2021-2022学年山东省大教育联盟学校高三（下）入学数学试卷（Word解析版）

这是一份2021-2022学年山东省大教育联盟学校高三（下）入学数学试卷（Word解析版），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
绝密★启用前2021-2022学年山东省大教育联盟学校高三（下）入学数学试卷  第I卷（选择题） 一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）已知集合，，则(    )A.  B.  C.  D. 已知，若在复平面内复数与对应的两点之间的距离为，则(    )A.  B.  C.  D. 已知，是两条不重合的直线，为一个平面，且，则“”是“”的(    )A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件若的展开式中第项与第项的二项式系数相等，则(    )A.  B.  C.  D. 若是函数图象上的一点，则就是函数图象上的相应的点，则，的值分别为(    )A. ， B. ， C. ， D. ，大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵．记鲑鱼的游速为，鲑鱼的耗氧量的单位数为研究鲑鱼的科学家发现与成正比，且当时，若一条鲑鱼要把游速提高，则其耗氧量的单位数应变为原来的(    )A. 倍 B. 倍 C. 倍 D. 倍已知抛物线：的焦点为，是上位于第一象限内的一点，过点作的切线，交轴于点，交轴于点，若，则(    )A.  B.  C.  D. 已知，，，且，，，则(    )A.  B.  C.  D.  二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）已知是定义在上的奇函数，且在上单调递增，则的解析式可以是(    )A.  B.
C.  D. 从有大小和质地相同的个红球和个蓝球的袋子中，每次随机摸出个球，摸出的球不再放回，则(    )A. 第一次摸到红球的概率为
B. 第二次摸到红球的概率为
C. 在第一次摸到蓝球的条件下，第二次摸到红球的概率为
D. 在前两次都摸到蓝球的条件下，第三次摸到红球的概率为在中，，，分别为边，，的中点，为，，的交点，则(    )A.
B.
C.
D. 如图，已知椭圆的左、右焦点分别为，，是上异于顶点的一动点，圆圆心为与的三边，，分别切于点，，，延长交轴于点，作交于点，则(    )
A. 为定值 B. 为定值
C. 为定值 D. 为定值第II卷（非选择题） 三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）______．已知，且，则的最小值是______．世纪英国数学家辛卜森运用定积分，推导出了现在中学数学教材中柱、锥、球、台等几何体的统一体积公式其中，，，分别为的上底面面积、下底面面积、中截面面积和高，我们也称为“万能求积公式”例如，已知球的半径为，可得该球的体积为；已知正四棱锥的底面边长为，高为，可得该正四棱锥的体积为类似地，运用该公式求解下列问题：如图，已知球的表面积为，若用距离球心都为的两个平行平面去截球，则夹在这两个平行平面之间的几何体的体积为______．设数列的前项和为，且，则数列的通项公式为______；若，则的值是______． 四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）本小题分
已知等比数列的各项均为正数，且．
求数列的通项公式；
设的前项和为，表示与的最大值，记，求数列的前项和．本小题分
如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，设过的平面与棱，分别交于点，．
求证：四边形为梯形；
若为的中点，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
本小题分
某公司全年圆满完成预定的生产任务，为答谢各位员工一年来的锐意进取和辛勤努力，公司决定在联欢晚会后，拟通过摸球兑奖的方式对位员工进行奖励，规定：每位员工从一个装有种面值的奖券的箱子中，一次随机摸出张奖券，奖券上所标的面值之和就是该员工所获得的奖励额．
若箱子中所装的种面值的奖券中有张面值为元，其余张均为元，试比较员工获得元奖励额与获得元奖励额的概率的大小；
公司对奖励总额的预算是万元，预定箱子中所装的种面值的奖券有两种方案：第一方案是张面值元和张面值元；第二方案是张面值元和张面值元．为了使员工得到的奖励总额尽可能地符合公司的预算且每位员工所获得的奖励额相对均衡，请问选择哪一种方案比较好？并说明理由．本小题分
一道解三角形的题目有一个条件不清楚，具体如下：
在中，，，____，求．
经推断横线处的条件为三角形一边的长度，且答案提示，试问在横线上的条件是的长度还是的长度？并逐一说明理由．本小题分
已知双曲线的左、右焦点分别为，，且，是上一点．
求的方程；
过点的直线与交于两点，，与直线：交于点设，，求证：为定值．本小题分
已知函数．
当时，求的单调区间；
讨论零点的个数．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：，
集合为奇数集，
则中的奇数有，，
．
故选：．
化简集合，再根据交集的定义求解即可．
本题考查了交集及其运算，是基础题．
 2.【答案】 【解析】解：因为复平面内复数与对应的两点，之间的距离为，
所以，
则．
故选：．
由已知结合复数的几何意义及两点间距离公式即可求解．
本题主要考查了复数的几何意义的应用，属于基础题．
 3.【答案】 【解析】【分析】本题考查了空间线面位置关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
利用空间线面位置关系，再结合充要条件的定义判断即可．【解答】解：若，且，
若，且，
是的充分必要条件．
故选：．  4.【答案】 【解析】解：由题意可得：，
即，
故选：．
二项式系数的定义，结合组合数的性质求解即可．
本题考查了二项式定理的应用，重点考查了组合数的性质，属基础题．
 5.【答案】 【解析】解：是函数图象上的一点，就是函数图象上的相应的点，
，且，
故有，，，求得，，
故选：．
由题意，利用正弦函数的图象和性质，求出，的值．
本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于中档题．
 6.【答案】 【解析】解：由题意，设，为比例系数，
将，，代入可得，解得，
设鲑鱼的耗氧量的单位数分别为，，对应游速分别为，，
则，即，解得，
所以其耗氧量的单位数应变为原来的倍．
故选：．
设，结合题意求得，根据，列出方程，利用对数的运算法则，即可求解．
本题考查函数模型的运用，考查学生的计算能力，比较基础．
 7.【答案】 【解析】解：如图所示：，
设，由，得，
所以在点处的切线方程为，
从而，，
根据抛物线的定义，得，
又，，
所以，
从而为等腰三角形，所以，
故选：．
设，利用导数的几何意义求出在点处的切线方程，根据抛物线的定义可得为等腰三角形，进而得出结果．
本题考查了导数的几何意义及抛物线的定义，属于基础题．
 8.【答案】 【解析】解：由，，，
得，，，
构造函数，
得，，，
，
由得，得，即
当时，，即，则在上为减函数，
当时，，即，则在上为增函数，
则，
即，
在上为增函数，
，
故选：．
根据等式关系进行转化，然后构造函数，研究函数的单调性和图象，利用数形结合进行判断即可．
本题主要考查函数值的大小比较，根据条件构造函数，利用函数的单调性进行转化判断是解决本题的关键，是中档题．
 9.【答案】 【解析】解：对于，，为偶函数，则不符合题意；
对于，画出函数的图象，如图，

