2023届河南省洛阳市一高强基联盟新高三摸底大联考数学（文科）试题含解析

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河南省洛阳市一高强基联盟2023届新高三摸底大联考数学（文科）试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．甲、乙、丙、丁四位同学分别对一组变量进行线性相关试验，并分别计算出相关指数，则线性相关程度最高的是（       ）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁2．已知命题p：，使得，则为（       ）A．， B．，C．， D．，3．若复数：（i是虚数单位），则（       ）A． B． C． D．4．下面几种推理是类比推理的是（       ）A．由“周长为定值的长方形中，正方形的面积最大”，推测“在表面积为定值的长方体中，正方体的体积最大”B．三角形中大角对大边，若中，，则C．由，，…，得到D．一切偶数都能被2整除，是偶数，所以能被2整除5．在等差数列中，，则（       ）A． B． C． D．6．“”是“”的（       ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件7．曲线在处的切线方程是（       ）A． B．C． D．8．已知i为虚数单位，若是实数，则（       ）A．2 B．-2 C． D．9．在平面直角坐标系中，已知直线，，若，则.类比可得在空间直角坐标系中，平面与平面垂直，则实数的值为（       ）A．-2 B． C． D．-510．已知点F是双曲线的右焦点，点P是双曲线上在第一象限内的一点，且PF与x轴垂直，点Q是双曲线渐近线上的动点，则的最小值为（       ）A． B． C． D．11．对于一个数的三次方，我们可以分解为若干个数字的和：，，，，…，根据上述规律，的分解式中等号右边的所有数中最大的数为（       ）A．325 B．323 C．649 D．64712．已知椭圆：和双曲线：有共同的焦点，，是它们在第一象限的交点，当时，与的离心率互为倒数，则双曲线的离心率是（       ）A． B． C．2 D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若函数，则的值为________．14．已知实数x，y满足约束条件，则的最小值是______．15．在各项均为正数的等比数列中，若，则的最小值为______．16．关于x的方程，有下列四个命题：甲：是方程的一个根；乙：是方程的一个根；丙：该方程两根异号；丁：该方程两根之和为4．若四个命题中只有一个假命题，则假命题是______．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答17．为推动实施健康中国战略，树立国家大卫生、大健康观念，手机APP也推出了多款健康运动软件，如“微信运动”，某运动品牌公司280名员工均在微信好友群中参与了“微信运动”，且公司每月进行一次评比，对该月内每日运动都达到10000步及以上的员工授予该月“运动达人”称号，其余员工均称为“参与者”．为了进一步了解员工们的运动情况，选取了员工们在3月份的运动数据进行分析，统计结果如下：(1)请补充完列联表；(2)根据列联表判断是否有90%的把握认为获得“运动达人”称号与性别有关？参考公式：，其中．临界值表：18．如图，在平面四边形ABCD中，若，，，，．(1)求的值；(2)求AD的长度．19．已知函数在处取得极值4．(1)求a，b的值；(2)若存在，使成立，求实数的取值范围．20．网购是现代年轻人重要的购物方式，截止：2021年12月，我国网络购物用户规模达8.42亿，较2020年12月增长5968万，占网民整体的81.6%．某电商对其旗下的一家专营店近五年来每年的利润额（单位：万元）与时间第年进行了统计得如下数据：(1)依据表中给出的数据，是否可用线性回归模型拟合y与t的关系？请计算相关系数r并加以说明（计算结果精确到0.01）．