高中数学人教B版 (2019)必修 第一册第三章 函数3.3 函数的应用(一)备课课件ppt

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第三章 函数
3.1.2　函数的单调性
第一课时　函数单调性的定义与证明
课标要求
1.理解函数单调性的作用和实际意义，了解函数最值的定义.2.在理解函数单调性定义的基础上，会用单调性的定义证明简单函数的单调性.3.能通过变化率掌握函数递增(减)的充要条件.
素养要求
1.加深对函数定义的理解，体会用符号形式表达单调性定义的必要性.2.在函数单调性的应用过程中，提升逻辑推理和数学运算素养.
问题导学预习教材必备知识探究
内容索引
互动合作研析题型关键能力提升
拓展延伸分层精练核心素养达成
WEN TI DAO XUE YU XI JIAO CAI BI BEI ZHI SHI TAN JIU
问题导学预习教材 必备知识探究
1
一、函数单调性的概念
2.填空　一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，且I⊆D：
(1)如果对任意x1，x2∈I，当x1f(x1)f(x1)>f(x2)
温馨提醒　1.单调性是函数在某一区间上的“整体”性质，因此定义中的x1，x2有下列要求：①属于同一个区间I.②任意性：x1，x2是区间I中的任意两个值，不能用特殊值代替.③有大小：确定的任意两值x1，x2必须区分大小，一般令x13.做一做　(1)下列函数中，在区间(－∞，0)上为减函数的是(　　)
D
(2)若函数f(x)＝ax－3在R上单调递增，则a的取值范围为__________.
(0，＋∞)
二、函数的平均变化率
提示　k>0时，直线是上升的，k<0时，直线是下降的.
＞
＜
0
1
HU DONG HE ZUO YAN XI TI XING GUAN JIAN MENG LI TI SHENG
互动合作研析题型 关键能力提升
2
例1 (1)如图是定义在区间[－5，5]上的函数y＝f(x)， 根据图像说出函数的单调区间，以及在每一单调 区间上，它是增函数还是减函数？
题型一　利用图像判断函数的单调性
解　y＝f(x)的单调区间有[－5，－2]，[－2，1]，[1，3]，[3，5]，其中y＝f(x)在区间[－5，－2]，[1，3]上是减函数，在区间[－2，1]，[3，5]上是增函数.
(1)函数单调区间的两种求法①图像法.即先画出图像，根据图像求单调区间.②定义法：即先求出定义域，再利用定义法进行判断求解.(2)当函数出现两个以上单调区间时，单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示.
(－∞，1)，(1，＋∞)
(2)函数y＝|x2－2x－3|的图像如图所示，试写出它的单调区间，并指出单调性.
解　y＝|x2－2x－3|的单调区间有(－∞，－1]，[－1，1]，[1，3]，[3，＋∞)，其中单调递减区间是(－∞，－1]，[1，3]；单调递增区间是[－1，1]，[3，＋∞).
题型二　判断或证明函数的单调性
(2)判断函数f(x)在(1，＋∞)上的单调性，并用定义加以证明.
利用定义证明函数单调性的步骤：(1)取值：设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1题型三　单调性的应用
(2)已知函数f(x)＝x2＋ax＋b在区间(－∞，1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增，且f(m＋2)(－2，0)
解析 ∵f(x)在(－∞，1]上递减，在[1，＋∞)上递增，
∵f(m＋2)(1)利用单调性比较函数值的大小，务必将自变量x的值转化到同一单调区间上才能进行比较，最后写结果时再还原回去.(2)利用函数的单调性解不等式的方法可以依据函数单调性的定义和性质，将符号“f”脱掉，列出关于自变量的不等式(组)，然后求解，此时注意函数的定义域.
训练3 (1)如果函数f(x)＝x2＋bx＋c对任意的x都有f(2＋x)＝f(2－x)，则f(1)，f(2)，f(4)的大小关系为______________(用“>”号连接).
f(4)>f(1)>f(2)
解析　由题意知f(x)的对称轴为x＝2，故f(1)＝f(3)，∵f(x)＝x2＋bx＋c在[2，＋∞)上为增函数，∴f(2)课堂小结
1.定义法判断函数单调性的一般步骤
2.增、减函数的定义可实现自变量的大小关系与函数值的大小关系的直接转化，即若f(x)在区间D上为增(减)函数，则x1x2)⇔f(x1)TUO ZHAN YAN SHEN FEN CENG JING LIAN HE XING SU YANG DA CHENG
拓展延伸分层精练 核心素养达成
3
1.已知函数y＝f(x)，x∈[－4，4]的图像如图所示，则f(x)的增区间是(　　)
C
A.[－4，4] B.[－4，－3]∪[1，4]C.[－3，1] D.[－3，4]
解析　由图像知增区间为[－3，1]，故选C.
2.(多选)下列函数中，在(0，2)上是增函数的是(　　)
AB
3.已知函数y＝f(x)在R上为增函数，且f(2m)>f(－m＋9)，则实数m的取值范围是(　　) A.(－∞，－3) B.(0，＋∞) C.(3，＋∞) D.(－∞，－3)∪(3，＋∞)
C
解析　∵f(x)在R上为增函数，且f(2m)>f(－m＋9)，∴2m>－m＋9，即m>3，故选C.
A
A.f(3)则x2－x1与f(x2)－f(x1)异号，则f(x)在R上是减函数.又3>2>1，则f(3)AC
A.单调递减区间为(－∞，－3]B.单调递减区间为(－∞，－1]C.单调递增区间为[1，＋∞)D.单调递增区间为(－3，－1]
解析　该函数的定义域为(－∞，－3]∪[1，＋∞)，函数g(x)＝x2＋2x－3的对称轴为x＝－1，由复合函数的单调性可知该函数在区间(－∞，－3]上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数.
[－1，＋∞)
(－∞，2]
8.已知函数y＝f(x)在(－2，2)上为增函数，且f(2m)>f(－m＋1)，则实数m的取值 范围是________.
因为x2>x1>－1，所以x2－x1>0，(x1＋1)(x2＋1)>0，因此f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，所以f(x)在(－1，＋∞)上为减函数.
11.已知f(x)在(－∞，＋∞)内是减函数，a，b∈R，且a＋b≤0，则有(　　)A.f(a)＋f(b)≤－f(a)－f(b)B.f(a)＋f(b)≥－f(a)－f(b)C.f(a)＋f(b)≤f(－a)＋f(－b)D.f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)
D
解析　由题意知a＋b≤0，得到a≤－b，b≤－a.∵f(x)在(－∞，＋∞)内是减函数，∴f(a)≥f(－b)，f(b)≥f(－a)，∴f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b).故选D.
[－4，－1]
(－1，2]
解析　由题意可知8－2x－x2≥0，解得－4≤x≤2，∴函数f(x)的定义域为[－4，2].
∴函数y＝f(x)的单调递增区间是[－4，－1]，单调递减区间是(－1，2].
令x＝y＝1，则有f(1)＝f(1)－f(1)，∴f(1)＝0.
解得－3(－∞，0)
(0，＋∞)