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2023届河北省五个一名校联盟高三上学期摸底数学试题含解析
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2023届河北省五个一名校联盟2023届高三上学期摸底数学试题一、单选题1．设集合，则（ ）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出，进而求出.【详解】由解得：，故，又，故.故选：B.2．已知，则（ ）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先根据题意得到，再求即可.【详解】因为，所以.故选：C.3．已知圆锥的高为1，母线长为，则过此圆锥顶点的截面面积的最大值为（ ）A．2 B． C． D．3【答案】D【分析】先根据圆锥的高和母线，求出顶角范围，结合面积公式可得最大值.【详解】如图是圆锥的轴截面，由题意母线，高，则，是锐角，所以，于是得轴截面顶角，设截面三角形的顶角为，则过此圆锥顶点的截面面积，当两条母线夹角为时，截面面积为为所求面积最大值，故选：D.4．设，若函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）A． B． C． D．【答案】D【分析】先用诱导公式化简，再根据正弦函数的单调性可得，结合条件即得.【详解】，由，，可得，根据正弦函数的单调性，可得：，又，所以，即.故选：D.5．如图，在底面半径为1，高为6的圆柱内放置两个球，使得两个球与圆柱侧面相切，且分别与圆柱的上下底面相切．一个与两球均相切的平面斜截圆柱侧面，得到的截线是一个椭圆．则该椭圆的离心率为（ ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题意如图所示，由球的半径可得，的值，进而可得的正弦值，求出的值，即求出的值，由圆柱的底面半径可得的值，即求出的值，进而求出的值，再求出离心率的值．【详解】解：如图所示，，，，则，，即，而，即，所以，所以离心率，故选：B．6．已知，且，，则的值为（ ）A． B． C． D．【答案】B【分析】应用诱导公式及和角正弦公式可得，再由角的范围确定的值，最后应用差角正弦公式求.【详解】由题知，，，而，所以，则，所以.故选：B7．若过点可以作曲线的两条切线，则（ ）A． B． C． D．【答案】B【分析】作出函数的图象，由图象观察得出结论．【详解】作出函数的图象，由图象可知点在函数图象上方时，过此点可以作曲线的两条切线，所以，故选：B．8．先后抛掷两枚质地均匀的骰子，甲表示事件“第一枚骰子掷出的点数是1”，乙表示事件“第二枚骰子掷出的点数是2”，丙表示事件“两枚骰子掷出的点数之和是8”，丁表示事件“两枚骰子掷出的点数之和是7”，则下列说法正确的有（ ）①甲与乙相互独立 ②乙与丁相互独立③乙与丙不互斥但相互独立 ④甲与丙互斥但不相互独立A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】分别求得各事件的概率，再利用独立事件的概率和互斥事件的定义判断.【详解】解：由题意得，同时抛掷两枚质地均匀的骰子一共有36种结果，事件“两枚骰子掷出的点数之和是8”的基本事件有：共5种，则，事件“两枚骰子掷出的点数之和是7”的基本事件有：，共6种，则， ①，故正确；②，故正确；③乙与丙不互斥，且，故错误；④甲与丙互斥，且，故正确.故选：C二、多选题9．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，现从中有放回的取出5个球并记录取球结果，则下列统计结果中可能取出6号球的是（ ）A．平均数为3，中位数为2 B．中位数为3，众数为2C．平均数为2，方差为2.4 D．中位数为3，极差为2【答案】AB【分析】根据特例法结合平均数、方差公式判断AB，根据极差方差定义判断CD.