2021-2022学年重庆市渝东六校共同体高二下学期联合诊断性测试数学试题（解析版）

2021-2022学年重庆市渝东六校共同体高二下学期联合诊断性测试数学试题

一、单选题

1．设随机变量服从两点分布，若，则成功概率（       ）

A．0.3 B．0.35 C．0.65 D．0.7

【答案】C

【分析】根据两点分布概率性质可得解.

【详解】随机变量服从两点分布，，

根据两点分布概率性质可知：，

解得.

故选：C.

2．已知函数的导函数为，若，则（       ）

A． B． C．2 D．3

【答案】C

【分析】根据导数的运算法则，结合代入法进行求解即可.

【详解】，

由，

所以，

故选：C

3．重庆市高考综合改革实施方案中规定：高考考试科目按照“”的模式设置，“3”为语文、数学、外语3门必选科目；“1”为由考生在物理、历史2门科目中选考1门作为首选科目；“2”为由考生在思想政治、地理、化学、生物4门科目中选2门作为再选科目.现由甲、乙2位同学选科，若他们的首选科目相同，再选科目恰有一门相同的不同选法的种数为（       ）

A．24 B．36 C．48 D．72

【答案】C

【分析】把事情分四步完成，根据乘法分步乘法原理即得解.

【详解】解：第一步：甲乙首选科目相同，有种方法；

第二步：从思想政治、地理、化学、生物4门科目中选一科中选一科作为甲乙的相同科目，有种方法；

第三步：甲从剩下的三科中选一科，有种方法；

第四步：乙从剩下的两科中选一科，有种方法.

所以共有种不同方法.

故选：C

4．函数的图象如图所示，是函数的导函数，则下列大小关系正确的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】由导数的几何意义判断

【详解】

由图象可知在上单调递增，，

故，即

故选：B

5．袋中装有5个红球、10个黑球.每次随机抽取1个球后，若取得黑球后则另外换1个红球放回袋中，直到取得红球为止.若抽取的次数为，则表示事件“放回3个红球”的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据题意得到“放回3个红球”表示的含义，由此即可得到答案.

【详解】因为“放回3个红球”表示前3次摸到的都是黑球，第4次摸到红球，

所以X=4.

故选：C

6．函数的大致图象是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】利用导数可求得的单调性，由此排除AB；根据时，可排除C，由此得到结果.

【详解】由题意得：，

令，解得：，，

当时，；当时，；

在，上单调递减，在上单调递增，可排除AB；

当时，恒成立，可排除C.

故选：D.

【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：

(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．

(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；

(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；

(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.

7．甲、乙两支队伍进行某项比赛，采用五局三胜制.根据以往的数据，前四局比赛，甲队获胜的概率为0.6，乙队获胜的概率为0.4，第五局甲、乙两队获胜的概率均为0.5，在这次比赛中，甲队获胜的概率为（       ）

A．0.0288 B．0.1728 C．0.6048 D．0.648

【答案】D

【分析】分前三局甲全胜，前三局甲胜2局，第四局甲胜和前四局甲胜2局，第五局甲胜，利用独立重复实验的概率求解.

【详解】解：当前三局甲全胜的概率为：，

当前三局甲胜2局，第四局甲胜的概率为，

当前四局甲胜2局，第五局甲胜的概率为，

所以甲队获胜的概率为，

故选：D

8．已知定义在区间上的奇函数，对于任意的满足（其中是的导函数），则下列不等式中成立的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】构造函数，其中，分析函数的奇偶性及其在上的单调性，再利用函数的单调性逐项判断可得出合适的选项.

【详解】构造函数，其中，则，

所以，函数为奇函数，

当时，，

所以，函数在上为增函数，故该函数在上也为增函数，

由题意可知，函数在上连续，故函数在上为增函数.

对于A选项，，即，则，A错；

对于B选项，，即，则，B对；

对于C选项，，即，则，C错；

对于D选项，，即，则，D错.

故选：B.

二、多选题

9．函数在下列哪些区间上单调递增（       ）

A． B． C． D．

【答案】BD

【分析】运用导数的运算性质，结合导数的性质逐一判断即可.

【详解】由，

因为函数的定义域为，所以选项A显然不正确；

当时，单调递增，因此选项B正确；

当时，单调递减，因此选项C不正确；

当时，单调递增，因此选项D正确，

故选：BD

10．已知，则下列结论正确的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】ACD

【分析】利用赋值法、二项式的通项公式逐一计算判断即可.

