2021-2022学年山东省名校联盟高二下学期质量检测联合调考数学（B2）试题（解析版）

2021-2022学年山东省名校联盟高二下学期质量检测联合调考数学（B2）试题

一、单选题

1．展开后的项数为（       ）

A．10 B．18 C．24 D．36

【答案】C

【分析】根据分步乘法原理求解即可.

【详解】根据分步乘法原理，展开后的项数有：项.

故选：C

2．由数字1，2，3组成的各位上没有重复数字的所有三位数的和为（       ）

A．66 B．666 C．1332 D．2664

【答案】C

【分析】先列举出所有的三位数，再求和.

【详解】由数字1，2，3组成的各位上没有重复数字的所有三位数有：123，132，213，231，312，321.

所以所有三位数的和为123+132+213+231+312+321=1332.

故选：C

3．展开式的第3项的系数是（       ）

A．20 B．30 C． D．60

【答案】D

【分析】根据二项式展开式直接求解即可

【详解】因为展开式的第3项为，

所以展开式的第3项的系数是，

故选：D

4．将5名大学生全部分配到张家口赛区的4个比赛场馆参加志愿者活动，要求每个场馆至少有1名志愿者，则不同的选派方法种数为（       ）

A．40 B．120 C．180 D．240

【答案】D

【分析】先将5名大学生分四组，再将四组对应到四个比赛场馆，计算可得最后种数.

【详解】分两步进行，先把5名大学生分为2，1，1，1四组，有种分法，再将4组对应四个比赛场馆，有种情况，由分步乘法计数原理得，共有=240种安排方法，

故选：D.

5．2022年北京冬奥会于2月4日开幕，某高中为了解本校学生收看开幕式的平均时长（单位：分钟），采用样本量比例分配的分层随机抽样，分别抽取了男生60人、女生40人，其平均收看时长分别为120分钟和90分钟，据此估计本校全体学生的平均收看时长为（       ）

A．90分钟 B．105分钟 C．108分钟 D．120分钟

【答案】C

【分析】根据平均数公式计算可得；

【详解】解：依题意估计本校全体学生的平均收看时长为（分钟）

故选：C

6．某中学通过随机询问的方式调查该校100名高中生爱好打篮球的情况，得到如下列联表．根据小概率值的独立性检验，则下列结论正确的是（       ）

（其中，，）

A．爱好打篮球和性别有关

B．爱好打篮球和性别有关，这个结论犯错误的概率不超过0.001

C．爱好打篮球和性别无关

D．爱好打篮球和性别无关，这个结论犯错误的概率不超过0.001

【答案】B

【分析】首先计算出卡方，再根据独立性检验思想判断即可；

【详解】解：根据列联表可得，因为，根据小概率值的独立性检验，爱好打篮球和性别有关，这个结论犯错误的概率不超过0.001，

故选：B

7．经试验某种新药的治愈率为80%，现将此药给医院中的5名病人服用，则至少3人治愈的概率为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由题意知，本题符合独立重复试验条件，分情况讨论：分别为共有3人被治愈，共有4人被治愈和共有5人被治愈，分别代入独立重复试验公式得到结果，最后求和．

【详解】由题意知本题分情况讨论：若共有3人被治愈，则；

若共有4人被治愈，则，

若共有5人被治愈，则

∴至少有3人被治愈概率，

故选：A.

8．已知，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用赋值法求解.

【详解】解：由，

令x=1得,

令得，

两式联立求得，

故选：B

二、多选题

9．“中小学生平安保险”是属于人身意外伤害保险的一种，是针对中小学生特点的一种保险．假设每名学生一年内发生意外伤害事故的概率为0.001，则下列说法正确的有（       ）

A．发生意外伤害事故的人数服从二项分布

B．发生意外伤害事故的人数服从超几何分布

C．1000名学生一年内发生意外伤害事故的人数的期望为1

D．甲、乙两名学生一年内都发生意外伤害事故的概率为0.4995

【答案】AC

【分析】A、B选项通过二项分布及超几何分布的概念进行判断即可；C选项通过二项分布的期望公式进行计算；D选项按照独立事件的概率公式计算即可.