【详解】对于A：若取出的5个球为1、1、2、5、6时，满足平均数为3，中位数为2，可以出现6号球，故A正确；对于B：若取出的5个球为2、2、3、4、6时，满足中位数为3，众数为2，可以出现6号球，故B正确；对于C：若平均数为2，方差为2.4，则方差，所以不能出现6号球，故C错误；对于D：若中位数为3，极差为2，则取出的最大号为5，不能出现6号球，故D错误；故选：AB.10．已知，函数，则下列选项正确的是（ ）A．函数的值域为B．将函数图像上各点横坐标变为原来的（纵坐标不变），再将所得图像向左平移个单位长度，可得函数图像C．函数是奇函数D．函数在区间内所有零点之和为【答案】ABD【分析】根据向量数量积得坐标表示结合三角恒等变换化简函数，再根据正弦函数得值域即可判断A；根据三角函数的周期变换和平移变换的原理即可判断B；根据三角函数的奇偶性即可判断C；令，求出所有的值，即可判断D.【详解】解：，对于A，因为，所以，故A正确；对于B，将函数图像上各点横坐标变为原来的（纵坐标不变），得，再将所得图像向左平移个单位长度，得，故B正确；对于C，因为，所以函数不是奇函数，故C错误；对于D，令，则，则或，所以或，因为，所以或或或，所以函数在区间内所有零点之和为，故D正确.故选：ABD.11．如图，正方体棱长为1，P是上的一个动点，下列结论中正确的是（ ）A．的最小值为B．的最小值为C．当P在直线上运动时，三棱锥的体积不变D．以点B为球心，为半径的球面与面的交线长为【答案】BCD【分析】当时，BP最小，结合正三角形性质，求得B到直线的距离判断A，将平面翻折到平面上，求得PA+PC的最小值判断B，由题可得平面，进而可得三棱锥的体积不变，判断C，根据球的截面的性质可得以点B为球心，为半径的球面与面 的交线即为的内切圆，即可判断D.【详解】对于A，当时，BP最小，由于到直线的距离，故A错误；对于B，将平面翻折到平面上，如图，连接AC，与的交点即为点P，此时取最小值AC，在三角形ADC中，,，故B正确；对于C，由正方体的性质可得，平面，平面，到平面的距离为定值，又为定值，则为定值，即三棱锥的体积不变，故正确；对于D，由于平面，设与平面交于点，，设以为球心，为半径的球与面交线上任一点为，，，在以为圆心，为半径的圆上，由于为正三角形，边长为 ，其内切圆半径为 ，故此圆恰好为的内切圆，完全落在面内，交线长为，故正确．故选：BCD.12．已知圆上两点A、B满足，点满足：，则下列结论中正确的是（ ）A．当时，B．当时，过M点的圆C的最短弦长是C．线段的中点纵坐标最小值是D．过M点作图C的切线且切点为A，B，则的取值范围是【答案】CD【分析】根据给定条件可得点在线段的垂直平分线上，对于A，利用弦长公式求得线段的长，由线段的垂直平分线平行于轴，即可判断出A；对于B，当 时，点在圆内，结合弦长和半径即可判断出结果；对于C，令线段的中点，根据勾股定理结合放缩法即可求得结果；对于D，利用切线长定理即可求得的取值范围，即可判断出D．【详解】解：圆的圆心，半径，令圆心到直线距离为，对于A，令直线，即，显然有，线段的垂直平分线平行于轴，此时点不存在，即不存在，A不正确；对于B，当 时，点在圆内，而圆的直径长为2，则过 点的圆的最短弦长小于2，而，B不正确；对于C，令线段的中点，则，则，即，解得，当且仅当时取等号，所以，C正确；对于D，依题意及切线长定理得：，解得或，所以的取值范围是，D正确．故选：CD．三、填空题13．设抛物线的焦点为F，准线为l，过抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B．设，与相交于点D．若，则的面积为__________．【答案】【分析】根据抛物线的定义可得四边形ABCD为平行四边形，进而可求出点坐标，即可求解.【详解】如图所示，由已知，．得．因为轴，， ，所以四边形ABCD为平行四边形，且，所以，解得，代入得，所以．故答案为：.14．，则a的最大值为_____________．【答案】1【分析】，即，令，分和两种情况讨论，利用导数求出函数的最小值，即可得出答案.