数学苏教版 (2019)8.1 二分法与求方程近似解课文ppt课件

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第8章 函数应用
8.1.2　用二分法求方程的近似解
课标要求
1.探索用二分法求方程的近似解的思路.2.能借助计算工具用二分法求方程的近似解.
素养要求
通过本节内容的学习，使学生体会“逐步逼近”的方法，提升学生的数学抽象、逻辑推理、数学运算素养.
问题导学预习教材必备知识探究
互动合作研析题型关键能力提升
拓展延伸分层精练核心素养达成
内容索引
WEN TI DAO XUE YU XI JIAO CAI BI BEI ZHI SHI TAN JIU
问题导学预习教材 必备知识探究
1
1.思考　(1)在一档娱乐节目中，主持人让选手在规定时间内猜某物品的价格，若猜中了，就把物品奖给选手.某次竞猜的物品为价格在1 000元之内的一款手机，选手开始报价，选手说“800”，主持人说“高了”；选手说“400”，主持人说“低了”. ①如果是你，你知道接下来该如何竞猜吗？ 提示　接下来应该猜“600”，即区间[400，800]的中点. ②通过这种方法能猜到具体价格吗？ 提示　可以，通过不断地缩小价格所在的区间，直至猜到手机的价格. ③同样，上节课我们已经知道f(x)＝2x＋2x－3的零点在区间(0，1)内，那么如何缩小零点所在区间(0，1)呢？ 提示　取区间(0，1)的中点x0＝0.5，验证f(0.5)f(1)<0是否成立，若成立，则函数f(x)的零点在区间(0.5，1)内，否则在区间(0，0.5)内.
(2)如图所示，f(x)的图象与x轴有一个交点，如何求方程f(x)＝0的解？假设在区间[－1，5]上，f(x)的图象是一条连续的曲线，且f(－1)f(5)<0，如何按照二分法的思想求方程f(x)＝0的一个解？
提示　取[－1，5]的中点2，因为f(5)<0，f(2)>0，即f(2)f(5)<0，所以在区间[2，5]内有方程的解.于是再取[2，5]的中点3.5…这样继续下去，如果取到某个区间的中点x0，恰使f(x0)＝0，则x0就是所求的一个解；如果区间中的点的函数值总不等于零，那么，不断地重复上述操作，就得到一系列闭区间，方程的一个解在这些区间中，区间长度越来越小，端点逐步逼近方程的解，可以得到一个近似解.
2.填空　(1)二分法是求一元方程 ______的常用方法；运用二分法的前提是要先判断某解所在的______. (2)用二分法求方程的一个近似解的操作流程是：
区间
近似解
在上述操作过程中如果存在c，使得f(c)＝____，那么c就是方程f(x)＝0的一个精确解.
0
3.做一做　思考辨析，判断正误(1)二分法所求出的方程的解都是近似解.(　　)提示　如函数f(x)＝x－2用二分法求出的解就是精确解.(2)函数f(x)＝|x|可以用二分法求零点.(　　)提示　对于函数f(x)＝|x|，不存在区间(a，b)，使f(a)f(b)<0，所以不能用二分法求其零点.(3)用二分法求函数零点的近似值时，每次等分区间后，零点必定在右侧区间内.(　　)提示　函数的零点也可能是区间的中点或在左侧区间内.(4)二分法可求所有函数的近似零点.(　　)提示　当零点左右两侧附近函数值同号时，不能用二分法求函数的近似零点.
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HU DONG HE ZUO YAN XI TI XING GUAN JIAN MENG LI TI SHENG
互动合作研析题型 关键能力提升
2
题型一　二分法概念的理解
例1 (1)下列函数中不能用二分法求零点的是(　　)
B
(2)用二分法求方程2x＋3x－7＝0在区间(1，3)内的根，取区间的中点为x0＝2，那么下一个有根的区间是________.
(1，2)
运用二分法求函数的零点应具备的条件(1)函数图象在零点附近连续不断.(2)在该零点左右两侧函数值异号.只有满足上述两个条件，才可用二分法求函数零点.
训练1 已知函数f(x)的图象如图，则f(x)零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为(　　)
D
A.4，4 　　　　 B.3，4C.5，4 　　　　 D.4，3
解析　图象与x轴有4个交点，所以零点的个数为4；左、右两侧函数值异号的有3个零点，所以可以用二分法求解的个数为3.