（若，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）(2)试用最小二乘法求出利润y与时间t的回归方程，并预测当时的利润额．附：，，．参考数据：，，，．21．已知抛物线C：的焦点为F，直线被抛物线C截得的弦长为5．(1)求抛物线C的方程；(2)已知点A，B是抛物线C上异于原点O的不同动点，且直线OA和直线OB的斜率之和为，过点F作直线AB的垂线，垂足为H，是否存在定点P，使得线段PH的长度为定值？若存在，求出点P的坐标及线段PH的长；若不存在，请说明理由．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数）．以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C的普通方程；(2)已知点P的直角坐标为，过点P作C的切线，求切线的极坐标方程．23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）已知函数．(1)若，求不等式的解集；(2)若，不等式恒成立，求实数a的取值范围．甲乙丙丁0.870.910.580.83运动达人参与者合计男员工120160女员工40合计2800.150.100.050.012.0722.7063.8416.635123452.63.14.56.88.0参考答案：1．B【解析】【分析】利用相关指数的性质，通过比较四位同学的，即可得到线性相关程度最高的同学【详解】越接近于1，两个变量的线性相关程度越高．，则线性相关程度最高的是乙故选：B．2．A【解析】【分析】根据命题的否定即可求解.【详解】解：根据命题的否定可知，为，．故选：A．3．B【解析】【分析】根据复数的乘法，可直接得出结果.【详解】故选：B4．A【解析】【分析】由类比推理、演绎推理、归纳推理的定义依次判断即可.【详解】对于A，由平面图形的性质推测出空间几何体的性质，为类比推理，A正确；对于B，为演绎推理，B错误；对于C，为归纳推理，C错误；对于D，为演绎推理，D错误．故选：A.5．C【解析】【分析】设等差数列的公差为，利用等差数列的通项公式结合已知条件可求得的值.【详解】设等差数列的公差为，则，因此，.故选：C.6．B【解析】【分析】根据必要不充分条件的定义及对数的定义即可判断.【详解】解：由，可得，所以时，所以必要性成立；当时，在的情况下，不成立，所以充分性不成立．故“”是“”的必要不充分条件．故选：B．7．D【解析】【分析】利用导数的几何意义去求曲线在处的切线方程【详解】，则，当时，，，所以切线方程为，即．故选：D．8．C【解析】【分析】先对复数化简，然后由其为实数可求出，从而可求出【详解】．因为是实数，所以，解得，所以．故选：C9．A【解析】【分析】根据平面线线垂直性质类比空间面面垂直的性质进行求解即可.【详解】类比可得，若平面与平面垂直，则，所以由平面与平面垂直可得，解得.故选：A10．B【解析】【分析】由双曲线的方程可得点F坐标及渐近线方程，进而求得点P坐标，利用点到直线的距离公式即可求解.【详解】解：由双曲线方程可得，点F坐标为，将代入双曲线方程，得，由于点P在第一象限，所以点P坐标为，双曲线的渐近线方程为，点P到双曲线的渐近线的距离为．Q是双曲线渐近线上的动点，所以的最小值为．故选：B．11．C【解析】【分析】直接由题目所给数据总结规律，按照规律即可求解.【详解】观察可知，等号右边的所有数中最大的数依次为1，5，11，19，满足，由规律可知，的分解式中等号右边的所有数中最大的数为．故选：C．12．B【解析】【分析】由椭圆的定义和双曲线的定义结合余弦定理得，化简后两边同除以，得，再由可求出【详解】设，的离心率分别为，，焦距为，因为，，所以，，由余弦定理，得，即，化简，得，两边同除以，得.又，所以.又，所以.故选：B13．【解析】【分析】由赋值法求解【详解】，令得，得，故答案为：14．【解析】【分析】作出不等式组的可行域,再令，得到，做出直线，向上平移到点，即可得出的最小值.【详解】作出满足约束条件，的可行域如图阴影部分所示：令，得到，做出直线，向上平移到点，即解得：，所以有最小值为．故答案为：.15．【解析】【分析】由题意得，根据等比数列的性质和基本不等式即得.【详解】由题意得，是等比数列，，又，当且仅当时，等号成立，的最小值为.