【详解】解：，即，令，当，即时，，则，当时，，当时，，所以函数在上递减，在上递增，所以当时，，当，即时，，因为函数为增函数，所以函数在上递减，所以当时，，综上所述，，所以，即a的最大值为1.故答案为：1.15．德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学届的王子，19岁的高斯得到了一个数学史上非常重要的结论，就是《正十七边形尺规作图之理论与方法》．在其年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法，现有函数，设数列满足，若，则的前n项和_________．【答案】【分析】根据可推出，由此可采用倒序相加的方法求得，继而得的表达式，采用错位相减法可求得数列的前n项和.【详解】由得，，由，得，故，故，所以，则，两式相减得： 故，故答案为：四、解答题16．已知函数是偶函数，则__________．【答案】【分析】由于函数为偶函数，所以，化简可求出的值【详解】因为是偶函数，所以，即所以，所以，，因为上式恒成立，所以，得，故答案为：17．已知正项数列满足，且．(1)求数列的通项公式；(2)记，求数列的前n项和为，求证：．【答案】(1)；(2)证明见解析.【分析】（1）先利用题设条件求得数列的通项公式，进而求得数列的通项公式；（2）由题可得，利用裂项相消法可得，然后结合条件及不等式的性质即得.【详解】(1)数列中，，由，可得,又，则数列是首项为1公差为2的等差数列，所以，则数列的通项公式为．(2)由（1）知，则，则数列的前n项和，∵，∴，∴，∴，∴，∴．18．某学校组织“纪念共青团成立100周年”知识竞赛，有A，B，C三类问题，每位参加比赛的同学需要先选择一类并从中随机抽取一个问题回答，只有答对当前的问题才有资格从下一类问题中再随机抽取一个问题回答．A类问题中的每个问题回答正确得10分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分，C类问题中的每个问题回答正确得30分，否则得0分．已知小康同学能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，能正确回答C类问题的概率为0.4，且能正确回答问题的概率与回答次序无关．(1)若小康按照的顺序答题，记X为小康的累计得分，求X的分布列；(2)相比较小康自选的的答题顺序，小康的朋友小乐认为按照的顺序答题累计得分期望更大，小乐的判断正确吗？并说明理由．【答案】(1)答案见解析;(2)小乐的判断正确；理由见解析【分析】(1) 题可知，X的所有可能取值为0，30，50，60,分别求出对应的概率即可；(2)分别求出小康和小乐的均值，比较均值大小即可判断.【详解】(1)由题可知，X的所有可能取值为0，30，50，60所以X的分布列为(2)由（1）知，．若小康按照顺序答题，记Y为小康答题的累计得分，则Y的所有可能取值为0，10，30，60,所以故小乐的判断正确.19．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，在①，②两个条件中任选一个完成以下问题：(1)求B；(2)若D在上，且，求的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）选①，利用正弦定理得到，再利用余弦定理求出；选②：利用诱导公式和二倍角公式得到，从而求出；（2）法一：利用余弦定理得到，利用基本不等式求出，求出面积的最大值，从而求出的最大值；法二：利用正弦定理外接圆的直径，进而利用正弦定理表示面积，利用三角函数的有界性求出面积最大值，进而求出的最大值.【详解】(1)若选①，由正弦定理得，即，即∴，∵，∴，若选②,∵，∴，即，即（舍）或，∵，∴，(2)∵，为边上的高，当面积最大时，高取得最大值法一：由余弦定理得，，由重要不等式得，当且仅当时取等，所以所以边上的高的最大值为法二：由正弦定理得外接圆的直径为，利用正弦定理表示面积得：所以边上的高的最大值为．20．如图，为圆柱的轴截面，是圆柱上异于的母线．