【最新版】高中数学（新苏教版）习题+同步课件培优课　活用换底，简化运算

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培优课　活用换底，简化运算换底公式是对数运算、证明中重要的公式，其作用是将不同底数的对数式转化成同底的对数式，将一般对数式转化成自然对数式或常用对数式来运算.要注意换底公式的正用、逆用及变形应用.类型一　换底公式的正用例1 (1)log425·log516＝________.(2)已知log152＝a，3b＝5，用含a，b的式子表示log12518＝____________.答案　(1)4　(2)解析　(1)由换底公式可得，log425·log516＝·＝·＝4.(2)∵3b＝5，∴b＝log35，∴＝log53，又a＝log152＝＝，∴log52＝a(1＋log53)＝a＋，则log12518＝＝＝＝＝.类型二　换底公式的逆用例2 计算.解　法一　原式＝＝－.法二　原式＝·＝log·log427＝log3－12·log2233＝－log32·log23＝－.类型三　换底公式的基本变形一　logab＝(a>0，a≠1，b>0，b≠1).例3 已知2a＝3b＝6，求＋的值.解　∵2a＝6，∴a＝log26，＝log62.∵3b＝6，∴b＝log36，＝log63.∴＋＝log62＋log63＝log66＝1.类型四　换底公式的基本变形二loganbm＝logab(a>0，a≠1，b>0，m∈R，n≠0).例4 已知log1627＝a，则log916＝________.答案　解析　法一　∵log1627＝＝a，∴＝.log916＝＝2＝2×＝.法二　∵log1627＝log2433＝log23＝a，∴log23＝，∴log32＝，∴log916＝log3224＝2log32＝2×＝.类型五　解对数方程例5 若logab·logbc·logc3＝2，则a＝________.答案　解析　由logab·logbc·logc3＝2，得··＝2，∴lg 3＝2lg a＝lg a2，∴a2＝3，又a＞0，∴a＝.类型六　证明对数恒等式例6 证明：(ab)lg a＋lg b＝alg a·blg b·a2lg b.证明　令(ab)lg a＋lg b＝M，两边取以10为底的对数，得lg(ab)lg a＋lg b＝lg M，即lg M＝(lg a＋lg b)(lg a＋lg b)＝(lg a＋lg b)2.令alg a·blg b·a2lg b＝N，两边取以10为底的对数，得(lg a)2＋(lg b)2＋2lg alg b＝lg N，即lg N＝(lg a＋lg b)2.∴M＝N，∴(ab)lg a＋lg b＝alg a·blg b·a2lg b..