2021-2022学年山西省运城市稷山中学高三（上）开学摸底数学试卷（Word解析版）

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2021-2022学年山西省运城市稷山中学高三（上）开学摸底数学试卷

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 已知集合，，则(    )

A.  B.
C.  D.

2. 已知为虚数单位，若，则(    )

A.  B.  C.  D.

3. 的化简结果为(    )

A.  B.  C.  D.

4. 若函数满足，则等于(    )

A.  B.  C.  D.

5. 函数的部分图象大致是(    )

A.  B.
C.  D.

6. 函数的单调递减区间为(    )

A.  B.  C.  D.

7. 设函数是定义在上的奇函数，且，则(    )

A.  B.  C.  D.

8. 若不等式对恒成立，则实数的最大值为(    )

A.  B.  C.  D.

9. 已知，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

10. 现有张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各张，从中任取张，要求取出的这些卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多张，不同取法的种数为(    )

A.  B.  C.  D.

11. 设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，若，则(    )

A.  B.  C.  D.

12. 实数，，满足，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 若定义在上的偶函数满足，对任意恒成立，则______．
14. 函数在区间上不单调，则实数的取值范围是______ ．
15. 已知，则的最小值是          ．
16. 已知函数若，则的值域是______；若的值域是，则实数的取值范围是______．

三、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分
    设是定义在上的奇函数．且对任意实数恒有当时，求证：是周期函数：当时．求的解析式．
18. 本小题分
    已知函数．
    当时，求的极值；
    讨论函数在定义域内极值点的个数．
19. 本小题分
    为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为吨，最多为吨，月处理成本元与月处理量吨之间的函数关系可近似的表示为：，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为元．
    该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
    该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？
20. 本小题分
    近年来，国资委党委高度重视扶贫开发工作，坚决贯彻落实中央扶贫工作重大决策部署，在各个贫困县全力推进定点扶贫各项工作，并取得了积极成效．某贫困县为了响应国家精准扶贫的号召，特地承包了一块土地，已知土地的使用面积与相应的管理时间的关系如下表所示：

并调查了某村位村民参与管理的意愿，得到的部分数据如表所示：
单位：人

求出样本相关系数的大小，并判断管理时间与土地使用面积是否线性相关当时，即可认为线性相关；
依据的独立性检验，分析村民的性别与参与管理的意愿是否有关；
以该村的村民的性别与参与管理意愿的情况估计该贫困县的情况，从该贫困县中任取人，记取到不愿意参与管理的男性村民的人数为，求的分布列及数学期望．
参考公式：，，其中．
临界值表：

参考数据：．

21. 本小题分
    某学校组织“一带一路”知识竞赛，有，两类问题每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束类问题中的每个问题回答正确得分，否则得分；类问题中的每个问题回答正确得分，否则得分．
    已知小明能正确回答类问题的概率为，能正确回答类问题的概率为，且能正确回答问题的概率与回答次序无关．
    若小明先回答类问题，记为小明的累计得分，求的分布列；
    为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由．
22. 本小题分
    山东省高考改革试点方案规定：从年秋季高中入学的新生开始，不分文理科；年开始，高考总成绩由语数外门统考科目和物理、化学等六门选考科目构成．将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为、、、、、、、共个等级．参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为、、、、、、、选考科目成绩计入考生总成绩时，将至等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到、、、、、、、八个分数区间，得到考生的等级成绩．
    某校高一年级共人，为给高一学生合理选科提供依据，对六个选考科目进行测试，其中物理考试原始成绩基本服从正态分布．
    Ⅰ求物理原始成绩在区间的人数；
    Ⅱ按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取人，记表示这人中等级成绩在区间的人数，求的分布列和数学期望．
    附：若随机变量，则，，
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查交集和并集的求法，考查指数不等式的解法，属于基础题．
先求出集合，再求出和，由此能求出结果．

【解答】

解：集合，
，
，所以A正确，D错误，
，所以和都错误，
故选A．

2.【答案】 

【解析】解：由，
得．
故选：．
把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．
本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．
 