(1)证明：平面；(2)若，当三棱锥的体积最大时，求二面角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）先证明是平行四边形，再结合圆柱的性质得到平面；（2）利用等积转换知识结合圆柱的性质先找到体积最大值时的相对位置，再找出二面角的平面角或利用空间向量求得二面角的大小.【详解】(1)证明：如图，连接，由题意知为的直径，所以．因为是圆柱的母线，所以且，所以四边形是平行四边形．所以，所以．因为是圆柱的母线，所以平面，又因为平面，所以．又因为，平面，所以平面．(2)由（1）知是三棱锥底面上的高，由（1）知，所以，即底面三角形是直角三角形．设，则在中有：，所以，当且仅当时等号成立，即点E，F分别是，的中点时，三棱锥的体积最大，（另解：等积转化法：易得当F与距离最远时取到最大值，此时E、F分别为、中点）下面求二面角的正弦值：法一：由（1）得平面，因为平面，所以．又因为，所以平面．因为平面，所以，所以是二面角的平面角，由（1）知为直角三角形，则．故，所以二面角的正弦值为．法二：由（1）知两两相互垂直，如图，以点E为原点，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则．由（1）知平面，故平面的法向量可取为．设平面的法向量为，由，得，即，即，取，得．设二面角的平面角为，，所以二面角的正弦值为21．已知双曲线方程为1，F1，F2为双曲线的左、右焦点，离心率为2，点P为双曲线在第一象限上的一点，且满足·0，|PF1||PF2|＝6．(1)求双曲线的标准方程；(2)过点F2作直线交双曲线于A、B两点，则在x轴上是否存在定点Q(m，0)使得为定值，若存在，请求出m的值和该定值，若不存在，请说明理由．【答案】(1)x21(2)存在，m＝﹣1，定值为0【分析】（1）由离心率得，从而得，再由数量积为0得垂直，利用勾股定理得的关系式，从而求得得双曲线方程；（2）直线斜率为0时，直接求出坐标，计算出数量积，当l的斜率不为0时，设l：x＝ty+2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线方程代入双曲线方程，应用韦达定理得，代入，由它为定值求得值，得结论．【详解】(1)由题意可得e2，可得c＝2a，b2＝c2﹣a2＝3a2，所以ba，又因为·0，|PF1||PF2|＝6．所以,由|PF1|﹣|PF2|＝2a，所以可得|PF1|2+|PF2|2﹣2|PF1||PF2|＝4a2，而|PF1|2+|PF2|2＝4c2，所以4c2﹣12＝4a2，可得b2＝3，a2＝1，所以双曲线的方程为：x21；(2)由(1)可得F2(2，0)，当直线l的斜率为0时，l：y＝0，此时A(﹣1，0)，B(1，0)，由M(m，0)，则·m2﹣1，当l的斜率不为0时，设l：x＝ty+2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立，整理可得：(3t2﹣1)y2+12ty+9＝0，因为t2，y1+y2，y1y2，因为·(x1﹣m，y1)·(x2﹣m，y2)＝(ty1+2﹣m)(ty2+2﹣m)+y1y2＝(t2+1)y1y2+(2﹣m)t(y1+y2)+(2﹣m)2＝(t2+1)·(2﹣m)t·(2﹣m)2(2﹣m)2，要使•为定值，则，解得m＝﹣1，则，所以Q(﹣1，0)．定值为0．22．已知函数．(1)讨论的零点个数；(2)证明：．【答案】(1)答案不唯一，具体见解析(2)证明见解析【分析】(1)函数零点个数问题转化为方程根的个数问题，转化为函数交点个数问题.(2)通过换元简化问题，再利用构造函数来证明.【详解】(1)令，则，设当时，时，，∴在上单调递减，在上单调递增，∴，∵时，；当时，且时，，∴当上时，无零点，当或时，有一个零点，当时，有两个零点．(2)设，则，即证，即证，即证：，设，则，当时，，当时，，∴在单调递减，在单调递增，∴，∴，当且仅当时“=”成立，由（1）知，当时，存在，使得∴∴．【点睛】函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效. X0305060P0.60.160.0480.192
