苏教版 (2019)必修 第一册第5章 函数概念与性质5.4 函数的奇偶性课文内容课件ppt

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第5章 函数概念与性质
第二课时　函数的奇偶性(二)
课标要求
1.掌握函数奇偶性的简单应用.2.了解函数图象的对称轴、对称中心满足的条件.
素养要求
1.通过函数奇偶性的应用，熟悉转化、对称等思考方法，提升学生的逻辑推理素养.2.通过函数图象的对称轴、对称中心条件，提升学生的直观想象和数学抽象素养.
问题导学预习教材必备知识探究
互动合作研析题型关键能力提升
拓展延伸分层精练核心素养达成
内容索引
WEN TI DAO XUE YU XI JIAO CAI BI BEI ZHI SHI TAN JIU
问题导学预习教材 必备知识探究
1
1.思考　(1)对于函数y＝f(x)，若存在x，使f(－x)＝－f(x)，则函数y＝f(x)一定是奇函数吗？ 提示　反例：f(x)＝x2，存在x＝0，f(－0)＝－f(0)＝0，但函数f(x)＝x2不是奇函数. (2)存在既是奇函数，又是偶函数的函数吗？ 提示　存在.例如：f(x)＝0，x∈R既是奇函数，又是偶函数. (3)若函数的定义域关于原点对称，则这个函数不是奇函数，就是偶函数，这种说法正确吗？ 提示　错误.函数f(x)＝x2－2x，x∈R的定义域关于原点对称，但它既不是奇函数，又不是偶函数.
2.填空　(1)奇函数的图象关于______对称，若函数的图象关于原点对称，则该函数是____函数. 偶函数的图象关于______对称，若函数的图象关于y轴对称，则该函数是____函数. (2)若f(x)为奇函数且在区间[a，b](a原点
奇
y轴
偶
增函数
相同
减函数
相反
温馨提醒　若函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象关于y轴对称，则f(x)，g(x)不一定是偶函数，因为只有自身的图象关于y轴对称的函数才是偶函数.
3.做一做　思考辨析，判断正误 (1)若f(x)是偶函数，则f(x)＝f(－x)＝f(|x|).(　　) (2)若偶函数f(x)在[a，b]上有最小值M，则f(x)在[－b，－a]上有最小值M.(　　) (3)若奇函数f(x)在[a，b]上有最大值M，则f(x)在[－b，－a]上有最大值 －M.(　　) 提示　奇函数的图象关于原点对称，在[a，b]上有最大值M，则在[－b，－a]上有最小值－M. (4)定义在R上的偶函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，则f(3)＜f(－π)＜ f(－4).(　　)
√
√
×
√
HU DONG HE ZUO YAN XI TI XING GUAN JIAN MENG LI TI SHENG
互动合作研析题型 关键能力提升
2
题型一　利用奇偶性求解析式
角度1　求对称区间上的解析式例1 (1)函数f(x)是R上的偶函数，且当x<0时，f(x)＝x(x－1)，则当x>0时，f(x)＝________. (2)函数f(x)为R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝－2x2＋3x＋1，则f(x)＝ _________________.
x(x＋1)
解析　(1)设x>0，则－x<0，所以f(－x)＝－x(－x－1)＝x(x＋1).因为函数f(x)为R上的偶函数，故当x>0时，f(x)＝f(－x)＝x(x＋1)，即x>0时，f(x)＝x(x＋1).(2)设x<0，则－x>0，所以f(－x)＝－2(－x)2＋3(－x)＋1＝－2x2－3x＋1.由于f(x)是R上的奇函数，故f(x)＝－f(－x)＝2x2＋3x－1，即当x<0时，f(x)＝2x2＋3x－1.因为f(x)为R上的奇函数，故f(0)＝0.
解　∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，
已知函数f(x)的奇偶性及函数f(x)在某区间上的解析式，求该函数在整个定义域上的解析式的方法如下：(1)求哪个区间上的解析式，x就设在哪个区间上；(2)把x对称转化到已知区间上，代入到已知区间上的函数解析式中；(3)利用f(x)的奇偶性将f(－x)用－f(x)或f(x)表示，从而求出f(x).
训练1 (1)设函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝－x2－x，求函数f(x)的解析式；解　设x>0，则－x<0，∴f(－x)＝－(－x)2－(－x)＝－x2＋x.又f(x)是R上的奇函数，∴f(x)＝－f(－x)＝x2－x.又∵函数定义域为R，∴f(0)＝0，
(2)设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝x2＋2x，求函数f(x)，g(x)的解析式.
解　∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，由f(x)＋g(x)＝2x＋x2.①用－x代替x，得f(－x)＋g(－x)＝－2x＋(－x)2，∴f(x)－g(x)＝－2x＋x2，②(①＋②)÷2，得f(x)＝x2；(①－②)÷2，得g(x)＝2x.