3.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
直接利用指数的运算的应用求出结果．
本题考查的知识要点：指数的运算，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：根据题意，函数满足，
若，即，则，
故当时，有；
故选：．
根据题意，令，解可得，进而在中，令，变形计算即可得答案．
本题考查函数值的计算，涉及函数的解析式，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：函数定义域为，关于原点对称，
因为，所以函数为奇函数，图象关于原点对称，排除，
又当小于，且趋近于时，，故排除，
又，据此排除．
故选：．
根据函数的性质采用排除法．
本题考查了函数的图象及其变换．属中档题．
 

6.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查利用导数研究函数的单调性，属于基础题．
由得，由即可求得函数的单调递减区间．

【解答】

解：的定义域为，
，
由得：，
函数的单调递减区间为．
故选：．

7.【答案】 

【解析】解：根据，由于函数为奇函数，所以．
故选：．
直接利用奇函数和分段函数的应用求出结果．
本题考查的知识要点：对数的运算，分段函数的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查基本不等式的性质以及应用，注意原式的变形．
根据题意，由基本不等式的性质分析可得的最小值为，据此分析可得答案．

【解答】

解：根据题意，，则，
则

，
当且仅当时等号成立，即，
则的最小值为，
若不等式对恒成立，
即恒成立，必有恒成立，
故实数的最大值为；
故选：．

9.【答案】 

【解析】解：，，，
由得：，
由，得：
故，
故选：．
根据底数的大小判断，的大小，根据指数的大小判断，的大小，从而判断出，，的大小即可．
本题考查了指数函数的性质，考查函数值的大小比较，是一道基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：由题意，不考虑特殊情况，共有种取法，其中每一种卡片各取三张，有种取法，两种红色卡片，共有种取法，
故所求的取法共有
故选：．
不考虑特殊情况，共有种取法，其中每一种卡片各取三张，有种取法，两种红色卡片，共有种取法，由此可得结论．
本题考查组合知识，考查排除法求解计数问题，属于中档题．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查函数的周期性与奇偶性的综合应用．
由已知得的周期为，则，由已知得，，即可求出函数的解析式，即可得解．

【解答】

解：因为为奇函数，
所以，
所以的图象关于中心对称，则，
因为为偶函数，
所以，
所以的图象关于直线轴对称．
由，得，
所以，
则，即的周期为，
所以，
又因为，，，
所以，则，
因为当时，，
即，解得，
所以，当时，，
所以．
故选D．

12.【答案】 

【解析】解：构造函数，，
由题意得为增函数，且恒过点，
因为，则可以令，
所以等价于，
所以，，分别为函数，
，的零点，
因为，
所以，
因为，
所以，
所以．
故选：．
构造函数，，由题意为增函数，且恒过点，令，等价于，所以，，分别为函数，
，的零点，由此能求出结果．
本题考查三个数的大小的判断，考查构造法、函数的单调性、函数的零点等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：因为对任意恒成立，且为偶函数，
所以，
又且，
所以，
则．
故答案为：．
由已知可求出函数的周期，利用赋值法可求，然后结合周期把所求函数值进行转化可求．
本题主要考查了函数的周期性及奇偶性在函数值求解中的应用，属于中档题．
 

14.【答案】 

【解析】解：的对称轴是，
若在区间上不单调，
则，解得：，
故答案为：．
求出函数的对称轴，根据函数的单调性得到关于的不等式，解出即可．
本题考查了二次函数的性质，考查函数的单调性问题，是一道基础题．
 

15.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查利用基本不等式求最值，考查转化思想和化简运算能力．
方法一、由已知求得，代入所求式子，整理后，运用基本不等式可得所求最小值；
方法二、由，运用基本不等式，计算可得所求最小值．

【解答】

解：方法一、由，可得，
由，可得，
则
，当且仅当，时，等号成立，
可得的最小值为；
方法二、，
故，
当且仅当，即，时取得等号，
可得的最小值为．
故答案为：．

