【最新版】高中数学（新人教B版）习题+同步课件章末复习提升

章末复习提升

要点一　不等式性质的应用

1.不等式的性质常用来比较大小和证明不等式，防止由于考虑不全面出现错误，有时也可结合特殊值法求解.

2.掌握不等式的性质，重点提升数学抽象和数学运算素养.

例1 如果a，b，c满足c<b<a且ac<0，那么下列选项中不一定成立的是(　　)

A.ab>ac  B.c(b－a)>0

C.cb2<ab2  D.ac(a－c)<0

答案　C

解析　∵c<a，且ac<0，∴c<0，a>0.

A成立，∵c<b，∴ac<ab，

即ab>ac.

B成立，∵b<a，b－a<0，

∴c(b－a)>0.

C不一定成立，当b＝0时，cb2<ab2不成立.

D成立，∵c<a，

∴a－c>0，

∴ac(a－c)<0.

训练1 已知a>0，b>0，且a≠b，比较＋与a＋b的大小.

解　－(a＋b)＝－b＋－a

＝＋＝(a2－b2)＝(a2－b2)＝，

∵a>0，b>0，且a≠b，

∴(a－b)2>0，a＋b>0，ab>0，

∴－(a＋b)>0，

即＋>a＋b.

要点二　求不等式的解集

1.对于实数的一元二次不等式(分式不等式)首先转化为标准形式(二次项系数为正)，然后能分解因式的变成因式相乘的形式，从而得到不等式的解集.

2.对于含参数的不等式要注意对参数进行讨论，做到不重不漏.

3.对于含参数的一元二次不等式，若二次项系数为常数，则可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易分解因式，则可对判别式分类讨论，分类要做到不重不漏.

例2 解关于x的不等式ax2－2(a＋1)x＋4>0(a∈R).

解　当a＝0时，不等式－2x＋4>0的解为x<2；

当a≠0时，不等式对应方程的根为x＝或2，

①当a<0时，不等式ax2－2(a＋1)x＋4>0(a∈R)，即(－ax＋2)(x－2)<0的解集为；

②当0<a<1时，不等式(ax－2)(x－2)>0的解集为(－∞，2)∪；

③当a＝1时，不等式(x＋2)2>0的解集为(－∞，2)∪(2，＋∞)；

④当a>1时，不等式(ax－2)(x－2)>0的解集为∪(2，＋∞).

综上所述，当a＝0时，不等式解集为(－∞，2)；

当a<0时，不等式的解集为；

当0<a<1时，不等式的解集为

(－∞，2)∪；

当a＝1时，不等式的解集为(－∞，2)∪(2，＋∞)；

当a>1时，不等式的解集为 ∪(2，＋∞).

训练2 若不等式ax2＋5x－2>0的解集是.

(1)求a的值；

(2)求不等式>a＋5的解集.

解　(1)依题意，可得ax2＋5x－2＝0的两个实数根为和2，

由根与系数的关系，得

解得a＝－2.

(2)将a＝－2代入不等式，得>3，

即－3>0，整理得>0，

即(x＋1)(x＋2)<0，解得－2<x<－1，

则不等式的解集为(－2，－1).

要点三　均值不等式的应用

均值不等式：≤(a>0，b>0)是每年高考的热点，主要考查命题判断、不等式证明以及求最值问题，特别是求最值问题往往与实际问题相结合，同时在均值不等式的使用条件上设置一些问题，实际上是考查学生恒等变形的技巧，另外，均值不等式的和与积的转化在高考中也经常出现.

例3 (1)设a>0，b>0，2a＋b＝1，则＋的最小值为________.

(2)已知a，b都是正数，且a2＋＝1，则a的最大值为________.

答案　(1)8　(2)

解析　(1)∵a>0，b>0，且2a＋b＝1，

∴＋＝(2a＋b)

＝4＋＋≥4＋2＝8，

当且仅当即时等号成立.

∴＋的最小值为8.

(2)∵a2＋＝1，∴2a2＋b2＝2.

又∵a，b是正数，

∴a＝＝·≤·＝，

当且仅当即时，

a有最大值.

训练3 若y＝4x＋(x>0，a>0)在x＝时取得最小值，则a＝________.

答案　1

解析　y＝4x＋≥2＝4(x>0，a>0)，

当且仅当4x＝，即x＝时等号成立，

此时y取得最小值4.

又由已知x＝时，y取得最小值，

∴＝，即a＝1.

要点四　恒成立问题

对于不等式恒成立求参数范围问题常见类型及解法有以下几种

(1)变更主元法：

根据实际情况的需要确定合适的主元，一般知道取值范围的变量要看作主元.

(2)分离参数法：

若m＜y恒成立，则m<ymin.

若m>y恒成立，则m>ymax.

(3)数形结合法：

利用不等式与函数的关系将恒成立问题通过函数图像直观化.

例4 已知y＝mx2－mx－6＋m，若对于∀m∈[1，3]，y<0恒成立，求实数x的取值范围.

解　法一　y<0⇔mx2－mx－6＋m<0⇔(x2－x＋1)m－6<0.

∵m∈[1，3]，

∴x2－x＋1<⇔x2－x＋1<⇔x2－x－1<0⇔<x<.

∴x的取值范围为.

法二　y＝mx2－mx－6＋m

＝(x2－x＋1)m－6.

由题意知y<0对∀m∈[1，3]恒成立.

∵x2－x＋1>0，∴y是关于m的一次函数，且在[1，3]上y随m的增大而增大，

∴y<0对∀m∈[1，3]恒成立等价于ymax<0，

即当m＝3时，3(x2－x＋1)－6<0.

又3(x2－x＋1)－6<0⇔x2－x－1<0⇔<x<，

∴x的取值范围为.

训练4 求使不等式x2＋(a－6)x＋9－3a>0，|a|≤1恒成立的x的取值范围.

解　将原不等式整理为形式上是关于a的不等式(x－3)a＋x2－6x＋9>0.

设关于a的函数为y＝(x－3)a＋x2－6x＋9.

因为y>0在|a|≤1时恒成立，所以

(1)若x＝3，则y＝0，不符合题意，应舍去.

(2)若x≠3，则由一次函数的图像，

可得当a＝－1时，y>0且当a＝1时，y>0，

即

解得x<2或x>4.

所以x的取值范围是{x|x<2，或x>4}.