2023届河北省五个一名校联盟2023届高三上学期摸底数学试题一、单选题1．设集合，则（ ）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出，进而求出.【详解】由解得：，故，又，故.故选：B.2．已知，则（ ）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先根据题意得到，再求即可.【详解】因为，所以.故选：C.3．已知圆锥的高为1，母线长为，则过此圆锥顶点的截面面积的最大值为（ ）A．2 B． C． D．3【答案】D【分析】先根据圆锥的高和母线，求出顶角范围，结合面积公式可得最大值.【详解】如图是圆锥的轴截面，由题意母线，高，则，是锐角，所以，于是得轴截面顶角，设截面三角形的顶角为，则过此圆锥顶点的截面面积，当两条母线夹角为时，截面面积为为所求面积最大值，故选：D.4．设，若函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）A． B． C． D．【答案】D【分析】先用诱导公式化简，再根据正弦函数的单调性可得，结合条件即得.【详解】，由，，可得，根据正弦函数的单调性，可得：，又，所以，即.故选：D.5．如图，在底面半径为1，高为6的圆柱内放置两个球，使得两个球与圆柱侧面相切，且分别与圆柱的上下底面相切．一个与两球均相切的平面斜截圆柱侧面，得到的截线是一个椭圆．则该椭圆的离心率为（ ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题意如图所示，由球的半径可得，的值，进而可得的正弦值，求出的值，即求出的值，由圆柱的底面半径可得的值，即求出的值，进而求出的值，再求出离心率的值．【详解】解：如图所示，，，，则，，即，而，即，所以，所以离心率，故选：B．6．已知，且，，则的值为（ ）A． B． C． D．【答案】B【分析】应用诱导公式及和角正弦公式可得，再由角的范围确定的值，最后应用差角正弦公式求.【详解】由题知，，，而，所以，则，所以.故选：B7．若过点可以作曲线的两条切线，则（ ）A． B． C． D．【答案】B【分析】作出函数的图象，由图象观察得出结论．【详解】作出函数的图象，由图象可知点在函数图象上方时，过此点可以作曲线的两条切线，所以，故选：B．8．先后抛掷两枚质地均匀的骰子，甲表示事件“第一枚骰子掷出的点数是1”，乙表示事件“第二枚骰子掷出的点数是2”，丙表示事件“两枚骰子掷出的点数之和是8”，丁表示事件“两枚骰子掷出的点数之和是7”，则下列说法正确的有（ ）①甲与乙相互独立 ②乙与丁相互独立③乙与丙不互斥但相互独立 ④甲与丙互斥但不相互独立A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】分别求得各事件的概率，再利用独立事件的概率和互斥事件的定义判断.【详解】解：由题意得，同时抛掷两枚质地均匀的骰子一共有36种结果，事件“两枚骰子掷出的点数之和是8”的基本事件有：共5种，则，事件“两枚骰子掷出的点数之和是7”的基本事件有：，共6种，则， ①，故正确；②，故正确；③乙与丙不互斥，且，故错误；④甲与丙互斥，且，故正确.故选：C二、多选题9．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，现从中有放回的取出5个球并记录取球结果，则下列统计结果中可能取出6号球的是（ ）A．平均数为3，中位数为2 B．中位数为3，众数为2C．平均数为2，方差为2.4 D．中位数为3，极差为2【答案】AB【分析】根据特例法结合平均数、方差公式判断AB，根据极差方差定义判断CD.【详解】对于A：若取出的5个球为1、1、2、5、6时，满足平均数为3，中位数为2，可以出现6号球，故A正确；对于B：若取出的5个球为2、2、3、4、6时，满足中位数为3，众数为2，可以出现6号球，故B正确；对于C：若平均数为2，方差为2.4，则方差，所以不能出现6号球，故C错误；对于D：若中位数为3，极差为2，则取出的最大号为5，不能出现6号球，故D错误；故选：AB.10．