题型二　奇偶性与单调性的综合应用
角度1　比较大小例3 (1)若对于任意实数x总有f(－x)＝f(x)，且f(x)在区间(－∞，－1]上是增函数，则(　　)
B
(2)设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是(　　)A.f(π)>f(－3)>f(－2) B.f(π)>f(－2)>f(－3)C.f(π)A
解析　∵函数f(x)为R上的偶函数，∴f(－3)＝f(3)，f(－2)＝f(2).又当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，且π>3>2，∴f(π)>f(3)>f(2)，故f(π)>f(－3)>f(－2).
角度2　利用奇偶性、单调性解不等式例4 (1)设定义在[－3，3]上的奇函数f(x)在区间[0，3]上是减函数，若f(1－m)解　∵f(x)是奇函数且f(x)在[0，3]上是减函数，∴f(x)在[－3，3]上是减函数.
(2)定义在[－2，2]上的偶函数g(x)，当x≥0时，g(x)为减函数，若g(1－m)1.比较大小的方法：(1)自变量在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小；(2)自变量不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小.2.利用函数奇偶性和单调性解不等式解决此类问题时一定要充分利用已知的条件，把已知不等式转化成f(x1)>f(x2)或f(x1){x|－33}
解析　∵f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上是增函数，∴f(x)在区间(0，＋∞)上是减函数.∴f(3)＝f(－3)＝0.当x>0时，由f(x)<0，解得x>3；当x<0时，由f(x)>0，解得－33}.
(2)已知函数f(x)是奇函数，其定义域为(－1，1)，且在区间[0，1)上为增函数.若f(a－2)＋f(3－2a)<0，试求实数a的取值范围.
解　∵f(a－2)＋f(3－2a)<0，∴f(a－2)<－f(3－2a).又∵f(x)是奇函数，∴f(a－2)∴a的取值范围为(1，2).
题型三　奇偶性与对称性的应用
例5 若函数y＝f(x)在(0，2)上是增函数，函数y＝f(x＋2)是偶函数，则下列结论正确的是(　　)
B
解析　∵y＝f(x＋2)是偶函数，∴f(2－x)＝f(2＋x)，故y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，∴f(1)＝f(3).又f(x)在(0，2)上为增函数，∴f(x)在(2，4)上为减函数.
(1)若f(x)对定义域内的任意x，满足f(h－x)＝f(h＋x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝h对称.(2)若f(x)对定义域内的任意x，满足f(a＋x)＋f(a－x)＝2b，则函数f(x)的图象关于点(a，b)对称.
证明　函数f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞).任取x∈(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，∵f(－1＋x)＋f(－1－x)
即f(－1＋x)＋f(－1－x)＝2×1，∴f(x)的图象关于点(－1，1)对称.
课堂小结
1.记牢2个知识点(1)利用奇偶性求函数解析式.(2)利用奇偶性和单调性比较大小，解不等式.2.理解2个特点(1)奇函数在[a，b]和[－b，－a]上具有相同的单调性.(2)偶函数在[a，b]和[－b，－a]上具有相反的单调性.3.注意1个误区解不等式易忽视函数的定义域.
TUO ZHAN YAN SHEN FEN CENG JING LIAN HE XING SU YANG DA CHENG
拓展延伸分层精练 核心素养达成
3
1.如果奇函数f(x)在区间[－3，－1]上是增函数且有最大值5，那么函数f(x)在区间[1，3]上是(　　) A.增函数且最小值为－5 B.增函数且最大值为－5 C.减函数且最小值为－5 D.减函数且最大值为－5
A
A
3.已知函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，且为奇函数.若f(1)＝－1，则满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范围是(　　) A.[－2，2] B.[－1，1] C.[0，4] D.[1，3]
D
解析　∵f(x)为奇函数，f(1)＝－1，∴f(－1)＝1.∵－1≤f(x－2)≤1，∴f(1)≤f(x－2)≤f(－1).又∵f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，∴－1≤x－2≤1，∴1≤x≤3.故选D.
4.已知定义域为R的函数f(x)在[1，＋∞)上单调递增，且f(x＋1)为偶函数，若f(3)＝1，则不等式f(2x＋1)<1的解集为(　　) A.(－1，1) B.(－1，＋∞) C.(－∞，1) D.(－∞，－1)∪(1，＋∞) 解析　∵f(x＋1)是偶函数， ∴f(1－x)＝f(1＋x)， 故y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称. 又∵f(x)在[1，＋∞)上单调递增，∴f(x)在(－∞，1)上单调递减.∵f(3)＝1，∴f(－1)＝f(3)＝1，∴f(2x＋1)<1⇔－1<2x＋1<3，解得－1A
5.(多选)已知函数f(x)在[－5，5]上是偶函数，且在[0，5]上是单调函数，若f(－4)f(3) C.f(－3)f(1) 解析　由题意可得，函数f(x)在[－5，0]上也是单调函数，再根据 f(－4)f(3)成立，f(0)>f(1)成立，其它选项均不成立.