由图可知，符合题意；
对于，画出函数的图象，如图，

由图可知，符合题意；
对于，画出函数的图象，如图，

由图可知，符合题意；
故选：．
利用奇偶函数的定义判断；利用数形结合的数学思想判断、、．
本题考查函数的性质，考查学生的数形结合的能力，属于中档题．
 10.【答案】 【解析】解：从有大小和质地相同的个红球和个蓝球的袋子中，每次随机摸出个球，摸出的球不再放回，
对于，第一次摸到红球的概率为，故A正确；
对于，第二次摸到红球的概率为，故B正确；
对于，在第一次摸到蓝球的条件下，第二次摸到红球的概率为：，故C错误；
对于，在前两次都摸到蓝球的条件下，第三次摸到红球，相当于从个红球中摸出个红球，概率为，故D错误．
故选：．
根据古典概型判断；根据独立重复试验概率计算公式判断；利用条件概率判断．
本题考查命题真假的判断，考查古典概型、独立重复试验概率计算公式、条件概率等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 11.【答案】 【解析】解：对于选项A，，即选项A正确；
对于选项B，，同理，，则、、的关系不确定，即选项B错误；
对于选项C，，同理可得：、，则，即选项C正确；
对于选项D，，同理，，即、、关系不确定，即选项D错误，
故选：．
由平面向量数量积的运算，结合平面向量的线性运算，然后逐一判断即可得解．
本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了平面向量的线性运算，属基础题．
 12.【答案】 【解析】解：：根据椭圆的定义，得，则A正确；
：设，，，，
由余弦定理，得，
即，解得，
由于在上运动，所以的值也随之变化，从而不是定值，则B错误；
：根据切线长定理和椭圆的定义，得，
且，则，
所以为定值，则C正确；
：连接，则，

由，解得；
由，得为定值，则D正确．
故选：．
根据椭圆的定义即可判断；根据余弦定理可得，进而判断；根据切线长定理和椭圆的定义可得，进而判断；根据三角形面积公式和相似三角形的性质可得，进而判断．
本题主要考查椭圆的几何性质，椭圆中的定值问题等知识，属于中等题．
 13.【答案】 【解析】解：由，知，
所以．
故答案为：．
根据，利用两角和的正切公式，即可得解．
本题考查三角函数的化简求值，熟练掌握两角和的正切公式是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题．
 14.【答案】 【解析】解：，且，
则，
当且仅当，即时取等号．
故答案为：．
由已知结合基本不等式即可直接求解．
本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．
 15.【答案】 【解析】解：如图，设上下截面小圆圆心分别为，，上底面截面小圆上一点，连接，
球的表面积为，球的半径，，
又，，截面小圆半径，
根据“万能求积公式”可得所求几何体的体积为：
，
故答案为：．
先由球的表面积得球的半径，再由勾股定理求出截面小圆的半径，最后代入“万能求积公式”计算即可得解．
本题考查球的表面积公式，新定义，属基础题．
 16.【答案】   【解析】解：当时，；
当时，，适合．
综上，数列的通项公式为；
当时，，不适合题意；
当时，，．
于是，整理得，解得．
故答案为：；．
第一空，根据，计算即可，验证时是否成立；
第二空，分和两种情况讨论即可．
本题考查根据求通项公式，属于中档题．
 17.【答案】解：设的公比为，
由，得，
，得，结合，解得，
将代入，解得，
所以数列的通项公式为；
由，，则，
从而当时，；当时，，所以，
当时，

