【最新版】高中数学（新苏教版）习题+同步课件午练11　指数、对数的混合运算

午练11　指数、对数的混合运算　　　　　　　　　　　　　　

1.若M＝3365，N＝10100，则下列各数中与最接近的是(参考数据lg 3≈0.48)(　　)

A.1055   B.1065 

C.1075   D.1085

答案　C

解析　∵lg ＝lg M－lg N＝lg 3365－lg 10100＝365lg 3－100≈75，∴≈1075.

2.若x＝log43，则(2x－2－x)2等于(　　)

A.   B. 

C.   D.

答案　D

解析　由x＝log43，得4x＝3，即2x＝，2－x＝，所以(2x－2－x)2＝＝.故选D.

3.计算：16＋log23·log332－2log23的值为(　　)

A.9   B.10 

C.11   D.12

答案　B

解析　原式＝24×＋log23·log325－3

＝23＋log23·5log32－3＝8＋5－3＝10.

4.(多选)若方程lg2x＋(lg 2＋lg 3)lg x＋lg 2·lg 3＝0的两根为x1，x2，那么下列结论正确的是(　　)

A.x1＋x2＝   B.x1＋x2＝lg 6

C.x1x2＝   D.x1x2＝lg 2·lg 3

答案　AC

解析　原方程可化为(lg x＋lg 2)(lg x＋lg 3)＝0，∴lg x＝－lg 2或lg x＝－lg 3，

∴x1＝，x2＝，则x1x2＝，x1＋x2＝.

5.已知2x＝72y＝A且＋＝2，则A的值为(　　)

A.7   B.7 

C.±7   D.98

答案　B

解析　∵2x＝72y＝A，∴A＞0，∴x＝log2A，2y＝log7A，∴＝logA2，＝2logA7.∴＋＝logA2＋2logA7＝logA(2×72)＝2，∴A2＝98，∴A＝7.

6.已知使log23·log34·log45·log56·…·log(k＋1)(k＋2)(k∈N*)为整数的数k称为“企盼数”，则在区间[1，1 000]内“企盼数”共有________个.

答案　8

解析　log23·log34·log45·log56·…·log(k＋1)(k＋2)＝··…·＝log2(k＋2)，令log2(k＋2)＝n(n∈Z)，则k＋2＝2n(n∈Z).又k∈[1，1 000]，故k＋2＝22，23，…，29，故k∈{2，6，14，30，62，126，254，510}，所以在区间[1，1 000]内共有8个“企盼数”.

7.已知a＞b＞1.若logab＋logba＝，ab＝ba，则a＝________，b＝________.

答案　4　2

解析　∵logab＋logba＝logab＋＝，

∴logab＝或logab＝2.

∵a＞b＞1，∴logab＝，

∴a＝b2，又ab＝ba，

∴(b2)b＝bb2，∴2b＝b2，∴b＝2，a＝4.

8.若xlog23＝1，则3x＋9－x＝________.

答案　

解析　法一　∵xlog23＝1，∴x＝log32.

∴3x＋9－x＝3log32＋9log3＝2＋＝.

法二　∵xlog23＝1，∴log23x＝1，∴3x＝2，∴3x＋9－x＝3x＋(3x)－2＝2＋2－2＝.

9.若5a＝2b＝10，且abc≠0，则＋＝________.

答案　2

解析　设5a＝2b＝10＝t＞0，则a＝log5t，b＝log2t，＝lg t，

∴＋＝c＝2lg t

＝2lg t(logt5＋logt2)＝2lg t·logt10＝2lg t·＝2.

10.已知2y·logy4－2y－1＝0，·log5x＝－1，试问是否存在一个正数P，使得P＝.

解　由2y·logy4－2y－1＝0得2y＝0，

所以logy4＝，即y＝16.

由·log5x＝－1得＝－，

则＝－logx5＞0.

(logx5＋1)＝(－logx5)2，

整理得2(logx5)2－logx5－1＝0，

解得logx5＝－(logx5＝1舍去)，所以＝25.

所以P＝＝＝3，

即存在一个正数P＝3，

使得P＝成立.