进阶训练8（范围：7.3～7.4）

一、基础达标

1.若函数f(x)＝x＋sin x，x∈R，则f(x)是(　　)

A.奇函数   B.偶函数

C.既奇又偶函数   D.非奇非偶函数

答案　A

解析　∵f(－x)＝－x＋sin(－x)＝－x－sin x＝－f(x)，∴f(x)为奇函数.

2.要得到函数g(x)＝sin的图象，只需将函数f(x)＝sin 3x的图象(　　)

A.向右平移个单位长度

B.向左平移个单位长度

C.向右平移个单位长度

D.向左平移个单位长度

答案　C

解析　g(x)＝sin＝sin 3，因此将f(x)＝sin 3x的图象向右平移个单位长度，即可得到函数g(x)＝sin的图象.故选C.

3.已知函数f(x)＝sin，给出下列四个结论：①函数f(x)的最小正周期为π，②函数f(x)的图象关于x＝对称，③函数f(x)的图象关于点对称，④函数f(x)在上是单调递增函数，其中正确的结论个数是(　　)

A.1   B.2  C.3   D.4

答案　B

解析　①显然正确；②由f＝0，知②错误；③当x＝时，f＝1，故③错误；④当x∈时，2x－∈，当x∈时，sin x为单调递增函数，可知④正确.

4.如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)＋2(A＞0，ω＞0，|φ|＜π)的图象的一部分，则它的振幅、周期、初相分别是(　　)

A.A＝3，T＝，φ＝－

B.A＝1，T＝，φ＝

C.A＝1，T＝，φ＝－

D.A＝1，T＝，φ＝－

答案　C

解析　由图象，知A＝＝1，＝－＝，则T＝，ω＝＝＝.由×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，得φ＝－＋2kπ，k∈Z.令k＝0，得φ＝－.故选C.

5.(多选)关于函数f(x)＝sin|x|＋|sin x|有下述四个结论，其中正确的是(　　)

A.f(x)是偶函数

B.f(x)在区间上单调递增

C.f(x)的图象在[－π，π]上与x轴有4个交点

D.f(x)的最大值为2

答案　AD

解析　f(－x)＝sin|－x|＋|sin(－x)|＝sin|x|＋|sin x|＝f(x)，又f(x)的定义域为R，∴f(x)是偶函数，A正确；

当x∈时，f(x)＝sin x＋sin x＝

2sin x，函数f(x)在上单调递减，B错误；

函数f(x)在[－π，π]上的图象如图所示，由图可知函数f(x)的图象在[－π，π]上与x轴只有3个交点，故C不正确；

∵y＝sin|x|与y＝|sin x|的最大值都为1且可以同时取到，∴f(x)可以取到最大值2，故D正确.

6.将函数y＝cos的图象向左平移φ(φ＞0)个单位长度后，所得函数图象关于坐标原点对称，则φ的最小值是________.

答案　

解析　函数y＝cos的图象向左平移φ个单位长度后，得到的图象所对应的函数解析式为

y＝cos＝cos，由题意得该函数是奇函数，所以2φ＋＝＋kπ，k∈Z，则φ＝＋，k∈Z.又φ＞0，所以当k＝0时，φ取得最小值.

7.函数f(x)＝的单调递减区间为________.

答案　(k∈Z)

解析　∵f(x)＝，

∴1－tan x≥0，即tan x≤，

∴kπ－＜x≤kπ＋，k∈Z.

当x∈(k∈Z)时，

y＝tan x是增函数，

∴y＝是减函数，

即f(x)＝的单调递减区间为

(k∈Z).

8.已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0)，若将f(x)的图象向左平移个单位长度所得的图象与将f(x)的图象向右平移个单位长度所得的图象重合，则ω的最小值为________.

答案　4

解析　将f(x)的图象向左平移个单位长度，得函数y＝sin的图象，将f(x)的图象向右平移个单位长度，得函数y＝sin的图象，由题意，得ω＋φ＝－ω＋φ＋2kπ，k∈Z，即ω＝4k，k∈Z.因为ω＞0，所以ω的最小值为4.

9.已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象关于直线x＝对称，且图象上相邻最高点的距离为π.

(1)求f的值；

(2)将函数y＝f(x)的图象向右平移个单位长度后，得到y＝g(x)的图象，求g(x)的单调递减区间.

