苏教版 (2019)必修 第一册2.3 全称量词命题与存在量词命题图片ppt课件

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2.3.2　全称量词命题与存在量词命题的否定课标要求　1.能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定.2.能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定.素养要求　通过全称量词命题与存在量词命题的否定的学习，提升学生的数学抽象、逻辑推理素养.　　　　　　　　　　　　　　一、命题的否定1.思考　命题p：3的相反数是－3和命题q：3的相反数不是－3，这两个命题之间有什么关系？它们的真假性如何？提示　命题q是命题p的否定，命题p为真命题，命题q为假命题，命题p与q真假相反.2.填空　綈p(x)是对语句p(x)的否定，对一个命题进行否定，就得到了一个新的命题，这两个命题的关系是“一真一假”或“此假彼真”.温馨提醒　常见的关键词的否定： 原词等于大于小于是都是否定词不等于不大于不小于不是不都是 原词至多一个至少一个任意所有的否定词至少两个一个也没有某个某些3.做一做　写出下列命题的否定： (1)56是7的倍数；(2)空集是集合A＝{1，2，3}的真子集.解　(1)56不是7的倍数；(2)空集不是集合A＝{1，2，3}的真子集.二、全称量词命题与存在量词命题的否定1.思考　(1)下列命题的否定是什么？ 它们与原命题在形式上有什么变化？①所有的矩形都是平行四边形；②每一个素数都是奇数；③∀x∈R，x＋|x|≥0.提示　①存在一个矩形，它不是平行四边形；②存在一个素数不是奇数；③∃x∈R，x＋|x|<0，命题的否定是存在量词命题，而原命题是全称量词命题.(2)下列命题的否定是什么？ 它们与原命题在形式上有什么变化？①存在一个实数的绝对值是正数；②有些平行四边形是菱形；③∃x∈R，x2－2x＋3＝0.提示　①任何实数的绝对值都不是正数；②所有的平行四边形都不是菱形；③∀x∈R，x2－2x＋3≠0.命题的否定是全称量词命题，而原命题是存在量词命题.2.填空　(1)全称量词命题的否定一般地，全称量词命题“∀x∈M，p(x)”的否定是存在量词命题“∃x∈M，綈p(x)”.(2)存在量词命题的否定一般地，存在量词命题“∃x∈M，p(x)”的否定是全称量词命题“∀x∈M，綈p(x)”.温馨提醒　(1)全称量词命题的否定的两个关注点①量词：把全称量词改为存在量词，一般变特殊.②结论：结合一些常见词语的否定，将结论进行否定.可见，全称量词命题的否定是存在量词命题.(2)存在量词命题的否定的两个关注点①量词：把存在量词改为全称量词，特殊变一般.②结论：结合一些常见词语的否定，将结论进行否定.可见，存在量词命题的否定是全称量词命题.3.做一做　(1)命题p：“存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根”，则p的否定是(　　)A.存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0无实数根B.不存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0无实数根C.对任意的实数m，方程x2＋mx＋1＝0无实数根D.至多有一个实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根答案　C解析　命题p是存在量词命题，其否定为全称量词命题，即对任意的实数m，方程x2＋mx＋1＝0无实数根.(2)命题：∀x∈R，x2－x＋1≠0的否定是________.答案　∃x∈R，x2－x＋1＝0解析　因为全称量词命题的否定是存在量词命题，所以∀x∈R，x2－x＋1≠0的否定是：∃x∈R，x2－x＋1＝0.　　　　　　　　　　　　　　题型一　全称量词命题的否定例1 判断下列全称量词命题的真假，并写出这些命题的否定.(1)三角形的内角和为180°；(2)每个二次函数的图象都开口向下；(3)任何一个平行四边形的对边都平行；(4)负数的平方是正数.解　(1)是真命题.命题的否定：三角形的内角和不全为180°，即存在一个三角形，它的内角和不等于180°.(2)是假命题.命题的否定：存在一个二次函数的图象开口不向下.(3)是真命题.命题的否定：存在一个平行四边形，它的对边不都平行.(4)是真命题.命题的否定：某个负数的平方不是正数.思维升华　全称量词命题否定的步骤第一步改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词；第二步否定结论：原命题中的“p(x)成立”改为“綈p(x)成立”.