已知，函数，则下列选项正确的是（ ）A．函数的值域为B．将函数图像上各点横坐标变为原来的（纵坐标不变），再将所得图像向左平移个单位长度，可得函数图像C．函数是奇函数D．函数在区间内所有零点之和为【答案】ABD【分析】根据向量数量积得坐标表示结合三角恒等变换化简函数，再根据正弦函数得值域即可判断A；根据三角函数的周期变换和平移变换的原理即可判断B；根据三角函数的奇偶性即可判断C；令，求出所有的值，即可判断D.【详解】解：，对于A，因为，所以，故A正确；对于B，将函数图像上各点横坐标变为原来的（纵坐标不变），得，再将所得图像向左平移个单位长度，得，故B正确；对于C，因为，所以函数不是奇函数，故C错误；对于D，令，则，则或，所以或，因为，所以或或或，所以函数在区间内所有零点之和为，故D正确.故选：ABD.11．如图，正方体棱长为1，P是上的一个动点，下列结论中正确的是（ ）A．的最小值为B．的最小值为C．当P在直线上运动时，三棱锥的体积不变D．以点B为球心，为半径的球面与面的交线长为【答案】BCD【分析】当时，BP最小，结合正三角形性质，求得B到直线的距离判断A，将平面翻折到平面上，求得PA+PC的最小值判断B，由题可得平面，进而可得三棱锥的体积不变，判断C，根据球的截面的性质可得以点B为球心，为半径的球面与面 的交线即为的内切圆，即可判断D.【详解】对于A，当时，BP最小，由于到直线的距离，故A错误；对于B，将平面翻折到平面上，如图，连接AC，与的交点即为点P，此时取最小值AC，在三角形ADC中，,，故B正确；对于C，由正方体的性质可得，平面，平面，到平面的距离为定值，又为定值，则为定值，即三棱锥的体积不变，故正确；对于D，由于平面，设与平面交于点，，设以为球心，为半径的球与面交线上任一点为，，，在以为圆心，为半径的圆上，由于为正三角形，边长为 ，其内切圆半径为 ，故此圆恰好为的内切圆，完全落在面内，交线长为，故正确．故选：BCD.12．已知圆上两点A、B满足，点满足：，则下列结论中正确的是（ ）A．当时，B．当时，过M点的圆C的最短弦长是C．线段的中点纵坐标最小值是D．过M点作图C的切线且切点为A，B，则的取值范围是【答案】CD【分析】根据给定条件可得点在线段的垂直平分线上，对于A，利用弦长公式求得线段的长，由线段的垂直平分线平行于轴，即可判断出A；对于B，当 时，点在圆内，结合弦长和半径即可判断出结果；对于C，令线段的中点，根据勾股定理结合放缩法即可求得结果；对于D，利用切线长定理即可求得的取值范围，即可判断出D．【详解】解：圆的圆心，半径，令圆心到直线距离为，对于A，令直线，即，显然有，线段的垂直平分线平行于轴，此时点不存在，即不存在，A不正确；对于B，当 时，点在圆内，而圆的直径长为2，则过 点的圆的最短弦长小于2，而，B不正确；对于C，令线段的中点，则，则，即，解得，当且仅当时取等号，所以，C正确；对于D，依题意及切线长定理得：，解得或，所以的取值范围是，D正确．故选：CD．三、填空题13．设抛物线的焦点为F，准线为l，过抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B．设，与相交于点D．若，则的面积为__________．【答案】【分析】根据抛物线的定义可得四边形ABCD为平行四边形，进而可求出点坐标，即可求解.【详解】如图所示，由已知，．得．因为轴，， ，所以四边形ABCD为平行四边形，且，所以，解得，代入得，所以．故答案为：.14．，则a的最大值为_____________．【答案】1【分析】，即，令，分和两种情况讨论，利用导数求出函数的最小值，即可得出答案.【详解】解：，即，令，当，即时，，则，当时，，当时，，所以函数在上递减，在上递增，所以当时，，当，即时，，因为函数为增函数，所以函数在上递减，所以当时，，综上所述，，所以，即a的最大值为1.故答案为：1.15．