解　(1)因为f(x)的图象上相邻最高点的距离为π，

所以f(x)的最小正周期T＝π，

从而ω＝＝2.

又f(x)的图象关于直线x＝对称.

所以2×＋φ＝kπ＋(k∈Z).

因为－≤φ＜，所以k＝0，

所以φ＝－＝－，

所以f(x)＝sin，

则f＝sin

＝sin ＝.

(2)将f(x)的图象向右平移个单位长度后，得到f的图象，

所以g(x)＝f

＝sin

＝sin.

由2kπ＋≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，

得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，

因此g(x)的单调递减区间为

(k∈Z).

10.已知f(x)＝sin.

(1)求f(x)的最大值及取得最大值时x的值；

(2)若方程f(x)＝在(0，π)上的解为x1，x2，求cos(x1－x2)的值.

解　(1)当2x－＝＋2kπ(k∈Z)，

即x＝π＋kπ(k∈Z)时，函数f(x)取最大值，且最大值为1.

(2)由(1)知，函数f(x)图象的对称轴为

x＝π＋kπ(k∈Z)，

∴当x∈(0，π)时，对称轴为x＝π.

又方程f(x)＝在(0，π)上的解为x1，x2.

∴x1＋x2＝π，则x1＝π－x2，

∴cos(x1－x2)＝cos

＝sin，

又f(x2)＝sin＝.

故cos(x1－x2)＝.

二、能力提升

11.若函数f(x)＝cos2x＋asin x＋b在上的最大值为M，最小值为m，则M－m的值(　　)

A.与a有关，且与b有关

B.与a有关，但与b无关

C.与a无关，但与b有关

D.与a无关，且与b无关

答案　B

解析　f(x)＝cos2x＋asin x＋b＝－sin2x＋asin x＋b＋1.因为x∈，令t＝sin x∈[0，1]，则y＝－t2＋at＋b＋1＝－＋＋b＋1.因为t∈[0，1]，所以函数的对称轴t＝的位置对函数在给定区间的最值有影响.所以最大值M与最小值m的差M－m的值与a有关，但与b无关，故选B.

12.设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，－＜φ＜)的图象关于直线x＝对称，它的最小正周期为π，则下列说法一定正确的是(　　)

A.f(x)的图象过点

B.f(x)在上是减函数

C.f(x)的图象的一个对称中心是

D.f(x)的图象的一个对称中心是

答案　C

解析　由题意，T＝＝π，得ω＝2.又f(x)的图象关于直线x＝对称，所以2×＋φ＝kπ＋，k∈Z，则φ＝kπ－，k∈Z.又－＜φ＜，所以φ＝，所以f(x)＝Asin.f(0)＝，故A错误；当≤x≤时，≤2x＋≤，f(x)在区间上先增后减，故B错误；f＝0，则点是函数f(x)的图象的一个对称中心，故C正确；f＝A，所以D错误.故选C.

13.已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜)的图象过点P，且图象上与点P最近的一个最低点是Q.

(1)求f(x)的解析式；

(2)若f＝，且α为第三象限角，求sin α＋cos α的值(其中sin 2α＝2sin αcos α).

解　(1)根据题意可知，A＝2，＝－＝，∴T＝＝π，解得ω＝2.

又f＝0，∴sin＝0，

而|φ|＜，∴φ＝－.

∴f(x)＝2sin.

(2)由f＝可得，2sin 2α＝，

即sin 2α＝，

又∵sin 2α＝2sin αcos α，

∴(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α

＝1＋sin 2α.

∵α为第三象限角，

∴sin α＋cos α＝－

＝－＝－.

三、创新拓展

14.已知函数f(x)＝若存在三个不同的实数a，b，c，使得f(a)＝f(b)＝f(c)，则a＋b＋c的取值范围为________.

答案　(2π，4π)

解析　当x∈[0，π)时，

f(x)＝cos＝sin x，

∴f(x)在[0，π]上关于直线x＝对称，且f(x)max＝1.又当x∈[π，＋∞)时，f(x)＝log3是增函数，作出函数f(x)的图象，如图所示，令log3＝1，解得x＝3π.

∵f(a)＝f(b)＝f(c)，∴a＋b＝π，c∈(π，3π)，∴a＋b＋c＝π＋c∈(2π，4π).