训练1 写出下列全称量词命题的否定：(1)每一个四边形的四个顶点共圆；(2)所有自然数的平方都是正数；(3)任何实数x都是方程5x－12＝0的根；(4)对任意实数x，x2＋1≥0.解　(1)该命题的否定为：存在一个四边形，它的四个顶点不共圆.(2)该命题的否定为：有些自然数的平方不是正数.(3)该命题的否定为：存在实数x不是方程5x－12＝0的根.(4)该命题的否定为：存在实数x，使得x2＋1<0.题型二　存在量词命题的否定例2 写出下列存在量词命题的否定，并判断所得命题的真假：(1)∃x∈R，x2＋2x＋3≤0；(2)至少有一个实数x，使x3＋1＝0；(3)∃x，y∈Z，x＋y＝3.解　(1)命题的否定：∀x∈R，x2＋2x＋3>0.∵∀x∈R，x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2≥2>0恒成立，∴命题的否定为真命题.(2)命题的否定：∀x∈R，x3＋1≠0.∵只有当x＝－1时，x3＋1＝0，∴命题的否定为假命题.(3)命题的否定：∀x，y∈Z，x＋y≠3.∵当x＝0，y＝3时，x＋y＝3，∴命题的否定为假命题.思维升华　存在量词命题的否定是全称量词命题，写命题的否定时要分别改变其中的量词和结论，即p：∃x∈M，p(x)成立⇒p的否定：∀x∈M，綈p(x)成立.命题的否定的真假判断：当命题的否定的真假不易判断时，可以转化为判断原命题的真假，当原命题为真时，命题的否定为假，当原命题为假时，命题的否定为真.训练2 写出下列存在量词命题的否定，并判断其否定的真假.(1)有些实数的绝对值是正数；(2)某些平行四边形是菱形.解　(1)命题的否定是“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，即“所有实数的绝对值都不是正数”.它为假命题.(2)命题的否定是“没有一个平行四边形是菱形”，即“每一个平行四边形都不是菱形”.它为假命题.题型三　由命题的真假求参数的值(取值范围)例3 已知p：∀x∈[－1，2]，x2－m≥0.若p的否定为假命题，求实数m的取值范围.解　∵p的否定为假命题，∴p为真命题，即x2－m≥0，x∈[－1，2]恒成立.∴m≤x2，x∈[－1，2]恒成立.易知y＝x2，x∈[－1，2]的最小值为0，∴m≤0，即实数m的取值范围是(－∞，0].思维升华　求解含有量词的命题中参数范围的策略(1)对于全称量词命题“∀x∈M，a>y(或a<y)”为真的问题，实质就是不等式恒成立问题，通常转化为求函数y的最大值(或最小值)，即a>ymax(或a<ymin).(2)对于存在量词命题“∃x∈M，a>y(或a<y)”为真的问题，实质就是不等式能成立问题，通常转化为求函数y的最小值(或最大值)，即a>ymin(或a<ymax).训练3 已知命题p：∃x∈R，m－x2＋2x－5>0，若p的否定为假命题，求实数m的取值范围.解　因为p的否定为假命题，所以命题p：∃x∈R，m－x2＋2x－5>0为真命题.m－x2＋2x－5>0可化为m>x2－2x＋5＝(x－1)2＋4，即∃x∈R，m>(x－1)2＋4成立，只需m>4即可，故实数m的取值范围为{m|m>4}.[课堂小结]1.理解2个概念全称量词命题、存在量词命题的否定.2.注意4个问题对命题进行否定时，(1)确定命题类型，是全称量词命题还是存在量词命题.(2)改变量词：把全称量词改为恰当的存在量词；把存在量词改为恰当的全称量词.(3)否定结论：原命题中的“是”“有”“存在”“成立”等分别改为“不是”“没有”“不存在”“不成立”等.(4)无量词的全称量词命题要先补回量词再否定.3.注意2个易错点对含有一个量词的命题，否定时，不能只否定结论，而忘记改变量词；也不能只改变量词，而忘记对结论否定.　　　　　　　　　　　　　　一、基础达标　　　　　　　　　　　　　　1.关于命题p：“∀x∈R，x2＋1≠0”的叙述，正确的是(　　)A.p的否定为：∃x∈R，x2＋1≠0B.p的否定为：∀x∈R，x2＋1＝0C.p是真命题，p的否定是假命题D.p是假命题，p的否定是真命题答案　C解析　命题p：“∀x∈R，x2＋1≠0”的否定是“∃x∈R，x2＋1＝0”.p是真命题，p的否定是假命题.2.设命题p：∃x∈Z，(x＋1)2－1>0，则p的否定为(　　)A.∃x∈Z，(x＋1)2－1>0B.∀x∈Z，(x＋1)2－1>0C.∃x∉Z，(x＋1)2－1≤0D.∀x∈Z，(x＋1)2－1≤0答案　D解析　存在量词命题的否定为全称量词命题.3.设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集.若命题p：∀x∈A，2x∈B，则p的否定为(　　)A.∀x∈A，2x∈B      B.∀x∉A，2x∉BC.