2020-2021学年7.4 三角函数应用课堂教学课件ppt

第二课时　任意角的三角函数(二)

课标要求　1.会用三角函数线分别表示任意角的正弦、余弦、正切函数值.2.理解三角函数线的画法，掌握三角函数值的规律.3.能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题.

素养要求　通过三角函数线的作法和三角函数线的应用，提升学生的直观想象和数学运算素养.

一、 三角函数线

1.思考　(1)如图，设角α为第一象限角，其终边与单位圆的交点为P(x，y)，则sin  α＝y，cos  α＝x都是正数，你能分别用一条线段表示角α的正弦值和余弦值吗？

提示　过角α的终边与单位圆的交点P，向x轴作垂线，垂足为M，则MP＝y＝sin α，OM＝x＝cos α.

(2)若角α为第三象限角，其终边与单位圆的交点为P(x，y)，则sin α＝y，cos α＝x都是负数，此时角α的正弦值和余弦值分别用哪条线段表示？

提示　过角α的终边与单位圆的交点P，向x轴作垂线，垂足为M，则MP＝y＝sin α，OM＝x＝cos α.

(3)如何在单位圆中找像OM，MP这样的线段来表示角α的正切？

提示　如图，过点A(1，0)作单位圆的切线，与角α的终边或反向延长线交于点T，根据相似三角形的知识知：tan α＝＝AT.

2.填空　(1)有向线段：规定了方向(即规定了起点和终点)的线段称为有向线段；对于有向线段AB，分别把它的长度添上正号或负号，这样所得的数，叫作有向线段的数量，记为AB.

(2)如图，设单位圆与x轴的正半轴交于点A，与角α的终边交于P点，过点P作x轴的垂线PM，垂足为M，过A作单位圆的切线交OP的延长线(或反向延长线)于T点.单位圆中的有向线段MP，OM，AT分别叫作角α的正弦线、余弦线、正切线.

记作：sin α＝MP，cos α＝OM，tan α＝AT.

(3)三角函数的定义域

温馨提醒　利用三角函数线比较函数值大小的关键及注意点

(1)关键：在单位圆中作出所要比较的角的三角函数线.

(2)注意点：比较大小，既要注意三角函数线的长短，又要注意方向.

3.做一做　思考辨析，判断正误

(1)角α的正弦线的长度等于sin α.(　　)

(2)对任意角都能作出正弦线、余弦线和正切线.(　　)

(3)余弦线和正切线的始点都是原点.(　　)

提示　(1)×　角α的正弦线的长度等于|sin α|.

(2)×　90°角不能作正切线.

(3)×　正切线的始点是(1，0).

题型一　作三角函数线

例1 作出－的正弦线、余弦线和正切线.

解　如图所示，

sin＝MP，cos＝OM，tan＝AT.

思维升华　(1)作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作x轴的垂线得到垂足，从而得到正弦线和余弦线.

(2)作正切线时，应从点A(1，0)引单位圆的切线交角的终边或终边的反向延长线于一点T，即可得到正切线AT.

训练1 如图，在单位圆中，角α的正弦线、正切线完全正确的是(　　)

A.正弦线为PM，正切线为A′T′

B.正弦线为MP，正切线为A′T′

C.正弦线为MP，正切线为AT

D.正弦线为PM，正切线为AT

答案　C

解析　α为第三象限角，故正弦线为MP，正切线为AT，C正确.

题型二　利用三角函数线比较大小

例2 利用三角函数线比较：sin和sin，cos和cos，tan和tan的大小.

解　如图，

sin＝MP，cos＝OM，tan＝AT，

sin＝M′P′，cos＝OM′，tan＝AT′.

∴sin>sin，

cos>cos，tan<tan.

思维升华　利用三角函数线比较三角函数值的大小时，一般分三步：

(1)角的位置要“对号入座”.

(2)比较三角函数线的长度.

(3)确定有向线段的正负.

训练2 依据三角函数线作出如下四个判断：

①sin＝sin；②cos＝cos；③tan>tan；④sin>sin.

其中判断正确的有________(填序号).

答案　②④

解析　分别作出各角的三角函数线(图略)，可知sin＝－sin，cos＝cos，tan<tan，sin>sin，所以②④正确.

题型三　利用三角函数线解不等式(组)

例3 在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围，并由此写出角α的集合.

(1)sin α≥；(2)cos α≤－.

解　(1)作直线y＝交单位圆于A，B两点，连接OA，OB，则OA与OB围成的区域(如图(1)所示的阴影部分，包括边界)，即为角α的终边的范围.

故满足条件的角α的集合为

.

(2) 作直线x＝－交单位圆于C，D两点，连接OC与OD，则OC与OD围成的区域(如图(2)所示的阴影部分，包括边界)，即为角α的终边的范围.

故满足条件的角α的集合为

.

思维升华　利用单位圆中三角函数线，可以非常直观方便地求出形如sin x≥m或sin x≤m的不等式中角的范围，起到“以形助数”的作用.

训练3 已知点P(sin α－cos α，tan α)在第一象限，在[0，2π)内，求α的取值范围.

