培优课　巧借性质处理函数的综合问题

函数的性质是高中数学的核心内容，包括函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等，在历年的高考中函数的性质都占有非常重要的地位.命题时常常多种性质结合在一起进行考查，难度较大，技巧性比较强.

类型一　利用函数的单调性、奇偶性比较大小

例1 已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)＝xf(x).若a＝g(－2)，b＝g(1)，c＝g(3)，则a，b，c的大小关系为(　　)

A.a＜b＜c   B.c＜b＜a

C.b＜a＜c   D.b＜c＜a

答案　C

解析　∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴g(－x)＝－x·f(－x)＝xf(x)＝g(x)，∴g(x)为偶函数.

又f(x)在R上递增，∴当x＞0时，f(x)＞f(0)＝0.

又x＞0时，y＝x＞0且为增函数，

∴g(x)在(0，＋∞)上为增函数.

又g(x)为偶函数，∴c＝g(3)＞a＝g(－2)＝g(2)＞b＝g(1).

类型二　利用奇函数、偶函数的图象解不等式

例2 设函数f(x)为奇函数，且在(－∞，0)上单调递减，若f(－2)＝0，则xf(x)＜0的解集为(　　)

A.(－1，0)∪(2，＋∞)

B.(－∞，－2)∪(0，2)

C.(－∞，－2)∪(2，＋∞)

D.(－2，0)∪(0，2)

答案　C

解析　∵f(x)为奇函数，且在(－∞，0)上单调递减，又f(－2)＝0，∴可画出符合条件的奇函数f(x)的图象，如图所示.

∵xf(x)＜0，∴

或结合图象可知答案为C.

类型三　利用函数的奇偶性、单调性解不等式

例3 已知函数g(x)是R上的奇函数，且当x＜0时，g(x)＝－x2＋2x，函数f(x)＝若f(2－x2)＞f(x)，则实数x的取值范围是(　　)

A.(－∞，1)∪(2，＋∞)

B.(－∞，－2)∪(1，＋∞)

C.(1，2)

D.(－2，1)

答案　D

解析　设x＞0，则－x＜0，

∴g(－x)＝－(－x)2＋2(－x)

＝－x2－2x，又g(－x)＝－g(x)，

∴g(x)＝x2＋2x.

∴f(x)＝

图象如图.

显然f(x)在R上为增函数，

又f(2－x2)＞f(x)，∴2－x2＞x，

即x2＋x－2＜0，∴－2＜x＜1.

类型四　利用函数的奇偶性、单调性求函数的最值

例4 已知函数f(x)为奇函数，当x＞0时，f(x)＝若f(x)在上的最大值为m，最小值为n，求m＋n.

解　如图，

画出f(x)在(0，＋∞)上的图象，

由图知，当x∈时，

f(x)min＝f(1)＝－1，又f＝2，f(4)＝5，

所以f(x)max＝f(4)＝5.

又f(x)为奇函数，所以当x∈时，

f(x)max＝f(－1)＝－f(1)＝1，f(x)min＝f(－4)＝－f(4)＝－5.

所以m＝1，n＝－5，故m＋n＝1－5＝－4.

类型五　抽象函数性质的应用

例5 设函数y＝f(x)是定义在(0，＋∞)上的函数，并且满足下面三个条件：①对任意正数x，y，都有f(xy)＝f(x)＋f(y)；②当x＞1时，f(x)＜0；③f(3)＝－1.

(1)求f(1)，f的值；

(2)证明：f(x)在(0，＋∞)上是减函数；

(3)如果不等式f(x)＋f(2－x)＜2成立，求x的取值范围.

(1)解　∵对任意正数x，y，

都有f(xy)＝f(x)＋f(y)，

故令x＝y＝1，

得f(1)＝f(1)＋f(1)，f(1)＝0.

令x＝y＝3，又f(3)＝－1，

则f(9)＝f(3)＋f(3)＝－2，

令x＝，y＝9，

则有f(1)＝f＋f(9)＝0，∴f＝2.

(2)证明　任取x1，x2∈(0，＋∞)，

且x1＜x2，则＞1，f＜0，f(x2)＝f＝f(x1)＋f＜f(x1)，

∴f(x)在(0，＋∞)上是减函数.

(3)解　由已知及(1)，不等式f(x)＋f(2－x)＜2可化为f(2x－x2)＜f，

又f(x)在(0，＋∞)上是减函数，

∴解得1－＜x＜1＋.

∴x的取值范围为.

类型六　根据函数的奇偶性、单调性求参数

例6 已知函数f(x)＝是奇函数.

(1)求实数m的值；

(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围.

解　(1)设x＜0，则－x＞0，

所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)

＝－x2－2x.

又f(x)为奇函数，

所以f(－x)＝－f(x).

于是x＜0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，

所以m＝2.

(2)要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，

结合f(x)的图象(图略)知

所以1＜a≤3，

故实数a的取值范围是(1，3].

类型七　函数性质的综合应用

例7 已知函数f(x)＝为R上的奇函数，且f(1)＝.

(1)求a，b；

(2)判断f(x)在[1，＋∞)上的单调性并证明；

(3)当x∈[－4，－1]时，求f(x)的最大值和最小值.

解　(1)∵f(x)为R上的奇函数，

∴f(0)＝0，得b＝0，

又f(1)＝＝，∴a＝1.

(2)f(x)在[1，＋∞)上为减函数.

证明如下：

由(1)知f(x)＝，

设任意x2＞x1≥1，

则f(x2)－f(x1)＝－＝

＝＝.

∵x2＞x1≥1，∴x1x2－1＞0，x1－x2＜0，

∴f(x2)－f(x1)＜0，即f(x2)＜f(x1)，

∴f(x)在[1，＋∞)上为减函数.

(3)∵f(x)为奇函数且f(x)在[1，＋∞)上是减函数，

∴f(x)在(－∞，－1]上为减函数，

又x∈[－4，－1]，

∴f(x)max＝f(－4)＝－.

f(x)min＝f(－1)＝－.