2021-2022学年江苏省镇江中学高二（下）期末数学试卷（Word解析版）

这是一份2021-2022学年江苏省镇江中学高二（下）期末数学试卷（Word解析版），共19页。试卷主要包含了单择题，多择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
绝密★启用前2021-2022学年江苏省镇江中学高二（下）期末数学试卷  一、单择题（本题共5小题，共25分）已知集合，，若有三个元素，则实数的取值范围是(    )A.  B.  C.  D. “”是“”的(    )A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件已知三个正态分布密度函数的图象如图所示，则下列结论正确的是(    )
A.  B.  C.  D. 冬奥会越野滑雪项目比赛共分组，现安排名志愿者负责这组的服务工作，每人至少负责组，每组的服务工作由人完成，则不同的安排方式共有(    )A. 种 B. 种 C. 种 D. 种已知矩形，为平面外一点，且平面，，分别为，上的点，且，，，则的值为(    )A.
B.
C.
D. 二、多择题（本题共7小题，共35分）已知函数，不等式的解集为(    )A.  B.
C.  D. 高尔顿钉板是英国生物学家高尔顿设计的，如图，每一个黑点表示钉在板上的一颗打子，上一层的每个钉子水平位置恰好位于下一层的两颗钉子的正中间，从入口处放进一个直径略小于两颗钉子之间距离的白色圆玻璃球，白球向下降落的过程中，首先碰到最上面的钉子，碰到钉子后皆以二分之一的概率向左或向右滚下，于是又碰到下一层钉子．如此继续下去．直到滚到底版的一个格子内为止．现从入口放进一个白球，则(    )A. 小球从起点到第个格子一共跳次 B. 小球从起点到第个格子一共跳次
C. 小球落在第个格子的概率为 D. 小球落在第个格子的概率为已知实数，，，满足，其中是自然对数的底数，则的值可能是(    )A.  B.  C.  D. 下列结论正确的有(    )A. 若随机变量，，则
B. 若随机变量，则
C. 样本相关系数越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱
D. ，，，，，，，，，的第百分位数为已知实数，满足，则下列结论正确的是(    )A. 的最小值为 B. 的最大值为
C. 的最大值为 D. 的最大值为下列说法正确的是(    )A. 若，则
B. 精确到的近似值为
C. 被除的余数为
D. 若，则定义：在区间上，若函数是减函数，且是增函数，则称在区间上是“弱减函数”根据定义可得(    )A. 在上是“弱减函数”
B. 在上是“弱减函数”
C. 若在上是“弱减函数”，则
D. 若在上是“弱减函数”，则三、填空题（本题共4小题，共20分）已知函数，则______．在空间直角坐标系中，向量分别为异面直线，方向向量，则异面直线，所成角的余弦值为______．若函数在区间上存在最小值，则实数的取值范围是______．冰壶是年月日至月日在中国举行的第届冬奥运会的比赛之一．冰壶比赛的场地如图所示，其中左端投掷线的左侧有一个发球区，运动员在发球区边沿的投掷线将冰壶掷出，使冰壶沿冰道滑行，冰道的右端有一圆形的营垒，以场上冰壶最终静止时距离营垒区圆心的远近决定胜负，甲、乙两人进行投掷冰壶比赛，规定冰壶的中心落在中，得分，冰壶的中心落在圆环中，得分，冰壶的中心落在圆环中，得分，其余情况均得分．已知甲、乙投掷冰壶的结果互不影响，甲、乙得分的概率分别为；甲、乙得分的概率分别为；甲、乙得分的概率分别为甲、乙所得分数相同的概率为______；若甲、乙两人所得的分数之和为，则的数学期望为______．
四、解答题（本题共6小题，共70分）已知函数．
解关于的不等式；
当时，对，都有恒成立，求实数的取值范围；
当时，对，，都有恒成立，求实数的取值范围．已知几何体中，平面平面，是边长为的菱形，，是直角梯形，，，且．
求证：；
求平面与平面所成角的余弦值．
若的展开式中的常数项为．
求；
