高中数学苏教版 (2019)必修 第一册6.1 幂函数图片ppt课件

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以五个常见幂函数为载体，归纳幂函数的图象与性质，培养学生的数学抽象、逻辑推理素养.
问题导学预习教材必备知识探究
互动合作研析题型关键能力提升
拓展延伸分层精练核心素养达成
WEN TI DAO XUE YU XI JIAO CAI BI BEI ZHI SHI TAN JIU
问题导学预习教材 必备知识探究
(2)这5个函数有什么特征？提示　(1)指数是常数.(2)底数是变量.
2.填空　我们把形如__________的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数.
温馨提醒　幂函数的理解(1)xα的系数为1；(2)xα的底数是自变量；(3)xα的指数为常数，只有同时满足这三个条件，才是幂函数.
3.做一做　(1)下列所给的函数中是幂函数的为(　　)A.y＝2x5 B.y＝x3＋1C.y＝x－3 D.y＝3x解析　选项C符合y＝xα的形式，对于A系数不为1，B中含有常数项，而D不符合y＝xα的形式.
解析　可知当α＝－1，1，3时，y＝xα为奇函数，又∵y＝xα的定义域为R，则α＝1，3.
二、幂函数y＝xα的性质
观察上图，你将发现哪些结论？
(4)在第一象限内，函数y＝x－1的图象向上与y轴无限接近，向右与x轴无限接近.
2.填空　(1)当α>0时，幂函数y＝xα具有如下性质：①函数的图象过点_________________.②在第一象限内，函数的图象随x的增大而______，即函数在区间[0，＋∞)上是____函数.(2)当α<0时，幂函数y＝xα具有的性质为：①函数的图象都过点_______.②在第一象限内，函数的图象随x的增大而______，函数在区间(0，＋∞)上是____函数.
(0，0)，(1，1)
3.做一做　思考辨析，判断正误(1)函数y＝－x2是幂函数.(　　)提示　(1)×　根据幂函数的定义.(2)幂函数y＝x2是偶函数.(　　)(3)幂函数y＝x－1是增函数.(　　)提示　y＝x－1在(0，＋∞)和(－∞，0)上为减函数. (4)幂函数的图象不过第四象限.(　　)
HU DONG HE ZUO YAN XI TI XING GUAN JIAN MENG LI TI SHENG
互动合作研析题型 关键能力提升
例1 (1)在函数y＝x－2，y＝2x2，y＝(x＋1)2，y＝3x中，幂函数的个数为(　　)A.0 B.1 C.2 D.3
解析　根据幂函数定义可知，只有y＝x－2是幂函数，所以选B.
(2)若f(x)＝(m2－4m－4)xm是幂函数，则m＝________.
解析　因为f(x)是幂函数，所以m2－4m－4＝1，即m2－4m－5＝0，解得m＝5或m＝－1.
判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，需满足：①指数为常数，②底数为自变量，③xα的系数为1.形如y＝(3x)α，y＝2xα，y＝xα＋5…形式的函数都不是幂函数.反过来，若一个函数为幂函数，则该函数也必具有这一形式.
训练1 (1)若函数f(x)是幂函数，且满足f(4)＝16，则f(－4)的值等于________.
解析　设f(x)＝xα，∵f(4)＝16，∴4α＝16，解得α＝2，∴f(－4)＝(－4)2＝16.
解析　∵f(x)＝ax2a＋1－b＋1是幂函数，∴a＝1，－b＋1＝0，即a＝1，b＝1，则a＋b＝2.
题型二　幂函数的图象及应用
训练2 (1)如图是幂函数y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象，则(　　)
解析　在(0，1)内任取一值x0，作直线x＝x0，与各图象有交点，如图所示.根据点低指数大，有0解析　A.由幂函数的图象知a＜0，与一次函数是增函数矛盾，故错误；B.由幂函数的图象知a＞0，与一次函数是减函数矛盾，故错误；C.由幂函数的图象知a＞1，与一次函数的图象相符，故正确；D.由幂函数的图象知a＜0，与一次函数的图象矛盾，故错误.
题型三　利用幂函数单调性比较大小
比较幂值大小的两种基本方法
(2)∵y＝x3是R上的增函数，且3.14<π，∴3.143<π3，∴－3.143>－π3.
题型四　幂函数性质的综合应用
解　因为函数y＝x3m－9在(0，＋∞)上单调递减，所以3m－9<0，解得m<3.又因为m∈N*，所以m＝1，2.因为函数y＝x3m－9的图象关于y轴对称，所以3m－9为偶数，故m＝1.
