午练19　对数函数　　　　　　　　　　　　　　

1.已知集合M＝{x|x＜4}，P＝{x|log3x＞1}，则M∩P＝(　　)

A.{x|x＜4}   B.{x|0＜x＜4}

C.{x|1＜x＜4}   D.{x|3＜x＜4}

答案　D

解析　P＝{x|x＞3}，M＝{x|x＜4}，

∴M∩P＝{x|3＜x＜4}.故选D.

2.若x∈(0，1)，则下列结论正确的是(　　)

A.2x＞x＞lg x   B.2x＞lg x＞x

C.x＞2x＞lg x   D.lg x＞x＞2x

答案　A

解析　在同一坐标系中作出y＝2x，y＝x与y＝lg x的图象，知x∈(0，1)时，2x＞x＞lg x，故选A.

3.若a＝()1.2，b＝log3，c＝ln ，则a，b，c的大小关系是(　　)

A.a＞b＞c   B.c＞b＞a

C.c＞a＞b   D.a＞c＞b

答案　D

解析　a＝()1.2＞1，b＝log3＜log31＝0，0＜c＝ln ＜ln e＝1，故a＞c＞b.

4.若函数f(x)＝log(x2＋ax＋6)在[－2，＋∞)上是减函数，则实数a的取值范围是(　　)

A.[4，＋∞)   B.[4，5)

C.[4，8)   D.[8，＋∞)

答案　B

解析　由题意－≤－2，∴a≥4.

设g(x)＝x2＋ax＋6，则g(－2)＞0，

即4－2a＋6＞0，∴a＜5，∴4≤a＜5.

5.(多选)已知函数f(x)＝(log2x)2－log2x2－3，则下列说法正确的是(　　)

A.f(4)＝－3

B.y＝f(x)的图象与x轴有两个交点

C.y＝f(x)的最小值为－4

D.y＝f(x)的最大值为4

答案　ABC

解析　f(4)＝(log24)2－log242－3＝－3，A正确；令f(x)＝0，得(log2x＋1)(log2x－3)＝0，解得x＝或x＝8，即f(x)的图象与x轴有两个交点，B正确；因为f(x)＝(log2x－1)2－4(x＞0)，所以当log2x＝1，即x＝2时，f(x)取最小值－4，C正确，f(x)没有最大值，D错误.故选ABC.

6.设a＞1，函数f(x)＝logax在区间[a，2a]上的最大值与最小值之差为，则a＝________.

答案　4

解析　∵当a＞1时，函数f(x)＝logax在区间[a，2a]上单调递增，∴当x＝2a时，f(x)取最大值loga(2a)，当x＝a时，f(x)取得最小值logaa.∵函数f(x)＝logax在区间[a，2a]上的最大值与最小值之差为，∴loga(2a)－logaa＝，即loga2＝，解得a＝4.

7.函数f(x)＝ax＋loga(x＋1)在[0，1]上的最大值与最小值之和为a，则实数a的值为________.

答案　

解析　∵函数y＝ax与y＝loga(x＋1)在[0，1]上有相同的单调性，∴函数f(x)＝ax＋loga(x＋1)在[0，1]上是单调函数，∴最大值和最小值之和为f(0)＋f(1)＝a，即1＋loga1＋a＋loga2＝a，解得a＝.

8.已知函数f(x)＝ln(ax2＋2x＋1).若f(x)的值域为R，则实数a的取值范围为________.

答案　[0，1]

解析　令t＝ax2＋2x＋1.

当a＝0时，t＝2x＋1，适合题意；

当a≠0时，须即

∴0＜a≤1.

综上0≤a≤1.

9.若函数f(x)＝loga(2－ax)在[0，1]上是关于x的减函数，则实数a的取值范围为________.

答案　(1，2)

解析　令y＝logat，t＝2－ax，

由题意

∴1＜a＜2.

10.已知函数f(x)＝ln.

(1)求函数f(x)的定义域，并判断函数f(x)的奇偶性；

(2)若对于x∈[2，6]，f(x)＝ln＞ln恒成立，求实数m的取值范围.

解　(1)由＞0，解得x＜－1或x＞1，

∴函数f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，关于原点对称.

又f(－x)＝ln

＝ln＝ln

＝－ln＝－f(x).

∴f(x)＝ln是奇函数.

(2)由于x∈[2，6]时，

f(x)＝ln＞ln恒成立，∴＞＞0.

∵x∈[2，6]，

∴0＜m＜(x＋1)(7－x)在x∈[2，6]上恒成立.

令g(x)＝(x＋1)(7－x)＝－(x－3)2＋16，x∈[2，6]，

由二次函数的性质可知，x∈[2，3]时函数g(x)单调递增，x∈[3，6]时函数g(x)单调递减，即x∈[2，6]时，g(x)min＝g(6)＝7，∴0＜m＜7.

故实数m的取值范围为(0，).