渐近线的方程，由于双曲线的对称性，只需计算一个焦点到其中一条渐近线的距离即可，由点到直线的距离公式，计算可得答案．
本题考查双曲线的性质，解题时注意结合双曲线的对称性，只需计算一个焦点到其中一条渐近线的距离即可．
 

3.【答案】 

【解析】解：抛掷两颗骰子所出现的不同结果数是
事件“抛掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为”所包含的基本事件有，，，共四种
故事件“抛掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为”的概率是，
故选：．
利用列举法得到同时向上掷两枚骰子，向上的点数之和共有种结果，而向上的点数之和为的结果有种情况，由此能求出向上的点数之和等于的概率．为．
本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．
 

4.【答案】 

【解析】解：在空间直角坐标系中，点到点的距离为：
．
故选：．
利用两点间距离公式直接求解．
本题考查空间中两点间距离公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：由得，得，得，
则是的必要不充分条件，
故选：．
求出不等式的等价条件，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的关系进行判断是解决本题的关键，是基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：因为：，直线：，，
所以，
则．
故选：．
结合直线垂直的条件及同角基本关系即可求解．
本题主要考查了直线垂直条件的应用及同角基本关系，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：第一次循环后，
第二次循环后，
第三次循环后，
第四次循环后，
此时满足，终止循环，输出，
故选：．
利用循环语句，一一循环，直至，终止循环，输出．
本题考查了语句的功能计算输入、输出值，属于基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：由题意可知，抛物线的焦点坐标，准线方程为，
由抛物线定义可知当轴时，取得最小值，最小值为．
故选：．
利用抛物线的定义，结合抛物线的性质，转化求解即可．
本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，属基础题．
 

9.【答案】 

【解析】解：设，依题意，，
化简整理得：，因此，动点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，
所以动点的轨迹围成区域的面积为．
故选：．
根据给定条件求出动点的轨迹方程，再确定轨迹即可计算作答．
本题考查了动点的轨迹方程的面积计算，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：由题意知，，设，
则，，
于是．
所以，
又，
所以，
所以，
即椭圆的离心率为．
故选：．
由题意可知，，设，把点的坐标代入椭圆方程，结合条件直线，的斜率之积求出，的值，从而求出椭圆的离心率．
本题主要考查了椭圆的标准方程与简单几何性质的应用问题，是中档题．
 

11.【答案】 

【解析】解：如图，

，
要使四边形的面积最小，则最小，
，
四边形面积的最小值为．
故选：．
由题意画出图形，问题转化为求圆的圆心到直线直线：的最小值，再由得到直线的距离公算求解．
本题考查直线与圆位置关系的应用，考查化归与转化思想，考查运算求解能力，是中档题．
 

12.【答案】 

【解析】解：由题意：，，
设点，，在抛物线上，故，
，，
，
，即，
，
当时，；
当时，，
当且仅当即时，等号成立，
有最大值．
故选：．
设点，，表示出，考虑 的正负情况，结合基本不等式即可求得答案．
本题考查了抛物线的性质及其应用，考查了计算能力，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：直线：与直线：平行，
则，
解得．
故答案为：．
利用直线与直线平行的性质直接求解．
本题考查直线与直线平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：根据茎叶图，知甲组数据的中位数为，所以；
乙组数据的平均数为，解得；
所以．
故答案为：．
根据茎叶图，由甲组数据的中位数求出，乙组数据的平均数求出，从而求出．
本题考查了茎叶图的应用问题，以及根据茎叶图中的数据求平均数与中位数，是基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：设，，
由，得，
因为直线的斜率为，且，两点的中点为，
所以，
解得：．
故答案为：．
根据直线的斜率为，且，两点的中点为，利用点差法求解．
本题主要考查了直线与抛物线相交问题，考查了“点差法”，属于中档题．
 

16.【答案】 

【解析】解：由题意可得直线的斜率存在且不为，
设直线的方程为，设，，
联立，整理可得：，
，可得，即或，
且，，，
因为为锐角，所以，
即，
代入可得，
可得，即，
综上所述，的取值范围为：，
故答案为：
设直线的方程，与椭圆的方程联立，，求出的范围，再求出两根之积，由为锐角，所以，可得的范围，进而求出的取值范围．
本题考查直线与椭圆的综合应用，角为锐角与数量积的关系，属于中档题．
 