幂函数y＝xα中只有一个参数α，幂函数的所有性质都与α的取值有关，故可由α确定幂函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，也可由这些性质去限制α的取值.
训练4 已知幂函数y＝f(x)＝x－2m2－m＋3，其中m∈{m|－2(2)对任意的x∈R，都有f(－x)＋f(x)＝0.求同时满足(1)，(2)的幂函数f(x)的解析式，并求x∈[0，3]时f(x)的值域.
解　因为m∈{m|－21.理解1个概念——幂函数的概念2.掌握1个规律——幂函数图象的变化规律3.会用3个性质——幂函数的性质(1)所有幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且当自变量为1时，函数值为1，即f(1)＝1，恒过点(1，1).(2)如果α>0，则幂函数在[0，＋∞)上有意义，且是增函数.(3)如果α<0，则幂函数在x＝0处无意义，在(0，＋∞)上是减函数.
TUO ZHAN YAN SHEN FEN CENG JING LIAN HE XING SU YANG DA CHENG
拓展延伸分层精练 核心素养达成
1.下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递增的函数是(　　)
2.若a<0，则0.5a，5a，5－a的大小关系是(　　)A.5－a<5a<0.5a B.5a<0.5a<5－a<5－a<5a D.5a<5－a<0.5a
3.给出四个幂函数的图象，则图象与函数大致对应的是(　　)
5.(多选)下列命题正确的是(　　)A.幂函数的图象都经过点(1，1)B.当n＝0时，函数y＝xn的图象是一条直线C.如果两个幂函数的图象有三个交点，那么这两个函数一定相同D.如果幂函数为偶函数，则图象一定经过点(－1，1)
解析　对于A，幂函数的图象都经过点(1，1)，故A正确；对于B，当n＝0时，幂函数y＝xn的图象是一条直线y＝1，除去(0，1)点，故B不正确；对于C，当两个幂函数的图象有三个交点时，两函数不一定相同，如y＝x与y＝x3的图象有三个交点，但这两个函数不相同，故C不正确；对于D，因为幂函数的图象都经过点(1，1)，所以幂函数若为偶函数，其图象一定经过点(－1，1)，故D正确.
6.若幂函数y＝(m2－2m－2)x－4m－2在x∈(0，＋∞)上为减函数，则实数m的值是________.
易知f(x)在[0，＋∞)上为增函数，又f(10－2a)8.已知幂函数f(x)＝xm2－1(m∈Z)的图象与x轴、y轴都无交点，且关于原点对称，则函数f(x)的解析式是________________.
解析　∵函数的图象与x轴、y轴都无交点，∴m2－1<0，解得－1由图可知，函数的递增区间为(－∞，0)，递减区间为(0，＋∞).
10.已知幂函数y＝xm2－2m－3(m∈Z)的图象与x轴和y轴没有交点，且关于y轴对称，求m的值.解　∵幂函数y＝x m2－2m－3 (m∈Z)的图象与x轴、y轴没有交点，且关于y轴对称，∴m2－2m－3≤0，且m2－2m－3(m∈Z)为偶数.由m2－2m－3≤0，得－1≤m≤3，又m∈Z，∴m＝－1，0，1，2，3.当m＝－1时，m2－2m－3＝1＋2－3＝0，为偶数，符合题意；当m＝0时，m2－2m－3＝－3，为奇数，不符合题意；当m＝1时，m2－2m－3＝1－2－3＝－4，为偶数，符合题意；当m＝2时，m2－2m－3＝4－4－3＝－3，为奇数，不符合题意；当m＝3时，m2－2m－3＝9－6－3＝0，为偶数，符合题意.综上所述，m＝－1，1，3.
12.(多选)下列不等式在a解　∵m2＋m＝m(m＋1)，m∈N*，∴m与m＋1中必定有一个为偶数，∴该函数的定义域为[0，＋∞)，由幂函数的性质，知该函数在定义域上单调递增.
14.已知幂函数f(x)＝x－k2＋k＋2(k∈Z)在(0，＋∞)上为增函数. (1)求实数k的值；
解　由f(x)在(0，＋∞)上为增函数，得－k2＋k＋2＞0，即k2－k－2＜0，即－1＜k＜2.又k∈Z，所以k＝0或1.
解　由(1)可知，f(x)＝x2，故g(x)＝1－pf(x)＋(2p－1)x＝1－px2＋(2p－1)x
此时g(－1)＝－4，g(2)＝－1，符合题意；
所以这样的p不存在.综上，p＝2.