【最新版】高中数学（新人教B版）习题+同步课件章末检测卷(一)

章末检测卷(一)

(时间：120分钟　满分：150分)

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1.给出下列四个关系式：①∈R；②Z∈Q；③0∈∅；④∅⊆{0}，其中正确的个数是(　　)

A.1  B.2 

C.3  D.4

答案　B

解析　①④正确；对于②，Z与Q的关系是集合间的包含关系，不是元素与集合的关系；对于③，∅是不含任何元素的集合，故0∉∅，选B.

2.已知U＝{2，3，4，5，6，7}，M＝{3，4，5，7}，N＝{2，4，5，6}，则(　　)

A.M∩N＝{4，6}  B.M∪N＝U

C.(∁UN)∪M＝U  D.(∁UM)∩N＝N

答案　B

解析　由U＝{2，3，4，5，6，7}，M＝{3，4，5，7}，N＝{2，4，5，6}知，M∪N＝U，故选B.

3.已知集合M＝{0，1，2，3，4}，N＝{1，3，5}，P＝M∩N，则P的子集共有(　　)

A.2个  B.4个 

C.6个  D.8个

答案　B

解析　易知P＝M∩N＝{1，3}，

故P的子集共有22＝4个.

4.已知集合A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，则“a＝3”是“A⊆B”的(　　)

A.充要条件

B.充分不必要条件

C.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件

答案　B

解析　a＝3⇒A⊆B，但A⊆B⇒/ a＝3，

∴“a＝3”是“A⊆B”的充分不必要条件.

5.已知M＝{y∈R|y＝|x|}，N＝{x∈R|x＝m2}，则下列关系中正确的是(　　)

A.MN  B.M＝N

C.M≠N  D.NM

答案　B

解析　∵M＝{y∈R|y＝|x|}＝{y∈R|y≥0}，

N＝{x∈R|x＝m2}＝{x∈R|x≥0}，

∴M＝N.

6.命题p：ax2＋2x＋1＝0有实数根，若綈p是假命题，则实数a的取值范围为(　　)

A.{a|a<1}  B.{a|a≤1}

C.{a|a>1}  D.{a|a≥1}

答案　B

解析　因为綈p是假命题，所以p为真命题，即方程ax2＋2x＋1＝0有实数根.

当a＝0时，方程为2x＋1＝0，x＝－，满足条件.当a≠0时，若使方程ax2＋2x＋1＝0有实数根，则Δ＝4－4a≥0，即a≤1且a≠0.综上，a≤1.

7.已知p：－4<x－a<4，q：2<x<3，若綈p是綈q的充分条件，则实数a的取值范围是(　　)

A.{a|－1≤a≤6} B.{a|a≤－1}

C.{a|a≥6} D.{a|a≤－1，或a≥6}

答案　A

解析　p：－4<x－a<4，即a－4<x<a＋4；

q：2<x<3.

∴綈p：x≤a－4或x≥a＋4，綈q：x≤2或x≥3；

而綈p是綈q的充分条件，∴

解得－1≤a≤6.

8.设P＝{1，2，3，4}，Q＝{4，5，6，7，8}，定义P*Q＝{(a，b)|a∈P，b∈Q，a≠b}，则P*Q中元素的个数为(　　)

A.4  B.5 

C.19  D.20

答案　C

解析　由题意知集合P*Q的元素为点，当a＝1时，集合P*Q的元素为(1，4)，(1，5)，(1，6)，(1，7)，(1，8)，共5个元素.

同样当a＝2，3时集合P*Q的元素个数都为5个，当a＝4时，集合P*Q中元素为(4，5)，(4，6)，(4，7)，(4，8)，共4个.因此P*Q中元素的个数为19个，故选C.

二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)

9.已知M＝{x∈R|x≥2}，a＝π，则下列四个关系式中正确的是(　　)

A.a∈M  B.{a}⊆M

C.a⊆M  D.{a}∩M＝π

答案　AB

解析　由M＝{x∈R|x≥2}，知构成集合M的元素是大于等于2的所有实数，因为a＝π>2，所以元素a∈M，且{a}M，同时{a}∩M＝{π}，所以A和B正确，故选AB.

10.已知集合M＝{－2，3x2＋3x－4，x2＋x－4}，若2∈M，则满足条件的实数x可能为(　　)

A.2  B.－2

C.－3  D.1

答案　AC

解析　由题意，得2＝3x2＋3x－4或2＝x2＋x－4，若2＝3x2＋3x－4，即x2＋x－2＝0，∴x＝－2或x＝1，

检验：当x＝－2时，x2＋x－4＝－2，与元素互异性矛盾，舍去；当x＝1时，x2＋x－4＝－2，与元素互异性矛盾，舍去.若2＝x2＋x－4，即x2＋x－6＝0，∴x＝2或x＝－3，经验证x＝2或x＝－3为满足条件的实数x.故选AC.

11.不等式1≤|x|≤4成立的充分不必要条件为(　　)

A.[－4，－1]  B.[1，4]

C.[－4，－1]∪[1，4]  D.[－4，4]

答案　AB

解析　由不等式1≤|x|≤4，解得－4≤x≤－1，或1≤x≤4.∴不等式1≤|x|≤4成立的充分不必要条件为A，B.故选AB.