【详解】在中，

令，得，

即，所以选项A正确；

令，得，所以选项B不正确；

令，得，

即，而，两式相减，得

，所以选项C正确；

二项式的通项公式为，

，所以选项D正确，

故选：ACD

11．某岗位聘用考核设置2个环节，竟聘者需要参加2个环节的全部考核，2个环节的考核同时合格才能录用.规定：第1环节考核3个项目，至少通过2个为合格，否则为不合格；第2环节考核5个项目，至少连续通过3个为合格，否则为不合格，统计已有的测试数据得出第1环节每个项目通过的概率均为，第2环节每个项目通过的概率均为，各环节、各项目间相互独立，则（       ）

A．竞聘者第1环节考核通过的概率为

B．若竞聘者第1环节考核通过个项目，则的均值

C．竞聘者第2环节考核通过的概率为

D．竟聘者不通过岗位聘用考核可能性在93%以上

【答案】BD

【分析】利用相互独立事件的乘法公式计算即可判断A；易知随机变量服从二项分布，根据二项分布的期望公式即可判断B；利用相互独立事件的乘法公式计算即可判断C；利用对立事件的概率公式即可判断D.

【详解】解：设分别为两个环节第，个项目通过，

则，

且间相互独立，

对于A，竞聘者第1环节考核通过的概率为

，所以A错误，

对于B，由题意，∴，所以B正确，

对于C，竞聘者第2环节考核通过的概率为，所以C错误，

对于D，由AC选项可得竞聘者不通过岗位聘用考核概率为，所以D正确.

故选：BD.

12．已知函数，若函数有两个零点，则下列说法正确的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】ACD

【分析】由已知得出，化简变形后可判断A选项的正误；取可判断B选项的正误；利用构造函数法证明CD选项中的不等式，可判断CD选项的正误.

【详解】解：由可得，可知直线与函数在上的图象有两个交点，，

当时，，此时函数单调递增，

当时，，此时函数单调递减，则，且当时，，如下图所示：

当时，直线与函数在上的图象有两个交点.

对于A选项，由已知可得，消去可得，故A正确；

对于B选项，设，取，则，所以，，故，故B错；

对于C选项，设，因为，则，

所以，，，

则，

构造函数，其中，则，

所以，函数在上单调递增，故，故C正确；

对于D选项，，

构造函数，其中，则，

所以，函数在上单调递减，则，故D正确.

故选：ACD.

【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：

（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；

（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；

（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.

三、填空题

13．已知随机变量，满足且，则______.

【答案】

【分析】由，结合，即可求解.

【详解】由题意，随机变量，满足，

因为，可得.

故答案为：.

14．经统计，在渝东六校联考中，高二数学成绩（单位：分）服从正态分布，则任选1名参加该次考试的学生，其这次数学成绩在85~100分内的概率约为______.（参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，.）

【答案】0.8186

【分析】根据正态分布的性质，结合题中所给的数据进行求解即可.

【详解】因为高二数学成绩（单位：分）服从正态分布，

所以该正态曲线的对称轴为：，

因此，

所以

故答案为：0.8186

15．已知函数上，单调递增，在上单调递减，则实数的取值范围为______.

【答案】

【分析】求导得到，根据在，上单调递增，在上单调递减，可得方程的两个根分别位于区间和上，进而根据数形结合，列出相应的不等式组，即可求出实数的取值范围

【详解】由，得，

因为在，上单调递增，在上单调递减，

所以方程的两个根分别位于区间和上，

所以，即解得

故答案为：

16．若关于的不等式在区间上有且只有一个整数解，则实数的取值范围是______.

【答案】

【分析】利用常变量分离法，构造函数，利用导数，结合数形结合思想进行求解即可.

【详解】当时，不等式可化为，令，

则，令可得，

当时，，

当时，，

所以在区间上单调递减，在上单调递增，

又，

由此可得函数的图象如图：

由已知不等式在区间上有且只有一个整数解，

∴，∴

故答案为：

【点睛】关键点睛：运用常变量分离法，构造函数，根据导数的性质，利用数形结合思想是解题的关键.

四、解答题

17．在下列三个条件中任选一个条件，补充在问题中的横线上，并解答．

条件①：展开式中前三项的二项式系数之和为22；条件②：展开式中所有项的二项式系数之和减去展开式中所有项的系数之和等于64；条件③：展开式中常数项为第三项．

问题：已知二项式，若______，求：

(1)展开式中二项式系数最大的项；

(2)展开式中所有的有理项．

【答案】(1)；

(2)，，，.

【分析】（1）利用二项展开式的性质求出，再求展开式中二项式系数最大的项；

（2）设第项为有理项，，求出即得解.

【详解】(1)解：选①，由，得（负值舍去）．

选②，令，可得展开式中所有项的系数之和为0．

由得．

选③，设第项为常数项，，由，得．

由得展开式的二项式系数最大为，

则展开式中二项式系数最大的项为．

(2)解：设第项为有理项，，

因为，，，

所以，

则有理项为，，，．

18．某班有7名班干部，其中男生4人，女生3人，从中任选3人参加学校的义务劳动.

(1)在男生甲被选中的情况下，求女生乙也被选中的概率；

(2)设所选3人中女生人数为，求的分布列和数学期望.