德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学届的王子，19岁的高斯得到了一个数学史上非常重要的结论，就是《正十七边形尺规作图之理论与方法》．在其年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法，现有函数，设数列满足，若，则的前n项和_________．【答案】【分析】根据可推出，由此可采用倒序相加的方法求得，继而得的表达式，采用错位相减法可求得数列的前n项和.【详解】由得，，由，得，故，故，所以，则，两式相减得： 故，故答案为：四、解答题16．已知函数是偶函数，则__________．【答案】【分析】由于函数为偶函数，所以，化简可求出的值【详解】因为是偶函数，所以，即所以，所以，，因为上式恒成立，所以，得，故答案为：17．已知正项数列满足，且．(1)求数列的通项公式；(2)记，求数列的前n项和为，求证：．【答案】(1)；(2)证明见解析.【分析】（1）先利用题设条件求得数列的通项公式，进而求得数列的通项公式；（2）由题可得，利用裂项相消法可得，然后结合条件及不等式的性质即得.【详解】(1)数列中，，由，可得,又，则数列是首项为1公差为2的等差数列，所以，则数列的通项公式为．(2)由（1）知，则，则数列的前n项和，∵，∴，∴，∴，∴，∴．18．某学校组织“纪念共青团成立100周年”知识竞赛，有A，B，C三类问题，每位参加比赛的同学需要先选择一类并从中随机抽取一个问题回答，只有答对当前的问题才有资格从下一类问题中再随机抽取一个问题回答．A类问题中的每个问题回答正确得10分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分，C类问题中的每个问题回答正确得30分，否则得0分．已知小康同学能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，能正确回答C类问题的概率为0.4，且能正确回答问题的概率与回答次序无关．(1)若小康按照的顺序答题，记X为小康的累计得分，求X的分布列；(2)相比较小康自选的的答题顺序，小康的朋友小乐认为按照的顺序答题累计得分期望更大，小乐的判断正确吗？并说明理由．【答案】(1)答案见解析;(2)小乐的判断正确；理由见解析【分析】(1) 题可知，X的所有可能取值为0，30，50，60,分别求出对应的概率即可；(2)分别求出小康和小乐的均值，比较均值大小即可判断.【详解】(1)由题可知，X的所有可能取值为0，30，50，60所以X的分布列为(2)由（1）知，．若小康按照顺序答题，记Y为小康答题的累计得分，则Y的所有可能取值为0，10，30，60,所以故小乐的判断正确.19．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，在①，②两个条件中任选一个完成以下问题：(1)求B；(2)若D在上，且，求的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）选①，利用正弦定理得到，再利用余弦定理求出；选②：利用诱导公式和二倍角公式得到，从而求出；（2）法一：利用余弦定理得到，利用基本不等式求出，求出面积的最大值，从而求出的最大值；法二：利用正弦定理外接圆的直径，进而利用正弦定理表示面积，利用三角函数的有界性求出面积最大值，进而求出的最大值.【详解】(1)若选①，由正弦定理得，即，即∴，∵，∴，若选②,∵，∴，即，即（舍）或，∵，∴，(2)∵，为边上的高，当面积最大时，高取得最大值法一：由余弦定理得，，由重要不等式得，当且仅当时取等，所以所以边上的高的最大值为法二：由正弦定理得外接圆的直径为，利用正弦定理表示面积得：所以边上的高的最大值为．20．如图，为圆柱的轴截面，是圆柱上异于的母线．(1)证明：平面；(2)若，当三棱锥的体积最大时，求二面角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）先证明是平行四边形，再结合圆柱的性质得到平面；（2）利用等积转换知识结合圆柱的性质先找到体积最大值时的相对位置，再找出二面角的平面角或利用空间向量求得二面角的大小.