若，求．机动车行经人行横道时，应当减速慢行；遇行人正在通过人行横道，应当停车让行，俗称“礼让行人”下表是某市一主干道路口监控设备所抓拍的个月内驾驶员不“礼让行人”行为统计数据：月份违章驾驶人次由表中看出，可用线性回归模型拟合违章人次与月份之间的关系，求关于的回归方程，并预测该路口月份不“礼让行人”违规驾驶人次；
交警从这个月内通过该路口的驾驶员中随机抽查人，调查驾驶员“礼让行人”行为与驾龄的关系，得到下表： 不礼让行人礼让行人驾龄不超过年驾龄年以上能否据此判断有的把握认为“礼让行人行为与驾龄有关？并用一句话谈谈你对结论判断的体会．
附：，．，其中．一个袋中装有黑球，白球和红球共个，这些球除颜色外完全相同．已知从袋中任意摸出个球，得到黑球的概率是现从袋中任意摸出个球．
Ⅰ 用含的代数式表示摸出的球都是黑球的概率，并写出概率最小时的值．直接写出的值
Ⅱ 若，且摸出的个球中至少有个白球的概率是，设表示摸出的个球中红球的个数，求随机变量的分布列和数学期望．已知函数，，其中，．
当时，求在点处切线的方程；
若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围；
记，求证：．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：集合，，
，
若有三个元素，则有，
即实数的取值范围是；
故选：．
由集合可得，又由有三个元素，由交集的意义分析可得的取值范围，即可得答案．
本题考查集合的混合运算，注意结合集合交集的定义进行分析．
 2.【答案】 【解析】解：当，由得，
当时，，
“”是“”的充分不必要条件．
故选：．
根据与研究与的关系，可解决此题．
本题考查不等式性质及充分、必要条件的判定，考查数学运算能力及推理能力，属于基础题．
 3.【答案】 【解析】解：根据题意，因为是对称轴，观察图象可知：，
而与的图象可以相互平移得到，且的图象显得更“矮胖”，
故．
故选：．
根据正态分布曲线的性质，即对称轴为；表示的是标准差，反映在图象的“高瘦”或“矮胖”，由此分析选项，即可得答案．
本题考查正态分布曲线的性质，注意正态曲线的含义，属于基础题．
 4.【答案】 【解析】解：由题意可知，名志愿者中有人负责两组，另外人各负责一组，
所以不同的安排方式种数为．
故选：．
由题意可知名志愿者中有人负责两组，另外人各负责一组，计算可得结果．
本题考要排列组合公式，属基础题．
 5.【答案】 【解析】解：由题可知，，
所以，
所以，所以，
故选：．
由空间向量的线性运算直接计算即可．
本题考查了空间向量及其线性运算，属于中档题．
 6.【答案】 【解析】解：易得为偶函数，
当时，函数显然单调递减，
由得，
原不等式可转化为或，
解得．
故选：．
根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论．
本题主要考查不等式的解法，利用函数的奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键，综合考查函数性质的应用．
 7.【答案】 【解析】解：小球在下落的过程中，向左与向右的概率相同，各为，
小球落在第个格子一共跳次，需要向左次，向右次，向右的次数服从二项分布，
小球落在第个格子的概率，
故选：．
小球落在第个格子一共跳次，需要向左次，向右次，向右的次数服从二项分布，通过计算进而判断出结论．
本题考查了相互独立事件与二项分布的概率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
 8.【答案】 【解析】解：实数，，，满足，
，，
点在曲线上，点在曲线上，
的几何意义就是曲线到曲线上点的距离最小值的平方．
考查曲线平行于直线的切线，
，令，
解得，切点为，
该切点到直线的距离，就是所要求的两曲线间的最小距离，
故的最小值为，
故选：．
由已知得点在曲线上，点在曲线上，的几何意义就是曲线到曲线上点的距离最小值的平方．由此能求出的最小值．
本题考查代数式的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意两点间距离公式的合理运用．
 9.【答案】 【解析】解：对于，随机变量，，
，故A正确，
对于，随机变量，
则，