故答案为：.16．乙【解析】【分析】因为四个命题中只有一个假命题，所以分别分析甲、乙、丙、丁其中一个是假命题的情况即可得出答案.【详解】若甲是假命题，则乙丙丁是真命题，则是方程的一个根，由于两根之和为4，则另一根为1，两根同号，与丙是真命题矛盾，不满足题意；若乙是假命题，则甲丙丁是真命题，则是方程的一个根，由于两根之和为4，则该方程的另一根为-1，两根异号，满足题意；若丙是假命题，则甲乙丁是真命题，则方程的两根为3和5，两根之和为8，与丁是真命题矛盾，不满足题意；若丁是假命题，则甲乙丙是真命题，则方程的两根为3和5，两根同号，与丙是真命题矛盾，不满足题意．综上所述，乙命题为假命题．故答案为：乙.17．(1)表格见解析(2)没有90%的把握认为获得“运动达人”称号与性别有关【解析】【分析】（1）根据题干所给数据完善列联表；（2）计算出卡方，即可判断；(1)解：依题意可得列联表如下：(2)解：由列联表可得，所以没有的把握认为获得“运动达人”称号与性别有关．18．(1)(2)【解析】【分析】（1）在中，由余弦定理得，由正弦定理得，再根据二倍角公式求解即可得；（2）结合（1）得，进而在中，根据余弦定理得.(1)解：在中，因为，，，由余弦定理，可得，所以．又由正弦定理可得，所以．所以．(2)解：由（1），因为为锐角，可得．在中，根据余弦定理，可得，所以．19．(1)，(2)【解析】【分析】（1）利用题给条件列出关于a，b的方程组，解之并进行检验后即可求得a，b的值；（2）利用题给条件列出关于实数的不等式，解之即得实数的取值范围．(1)，则．因为函数在处取得极值4，所以，解得此时．易知在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，则是函数的极大值点，符合题意．故，．(2)若存在，使成立，则．由（1）得，，且在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，即，解得，所以实数的取值范围是．20．(1)，y与t的线性相关程度很高，可以用线性回归模型拟合．(2)，万元．【解析】【分析】（1）先利用公式计算出相关系数r，再按要求进行比较，进而得到结果；（2）先利用公式求得，得到利润y与时间t的回归方程，进而预测当时的利润额．(1)由题表，，因为，，，所以．故y与t的线性相关程度很高，可以用线性回归模型拟合．(2)，，所以．当时，．预测该专营店在时的利润为万元．21．(1)(2)存在，，【解析】【分析】（1）设直线与抛物线交于，两点，两方程联立，得利用韦达定理代入，可得答案；（2）设直线AB的方程为，，，直线AB的方程与抛物线方程联立，利用韦达定理代入可得，从而得到直线AB恒过定点，利用得点H在以线段DF为直径的圆上，取DF的中点P，得，可得存在定点P，求得线段PH的长度．(1)设直线与抛物线C：交于，两点．联立，得，因为，所以恒成立，，，所以，解得（舍去）．所以抛物线C的方程为．(2)由题意分析可知，直线AB的斜率不为0，不妨设直线AB的方程为，，，联立得，，即，，，，所以，所以直线AB的方程为，即，所以直线AB恒过定点，因为，，即，所以点H在以线段DF为直径的圆上，取DF的中点P，则，，所以存在定点P，使得线段PH的长度为定值，点P的坐标为，线段PH的长度为．22．(1)(2)或【解析】【分析】（1）直接根据圆的参数方程求解即可得答案；（2）由题设切线方程为，进而结合直线与圆的位置关系得，再将切线的直角方程化为极坐标方程即可得答案.(1)解：曲线C的参数方程为（为参数），所以C的普通方程是．(2)解：由题意，切线的斜率一定存在，设切线方程为，即，所以，解得．所以切线方程是或，将，代入，化简得或．所以切线的极坐标方程为或23．(1)(2)【解析】【分析】（1）根据题意，分，，三种情况讨论求解即可；（2）由绝对值三角不等式得恒成立，进而分和两种情况求解即可.(1)解：若，．当时，，解得，所以；当时，，无解；当时，，解得，所以．综上，不等式的解集是．(2)解：因为，当且仅当时等号成立，若，不等式恒成立，只需．当时，，解得；当时，，此时满足条件的a不存在．综上，实数a的取值范围是．运动达人参与者合计男员工12040160女员工8040120合计20080280