题型二　用二分法求函数的零点
例2 用二分法求函数f(x)＝x3－x－1在区间[1，1.5]内的一个零点(精确到0.1). 解　经计算，f(1)<0，f(1.5)>0，所以函数在[1，1.5]内存在零点x0. 取区间(1，1.5)的中点x1＝1.25，经计算f(1.25)<0，因为f(1.25)f(1.5)<0，所以x0∈(1.25，1.5). 如此继续下去，得到函数的一个零点所在的区间，如下表：
因为1.312 5与1.343 75精确到0.1的近似值都为1.3，所以函数f(x)＝x3－x－1的精确到0.1的近似零点可取为1.3.
用二分法求函数零点的近似值应遵循的原则(1)需依据图象估计零点所在的初始区间[m，n](一般采用估计值的方法完成).(2)取区间端点的平均数c，计算f(c)，确定有解区间是[m，c]还是[c，n]，逐步缩小区间的“长度”，直到区间的两个端点符合要求，终止计算，得到函数零点的近似值.
训练2 用二分法求函数f(x)＝3x－x－4的一个零点，其参考数据如下：
1.56
解析　由参考数据知f(1.562 5)≈0.003>0，f(1.556 25)≈－0.029<0，即f(1.562 5)·f(1.556 25)<0，且1.556 25与1.562 5精确到0.01的近似值都为1.56，所以函数f(x)＝3x－x－4的一个零点的近似值可取为1.56.
题型三　用二分法求方程的近似解
例3 在用二分法求方程x＝3－lg x在区间(2，3)内的近似解时，先将方程变形为lg x＋x－3＝0，构建f(x)＝lg x＋x－3，然后通过计算以判断f(2)及f(3)的正负号，再按步骤取区间中点值，计算中点的函数近似值，如此往复缩小零点所在区间，计算得部分数据列表如下：
(1)判断f(2)及f(3)的正负号；
解　f(2)＝lg 2－1＝lg 2－lg 10<0，f(3)＝lg 3>0.
(2)请完成上述表格，在空白处填上正确的数字；
解　如下表：
(3)若精确到0.1，则到第几步骤即可求出近似值？此时近似值为多少？(4)若精确到0.01，则需要到第几步骤才可求出近似值？近似值为多少？
解　(3)直到第5步骤时，2.562 5与2.625精确到0.1的近似值都为2.6，此时可求出零点的近似值为2.6.(4)直到第8步骤时，2.585 937 5与2.593 75精确到0.01的近似值都为2.59，此时可求出零点的近似值为2.59.
用二分法求方程的近似解，首先要选好计算的初始区间，这个区间既要包含所求的根，又要使其长度尽量小，其次要依据给定的精度，及时检验所得区间是否达到要求(达到给定的精度)，以决定是停止计算还是继续计算.
训练3 用二分法求2x＋x＝4在[1，2]内的近似解(精确到0.1).参考数据：
∵1.375与1.437 5精确到0.1的近似值都为1.4，∴2x＋x＝4在[1，2]内的近似解可取为1.4.
解　令f(x)＝2x＋x－4，则f(1)＝2＋1－4<0，f(2)＝22＋2－4>0.用二分法逐步计算，列表如下：
课堂小结
1.掌握2个知识点(1)二分法的定义.(2)利用二分法求函数的零点、方程的近似解.2.学会2种方法——化归思想、逼近思想(1)化归思想：把求方程f(x)＝0的近似解转化为求函数y＝f(x)的近似零点.(2)逼近思想：二分法是求函数零点的一种常用方法，是“逐步逼近”的数学思想的应用.3.规避1个误区并非所有函数都可以用二分法求其零点，只有满足：(1)f(x)在区间[a，b]上的图象连续不间断；(2)f(a)f(b)＜0，上述两条的函数方可采用二分法求得零点的近似值.
TUO ZHAN YAN SHEN FEN CENG JING LIAN HE XING SU YANG DA CHENG
拓展延伸分层精练 核心素养达成
3
1.已知定义在R上的函数f(x)的图象是连续不间断的，且有如下对应值表：
B
那么函数f(x)一定存在零点的区间是(　　)A.(0，1) B.(1，2)C.(2，3) D.(3，＋∞)解析　因为f(1)f(2)<0，所以f(x)在(1，2)内一定存在零点.