【详解】由于每名学生是否发生意外相互独立，属于次独立重复实验，故发生意外伤害事故的人数服从二项分布，A正确，B错误，

按照二项分布的期望公式，C正确，

甲、乙两名学生一年内都发生意外伤害事故的概率为，D错误.

故选：AC.

10．关于正态密度曲线，下列说法正确的是（       ）

A．曲线关于直线对称

B．曲线的峰值为

C．越大，曲线越“矮胖”

D．对任意，曲线与轴围成的面积总为1

【答案】ACD

【分析】根据密度曲线的解析式判断ABC，由密度曲线的特点判断D即可得解.

【详解】对于A，根据正态密度曲线可知，，

，故，所以曲线关于直线对称正确；

对于B，当时，的峰值为，故不正确；

对于C，当越大时，的峰值越小，所以曲线形状“矮胖”，故正确；

对于D，由正态曲线的特点知，曲线与轴围成的面积总为1，故正确.

故选：ACD

11．现有来自两个社区的核酸检验报告表，分装2袋，第一袋有5名男士和5名女士的报告表，第二袋有6名男士和4名女士的报告表．随机选一袋，然后从中随机抽取2份，则（       ）

A．在选第一袋的条件下，两份报告表都是男士的概率为

B．两份报告表都是男士的概率为

C．在选第二袋的条件下，两份报告表恰好男士和女士各1份的概率为

D．两份报告表恰好男士和女士各1份的概率为

【答案】BC

【分析】对于A：直接求出概率，即可判断；

对于B：先求出选中第一袋的概率为；再选中第二袋的概率为，即可得到两份报告表都是男士的概率；

对于C：直接求出概率，即可判断；

对于D：先求出选中第一袋的概率为；再选中第二袋的概率为，即可得到两份报告表恰好男士和女士各1份的概率；

【详解】对于A：在选第一袋的条件下，两份报告表都是男士的概率为，故A错误；

对于B：若选中第一袋，且两份报告表都是男士的概率为；

若选中第二袋，且两份报告表都是男士的概率为

所以两份报告表都是男士的概率为.故B正确；

对于C：在选第二袋的条件下，两份报告表恰好男士和女士各1份的概率为.故C正确；

对于D：若选中第一袋，且恰好男士和女士各1份的概率为；

若选中第二袋，且恰好男士和女士各1份的概率为

所以两份报告表恰好男士和女士各1份的概率为.故D错误.

故选：BC

12．如图，正三棱柱中，底面ABC是边长为2的等边三角形，，D为BC中点，则（       ）

A．直线平面

B．点到平面的距离为

C．异面直线与所成角的余弦值为

D．设P，Q分别在线段，上，且，则PQ的最小值为

【答案】ABD

【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得；

【详解】解：在正三棱柱中，为的中点，所以，

如图建立空间直角坐标系，则，，，，，，，所以，，，设平面的法向量为，则，令，则，，所以，因为，即，又平面，所以平面，故A正确；

因为，所以，则点到平面的距离为，故B正确；

因为，，设直线与所成角为，则，所以异面直线与所成角的余弦值为，故C错误；

设，则、，因为，，所以，，则，，所以，所以当时有最小值，所以，所以，故D正确；

故选：ABD

三、填空题

13．袋中有6个大小相同的小球，其中4个红球，2个白球，从中不放回地取球，则第一次取到红球，且第二次取到白球的概率为______．

【答案】

【分析】将问题看作将6个不一样的小球放在两个位置，首先求出基本事件总数，再求出满足第一个位置是红球、第二个位置是白球的事件数，再根据古典概型的概率公式计算可得；

【详解】解：依题意可将问题看作将6个不一样的小球放在两个位置，一共有种排法，恰好是第一个位置是红球、第二个位置是白球的有种，故第一次取到红球，且第二次取到白球的概率为；

故答案为：

14．某校高二女生的身高近似服从，若，则______．

【答案】0.85

【分析】根据已知条件，结合正态分布的对称性，即可求得.