解　由题意知

如图，由三角函数线可得

∴<α<或π<α<π.

[课堂小结]

1.掌握2个概念

(1)有向线段.(2)三角函数线.

2.树立1种意识——数形结合

3.注意1个易错点

三角函数线是用有向线段表示的，是有方向的.

一、基础达标

1.若MP和OM分别是角的正弦线和余弦线，则(　　)

A.MP<OM<0   B.OM>0>MP

C.OM<MP<0   D.MP>0>OM

答案　C

解析　在单位圆中画出角的正弦线MP和余弦线OM，如图所示，则OM<MP<0.故选C.

2.已知角α的余弦线是单位长度的有向线段，那么角α的终边(　　)

A.在x轴上

B.在直线y＝x上

C.在y轴上

D.在直线y＝x或y＝－x上

答案　A

解析　由题意可知cos α＝±1，因此，角α的终边在x轴上，故选A.

3.函数y＝tan的定义域为(　　)

A.

B.

C.

D.

答案　C

解析　∵x－≠kπ＋，k∈Z，

∴x≠kπ＋，k∈Z.

4.sin 4，cos 4，tan 4的大小关系是(　　)

A.sin 4<tan 4<cos 4

B.tan 4<sin 4<cos 4

C.cos 4<sin 4<tan 4

D.sin 4<cos 4<tan 4

答案　D

解析　作出4弧度角的正弦线、余弦线和正切线如图所示，则MP＝sin α，OM＝cos α，AT＝tan α，其中左边的虚线表示的是角的终边，∵<4<π，则MP<OM<0<AT，即sin 4<cos 4<tan 4.故选D.

5.使不等式－2sin x≥0成立的x的取值集合是(　　)

A.

B.

C.

D.

答案　C

解析　由题意知sin x≤，利用单位圆解得2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z)，故选C.

6.在[－π，π]上，满足sin x≤的x的取值范围是________.

答案　∪

解析　如图所示，因为sin＝sin＝，

所以满足sin x≤的x的取值范围为

∪.

7.不等式tan α＋>0的解集是________.

答案　

解析　不等式的解集如图所示(阴影部分)，

∴所求解集为

.

8.把sin，sin，cos，tan由小到大排列为________.

答案　cos<sin<sin<tan

解析　如图可知，sin＝M1P1>0，sin＝M2P2>0，tan＝AT>0，cos＝OM3<0.

而0<M1P1<M2P2<AT，

∴0<sin<sin<tan，

∴cos<sin<sin<tan.

9.设α是第一象限角，作α的正弦线、余弦线和正切线，由图证明下列各等式.

(1)sin2α＋cos2α＝1；(2)tan α＝.

如果α是第二、三、四象限角，以上等式仍然成立吗？

证明　如图，α是第一象限角，其正弦线、余弦线、正切线分别是MP，OM，AT.

(1)在Rt△PMO中，MP2＋OM2＝1，即sin2α＋cos2α＝1.

(2)∵△PMO∽△TAO，∴＝，

即tan α＝.

若α是第二、三、四象限角，以上等式仍成立.

10.已知－≤cos θ<，利用单位圆中的三角函数线，确定角θ的取值范围.

解　图中阴影部分就是满足条件的角θ的范围，即

{θ，或2kπ＋<θ≤2kπ＋，k∈Z}.

二、能力提升

11.如果<α<，那么下列不等式成立的是(　　)

A.cos α<sin α<tan α

B.tan α<sin α<cos α

C.sin α<cos α<tan α

D.cos α<tan α<sin α

答案　A

解析　如图所示，在单位圆中分别作出α的正弦线MP、余弦线OM、正切线AT，很容易地观察出OM<MP<AT，即cos α<sin α<tan α.

12.根据三角函数线写出正弦函数在[0，π]上的值域为________；递减区间为________.

答案　[0，1]　

解析　利用三角函数线可以得到正弦函数在[0，π]上的值域为[0，1]，在[0，π]上的递减区间为.

13.当α∈时，求证：sin α<α<tan α.

证明　如图所示，在直角坐标系中作出单位圆，α的终边与单位圆交于P，α的正弦线、正切线分别为有向线段MP，

AT，则MP＝sin α，AT＝tan α.

因为S△AOP＝OA·MP＝sin α，S扇形AOP＝α·OA2＝α，

S△AOT＝OA·AT＝tan α，又S△AOP<S扇形AOP<SAOT，

所以sin α<α<tan α，

即sin α<α<tan α.

三、创新拓展

14.(多选)下列说法正确的是(　　)

A.当角α的终边在x轴上时，角α的正切线是一个点

B.当角α的终边在y轴上时，角α的正切线不存在

C.正弦线的始点随角的终边位置的变化而变化

D.正弦线和正切线的始点都是(1，0)

答案　ABC

解析　根据三角函数线的概念，A，B，C都是正确的，只有D不正确，因为正弦线的始点是变化的，而正切线的始点为单位圆与x轴正半轴的交点(1，0).故选ABC.