【最新版】高中数学（新人教B版）习题+同步课件章末检测卷(二)

章末检测卷(二)

(时间：120分钟　满分：150分)

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1.已知一元二次方程的两根之和是3，两根之积是－2，则这个方程是(　　)

A.x2＋3x－2＝0  B.x2＋3x＋2＝0

C.x2－3x－2＝0  D.x2－3x＋2＝0

答案　C

解析　由根与系数的关系知方程为x2－3x－2＝0.

2.设a，b，c，d∈R，且a>b，c>d，则下列结论中正确的是(　　)

A.ac>bd  B.a－c>b－d

C.a＋c>b＋d  D.>

答案　C

解析　∵a>b，c>d，

∴a＋c>b＋d.

3.若方程组的解也是方程3x＋ky＝10的解，则k的值是(　　)

A.k＝6  B.k＝10 

C.k＝9  D.k＝

答案　B

解析　由解得代入3x＋ky＝10，易得k＝10.

4.不等式x2－ax－12a2<0(其中a<0)的解集为(　　)

A.(－3a，4a)  B.(4a，－3a)

C.(－3，4)  D.(2a，6a)

答案　B

解析　∵x2－ax－12a2＝(x＋3a)(x－4a)，∴不等式可化为(x＋3a)(x－4a)＜0，

又a＜0，∴4a<－3a，

∴不等式的解集为(4a，－3a).

5.若关于x的不等式x2－ax＋2a>0的解集为R，则a的取值范围为(　　)

A.(－8，0) B.(0，8)

C.[0，8] D.(－∞，0)∪(8，＋∞)

答案　B

解析　由题意知Δ＝(－a)2－4×2a＝a2－8a<0，∴0＜a＜8.

6.若关于x的不等式ax－b>0的解集为{x|x>1}，则关于x的不等式>0的解集为(　　)

A.{x|x<－2，或x>1}  B.{x|1<x<2}

C.{x|x<－1，或x>2} D.{x|－2<x<－1}

答案　C

解析　∵不等式ax－b>0的解集为{x|x>1}，

∴x＝1为ax－b＝0的根且a>0，

∴a－b＝0，即a＝b，

故＝>0，

等价于(x＋1)(x－2)>0.

∴x>2或x<－1.

7.不等式2x2－axy＋y2≥0，对于任意x∈[1，2]及y∈[1，3]恒成立，则实数a的取值范围是(　　)

A.(－∞，2]  B.[2，＋∞)

C.  D.

答案　A

解析　由题知，a≤，而≥＝2(当且仅当2x2＝y2时取“＝”)，由于存在x∈[1，2]，y∈[1，3]，使2x2＝y2，故a≤2.

8.已知x，y，z∈(0，＋∞)，且满足x－2y＋3z＝0，则的最小值为(　　)

A.3  B.6 

C.9  D.12

答案　A

解析　由题意知y＝，

所以＝＝＋≥＋＝＋＝3，

当且仅当x2＝9z2时等号成立，

所以的最小值为3.

二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)

9.在数轴上，A(x)，B(3)，且AB＝，则(　　)

A.x＝或－

B.x＝－或

C.AB的中点C或C

D.AB的中点C或C

答案　AC

解析　由题意AB＝|x－3|＝，

∴x－3＝±，x＝或－，

∴AB中点对应的数为＝或＝.

10.若<<0，则下列不等式中正确的不等式有(　　)

A.a＋b<ab  B.|a|>|b|

C.a<b  D.＋>2

答案　AD

解析　∵<<0，∴b<a<0，∴a＋b<0<ab，故A正确；∵－b>－a>0，

∴|b|>|a|，故B错误；C显然错误；

由于>0，>0，∴＋>2＝2，故D正确.故选AD.

11.若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中恒成立的是(　　)

A.a2＋b2≥2ab  B.a＋b≥2

C.＋>  D.＋≥2

答案　AD

解析　对于A，a2＋b2≥2ab，所以A正确；对于B，C，显然ab>0，只能说明a，b同号，若a，b都小于0时，所以B，C错误；

∵ab>0，∴＋≥2，故选AD.

12.下列命题中是假命题的有(　　)

A.|x2|＋|x|－2＝0有四个实数解

B.设a，b，c是实数，若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0无实根，则ac≥0

C.若x2－3x＋2≠0，则x≠2

D.若x∈R，则函数y＝＋的最小值为2

答案　AD

解析　|x2|＋|x|－2＝0，则|x|＝1或|x|＝－2(舍)，故方程只有两个实数解，故A是假命题；设a，b，c是实数，若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0无实根，则b2－4ac<0，则ac>≥0，则ac>0，可推出ac≥0，故B是真命题；若x2－3x＋2≠0，则x≠2且x≠1，可推出x≠2，故C是真命题；

若x∈R，则函数y＝＋的最小值为，此时x＝0，故D是假命题.

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13.若不等式组的解集为(－1，1)，则(a＋1)·(b＋1)＝________.

答案　－2

解析　由2x－a<1，得x<，由x－2b>3，得x>2b＋3.

得

∴(a＋1)(b＋1)＝2×(－1)＝－2.

14.某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝________吨.

答案　20

解析　设一年总费用为y万元，每年购买次数为次，则y＝·4＋4x＝＋4x≥2＝160(万元)，

当且仅当＝4x，即x＝20时等号成立，故x＝20.

15.方程x2＋(m－2)x＋5－m＝0的两根都大于2，则m的取值范围是________.

