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2022届贵州省贵阳第一中学5月高三高考适应性月考卷（八）数学（文）试题含解析
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贵阳第一中学2022届5月高三高考适应性月考卷（八）数学（文）试题一、单选题1．已知集合则集合的元素个数为（ ）A．6 B．7 C．8 D．92．已知复数：满足（为虚数单位），则（ ）A． B． C． D．3．已知数列是等差数列，数列是等比数列，若则的值是（ ）A． B．1 C．2 D．44．若则（ ）A． B． C． D．5．在正方体中，M为的中点，则直线CM为出所成的角为（ ）A． B． C． D．6．顺丰货运公司接到甲､乙两批货品准备运往疫情地区，基本数据如下表：顺丰快递员小王接受派送任务；小王的送货车载货的最大容积为350立方分米，最大载重量为250千克，小王一次送货可获得的最大工资额为（ ）A．150元 B．170元 C．180元 D．200元7．已知圆和直线，则圆心C到直线l的最大距离为（ ）A．1 B．2 C．3 D．8．如图是函数的图像的一部分，则要得到该函数的图像，只需要将函数的图像（ ）A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度9．过抛物线的焦点F的直线l与抛物线C交于点A，B，若若直线l的斜率为k，则k=（ ）A． B． C．或 D．或10．已知函数是偶函数，且函数的图象关于点（1，0）对称，当时，则（ ）A． B． C．0 D．211．已知双曲线的左､右焦点分别为过左焦点作斜率为2的直线与双曲线交于A，B两点，P是AB的中点，O为坐标原点，若直线OP的斜率为，则b的值是（ ）A．2 B． C． D．12．已知奇函数的导函数为，且在上恒有成立，则下列不等式成立的（ ）A． B．C． D．二、填空题13．已知向量若则__________.14．已知圆锥的底面圆心到某条母线的距离为1，则该圆锥母线的长度取最小值时，该圆锥的体积为________.15．已知函数则方程的根___________.16．设数列前n项和为，若，，则___________.三、解答题17．“十四五”规划纲要提出，全面推动长江经济带发展，协同推动生态环境保护和经济发展长江水资源约占全国总量的36%，长江流域河湖､水库､湿地面积约占全国的20%，珍稀濒危植物占全国的39.7%，淡水鱼类占全国的33%.长江经济带在我国生态文明建设中占据重要位置.长江流域某地区经过治理，生态系统得到很大改善，水生动物数量有所增加.为调查该地区某种水生动物的数量，将其分成面积相近的100个水域，从这些水域中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据其中和分别表示第i个样区的水草覆盖面积（单位：公顷）和这种水生动物的数量，并计算得，(1)求该地区这种水生动物数量的估计值（这种水生动物数量的估计值等于样区这种水生动物数量的平均数乘以地块数）；(2)求样本的相关系数（精确到0.01）；(3)根据现有统计资料，各地块间水草覆盖面积差异很大.为提高样本的代表性以获得该地区这种水生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由.附：相关系数18．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值及三角形ABC的面积；若问题中的三角形不存在，请说明理由.问题：是否存在它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且___________？注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.19．如图，M，N分别在x轴､y轴上运动，点P满足点P的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)直线与曲线C交于A，B两点，C，D在曲线C上，，求四边形ACBD面积的最大值.20．如图，四棱锥中，平面.M是CD中点，N是PB上一点.(1)若求三棱锥的体积；(2)是否存在点N,使得平面,若存在求PN的长；若不存在，请说明理由.21．已知函数(1)讨论的单调性；(2)当有三个零点时a的取值范围恰好是求b的值.22．在直角坐标系xOy中，已知直线l过点倾斜角为且(1)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求点M关于曲线R）的对称点的极坐标；(2)已知点A，B分别是直线l与x，y轴的交点，求的最小值.23．已知函数(1)求不等式的解集；(2)若正数a，b满足求证： 体积（立方分米/件）重量（千克/件）快递员工资（元/件）甲批货品20108乙批货品102010参考答案：1．B【解析】【分析】化简集合，由条件确定的元素及其个数.【详解】由解得，所以.又所以，共有7个元素，故选：B.2．A【解析】【分析】根据复数的除法运算与共轭复数的定义求解即可【详解】故选：A3．