故D，故B错误，
对于，样本相关系数人的范围在和之间，有正有负，相关有正相关和负相关，
相关系数的绝对值的大小越接近，两个变量的线性相关性越强，反之，线性相关性越弱，故C错误，
对于，先把原数据从小到大排列：，，，，，，，，，，
，第百分位数为，故D正确．
故选：．
对于，结合正态分布的对称性，即可求解，
对于，结合二项分布的方差公式，即可求解，
对于，结合相关系数的定义，即可求解，
对于，结合百分位数的定义，即可求解．
本题主要考查正态分布的对称性，二项分布的方差公式，相关系数和百分位数的定义，属于基础题．
 10.【答案】 【解析】解：由题意对数的运算性质因为，则可得，，；
则由基本不等式有，即，
当且仅当时，即，时等号成立，故A项正确，项错误；
因为，，，则两边同除可得，
当且仅当时，即，时等号成立，
故的最小值为，故B项错误；
因为，
当且仅当时，即，时等号成立，故D项正确．
故选：．
根据对数运算得，利用基本不等式依次判断各项正误．
本题考查基本不等式，考查学生的运算能力，属于中档题．
 11.【答案】 【解析】解：对于，令得，，
令得，，
则，故A正确，
对于，，
取展开式前项，则精确到的近似值为，故B正确，
对于，，
则被除的余数为，故C错误，
对于，，，，
，故D正确，
故选：．
利用二项式定理，结合整除问题及展开式项系数的性质，逐个判断各个选项即可．
本题主要考查了二项式定理的应用，重点考查了整除问题及展开式项系数的求法，属于中档题．
 12.【答案】 【解析】解：对于，在上单调递减，不单调，故A错误；
对于，在上，函数单调递减，
，
在单调递增，故B正确；
对于，若在单调递减，由，得，
，在单调递增，故C正确；
对于，在上单调递减，
在上恒成立
令，
令，
，
在上单调递减，，
，
在上单调递减，，
，
在上单调递增，
在上恒成立，
，
令，
在上单调递增，，
，
综上：，故D正确．
故选：．
利用“弱减函数”的概念逐项分析即得．
本题考查了由导数确定函数的单调性以及已知单调性求参数范围的问题，属于中档题．
 13.【答案】 【解析】解：由分段函数知，
，
，
故答案为：．
根据分段函数性质及自变量的值代入化简求值即可．
本题考查了分段函数及分类讨论的思想应用，属于基础题．
 14.【答案】 【解析】解：由已知可得：，
，，
则，
则异面直线，所成角的余弦值为，
故答案为：．
由异面直线所成角的求法，结合空间向量的坐标运算及求解即可．
本题考查了异面直线所成角的求法，重点考查了空间向量的坐标运算，属基础题．
 15.【答案】 【解析】解：由题意，，
故在，上是增函数，
在上是减函数，
作其图象如右图，
令得，
或；
则结合图象可知，
；
解得，；
故答案为：．
求导确定函数的单调性，从而作出函数的简图，由图象求实数的取值范围．
本题考查了导数的综合应用及学生作图识图的能力，属于中档题．
 16.【答案】  【解析】解：甲、乙得分的概率分别为；甲、乙得分的概率分别为；甲、乙得分的概率分别为，
则甲得分的概率为，
乙得分的概率为，
故甲、乙得分数相同的概率为，
甲、乙两人得分的分数之和为，
则的可能取值为，，，，，，，
故，
，
，
，
，
，
，
故E．
故答案为：；．
根据已知条件，结合相互独立事件的概率乘法公式，求出甲、乙所得分数相同的概率，甲、乙两人得分的分数之和为，则的可能取值为，，，，，，，分别求出对应的概率，再结合期望公式，即可求解．
本题主要考查离散型随机变量期望的求解，考查计算能力，属于中档题．
 17.【答案】解：由，可得，即，
当时，由，可得或；
当时，由，可得；
当时，由，可得或，
综上，当时，原不等式的解集为或；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为或．
当时，，若对，都有恒成立，
即对，都有恒成立，
又由可得，
则有，且成立，解之得．
故实数的取值范围为．
当时，，
当时，在单调递增，
在区间上的值域为，
若对，，都有恒成立，
则有，解之得．
当时，在上单调递减，在上单调递增，
在区间上的值域为；
若对，，都有恒成立，则有，解之得．
当时，在上单调递减，在上单调递增．
在区间上的值域为；
