培优课　分段函数的若干问题

分段函数是一类特殊的函数，有着广泛的应用，教材中，并没有进行大篇幅的介绍，但是它是高考的必考内容，下面就分段函数的有关知识进行拓展，供同学们学习时参考.在定义域中，对于自变量x的不同取值范围，相应的对应关系不同，这样的函数称之为分段函数.分段函数是一个函数，而不是几个函数，它只是各段上的解析式(或对应关系)不同而已.

类型一　求分段函数的值、值域

例1 求函数f(x)＝的值域.

解　当x≤－2时，y＝x2＋4x＝(x＋2)2－4，∴y≥－4；

当x＞－2时，y＝，∴y＞＝－1.

∴函数f(x)的值域是{y|y≥－4}.

例2 已知f(x)＝求f(5)的值.

解　∵5＜10，∴f(5)＝f(f(5＋6))＝f(f(11)).

∵11＞10，∴f(f(11))＝f(9)，

又∵9＜10，∴f(9)＝f(f(15))＝f(13)＝11，即f(5)＝11.

例3 已知函数f(x)＝求出这个函数的最值.

解　当x≥0，y＝2；

当x＜0，y＝x2＋2x＝(x＋1)2－1，

显然x＝－1时，ymin＝－1，

∴函数的最小值为－1，没有最大值.

类型二　解与分段函数有关的方程和不等式

例4 已知f(x)＝若f(x)＝3，则x的值为________.

答案　

解析　当x≤－1时，令x＋2＝3，

∴x＝1(舍)；

当－1＜x＜2时，令x2＝3，∴x＝.

∴x的值为.

例5 已知f(x)＝若f(a2＋2)≥a＋4，求实数a的取值范围.

解　∵a2＋2≥2，

∴f(a2＋2)≥a＋4可化为2(a2＋2)－1≥a＋4，

即2a2－a－1≥0，

∴a≥1或a≤－.

∴实数a的取值范围为

∪[1，＋∞).

类型三　分段函数的图象及其应用

例6 已知函数f(x)＝作出此函数的图象.

解　由于分段函数有两段，所以这个函数的图象应该由两条线组成，一条是抛物线的左侧，另一条是射线，画出图象如图所示.

例7 某移动公司采用分段计费的方法来计算话费，月通话时间x(分钟)与相应话费y(元)之间的函数图象如图所示.则：(1)月通话为50分钟时，应交话费多少元；(2)求y与x之间的函数关系式.

解　(1)由题意可知当0≤x≤100时，设函数的解析式为y＝kx(k≠0)，

又因过点(100，40)，所以40＝100k，

所以k＝，得解析式为y＝x.

当月通话为50分钟时，因为0＜50＜100，

所以应交话费y＝×50＝20(元).

(2)当x＞100时，设y与x之间的函数关系式为y＝k′x＋b(k′≠0)，由图知x＝100时，y＝40；x＝200时，y＝60.

则有解得

所以解析式为y＝x＋20，

故所求函数关系式为

y＝

例8 已知函数f(x)＝－x2＋2，g(x)＝x，令φ(x)＝min{f(x)，g(x)}(即f(x)和g(x)中的较小者).

(1)分别用图象法和解析式表示φ(x)；

(2)求函数φ(x)的定义域，值域.

解　(1)在同一个坐标系中画出函数f(x)，g(x)的图象如图①.

由图①中函数取值的情况，结合函数φ(x)的定义，可得函数φ(x)的图象如图②.

令－x2＋2＝x，得x＝－2或x＝1.

结合图②，得出φ(x)的解析式为

φ(x)＝

(2)由图②知，φ(x)的定义域为R，φ(1)＝1，

∴φ(x)的值域为(－∞，1].