高中数学苏教版 (2019)必修 第一册第7章 三角函数7.4 三角函数应用授课课件ppt

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第二课时　诱导公式五、六课标要求　1.在诱导公式一～四的基础上，掌握诱导公式五～六的推导.2.能够利用诱导公式解决简单的求值、化简与证明问题.素养要求　通过诱导公式的推导及应用，逐步培养学生的数学抽象、逻辑推理和数学运算素养.　　　　　　　　　　　　　　 1.思考　(1)观察如图单位圆及角α与－α的终边.①角α的终边与－α的终边有何关系？提示　它们的终边关于y＝x对称.②若设任意角α的终边与单位圆的交点P1的坐标为(x，y)，那么角 －α的终边与单位圆的交点P2的坐标是什么？提示　由于角α的终边与角－α的终边关于y＝x对称，所以P2与P1关于y＝x对称，所以P2点的坐标为(y，x).(2)结合“思考(1)”－α与α的正弦、余弦值有何关系？提示　sin ＝cos α，cos＝sin α.(3)你能利用：sin＝cos  α，cos＝sin α推导出sin与cos α，cos与sin α的关系式吗？提示　sin＝sin ＝cos(－α)＝cos α，cos ＝cos ＝sin(－α)＝－sin α.2.填空　诱导公式五、六温馨提醒　(1)对诱导公式五、六的两点说明①诱导公式五、六反映的是角±α与α的三角函数值之间的关系，可借用口诀“函数名改变，符号看象限”来记忆.②诱导公式是三角变换的基本公式，其中角可以是一个单角，也可以是一个复角，应用时要注意整体把握，灵活变通.(2)对诱导公式的两点说明①诱导公式一～六揭示了终边具有某种对称关系的两个角的三角函数之间的关系②公式一～六的记忆口诀和说明：口诀：奇变偶不变，符号看象限.说明：3.做一做　(1)思考辨析，判断正误①cos ＝cos α.(　　)②sin＝－cos α.(　　)③若cos 10°＝a，则sin 100°＝a.(　　)④若α为第二象限角，则sin＝－cos α.(　　)提示　①×　cos ＝cos ＝sin α.②×　sin＝cos α.③√　④√(2)若sin>0，cos>0，则角θ的终边位于(　　)A.第一象限   B.第二象限C.第三象限   D.第四象限答案　B解析　∵sin＝－cos θ>0，∴cos θ<0.又cos＝sin θ>0，故θ为第二象限角.(3)已知sin 25.3°＝a，则cos 64.7°＝________.答案　a解析　cos 64.7°＝cos (90°－25.3°)＝sin 25.3°＝a. 题型一　利用诱导公式求值例1 已知cos＝，≤α≤，求sin的值.解　∵α＋＝＋，∴sin＝sin＝cos＝.思维升华　求值问题中角的转化方法训练1 已知cos＝，求下列各式的值：(1)sin；(2)sin.解　(1)sin＝sin＝cos＝.(2)sin＝sin＝－sin＝－cos＝－.题型二　利用诱导公式证明恒等式例2 求证：＝－tan α.证明　∵左边＝＝＝＝＝－＝－tan α＝右边，∴原等式成立.思维升华　利用诱导公式证明恒等式问题，关键在于公式的灵活应用，其证明的常用方法有：(1)从一边开始，使得它等于另一边，一般由繁到简.(2)左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子.(3)针对题设与结论间的差异，有针对性地进行变形，以消除差异.训练2 求证：＝.证明　∵左边＝＝＝＝＝＝，右边＝＝，∴左边＝右边，故原等式成立.题型三　诱导公式的综合应用例3 已知cos α＝－，且α为第三象限角.(1)求sin α的值；(2)求f(α)＝的值.解　(1)因为α为第三象限角，所以sin α＝－＝－.(2)f(α)＝＝tan αsin α＝sin α＝＝×＝－.迁移 本例条件不变，求f(α)＝的值.解　f(α)＝＝sin α＝－.思维升华　用诱导公式化简求值的方法(1)对于三角函数式的化简求值问题，一般遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一，再进行切化弦，以保证三角函数名最少.(2)对于π±α和±α这两套诱导公式，切记运用前一套公式不变名，而运用后一套公式必须变名.训练3 已知f(α)＝.(1)化简f(α)；(2)若α为第三象限角，且cos＝，求f(α)的值.解　(1)f(α)＝＝＝－cos α，即f(α)＝－cos α.(2)cos＝－sin α＝，故sin α＝－.因为α为第三象限角，故f(α)＝－cos α＝＝＝，即f(α)＝.[课堂小结]1.会用2组公式——公式五、六2.掌握1个技巧诱导公式可以统一概括为“k·±α(k∈Z)”的诱导公式.