【详解】近似服从.

由正态分布的性质可知：，

所以.

故答案为：0.85

15．现要用5种不同的颜色对如图所示的5个区域涂色，要求相邻的区域不能用同一种颜色，则不同涂色方法的种数为______．

【答案】420

【分析】根据同色的区域为；，分都不同色、只有同色、只有同色和与两个同色，结合分类计数原理，即可求解.

【详解】由题意，可以同色的区域为；，

若都不同色，则有，

若只有同色，则有，

若只有同色，则有，

若与两个同色，则有，

由分类计数原理，共有，

故答案为：

16．已知数列的通项公式为，保持数列中各项先后顺序不变，在与之间插入个1，使它们和原数列的项构成一个新的数列，记的前项和为，则的值为______．

【答案】130

【分析】根据插入数的规则，先分析在中对应的项数，根据所得可验证在中的项数，据此分析中到中项的情况即可分组求和得解.

【详解】因为与之间插入个1，

所以在中对应的项数为

，

当k＝6时，，当k＝7时，，

所以，，且．

为前6项和，

因此

.

故答案为：130

四、解答题

17．已知展开式中第3项和第7项的二项式系数相等．

(1)求展开式中含的项的系数；

(2)系数最大的项是第几项？

【答案】(1)1120

(2)第3项

【分析】(1)利用二项式系数的性质求出n值，再求出二项展开式的通项即可求出指定项的系数；

(2)利用(1)的信息根据系数最大列出不等式组即可作答.

【详解】(1)依题意，，由组合数的性质得，

于是得展开式的通项，

由得，则，

所以展开式中含的项的系数为；

(2)令Tr＋1项的系数的绝对值最大，由(1)得，

即，

整理得，解得，而，从而得或，

由通项公式可知，偶数项的系数为负，所以展开式中系数最大项是第3项.

18．已知等差数列的公差不为0，，且，，成等比数列．

(1)求数列的通项公式；

(2)若数列满足，，求的前101项和．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用等差数列通项公式化简条件：“，，成等比数列”，结合即可求出结果；（2）分奇偶讨论，利用并项求和的方法求解.

【详解】(1)设数列的公差为，则，且

即解得或（舍去），所以．

(2)由（1）知．当时，；①当时，；②当时，．③

②－①得，，③+①得，，

所以

．

19．为了巩固拓展脱贫攻坚的成果，振兴乡村经济，某知名电商平台决定为脱贫乡村的特色水果开设直播带货专场．该特色水果的热卖黄金时段为2021年7月10日至9月10日，为了解直播的效果和关注度，该电商平台统计了已直播的2021年7月10日至7月14日时段中的相关数据，这5天的第x天到该电商平台专营店购物的人数y（单位：万人）的数据如下表：

(1)依据表中的统计数据，请判断该电商平台的第x天与到该电商平台专营店购物的人数y（单位：万人）是否具有较高的线性相关程度？（参考：若，则线性相关程度一般，若，则线性相关程度较高，计算r时精确度为0.01）

(2)求购买人数y与直播的第x天的线性回归方程；用样本估计总体，请预测从2021年7月10日起的第38天到该专营店购物的人数（单位：万人）．

参考数据：，，．

附：相关系数，回归直线方程的斜率，截距．

【答案】(1)具有较高的线性相关程度

(2)，314万人

【分析】（1）由已知计算相关系数即可.

（2）由列表计算、，可得线性回归方程进一步可得解.

【详解】(1)由表中数据可得，所以，

又，

所以，

所以该电商平台直播黄金时段的天数x与购买人数y具有较高的线性相关程度．

所以可用线性回归模型拟合人数y与天数x之间的关系．

(2)由表中数据可得，

则，所以，

令，可得（万人）

20．如图，，为圆的两条直径，垂直于圆所在的平面．

(1)证明：．

(2)若，，，求平面与平面夹角的余弦值．

【答案】(1)证明见解析；

(2).

【分析】（1）先证明平面，再由线面垂直证明线线垂直；

（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角的余弦值即可.