；
综上，． 【解析】根据题意，令、，列出方程组，解方程组可得公比，进而求出首项，利用等比数列的定义即可求出通项公式；
由，根据等比数列前项求和公式求出，可得，根据题意给的定义求得所以，再次利用等比数列前项求和公式计算即可．
本题考查了等比数列的通项公式和求和公式，属于中档题．
 18.【答案】证明：因为，平面，平面，所以平面．
又平面，平面平面，所以．
又，所以四边形为梯形．
解：以为原点，以，，的方向分别为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系：

则，，，，，
因为为的中点，所以为的中点，
则，，，，．
设平面的法向量为，
则，即，取，则．
设平面的法向量为，
则，即，取，则．
设向量，的夹角为，则，
故平面与平面所成锐二面角的余弦值为． 【解析】先证明，再证明即可证明四边形为梯形．
建立直角坐标系，求出平面的法向量和平面的法向量，再代入二面角的余弦公式求值即可．
本题主要考查梯形的证明和二面角的平面角余弦值的求法，属于中档题
 19.【答案】解：用表示员工所获得的奖励额，
因为，，
所以，
故员工获得元奖励额与获得元奖励额的概率相等；
第一种方案为，
设员工所获得的奖励额为，则的分布列为 所以的数学期望为，
的方差为；
第二种方案为，
设员工所获得的奖励额为，则的分布列为 所以的数学期望为，
的方差为，
又因为元，
所以两种方案奖励额的数学期望都符合要求，但第二种方案的方差比第一种方案的小，
故应选择第二种方案． 【解析】根据超几何分布求出员工获得元奖励额与获得元奖励额的概率即可；
根据题意可知有两种方案、，分别求出对应的分布列，进而求出对应的数学期望和方差，从而得出结论．
本题考查了离散型随机变量的分布列．期望与方差的应用，属于中档题．
 20.【答案】解：将看作已知条件，
由，得．
由正弦定理，得，则．
验证如下：若该条件为，
由正弦定理，得，则，
由，得或，即有两解，但“答案提示”，所以不合题意．
将看作已知条件，；
由正弦定理，得，则；验证如下：该条件为，
由余弦定理，得，即，
所以，故C．
综上，横线处的条件为． 【解析】将看作已知条件，根据题意解三角形，验证是否成立即可．
本题考查余弦定理以及正弦定理的应用，是中档题．
 21.【答案】解：设的焦距为，则，
即，，；
由双曲线的定义，得，即，
所以，故C的方程为．
证明：法一同构方程：设，，，
由，得，即，
由点，不重合，得，解得，．
由在上，得，
整理，得，
由在直线：上，得，即，
于是化为
同理，由，得
由得，是关于的一元二次方程的两个不等实根．
由韦达定理，得，故是定值．
另：，得，即，
考虑到，所以．
法二：设，，，显然直线的斜率存在，
可设直线的方程为，代入，
得．
由过点的直线与交于两点，，得，
由韦达定理，得，；
由在直线：上，得，即；
由在直线上，得
由，得，
即解得同理，由，得，
结合，得

．
故是定值． 【解析】利用已知条件结合双曲线定义，转化求解双曲线方程即可．
证明：法一同构方程：设，，，通过，推出由，得转化求解．
法二：设，，，设直线的方程为，代入，利用韦达定理，结合，解得同理，由，得，然后转化求解是定值．
本题考查双曲线方程的求法，直线与双曲线的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
 22.【答案】解：，，
当时，，，，
，在单调递增，
当时，，，
时，，
时，，递减，
时，，递增，
综上，增区间为，，减区间为；
时，，则，
，，递增，
 时，，则，
若，即时，在成立，递增，
此时在递增，时，，，
时，，时，有一个零点．
时，令，，
即在递增，递减，递增；
，在内有一个零点，
，
，，，，
，
，时，，，
，时，即时，
，在无零点，
时，在内只有一个零点，
时，，在内有个零点，
时，，在内有个零点，
综上所述，当时，有个零点，
 当时，有个零点，
当时，有个零点． 【解析】时求出，分和讨论，然后在定义域内解不等式，即可；
先分情况讨论去掉绝对值符号，然后由导数表达式分，，，四种情况判断零点个数即可．
该题考查利用导数研究函数的单调性、函数的零点，考查分类讨论思想，运用数形结合可使问题更加直观．