【详解】(1)证明：如图，连接，由题意知为的直径，所以．因为是圆柱的母线，所以且，所以四边形是平行四边形．所以，所以．因为是圆柱的母线，所以平面，又因为平面，所以．又因为，平面，所以平面．(2)由（1）知是三棱锥底面上的高，由（1）知，所以，即底面三角形是直角三角形．设，则在中有：，所以，当且仅当时等号成立，即点E，F分别是，的中点时，三棱锥的体积最大，（另解：等积转化法：易得当F与距离最远时取到最大值，此时E、F分别为、中点）下面求二面角的正弦值：法一：由（1）得平面，因为平面，所以．又因为，所以平面．因为平面，所以，所以是二面角的平面角，由（1）知为直角三角形，则．故，所以二面角的正弦值为．法二：由（1）知两两相互垂直，如图，以点E为原点，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则．由（1）知平面，故平面的法向量可取为．设平面的法向量为，由，得，即，即，取，得．设二面角的平面角为，，所以二面角的正弦值为21．已知双曲线方程为1，F1，F2为双曲线的左、右焦点，离心率为2，点P为双曲线在第一象限上的一点，且满足·0，|PF1||PF2|＝6．(1)求双曲线的标准方程；(2)过点F2作直线交双曲线于A、B两点，则在x轴上是否存在定点Q(m，0)使得为定值，若存在，请求出m的值和该定值，若不存在，请说明理由．【答案】(1)x21(2)存在，m＝﹣1，定值为0【分析】（1）由离心率得，从而得，再由数量积为0得垂直，利用勾股定理得的关系式，从而求得得双曲线方程；（2）直线斜率为0时，直接求出坐标，计算出数量积，当l的斜率不为0时，设l：x＝ty+2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线方程代入双曲线方程，应用韦达定理得，代入，由它为定值求得值，得结论．【详解】(1)由题意可得e2，可得c＝2a，b2＝c2﹣a2＝3a2，所以ba，又因为·0，|PF1||PF2|＝6．所以,由|PF1|﹣|PF2|＝2a，所以可得|PF1|2+|PF2|2﹣2|PF1||PF2|＝4a2，而|PF1|2+|PF2|2＝4c2，所以4c2﹣12＝4a2，可得b2＝3，a2＝1，所以双曲线的方程为：x21；(2)由(1)可得F2(2，0)，当直线l的斜率为0时，l：y＝0，此时A(﹣1，0)，B(1，0)，由M(m，0)，则·m2﹣1，当l的斜率不为0时，设l：x＝ty+2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立，整理可得：(3t2﹣1)y2+12ty+9＝0，因为t2，y1+y2，y1y2，因为·(x1﹣m，y1)·(x2﹣m，y2)＝(ty1+2﹣m)(ty2+2﹣m)+y1y2＝(t2+1)y1y2+(2﹣m)t(y1+y2)+(2﹣m)2＝(t2+1)·(2﹣m)t·(2﹣m)2(2﹣m)2，要使•为定值，则，解得m＝﹣1，则，所以Q(﹣1，0)．定值为0．22．已知函数．(1)讨论的零点个数；(2)证明：．【答案】(1)答案不唯一，具体见解析(2)证明见解析【分析】(1)函数零点个数问题转化为方程根的个数问题，转化为函数交点个数问题.(2)通过换元简化问题，再利用构造函数来证明.【详解】(1)令，则，设当时，时，，∴在上单调递减，在上单调递增，∴，∵时，；当时，且时，，∴当上时，无零点，当或时，有一个零点，当时，有两个零点．(2)设，则，即证，即证，即证：，设，则，当时，，当时，，∴在单调递减，在单调递增，∴，∴，当且仅当时“=”成立，由（1）知，当时，存在，使得∴∴．【点睛】函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效. X0305060P0.60.160.0480.192
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