【详解】(1)证明：在圆中，因为是直径，所以，

又垂直于圆所在的平面，所以，

因为，所以平面．

因为平面，所以．

(2)以为坐标原点，的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，如图，

则，，，，，．

由,可得平面，

所以是平面的一个法向量．

设平面的法向量为，则

令，可得．

所以，

故平面与平面夹角的余弦值为．

21．自2021年秋季学期以来，义务段教育全面落实“双减”工作．为使广大教育工作者充分认识“双减”工作的重大意义，某地区教育行政部门举办了一次线上答卷活动，从中抽取了100名教育工作者的答卷（满分：100分），统计得分情况后得到如图所示的频率分布直方图．

(1)若这100名教育工作者的答卷得分服从正态分布（其中用样本数据的均值表示，用样本数据的方差表示），求；

(2)若以这100名教育工作者的答卷得分估计全区教育工作者的答卷得分，则从全区所有教育工作者中任意选取3人的答卷得分，记为这3人的答卷得分不低于70分且低于90分的人数，试求的分布列，数学期望和方差．

参考数据：，，，．

【答案】(1)0.8186

(2)分布列见解析，，

【分析】（1）先根据频率分布直方图求出均值和方差，再结合正态分布计算概率即可；

（2）按照二项分布列出分布列，根据公式计算期望和方差即可.

【详解】(1)由频率分布直方图可知，

，

，

所以，，所以．

因为，则，，

所以

；

(2)从这100名教育工作者中任意选取1名，其答卷得分不低于70分且低于90分的概率为．

由题意知，，则，，

，，

所以的分布列为

所以，．

22．2022年北京冬奥组委发布的《北京2022年冬奥会和冬残奥会经济遗产报告（2022）》显示，北京冬奥会已签约45家赞助企业，冬奥会赞助成为一项跨度时间较长的营销方式.为了解该45家赞助企业每天销售额与每天线上销售时间之间的相关关系，某平台对45家赞助企业进行跟踪调查，其中每天线上销售时间不少于8小时的企业有20家，余下的企业中，每天的销售额不足30万元的企业占，统计后得到如下列联表：

(1)请完成上面的列联表，并依据的独立性检验，能否认为赞助企业每天的销售额与每天线上销售时间有关；

(2)①按销售额进行分层抽样，在上述赞助企业中抽取5家企业，求销售额不少于30万元和销售额不足30万元的企业数；

②在①条件下，抽取销售额不足30万元的企业时，设抽到每天线上销售时间不少于8小时的企业数是X，求X的分布列及期望值.

附：

参考公式：，其中.

【答案】(1)列联表见解析，能认为赞助企业每天的销售额与每天线上销售时间有关；

(2)①应从销售额不少于30万元的企业抽取3家；从销售额不足30万元的企业抽取2家；②解答见解析.

【分析】（1）由题意分析数据，完成列联表，计算，对着参数判断下结论；

（2）①利用分层抽样即可求解；②判断出X的可能取值为0，1，2.，分别求概率，写出分布列，求出数学期望.

【详解】(1)由题意分析可得：签约企业共45家，线上销售时间不少于8小时的企业有20家，那么线上销售时间少于8小时的企业有25家，每天的销售额不足30万元的企业占，共有.

完成列联表如下：

所以.

对应的参数为6.635.而，所以可判断赞助企业每天的销售额与每天线上销售时间有关；

(2)①由题意可知销售额不少于30万元有27家，销售额不足30万元有18家.

按销售额进行分层抽样，在上述赞助企业中抽取5家企业，抽样比为，

所以应从销售额不少于30万元的企业抽取（家）；

从销售额不足30万元的企业抽取（家）；

②由题意进行数据分析可知：每天的销售额不足30万元，每天线上销售时间不少于8小时的企业有3家，线上销售时间少于8小时的企业有15家.

由①可知，从销售额不足30万元的企业抽取2家.所以X的可能取值为0，1，2.

则;;

.

所以X的分布列如下：

所以.

所以X的期望值为.