2021-2022学年天津市河东区求真高级中学高一（下）期末数学试卷（Word解析版）

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2021-2022学年天津市河东区求真高级中学高一（下）期末数学试卷

副标题

考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx

注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 下列说法中正确的是(    )

A. 棱柱的侧面可以是三角形 B. 棱柱的各条棱都相等
C. 所有几何体的表面都能展成平面图形 D. 正方体和长方体都是特殊的四棱柱

2. 若为虚数单位，则(    )

A.  B.  C.  D.

3. 下列命题正确的是(    )

A. 经过三点确定一个平面
B. 经过一条条直线和一个点确定一个平面
C. 梯形确定一个平面
D. 四边形确定一个平面

4. 某人打靶时连续射击两次，下列事件中与事件“至少一次中靶”互为对立的是(    )

A. 至多一次中靶 B. 两次都中靶 C. 只有一次中靶 D. 两次都没中靶

5. 已知某圆柱底面的半径为，高为，则该圆柱的表面积为(    )

A.  B.  C.  D.

6. 掷两颗均匀的骰子，则点数之和为的概率等于(    )

A.  B.  C.  D.

7. 已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是(    )

A. ，，，
B. ，，
C. ，
D. ，

8. 掷一颗质地均匀的骰子，观察所得的点数，设事件“为”，“为”，“为奇数”，则下列结论正确是(    )

A. 与为互斥事件 B. 与为对立事件
C. 与为对立事件 D. 与为互斥事件

9. 在复平面内，复数对应的点位于(    )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

10. 如图，水平放置的的斜二测直观图是图中的，已知，，则边的实际长度是(    )

A.
B.
C.
D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共5小题，共20.0分）

11. 若为虚数单位，已知复数，则______．
12. 若正方体的顶点都在同一球面上，该球的表面积为，则该正方体的体积为______．
13. 甲乙两名射击运动员进行射击比赛，甲射击击中靶子的概率为，乙射击击中靶子概率为，则”恰好有一人击中靶子”的概率为______ ；“至少有一个人击中靶子”的概率为______ ．
14. 在如图的正方体中，、分别为棱和棱的中点，则异面直线和所成的角为______ ．

15. 如图，已知三棱锥的各棱长均为，则平面和平面所成角的余弦值为：______．

三、解答题（本大题共4小题，共40.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16. 本小题分
    当实数满足什么条件时，复数分别满足下列条件？
    实数；
    虚数；
    纯虚数；
17. 本小题分
    如图所示，在四棱锥中，底面为平行四边形，平面，且，，、分别为、的中点．
    求证：平面；
    求：异面直线与所成的角．

18. 本小题分
    某校参加夏令营的同学有名男同学，，和名女同学，，，其所属年级情况如表：

现从这名同学中随机选出人参加知识竞赛每人被选到的可能性相同
Ⅰ用表中字母写这个试验的样本空间；
Ⅱ设为事件“选出的人来自不同年级且恰有名男同学和名女同学”，写出事件的样本点，并求事件发生的概率．

19. 本小题分
    如图，在正方体的中，点为的中点．
    求证：平面；
    求证：；
    求：直线与平面所成的角．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查空间几何体的结构特征，属于基础题．
利用几何体的定义和特征逐一考查所给的说法是否正确即可．
【解答】
解：逐一考查所给的命题：
A.棱柱的侧面一定是平行四边形，不可能是三角形，选项A错误；
B.棱柱的各条侧棱都相等，不一定与底面的棱相等，选项B错误；
C.所有多面体的表面都能展成平面图形，旋转体的表面不一定能展开成平面图形，选项C错误；
D.正方体和长方体都是特殊的四棱柱，选项D正确．
故选：．  

2.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．
 

3.【答案】 

【解析】解：在中，经过不共线的三点确定一个平面，故A错误；
在中，经过一条直线和这条直线外一个点确定一个平面，故B错误；
在中，由梯形中有一组对边平行，得到梯形确定一个平面，故C正确；
在中，空间四边形不一定能确定一个平面，如右图的空间四边形就不能确定一个平面，故D错误．
故选：．
在中，过共线的三点不能确定一个平面；在中，经过一条直线和这条直线上一个点不能确定一个平面；在中，梯形确定一个平面；在中，空间四边形不一定能确定一个平面．
本题考查命题真假的确定，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
 

4.【答案】 

【解析】解：连续射击两次中靶的情况如下：两次都中靶，只有一次中靶，两次都没中靶；
设事件：至少一次中靶，则，
选项：事件：至多一次中靶，则，，不互斥，不对立，
选项：事件：两次都中靶，则，，不互斥，不对立，
选项：事件：只有一次中靶，则，，不互斥，不对立，
选项：事件：两次都没中靶；则，，且，互斥且对立，
故选：．
先写出连续射击两次中靶的情况，再利用互斥事件和对立事件的概念进行判断，，互斥事件；，且基本事件总体，互斥且对立事件．
本题考查互斥事件和对立事件的概念，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：根据圆柱表面积的计算公式可得．
故选：．
圆柱的表面积侧面积两个底面积底面周长高．
本题考查圆柱的表面积的求法，找到所求的量的等量关系是解决问题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查古典概型的概率，属于基础题．
计算基本事件总数，由列举法计算出要求事件所包含的基本事件数，即可求解概率．
【解答】
解：抛掷两颗骰子所出现的不同结果数是，
事件“抛掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为”所包含的基本事件有，，，共种，
故事件“抛掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为”的概率是，
故选B．  

