数学必修 第一册第五章 三角函数5.5 三角恒等变换习题

这是一份数学必修 第一册第五章 三角函数5.5 三角恒等变换习题

课时作业 30一、选择题1．已知α是第二象限角，且cos α＝－eq \f(12,13)，则tan α的值是(　　)A.eq \f(12,13) B．－eq \f(12,13)C.eq \f(5,12) D．－eq \f(5,12)解析：∵α为第二象限角，∴sin α＝eq \r(1－cos2α)＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(12,13)))2)＝eq \f(5,13)，∴tan α＝eq \f(sin α,cos α)＝eq \f(\f(5,13),－\f(12,13))＝－eq \f(5,12).答案：D2．已知cos α－sin α＝－eq \f(1,2)，则sin αcos α的值为(　　)A.eq \f(3,8) B．±eq \f(3,8)C．－eq \f(3,4) D．±eq \f(3,4)解析：由已知得(cos α－sin α)2＝sin2α＋cos2α－2sin αcos α＝1－2sin αcos α＝eq \f(1,4)，所以sin αcos α＝eq \f(3,8).答案：A3．化简eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,sin α)＋\f(1,tan α)))(1－cos α)的结果是(　　)A．sin α B．cos αC．1＋sin α D．1＋cos α解析：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,sin α)＋\f(1,tan α)))(1－cos α)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,sin α)＋\f(cos α,sin α)))(1－cos α)＝eq \f(1－cos2α,sin α)＝eq \f(sin2α,sin α)＝sin α.答案：A4．已知|sin θ|＝eq \f(1,5)，且eq \f(9π,2)<θ<5π，则tan θ的值是(　　)A.eq \f(\r(6),12) B．－2eq \r(6)C．－eq \f(\r(6),12) D．2eq \r(6)解析：因为eq \f(9π,2)<θ<5π，所以θ为第二象限角，所以sin θ＝eq \f(1,5)，所以cos θ＝－eq \f(2\r(6),5)，所以tan θ＝－eq \f(\r(6),12).答案：C二、填空题5．若sin θ＝－eq \f(4,5)，tan θ>0，则cos θ＝________.解析：由已知得θ是第三象限角，所以cos θ＝－eq \r(1－sin2θ)＝－ eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)))2)＝－eq \f(3,5).答案：－eq \f(3,5)6．已知sin αcos α＝eq \f(1,2)，则sin α－cos α＝________.解析：因为(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×eq \f(1,2)＝0，所以sin α－cos α＝0.答案：07．已知eq \f(sin α＋cos α,sin α－cos α)＝2，则sin αcos α的值为________．解析：由eq \f(sin α＋cos α,sin α－cos α)＝2，得eq \f(tan α＋1,tan α－1)＝2，∴tan α＝3，∴sin αcos α＝eq \f(sin αcos α,sin2α＋cos2α)＝eq \f(tan α,tan2α＋1)＝eq \f(3,10).答案：eq \f(3,10)三、解答题8．已知tan α＝3，求下列各式的值：(1)eq \f(4sin α－cos α,3sin α＋5cos α)；(2)eq \f(sin2α－2sin αcos α－cos2α,4cos2α－3sin2α)；(3)eq \f(3,4)sin2α＋eq \f(1,2)cos2α.解析：(1)∵tan α＝3，∴cos α≠0.原式的分子、分母同除以cos α，得原式＝eq \f(4tan α－1,3tan α＋5)＝eq \f(4×3－1,3×3＋5)＝eq \f(11,14).(2)原式的分子、分母同除以cos2α，得原式＝eq \f(tan2α－2tan α－1,4－3tan2α)＝eq \f(9－2×3－1,4－3×32)＝－eq \f(2,23).(3)原式＝eq \f(\f(3,4)sin2α＋\f(1,2)cos2α,sin2α＋cos2α)＝eq \f(\f(3,4)tan2α＋\f(1,2),tan2α＋1)＝eq \f(\f(3,4)×9＋\f(1,2),9＋1)＝eq \f(29,40).9．证明：eq \f(sin α,1－cos α)·eq \f(cos αtan α,1＋cos α)＝1.解析：证明：eq \f(sin α,1－cos α)·eq \f(cos αtan α,1＋cos α)＝eq \f(sin α,1－cos α)·eq \f(cos α·\f(sin α,cos α),1＋cos α)＝eq \f(sin α,1－cos α)·eq \f(sin α,1＋cos α)＝eq \f(sin2α,1－cos2α)＝eq \f(sin2α,sin2α)＝1.[尖子生题库]10．已知－eq \f(π,2)0，∴sin x－cos x<0，∴sin x－cos x＝－eq \f(7,5).(2)由已知条件及(1)，可知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(sin x＋cos x＝\f(1,5),sin x－cos x＝－\f(7,5)))，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(sin x＝－\f(3,5),cos x＝\f(4,5)))，∴eq \f(1,cos2x－sin2x)＝eq \f(1,\f(16,25)－\f(9,25))＝eq \f(25,7).