12.已知集合A＝{x|x＝3a＋2b，a，b∈Z}，B＝{x|x＝2a－3b，a，b∈Z}，则(　　)

A.A⊆B  B.B⊆A

C.A＝B  D.A∩B＝∅

答案　ABC

解析　已知集合A＝{x|x＝3a＋2b，a，b∈Z}，B＝{x|x＝2a－3b，a，b∈Z}，若x属于B，则x＝2a－3b＝3(2a－b)＋2(－2a)；2a－b，－2a均为整数，x也属于A，所以B是A的子集；

若x属于A，则x＝3a＋2b＝2(3a＋b)－3(a)；3a＋b，a均为整数，x也属于B，所以A是B的子集；所以A＝B，故选ABC.

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13.已知集合A＝，则列举法表示集合A＝________，集合A的真子集有________个.(第一个空2分，第二个空3分)

答案　{0，1，3，9}　15

解析　∵集合A＝，∴列举法表示集合A＝{0，1，3，9}，集合A的真子集有24－1＝15个.

14.命题：存在一个实数对(x，y)，使2x＋3y＋3<0成立的否定是____________________________________.

答案　对任意实数对(x，y)，2x＋3y＋3≥0恒成立

解析　存在量词命题的否定是全称量词命题.

15.若A，B是非空集合，定义运算A－B＝{x|x∈A，且x∉B}，若M＝{x|x≤1}，N＝{y|0≤y≤1}，则M－N＝________.

答案　{x|x<0}

解析　画出数轴如图：

∴M－N＝{x|x∈M，且x∉N}＝{x|x<0}.

16.设集合S＝{x|x>5，或x<－1}，T＝{x|a<x<a＋8}，S∪T＝R，则a的取值范围是________.

答案　{a|－3<a<－1}

解析　借助数轴可知

∴－3<a<－1.

四、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(10分)已知集合A＝{x|－2≤x≤2}，B＝{x|x>1}.

求A∩B，A∪B，(∁RB)∩A.

解　∵集合A＝{x|－2≤x≤2}，B＝{x|x>1}.

∴A∩B＝{x|1<x≤2}，

A∪B ＝{x|x≥－2}，

∁RB＝{x|x≤1}，

∴(∁RB)∩A＝{x|－2≤x≤1}.

18.(12分)写出下列命题的否定，并判断所得命题的真假性.

(1)∀x∈Z，|x|∈N；

(2)每一个平行四边形都是中心对称图形；

(3)∃x∈R，x＋1≤0；

(4)∃x∈R，x2＋2x＋3＝0.

解　(1)∃x∈Z，|x|∉N，假命题.

(2)有些平行四边形不是中心对称图形，假命题.

(3)∀x∈R，x＋1>0，假命题.

(4)∀x∈R，x2＋2x＋3≠0，真命题.

19.(12分)设p：实数x满足a<x<3a，其中a>0，q：实数x满足2<x≤3. 若綈p是綈q的充分不必要条件，求实数a的取值范围.

解　綈p是綈q的充分不必要条件，

即綈p⇒綈q且綈q綈p.

设A＝{x|x≤a，或x≥3a}，

B＝{x|x≤2，或x>3}，

则AB.

所以0<a≤2且3a>3，即1<a≤2.

所以实数a的取值范围是{a|1<a≤2}.

20.(12分)已知A＝{x|x2－ax＋a2－12＝0}，B＝{x|x2－5x＋6＝0}，且满足下列三个条件：

①A≠B；②A∪B＝B；③∅(A∩B)，求实数a的值.

解　B＝{2，3}，∵A∪B＝B，∴A⊆B.

∵A≠B，∴AB.

又∵∅(A∩B)，∴A≠∅，

∴A＝{2}或A＝{3}，

∴方程x2－ax＋a2－12＝0只有一解.

由Δ＝(－a)2－4(a2－12)＝0得a2＝16，

∴a＝4或a＝－4.

当a＝4时，

集合A＝{x|x2－4x＋4＝0}＝{2}，

符合题意；

当a＝－4时，

集合A＝{x|x2＋4x＋4＝0}＝{－2}(舍去).

综上，a＝4.

21.(12分)求证：方程x2－2x－3m＝0有两个同号且不相等的实根的充要条件是

－<m<0.

证明　(1)充分性：∵－<m<0，

∴方程x2－2x－3m＝0的判别式Δ＝4＋12m>0，

且－3m>0，

∴方程x2－2x－3m＝0有两个同号且不相等的实根.

(2)必要性：若方程x2－2x－3m＝0有两个同号且不相等的实根x1，x2，

则有

解得－<m<0.

综合(1)(2)知，方程x2－2x－3m＝0有两个同号且不相等的实根的充要条件是－<m<0.

22.(12分)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2－ax＋(a－1)＝0}，C＝{x|x2－bx＋2＝0}，问是否存在实数a，b同时满足BA，A∩C＝C？若存在，求出a，b的所有值；若不存在，请说明理由.

解　存在实数a，b同时满足BA，A∩C＝C.易知A＝{1，2}，∵BA，∴B＝∅或{1}或{2}.

∵在x2－ax＋(a－1)＝0中，

Δ＝a2－4(a－1)＝(a－2)2≥0，

∴B≠∅.

若B＝{1}，由根与系数的关系得解得a＝2；

若B＝{2}，由根与系数的关系得此时方程组无解.

∵A∩C＝C，∴C⊆A，∴C＝∅或{1}或{2}或{1，2}.

∴当C＝∅时，Δ＝b2－8<0，

解得－2<b<2；

当C＝{1}时，1×1＝2不成立；

当C＝{2}时，2×2＝2不成立；

当C＝{1，2}时，解得b＝3，符合题意.

综上所述，a＝2，b＝3或－2<b<2时满足要求.