若对，，都有恒成立，则有且，解之得；
当时，在单调递减，
在区间上的值域为；
若对，，都有恒成立，则有，解之得．
综上，实数的取值范围为． 【解析】按照参数分类讨论并利用一元二次不等式解法去求解，即可得到不等式的解集；
先求得的解集，再利用集合间的包含关系，即可求得实数的取值范围；
先按照参数分类讨论，分别求得函数在区间上的值域，再构造关于实数的不等式组，解之即可求得实数的取值范围．
本题主要考查利用二次函数的性质求解恒成立问题，属于难题．
 18.【答案】证明：连接，交于点，
四边形是菱形，，
平面平面，平面平面，，
平面，
平面，，
又，、平面，
平面，
平面，．

解：取的中点，连接，
是边长为的菱形，，
，，
以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
，，
设平面的法向量为，则，即，
令，则，，，
同理可得，平面的一个法向量为，
，，
由图知，平面与平面所成角为锐角，
故平面与平面所成角的余弦值为． 【解析】连接，交于点，由菱形的性质知，由平面平面，推出平面，进而知，再结合线面垂直的判定定理与性质定理，得证；
取的中点，连接，以为原点建立空间直角坐标系，求得平面和平面的法向量与，再由，，得解．
本题考查空间中线与面的位置关系，二面角的求法，熟练掌握线与面垂直的判定定理或性质定理，以及利用空间向量求二面角的方法是解题的关键，考查空间立体感、推理论证能力和运算能力，属于中档题．
 19.【答案】解：由题知通项为，，，，，
令，解得，所以，即，解得；
，
又，
令，可得，
结合可知：，
所以． 【解析】本题考查二项式定理的内容和性质，赋值法与构造法的应用，属于中档题．
写出通项，然后令常数项为即可求出得值；
令原式可化为关于的二项式，问题即可解决．
 20.【答案】解：由已知得：，．
，，所以，．
故．
所以时，，即可预测该路口月份不“礼让行人”的违章驾驶人次约为人．
由题意，得列联表为： 不礼让行人礼让行人合计驾龄不超过年驾龄年以上合计．
所以没有的把握认为“礼让行人”的行为与驾龄有关．
文明驾驶、安全驾驶是行车驾车的基本要求． 【解析】本题考查线性回归方程的求法及应用，独立性假设检验的基本思想方法，属于基础题．
根据题目给出的数据分别算出，，然后套用公式求出，则回归方程可求，问题可解；
根据公式求出的值，然后利用独立性假设检验的原理进行判断即可．
 21.【答案】解：Ⅰ依题意有个黑球，记“摸出的球都是黑球”为事件，
则
最小时．
Ⅱ依题意有个黑球，
设袋中白球的个数为个，
记“从袋中任意摸出两个球到少得到一个白球”为事件，
则，整理，得：，
解得或舍，
袋中红球的个数为个，机变量的取值为，，，
，
，
，
的分布列为：        ． 【解析】Ⅰ依题意有个黑球，记“摸出的球都是黑球”为事件，利用排列组合知识求出，从而求出最小时．
Ⅱ依题意有个黑球，设袋中白球的个数为个，记“从袋中任意摸出两个球到少得到一个白球”为事件，由对立事件概率计算公式求出袋中红球的个数为个，机变量的取值为，，，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和．
本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望等基础知识，考查运算求解能力、数据处理能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．
 22.【答案】解：当时，，
，此时切点为，
的方程为．
，函数在区间上单调递增，
在区间上恒成立，
在上恒成立，则，
令，则，
当时，，
，
．
证明：，，则，
，
令，
则，
令，则，
显然在区间上单调递减，在区间上单调递增，则，
，则． 【解析】由题意首先求得切点坐标和切线的斜率，然后利用点斜式确定切线方程即可；
将原问题转化为导函数大于等于零恒成立的问题，然后构造函数，结合构造的函数求解参数的取值范围即可；
由题意可得，则，构造新函数，结合导函数研究构造函数的性质即可证得题中的不等式．
本题主要考查导数的几何意义，已知函数的单调性求参数取值范围，利用导数证明不等式的方法等知识，属于中等题．