答案　(－5，－4]

解析　Δ＝(m－2)2－4(5－m)≥0，即m≤－4或m≥4，

设两根为x1，x2，则

由题意

即

∴

∴－5＜m＜－2.

又∵m≤－4，∴－5＜m≤－4.

16.已知a>0，b>0，且＋＝1，则＋的最小值为________，取得最小值时a＝________.(第一个空3分，第二个空2分)

答案　2　1＋

解析　∵a>0，b>0，且＋＝1，

∴＝>0，

∴a－1＝，且b－1>0，

则＋＝3(b－1)＋≥2＝2，

当且仅当3(b－1)＝，

即b＝1＋时，上式取等号，

此时a＝1＋.

四、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(10分)(1)若不等式ax2＋bx＋3>0的解集为(－1，3)，求a，b的值；

(2)若a＋b＝1，a>0，b>0，求＋的最小值.

解　(1)∵不等式ax2＋bx＋3>0的解集为(－1，3)，

∴－1和3是方程ax2＋bx＋3＝0的两个实根，

从而有解得

(2)∵a＋b＝1，又a>0，b>0，

∴＋＝(a＋b)＝5＋＋≥5＋2＝9，

当且仅当即时等号成立，

∴＋的最小值为9.

18.(12分)已知二次函数y＝ax2＋bx－a＋2.

(1)若关于x的不等式ax2＋bx－a＋2>0的解集是(－1，3)，求实数a，b的值；

(2)若b＝2，a>0，求关于x的不等式ax2＋bx－a＋2>0的解集.

解　(1)因为不等式ax2＋bx－a＋2>0的解集为(－1，3)，

所以－1，3是方程ax2＋bx－a＋2＝0的两根，

所以可得

解得

(2)当b＝2时，y＝ax2＋2x－a＋2＝(x＋1)(ax－a＋2)，

因为a>0，

所以(x＋1)(ax－a＋2)>0可转化为x＋1)>0，

①若－1＝，

即a＝1时，解集为(－∞，－1)∪(－1，＋∞).

②若－1>，即0<a<1时，

解集为∪，

③若－1<，即a>1时，

解集为(－∞，－1)∪.

综上，当0<a<1时，解集为∪(－1，＋∞)；

当a＝1时，解集为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)；

当a>1时，解集为(－∞，－1)∪.

19.(12分)已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证：＋≤2.

证明　≤，≤，

∴＋≤＋＝＝2，

当且仅当a＝b＝时，等号成立.

20.(12分)已知不等式>0(a∈R).

(1)解这个关于x的不等式；

(2)若当x＝－a时不等式成立，求a的取值范围.

解　(1)原不等式等价于(ax－1)(x＋1)>0.

①当a＝0时，由－(x＋1)>0，得x<－1.

②当a>0时，不等式可化为(x＋1)>0，

解得x<－1或x>.

③a<0时，不等式可化为(x＋1)<0.

若<－1，即－1<a<0，则<x<－1；

若＝－1，即a＝－1，则不等式的解集为空集；

若>－1，即a<－1，则－1<x<.

综上所述，当a<－1时，不等式的解集为；

当a＝－1时，不等式解集为∅；

当－1<a<0时，不等式的解集为；

当a＝0时，不等式的解集为(－∞，－1)；

当a>0时，不等式的解集为(－∞，－1)∪.

(2)∵当x＝－a时不等式成立，

∴>0，即－a＋1<0，

∴a>1，即a的取值范围为(1，＋∞).

21.(12分)已知y1＝x2－2x－8，y2＝2x2－4x－16，

(1)求不等式y2<0的解集；

(2)若对一切x>2，均有y1≥(m＋2)x－m－15成立，求实数m的取值范围.

解　(1)y2＝2x2－4x－16<0，

∴2(x＋2)(x－4)<0，∴－2<x<4，

∴不等式y2<0的解集为{x|－2<x<4}.

(2)∵y1＝x2－2x－8.

当x>2时，y1≥(m＋2)x－m－15恒成立，

∴x2－2x－8≥(m＋2)x－m－15，

即x2－4x＋7≥m(x－1).

∴对一切x>2，均有不等式≥m成立.

而＝(x－1)＋－2≥2－2＝2(当且仅当x＝3时等号成立).

∴实数m的取值范围是(－∞，2].

22.(12分)某建筑队在一块长AM＝30米，宽AN＝20米的矩形地块AMPN上施工，规划建设占地如图中矩形ABCD的学生公寓，要求顶点C在地块的对角线MN上，B，D分别在边AM，AN上，假设AB长度为 x米.

(1)要使矩形学生公寓ABCD的面积不小于144平方米，AB的长度应在什么范围？

(2)长度AB和宽度AD分别为多少米时矩形学生公寓ABCD的面积最大？最大值是多少平方米？

解　(1)依题意知△NDC∽△NAM，所以＝，

即＝，则AD＝20－x.

故矩形ABCD的面积为S＝20x－x2.

根据条件0<x<30，要使学生公寓ABCD的面积不小于144平方米，

即S＝20x－x2≥144，

化简得x2－30x＋216≤0，

解得12≤x≤18.

故AB的长度应在12米～18米内.

(2)S＝20x－x2＝x(30－x)≤＝150，

当且仅当x＝30－x，即x＝15时，等号成立.

此时AD＝20－x＝10.

故AB＝15米，AD＝10米时，学生公寓ABCD的面积最大，最大值是150平方米.