∃x∉A，2x∈B      D.∃x∈A，2x∉B答案　D解析　命题p：∀x∈A，2x∈B是一个全称量词命题，p的否定应为：∃x∈A，2x∉B.选D.4.已知命题p：∀x>0，总有x＋1>1，则p的否定为(　　)A.∃x≤0，使得x＋1≤1B.∃x>0，使得x＋1≤1C.∀x>0，总有x＋1≤1D.∀x≤0，总有x＋1≤1答案　B解析　“∀x>0，总有x＋1>1”的否定是“∃x>0，使得x＋1≤1”.故选B.5.(多选)下列命题p的否定正确的是(　　)A.p：能被2整除的数是偶数；p的否定：存在一个能被2整除的数不是偶数B.p：有些矩形是正方形；p的否定：所有的矩形都不是正方形C.p：有的三角形为正三角形；p的否定：所有的三角形不都是正三角形D.p：∃n∈N，2n≤100；p的否定：∀n∈N，2n>100.答案　ABD解析　“有的三角形为正三角形”为存在量词命题，其否定为全称量词命题：“所有的三角形都不是正三角形”，故选项C错误.A，B，D正确.6.命题“∃x∈(0，＋∞)，x2＝x－1”的否定是________.答案　∀x∈(0，＋∞)，x2≠x－17.命题“每个函数都有最大值”的否定是______________.答案　有些函数没有最大值解析　命题的量词是“每个”，即为全称量词，因此其否定是存在量词，故应填：有些函数没有最大值.8.已知命题p：∀x∈R，x2＋2x＋a>0.若命题p是假命题，则实数a的取值范围是________.答案　{a|a≤1}解析　若命题p为假命题，则命题p的否定：∃x∈R，x2＋2x＋a≤0为真命题，故Δ＝4－4a≥0，∴a≤1，∴当p为假命题时，a的取值范围是{a|a≤1}.9.写出下列命题的否定，并判断其真假.(1)q：有理数都能写成分数的形式；(2)s：有些实数的绝对值是正数.解　(1)q是全称量词命题，省略了全称量词“任意一个”，即“任意一个有理数都能写成分数的形式”，q的否定为：存在一个有理数不能写成分数的形式，是假命题.(2)由于存在量词“有些”的否定为“所有”，因此，s的否定为：所有实数的绝对值都不是正数，是假命题.10.写出下列命题的否定，并判断其真假.(1)p：∀x∈R，x2－x＋≥0；(2)q：所有的正方形都是矩形；(3)r：∃x∈R，x2＋2x＋2≤0.解　(1)p的否定为：∃x∈R，x2－x＋＜0.∵∀x∈R，x2－x＋＝≥0，∴p的否定是假命题.(2)q的否定为：有的正方形不是矩形，假命题.(3)r的否定为：∀x∈R，x2＋2x＋2＞0.∵∀x∈R，x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1≥1＞0，∴r的否定是真命题.二、能力提升11.(多选)下列命题的否定是假命题的是(　　)A.三角形角平分线上的点到角两边的距离相等B.所有平行四边形都不是矩形C.任意两个等边三角形都是相似的D.3是方程x2－9＝0的一个根答案　ACD解析　A的否定：存在一个三角形，它的角平分线上的点到角两边的距离不相等，假命题，B的否定：有些平行四边形是矩形，真命题，C的否定：有些等边三角形不相似，假命题，D的否定：3不是方程x2－9＝0的一个根，假命题.12.已知命题“对于任意x∈R，函数y＝x2＋ax＋1≥0”，若此命题是假命题，则实数a的取值范围为________.若此命题是真命题，则实数a的取值范围为________.答案　{a|a<－2或a>2}　{a|－2≤a≤2}解析　因为全称量词命题“对于任意x∈R，函数y＝x2＋ax＋1≥0”的否定为：“存在x∈R，函数y＝x2＋ax＋1<0”.当原命题是假命题时，其否定为真命题.由于函数y＝x2＋ax＋1的图象是开口向上的抛物线，借助二次函数图象易知：Δ＝a2－4>0，解得a<－2或a>2.当原命题是真命题时，知Δ≤0，则a2－4≤0，得－2≤a≤2.13.已知命题p：∃x∈R，x2－2x＋m＝0，若p的否定是假命题，求实数m的取值范围.解　因为p的否定为假命题，所以p为真命题，即∃x∈R，x2－2x＋m＝0成立，即方程x2－2x＋m＝0有实根，有Δ＝(－2)2－4m≥0，所以m≤1.故实数m的取值范围为{m|m≤1}.三、创新拓展14.已知函数y1＝x2－2x，y2＝ax＋2(a＞0).若∀－1≤x1≤2，∃－1≤x2≤2，使得x－2x1＝ax2＋2，则实数a的取值范围是________.答案　[3，＋∞)解析　由二次函数的性质可得函数y1＝x2－2x，－1≤x1≤2的取值范围为{y1|－1≤y1≤3}.由一次函数的性质可知函数y2＝ax＋2(a＞0)，－1≤x≤2的取值范围是{y2|2－a≤y2≤2＋2a}.因为∀－1≤x1≤2，∃－1≤x2≤2，使得x－2x1＝ax2＋2，即{y1|－1≤y1≤3}⊆{y2|2－a≤y2≤2＋2a}，所以解得a≥3.