BD

解析　设x<0，∴－x>0，∴F(－x)＝2(－x)－3＝－2x－3.又∵F(x)为奇函数，∴F(x)＝－F(－x)＝2x＋3，即f(x)＝2x＋3.
2x＋3
7.已知奇函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(x)(－∞，1)
8.若f(x)＝(m－1)x2＋6mx＋2是偶函数，则f(0)，f(1)，f(－2)从小到大的排列是__________________.
f(－2)解析　∵f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)恒成立，即(m－1)x2－6mx＋2＝(m－1)x2＋6mx＋2恒成立，∴m＝0，即f(x)＝－x2＋2.∴f(x)的图象开口向下，对称轴为y轴，在[0，＋∞)上单调递减，∴f(2)9.已知函数f(x)的图象关于原点对称，且当x>0时，f(x)＝x2－2x＋3. (1)试求f(x)在R上的解析式；
解　因为函数f(x)的图象关于原点对称，所以f(x)为奇函数，则f(0)＝0.设x<0，则－x>0.因为当x>0时，f(x)＝x2－2x＋3，所以当x<0时，f(x)＝－f(－x)＝－(x2＋2x＋3)＝－x2－2x－3.
(2)画出函数的图象，根据图象写出它的单调区间.
解　先画出函数在y轴右侧的图象，再根据对称性画出y轴左侧的图象，如图.
由图象可知函数f(x)的单调递增区间是(－∞，－1]，[1，＋∞)，单调递减区间是[－1，0)，(0，1].
10.设定义在[－2，2]上的奇函数f(x)＝x5＋x3＋b. (1)求b值；
解　因为函数f(x)是定义在[－2，2]上的奇函数，所以f(0)＝0，解得b＝0(经检验符合题意).
(2)若f(x)在[0，2]上单调递增，且f(m)＋f(m－1)>0，求实数m的取值范围.
解　因为函数f(x)在[0，2]上单调递增，又f(x)是奇函数，所以f(x)在[－2，2]上是增函数.因为f(m)＋f(m－1)>0，所以f(m－1)>－f(m)＝f(－m)，所以m－1>－m，①又需要不等式f(m)＋f(m－1)>0在函数f(x)定义域范围内有意义，
11.已知函数f(x)在定义域[2－a，3]上既是奇函数又是减函数，若f(1－m)＋f(1－m2)<0，则实数m的取值范围是____________.
(－2，1)
二、能力提升
解析　∵f(x)是定义在[2－a，3]上的奇函数，∴2－a＝－3，即a＝5，∴函数f(x)的定义域为[－3，3].由f(1－m)＋f(1－m2)<0，得f(1－m)<－f(1－m2).又∵f(x)是奇函数，∴f(1－m)12.(多选)定义在R上的奇函数f(x)为增函数，偶函数g(x)在区间[0，＋∞)上的图象与f(x)的图象重合，设a>b>0，则下列不等式中成立的有(　　) A.f(a)>f(－b) B.g(a)f(－a)解析　f(x)为R上的奇函数，且为增函数，且a>b>0，∴f(a)>f(b)>f(0)＝0，又－a<－b<0，∴f(－a)f(b)>0>f(－b)>f(－a)＝0，∴A正确；∵x∈[0，＋∞)时，g(x)＝f(x)，∴g(x)在[0，＋∞)上单调递增，∴g(－a)＝g(a)>g(b)＝g(－b)，∴B，C错误；又g(－a)＝g(a)＝f(a)>f(－a)，∴D正确.
AD
13.已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－2x.
(1)求出函数f(x)在R上的解析式；(2)画出函数f(x)的图象，并根据图象写出f(x)的单调区间；(3)求当f(x)＝1时的x值.解　(1)由于函数f(x)是定义域为R的奇函数，则f(0)＝0.设x<0，则－x>0.因为当x＞0时，f(x)＝x2－2x，
(2)函数f(x)的图象如图所示.
单调递增区间为(－∞，－1]，[1，＋∞)，单调递减区间为(－1，1).
三、创新拓展
得f(1)＝f(x)－f(x)＝0，再令x＝1，y＝－1，可得f(－1)＝f(1)－f(－1)，得2f(－1)＝f(1)＝0，所以f(－1)＝0.下面证明y＝f(x)是偶函数：令y＝－1，可得f(－x)＝f(x)－f(－1)＝f(x)，又该函数定义域关于原点对称，所以f(x)是偶函数，即证.
解　因为f(2)＝1，又该函数为偶函数，所以f(－2)＝1.因为函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，且是偶函数，所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增.