【答案】(1)

(2)分布列见解析，

【分析】（1）设事件表示“男生甲被选中”，事件表示“女生乙被选中”，即可求出，，再利用条件概率的计算公式计算可得；

（2）依题意的所有可能取值为0，1，2，3，求出所对应的概率，即可得到的分布列与数学期望；

【详解】(1)解：设事件表示“男生甲被选中”，事件表示“女生乙被选中”

则，，

∴

(2)解：依题意的所有可能取值为0，1，2，3

所以，，

，，

∴的分布列为

所以

19．已知函数在和处取得极值.

(1)求实数，的值；

(2)若对任意的，都有成立，求实数的取值范围.

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）求得，根据极值概念，列出方程组，即可求解；

（2）由（1）单调，求得函数的单调区间，进而求得的最大值为，得到，即可求解.

【详解】(1)解：由函数，可得，

因为函数在和处取得极值，

可得，解得，.

(2)解：由（1）知，函数，

可得，

当时，，单调递增；

当时，，单调递减；

当时，，单调递增，

又因为，，

所以在的最大值为，所以，解得或，

即实数的取值范围是.

20．已知函数是常数），此函数对应的曲线在点处的切线与轴平行

（1）求的值，并求出的最大值；

（2）设，函数，若对任意的，总存在，使

求m的取值范围

【答案】（1）,（2）

【详解】试题分析：（1）先根据导数的几何意义求得，然后根据函数的单调性求得；（2）“对任意的，总存在，使”等价于“函数在上的值域是函数上的值域的子集”，将问题转化成求函数值域的问题处理．

试题解析：（1）对求导，得，

由题意可得，

解得，

所以，

定义域为，且，

当时，，单调递增，

当时，，单调递减，

所以当时，有极大值，也为最大值且.

（2）设的值域为的值域为,

由题意“对于任意的，总存在使得”，等价于，

由（1）知，

因为，所以，故在上单调递减，

所以，

即，

所以，

因为，

所以，

因为，故，

所以在上是增函数，

所以，

即，

故

由，得，

解得，

所以实数的取值范围是.

点睛：解第二问的关键是准确理解题意，将问题转化为两个函数值域的问题求解是解题的关键．对于此类问题，还要注意以下的结论：

①

②；

③；

④；

⑤．

当函数的最值不存在时可用值域的端点值代替．

21．2022年冬奥会在北京举行，冬奥会吉祥物“冰墩墩”自亮相以来就好评不断，出现了“一墩难求”的现象.主办方现委托某公司推出一款以“冰墩墩”为原型的纪念品在专卖店进行售卖.已知这款纪念品的生产成本为80元/件，为了确定其销售价格，调查了对这款纪念品有购买意向的消费者（以下把对该纪念品有购买意向的消费者简称为消费者）的心理价位，并将收集的100名消费者的心理价位整理如下：

假设当且仅当这款纪念品的销售价格小于或等于某位消费者的心理价位时，该消费者就会购买该纪念品.公司为了满足更多消费者的需求，规定每位消费者最多只能购买一件该纪念品.设这款纪念品的销售价格为x（单位：元/件），，且每位消费者是否购买该纪念品相互独立.用样本的频率分布估计总体的分布，频率视为概率.

(1)若，试估计消费者购买该纪念品的概率；已知某时段有4名消费者进店，X为这一时段该纪念品的购买人数，试求X的分布列和数学期望；

(2)假设共有M名消费者，设该公司售卖这款纪念品所得总利润为Y（单位：元），当该纪念品的销售价格x定为多少时，Y的数学期望达到最大值？

【答案】(1)分布列见解析，期望为3.6；

(2)当该纪念品的销售价格定为110元多少时，Y的数学期望达到最大值．

【分析】（1）由调查表得出每个人购买纪念品的概念为，而，由二项分布计算概率得分布列，由二项分布的期望公式得期望；

（2）利用二项分布的期望公式求出时的期望，比较得最大值．

【详解】(1)时，消费者购买该纪念品的概率，

由题意，，，

，同理，，，，

的分布列为：

；

(2)由（1）知时，（时等号成立），

时，（时等号成立），

时，（时等号成立），

，因此最大，此时．

所以当该纪念品的销售价格定为110元多少时，Y的数学期望达到最大值．

22．已知函数.

(1)当时，讨论函数的单调性；

(2)若函数有两个极值点，证明：.

【答案】(1)答案见解析；

(2)证明见解析.

【分析】（1）对函数进行求导，根据一元二次方程是否有实根分类讨论进行求解即可；

（2）根据极值的定义，结合导数的性质、对数的运算性质，再通过构造函数进行求解即可.

【详解】(1)的定义域为，

令，，

当，即时，则即，则在上单调递增；

当，即时，令，得，，且，

∴时，

时，，

∴的单调增区间为，，

单调减区间为

综上所述，当时，在上单调递增；

当时，在，上单调递增，

在上单调递减；

(2)∵，且函数有两个极值点，

∴方程有两个正实根，

则有∴

∴，

令，

则，则在上单调递减，

∴，

∴.

【点睛】关键点睛：根据对数的运算性质，结合构造函数法是解题的关键.