当k为偶数时，得α的同名函数值；当k为奇数时，得α的异名函数值，然后前面加一个把α看成锐角时原函数值的符号，即“奇变偶不变，符号看象限”.3.注意2个易错点(1)函数值符号的变化.(2)角与角之间的联系与构造.　　　　　　　　　　　　　 一、基础达标1.已知sin 25.3°＝a，则cos 115.3°＝(　　)A.a      B.－aC.a2      D.答案　B解析　cos 115.3°＝cos(90°＋25.3°)＝－sin 25.3°＝－a.2.已知sin(π＋α)＝，则cos的值为(　　)A.   B.－C.   D.－答案　A解析　由sin(π＋α)＝得sin α＝－，所以cos＝cos＝－sin α＝，故选A.3.已知cos(75°＋α)＝，则sin(α－15°)＋cos(105°－α)的值是(　　)A.   B.  C.－   D.－答案　D解析　sin(α－15°)＋cos(105°－α)＝sin[(α＋75°)－90°]＋cos[180°－(α＋75°)]＝－2cos(α＋75°)＝－2×＝－.故选D.4.如果角θ的终边经过点，那么sin＋cos(π－θ)＋tan(2π－θ)等于(　　)A.－   B.  C.    D.－答案　B解析　易知tan θ＝－.原式＝cos θ－cos θ－tan θ＝－tan θ＝.5.(多选)定义：角θ与φ都是任意角，若满足θ＋φ＝，则称θ与φ“广义互余”.已知sin(π＋α)＝－，则下列角β可能与角α“广义互余”的是(　　)A.sin β＝   B.cos(π＋β)＝C.tan β＝   D.tan β＝答案　AC解析　∵sin(π＋α)＝－sin α＝－，∴sin α＝.若α＋β＝，则β＝－α.A中，sin β＝sin＝cos α＝±，故A符合条件；B中，cos(π＋β)＝－cos＝－sin α＝－，故B不符合条件；C中，tan β＝，即sin β＝cos β，又sin2β＋cos2β＝1，所以sin β＝±，故C符合条件；D中，tan β＝，即sin β＝cos β，又sin2β＋cos2β＝1，所以sin β＝±，故D不符合条件.故选AC.6.若cos α＝，且α是第四象限角，则cos＝________.答案　解析　由题意得sin α＝－＝－，所以cos＝cos＝－sin α＝.7.化简：＝________.答案　－1解析　原式＝＝＝－1.8.已知tan(3π＋α)＝2，则＝________.答案　2解析　∵tan(3π＋α)＝2，∴tan α＝2，∴原式＝＝＝＝＝2.9.已知角α的终边在第三象限，与单位圆的交点为A.(1)求y0的值；(2)求tan(α－3π)sin2＋2cos· cos(π－α)的值.解　(1)由题意，角α的终边在第三象限，与单位圆的交点为A，则OA＝＝1且y0＜0，解得y0＝－.(2)由(1)可知sin α＝－，cos α＝－，tan α＝2，则原式＝tan αcos2α＋2sin αcos α＝sin αcos α＋2sin αcos α＝3sin αcos α＝.10.已知sin α是方程5x2－7x－6＝0的根，且α为第三象限角，求的值.解　因为5x2－7x－6＝0的两根为x＝2或x＝－，所以sin α＝－，又因为α为第三象限角，所以cos α＝－＝－.所以tan α＝.故原式＝＝tan α＝.二、能力提升11.已知cos＝2sin，则＝________.答案　解析　因为cos＝2sin，所以sin α＝2cos α.原式＝＝＝.12.已知sin＝，则sin＝________，cos＝________.答案　－　解析　sin＝sin＝－sin＝－；cos＝cos＝sin＝.13.是否存在角α，β，α∈，β∈(0，π)，使等式同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，说明理由.解　由条件得①2＋②2得sin2α＋3cos2α＝2，③又因为sin2α＋cos2α＝1，④由③④得sin2α＝，即sin α＝±.因为α∈，所以α＝或α＝－.当α＝时，代入②得cos β＝，又β∈(0，π)，所以β＝，代入①可知符合.当α＝－时，代入②得cos β＝，又β∈(0，π)，所以β＝，代入①可知不符合.综上所述，存在α＝，β＝满足条件.　　　　　　　　　　　　　　三、创新拓展14.对于集合{x1，x2，…，xn}, 定义：Ω＝为集合{x1，x2，…，xn}相对于x0的“余弦方差”，则集合相对于x0的“余弦方差”为(　　)A.   B.  C.   D.答案　A解析　根据定义，集合{－，－，，}相对于x0的“余弦方差”为：Ω＝[cos2＋cos2＋cos2＋cos2]注意到－＝－－x0，－＝－－x0，∵cos＝sin α，∴cos2＝sin2，cos2＝sin2，∴cos2＋cos2＝1，cos2＋cos2＝1，∴Ω＝＝.故选A.