2.在用二分法求函数f(x)的一个正实数零点时，经计算，f(0.64)＜0，f(0.72)＞0，f(0.68)＜0，则函数的一个精确到0.1的正实数零点的近似值为(　　) A.0.68 B.0.72 C.0.7 D.0.6
C
3.下列函数中不能用二分法求零点的是(　　)
C
解析　根据二分法的思想，函数f(x)在区间[a，b]上的图象连续不断，且f(a)f(b)<0，即函数的零点是变号零点时，才能将区间[a，b]一分为二，逐步得到零点的近似值，对各图象分析可知，A，B，D都符合条件，而选项C不符合，因为图象经过零点时函数值不变号，因此不能用二分法求函数零点.
4.(多选)下列函数中能用二分法求函数零点的有(　　 )A.f(x)＝3x－1B.f(x)＝x2－2x＋1C.f(x)＝log4xD.f(x)＝ex－2 解析　f(x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2，f(1)＝0，当x<1时，f(x)>0；当x>1时，f(x)>0，在零点两侧函数值同号，不能用二分法求零点，其余选项中在函数的零点两侧函数值异号.故选ACD.
ACD
D
6.用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间(2，4)上的实数根时，取中点x1＝3，则下一个有根区间是________.
(2，3)
7.若函数f(x)＝x2＋ax＋b有零点，但不能用二分法求出，则a，b的关系是________.
a2＝4b
解析　∵函数f(x)＝x2＋ax＋b有零点，但不能用二分法求出，∴函数f(x)＝x2＋ax＋b的图象与x轴相切，∴Δ＝a2－4b＝0，∴a2＝4b.
8.若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个零点(正数)附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：
1.4
那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似解(精确到0.1)为________.
解析　由参考数据知f(1.375)f(1.437 5)<0，∵1.375与1.437 5精确到0.1的近似值都为1.4，∴方程的一个近似解可取为1.4.
9.求方程x2＝2x＋1的一个近似解(精确到0.1). 解　设f(x)＝x2－2x－1.因为f(2)＝－1<0，f(3)＝2>0，所以可以确定区间(2，3)作为计算的初始区间. 用二分法逐步计算，列表如下：
∵2.375与2.437 5精确到0.1的近似值都为2.4，从而方程x2＝2x＋1的一个近似解为2.4.
10.求函数y＝2x＋3x－7的近似零点(精确到0.1).解　设f(x)＝2x＋3x－7，根据二分法逐步缩小函数的零点所在的区间.经计算，f(1)＝－2<0，f(2)＝3>0，所以函数f(x)＝2x＋3x－7在[1，2]内存在零点.取[1，2]的中点1.5，经计算，f(1.5)≈0.33>0，又f(1)＝－2<0，所以函数f(x)＝2x＋3x－7在[1，1.5]内有零点.如此下去，得到函数f(x)＝2x＋3x－7的零点所在的区间，如下表：
因为1.375与1.437 5精确到0.1的近似值都为1.4，所以可取1.4为函数y＝2x＋3x－7的近似零点.
11.(多选)在用二分法求函数f(x)的零点近似值时，第一次所取的区间是[－2，4]，则第三次所取的区间可能是(　　)
CD
二、能力提升
12.[x]表示不超过x的最大整数，例如[3.5]＝3，[－0.5]＝－1.已知x0是方程ln x＋3x－15＝0的根，则[x0]＝(　　) A.2 B.3 C.4 D.5 解析　令f(x)＝ln x＋3x－15. 当x＝4时，f(4)＝ln 4＋3×4－15<0， 当x＝5时，f(5)＝ln 5＋3×5－15>0，即f(4)f(5)<0，∴f(x)在4C
所以方程的正根在(0，1)内，取(0，1)为初始区间，用二分法逐次计算，列出下表：
∵0.25与0.312 5精确到0.1的近似值都为0.3，∴f(x)＝0的正根约为0.3.
C
三、创新拓展
所以f(x)在[a，b]上单调递减，又因为f(a)f(b)<0，所以f(a)>0，f(b)<0.
解得a＝9，b＝3，这与a