17.【答案】解：由已知可得，即，
则，
解得，，
所以直线恒过定点；
因为，，
由过点的直线与线段有公共交点得或，
故的取值范围为或 

【解析】由已知结合直线系方程可求；
先求出，，然后结合直线的位置关系可求．
本题主要考查了恒过定点的直线及直线的斜率公式的应用，属于基础题．
 

18.【答案】解：人中，抽取人，样本比，
女生与男生的比例为：，女生人数有人，男生人数有人，
则抽取的男生人数为人，男生被抽到的人数为人．
设小明同学到公共图书馆的时间为，小华同学到公共图书馆的时间为，
将：：这个时间段看作，分钟为小时．
记总事件为，对应区域为图示正方形区域，．
小明与小华能聚在一起学习记作事件，

，对应区域为图中阴影部分，
他们俩当天能成功一起学习的概率为． 

【解析】根据分层抽样的比例直接计算求得答案；
根据几何概型的概率计算方法，求得总事件为对应的区域面积，再求得小明与小华能聚在一起学习的事件的对应区域面积，即可求得答案．
本题主要考查分层抽样和几何概型，属于基础题．
 

19.【答案】解：根据题意，圆：，其圆心为，半径；
若直线的斜率不存在，此时切线的方程为，与圆相切，符合题意，
若直线的斜率存在，设切线的斜率为，此时切线的方程为，即，
此时有，解可得，此时直线的方程为，即；
此时切线的方程为，
故直线的方程为或；
根据题意，圆：，其圆心为，
圆心到直线：的距离，
若圆上只有个点到直线的距离为，则有，解可得，
即的取值范围为． 

【解析】根据题意，分直线的斜率是否存在两种情况讨论，求出切线的方程，综合可得答案；
根据题意，求出圆心到直线的距离，由直线与圆的位置关系分析可得答案．
本题考查直线与圆的位置关系，涉及圆的标准方程，属于基础题．
 

20.【答案】解：由已知表格中的数据可得，，
又已知，，
，，
；
当千米时，分钟，
小明到学校时间约为分钟；
由表格可知，个数据中，满足的有两个，记为，，剩下的记作，，，，
则个数据中，抽取个数据，共有种抽法，分别为，，，，，
，，，，，，，，，，
其中至少有一个完美距离的有种，则抽取到的个数据中至少有一个是“完美距离”的概率． 

【解析】由已知求得与的值，即可得到线性回归方程；
在中求得线性回归方程中，取求得值即可；
利用枚举法结合随机事件的概率公式求解．
本题考查线性回归方程及其求法，考查随机事件及其概率的求法，考查运算求解能力，是基础题．
 

21.【答案】解：由题意可知点到的距离与到点的距离相等，
点的轨迹为以点为焦点的抛物线且，
点的轨迹方程为．
抛物线的焦点为，
由题意可知，若与中有一条直线的斜率不存在不符合题意，
与都存在，且，，
设的方程为，，，
联立消得：，
，，
同理，
． 

【解析】根据抛物线的定义即可求得答案；
设直线方程并联立抛物线方程得到根与系数的关系式，表示出弦长，，继而得到的表达式，化简可得答案．
本题主要考查了动点的轨迹方程，直线与抛物线的位置关系，属于中档题．
 

22.【答案】解：因为双曲线的虚轴在轴，则设双曲线的标准方程为，
由题意得，，
又，，
双曲线的标准方程为或．
双曲线的渐近线方程为：，
过点与左支只有一个交点，则
当直线垂直于轴时，
，，则到直线的距离为，
当直线不垂直于轴时，
设直线的方程为，则直线的方程为，
联立方程，得，
，同理，
设到直线的距离为，
，
，
即，
综上所述所，到直线的距离是定值，定值． 

【解析】依题意，设双曲线的标准方程为，由，可求出，的值，从而得到双曲线的标准方程．
根据双曲线的渐近线方程，即可求出直线的斜率的取值范围．
对直线的斜率是否存在分两种情况讨论，结合点到直线的距离公式即可求解结果．
本题主要考查了双曲线的标准方程，考查了直线与双曲线的位置关系，属于中档题．