7.【答案】 

【解析】解：，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，
对于，，，，，也可能相交，所以不正确；
对于，，，也可能异面，所以不正确；
对于，，有可能，所以不正确；
对于，，，满足直线与平面垂直的性质，所以D正确．
故选：．
利用空间直线与直线的位置关系，直线与平面的位置关系，判断选项的正误即可．
本题考查空间直线和平面的位置关系，考查线面垂直和面面垂直的判定和性质定理，注意定理的条件是解题的关键，属于基础题和易错题．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查互斥事件与对立事件，本题解题的关键是看出所给的三个事件之间的关系，注意理解对立事件与互斥事件之间的关系，本题是一个基础题．
根据互斥事件与对立事件的概念得到结论．
【解答】
解：设事件“为”，“为”，“为奇数”，
与是互斥事件，
与是互斥事件，
这里没有对立事件，
事件包含在事件里，
故选：．  

9.【答案】 

【解析】解：复数对应的点的坐标为，位于第二象限．
故选：．
直接由已知复数得到对应点的坐标得答案．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础的计算题．
 

10.【答案】 

【解析】解：水平放置的的斜二测直观图是图中的，已知，，
可知，，所以．
故选：．
利用斜二测画法，求解水平放置的的边即可．
本题考查斜二测画法的应用，是基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
，
故答案为：．
根据复数的运算性质计算即可．
本题考查了复数的运算，考查复数求模问题，是基础题．
 

12.【答案】 

【解析】解：正方体的棱长为，
则且外接球的半径，
所以该球的表面积为，解得，
所以该正方体的体积为．
故答案为：．
设正方体的棱长为，根据正方体的体对角线即为其外接球的直接，求出外接球的半径，再根据球的表面积公式即可求得，再根据正方体的体积公式即可得解．
本题考查正方体的体积、球的表面积公式、正方体的结构特征等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 

13.【答案】   

【解析】解：由题意，设事件为“甲中靶”，事件为“乙中靶”，
则，，
所以”恰好有一人击中靶子”的概率为；
“甲乙都没有中靶”的概率为，
所以；“至少有一个人击中靶子”的概率为．
故答案为：；．
利用相互独立事件的概率乘法公式以及对立事件概率公式求解即可．
本题考查了相互独立事件的概率乘法公式以及对立事件概率公式的运用，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查异面直线所成的角，以及解决异面直线所成的角的方法平移法的应用，体现了转化的思想和数形结合的思想方法，属于基础题．
根据异面直线所成角的定义，把直线平移和直线相交，找到异面直线与所成的角，解三角形即可求得结果．在平移直线时经常用到遇到中点找中点的方法．
【解答】
解：连接，则，连接，
就是异面直线和所成的角，
而是正三角形，

故答案为．  

15.【答案】 

【解析】解：取的中点，连接、，

因为三棱锥的各棱长均为，
所以，且，
所以即为平面和平面所成角，
由余弦定理，
即，解得，
故答案为：．
取的中点，连接、，依题意可得，，即可得到即为平面和平面所成角，再由余弦定理计算可得．
本题主要考查了二面角的求法，以及余弦定理的应用，属于基础题．
 

16.【答案】解：当，即或时，
复数为实数．
当，即且时，复数为虚数．
当，解得，
所以当时，复数为纯虚数． 

【解析】由复数的概念列出方程求出的值．
本题主要考查复数的概念，属于基础题．
 

17.【答案】证明：取的中点，连接，，
由题意有，，
又，
即面面，
又面，
则面；
解：连接，，
则，
又，
则异面直线与所成的角为或其补角，
又由题意可得，即，
又，
在中有，
即，
即异面直线与所成的角为． 

【解析】先由已知条件证明面面，然后结合面，得证；
连接，，则，又，则异面直线与所成的角为或其补角，然后求解即可．
本题考查了线面平行的判断定理，重点考查了异面直线所成角的求法，属基础题．
 

18.【答案】解：从名同学中随机选出人参加知识竞赛的所有可能结果为，，，，，，，，，，，，，，，共种．
选出的人来自不同年级且恰有名男同学和名女同学的所有可能结果为，，，，，，共种．因此，事件发生的概率． 

【解析】结合已知数据，直接利用列举法即可求解；
结合等可能事件的概率公式即可直接求解．
本题主要考查了利用列举法求解事件的概率，属于基础试题
 

19.【答案】证明：连接、，
，
为正方体，
为正方形，
为的中点，
连接，
为的中点，
，，平面，平面，
平面．
证明：为正方体，
为正方形，平面，平面，
，，、平面，
平面，
平面，
．
解：连接、，交点为，
为正方体，
为正方形，平面，
，，
平面，
连接，
为在平面上的射影，
为直线与平面所成角，
在直角三角形中，
，
直线与平面所成角为． 

【解析】连接、，交点为，连接，证明，然后证明平面．
证明，平面，推出．
说明为直线与平面所成角，然后通过求解三角形推出结果即可．
本题考查直线与平面平行的判断定理的应用，直线与平面垂直的判断定理的应用，直线与平面所成角的求法，是中档题．