16.【答案】   

【解析】解：当时，．
当，时，
在上单调递减，在上单调递增，
可得的最大值为，最小值为；
当，时，为减函数，有最小值为，无最大值．
综上所述，的值域是；
在上单调递减，在上单调递增，
在上的最小值为，最大值是；
由题意可得，而当时，是减函数且值域为，
当的值域是时，，即．
故实数的取值范围是．
故答案为：；．
若，分别求出在及上的最值，取并集得答案；求出在上的值域以及在上的值域，注意，运用单调性即可得到的范围．
本题给出分段函数，求函数的值域，并在已知值域的前提下求参数的范围，考查函数的单调性与二次函数的最值情况，是中档题．
 

17.【答案】解：证明：根据题意，，则，
则是周期为的周期函数，
根据题意，若，则，则有，
故，
又，
则有，
即，． 

【解析】根据题意，由变形可得，即可得结论；
根据题意，若，则，则有，结合函数的周期性和奇偶性分析可得答案．
本题考查函数解析式的性质以及应用，涉及函数周期性的证明，属于基础题．
 

18.【答案】解：当时，，函数的定义域为且，令，得，
于是当变化时，，的变化情况如下表：

故在定义域上的极大值为，无极小值．
由知，函数的定义域为，
．
当时，在上恒成立，
即函数在上单调递增，此时函数在定义域上无极值点；
当时，当时，，
当时，，
故函数在处有极大值．
综上可知，当时，函数无极值点，
当时，函数有一个极大值点，且为． 

【解析】当时，，求导得到，然后利用极值的定义求解．
由知，函数的定义域为，然后分和两种情况讨论求解．
本题考查利用导数求函数的极值，考查学生的运算能力，属于中档题．
 

19.【答案】解：由题意可知，
二氧化碳的每吨平均处理成本为：
，
当且仅当，即时，
才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为元．
设该单位每月获利为，
则分

因为，所以当时，有最大值．
故该单位不获利，需要国家每月至少补贴元，才能不亏损． 

【解析】由题意月处理成本元与月处理量吨之间的函数关系可近似的表示为：，两边同时除以，然后利用不等式的性质进行放缩，从而求出最值；
设该单位每月获利为，则，把值代入进行化简，然后运用配方法进行求解．
此题是一道实际应用题，考查了函数的最值和不等式的基本性质，及运用配方法求函数的最值．
 

20.【答案】解：由表格数据知：，，
，，．
则，
管理时间与土地使用面积线性相关．
由题意可得列联表如下：

则．
依据的独立性检验，可认为村民的性别与参与管理的意愿有关．
从该贫困县中随机抽取一位村民，取到不愿意参与管理的男性村民的概率为，则；
由题意知：的可能取值为，，，，
，，
，．
故的分布列为：

则数学期望． 

【解析】根据表格数据和公式计算可得，由此可得结论；
根据已知数据可得列联表，计算可得，由此可得结论；
首先确定从该贫困县中随机抽取一位村民，取到不愿意参与管理的男性村民的概率，可知，由二项分布概率公式可计算得到每个取值对应的概率，由此可得分布列；根据数学期望计算公式可求得结果．
本题主要考查独立性检验和离散型随机变量的分布列和期望，属于中档题．
 

21.【答案】解：由已知可得，的所有可能取值为，，，
则，

，
所以的分布列为：

由可知小明先回答类问题累计得分的期望为，
若小明先回答类问题，记为小明的累计得分，
则的所有可能取值为，，，
，
，
，
则的期望为，
因为，
所以为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答类问题． 

【解析】本题主要考查离散型随机变量分布列及数学期望，考查运算求解能力，属于中档题．
由已知可得，的所有可能取值为，，，分别求出对应的概率即可求解分布列；
由可得，若小明先回答类问题，记为小明的累计得分，的所有可能取值为，，，分别求出对应的概率，从而可得，比较与的大小，即可得出结论．
 

22.【答案】解：Ⅰ因为物理原始成绩，
则．
所以物理原始成绩在的人数为人．
Ⅱ随机抽取人，其成绩在区间的概率为，
所以随机抽取三人，则可取，，，，且，
，
，
，
，
所以的分布列为：

数学期望． 

【解析】本题考查正态分布，二项分布，以及二项分布的期望，属于中档题．
Ⅰ根据若随机变量，则，，以及正态分布的对称性可得．
Ⅱ服从二项分布，因为成绩在区间的成功概率为，故服从，可取，，，代入即可．