B【解析】【分析】由等差中项及等比中项的性质求解即可.【详解】由等差中项的性质可得，由等比中项的性质可得，因此，.故选：B.4．B【解析】【分析】利用诱导公式计算可得；【详解】解：因为，所以，故选：B.5．D【解析】【分析】，所求角为，利用几何体性质，解即可【详解】设正方体棱长为1，连接与所成角即是与所成角，，为，故选：D6．B【解析】【分析】由已知列出约束条件及目标函数，再作可行域利用目标函数的几何意义求其最大值.【详解】设一次派送甲种货品件､乙种货品件，则满足即小王派送完毕获得的工资元，画出可行域（如图阴影部分），由解得以目标函数在点处取得最大值，故元.所以小王一次送货可获得的最大工资额为170元，故选：B.7．A【解析】【分析】根据直线方程确定所过的定点，再由定点与圆心的距离即可得圆心C到直线l的最大距离.【详解】由直线l得：，则直线l恒过定点，由圆，则圆心，故圆心C到直线l的最大距离.故选：A8．A【解析】【分析】先由图像求得，再由辅助角公式化简，最后由三角函数的平移变换即可求解.【详解】由题图知：，又，，解得，又，将向左平移得.故选：A.9．C【解析】【分析】由条件结合抛物线的定义，解三角形求直线l的斜率.【详解】当在轴上方时，过分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为，过作于，设，则，所以，所以，同理可得当在轴下方时，的值为，故选：C.10．B【解析】【分析】由条件确定函数的周期，根据条件及周期的性质求.【详解】根据题意，函数是偶函数，则函数的对称轴为，则有，又由函数的图象关于点成中心对称，则，则有，即，变形可得，则函数是周期为8的周期函数，，故选：B.11．D【解析】【分析】利用点差法设、，作差即可得到，再根据斜率公式，从而得到，即可得解；【详解】解：设、，则，，两式相减可得，为线段的中点，，，，又，， ，即，，故选：D.12．B【解析】【分析】构造函数，由得，即，即可得到单调性，再结合的奇偶性，即可对选项进行判断【详解】构造函数，由在上恒有成立，即在上为增函数，又由为偶函数，，故A错误.偶函数在上为增函数，在上为减函数，，故B正确；，，故C错误；，，故D错误.故选：B13．##1.5【解析】【分析】由向量的垂直的坐标表示求，再计算即可.【详解】由，，得，则，所以所以.故答案为：.14．【解析】【分析】先根据等面积得母线的长度与底面半径与高关系，再根据基本不等式求长度取最小值，进而确定底面半径与高的值，最后根据圆锥的体积求结果.【详解】设圆锥的母线为，半底面径为，高为，则当且仅当时，取最小值因此圆锥的体积为，故答案为：【点睛】本题考查圆锥的体积公式、利用基本不等式求最值，考查基本求解能力，属基础题.15．或2##2或-1【解析】【分析】利用导数判断函数在上的单调性，结合零点存在性定理确定在上的解，再求方程的正根即可.【详解】当时，，所以，令，得，当时，，当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以，故当时，有唯一根，当时，，令，解得（舍去）或2，故当时，的根为2，综上，根为或2.故答案为：或2.16．【解析】【分析】根据得到，即可得到，从而求出的通项公式，最后根据等差数列求和公式计算可得；【详解】解：当时，，，整理可得，，数列是以1为首项，2为公差的等差数列，，.故答案为：17．(1)(2)(3)采用分层抽样的方法，理由见解析【解析】【分析】（1）根据该地区这种水生动物数量的估计值的计算方法求解即可；（2）根据相关系数的公式求解即可；（3）根据（2）中的结论各样区的这种水生动物的数量与水草覆盖面积有很强的正相关性考虑即可(1)样区水生动物平均数为，地块数为100，该地区这种水生动物的估计值为.(2)样本的相关系数为(3)由（2）知各样区的这种水生动物的数量与水草覆盖面积有很强的正相关性，由于各地块间水草覆盖面积差异很大，从而各地块间这种野生动物的数量差异很大，所以采用分层抽样的方法较好地保持了样本结构与总体结构得以执行，提高了样本的代表性，从而可以获得该地区这种水生动物数量更准确的估计.18．答案见解析【解析】【分析】先由正弦定理及题设求得，若选①，由余弦定理得关于的方程，方程无解，则三角形不存在；若选②，由余弦定理解出c的值，由面积公式计算三角形ABC的面积即可；若选③，先由正弦定理求得，再由余弦定理解出c的值，由面积公式计算三角形ABC的面积即可.【详解】，由正弦定理得，，则，，，，若选①，，所以由余弦定理，即，即.，所以方程没有实数根，所以问题中的三角形不存在.若选②，所以由余弦定理，即，即，（负值舍去），.若选③，，所以由正弦定理，，又余弦定理，则，，19．(1)(2)【解析】【分析】(1)设，根据曲线方程的定义求其轨迹方程；(2)联立方程组求，由条件表示四边形ACBD面积并求其最值.(1)设由已知，即，又，即，所以曲线C的方程为；(2)设，则，，，设的方程为，当时，，此时.四边形ACBD面积的最大值为.【点睛】直线与椭圆的综合问题的解决经常需使用设而不求法.20．(1)；(2)存在，.【解析】【分析】（1）证得点到平面的距离是，进而可求出结果；（2）证得，进而可证出平面，从而可求出PN的长.(1)，由面面且交线是，又，面，所以平面，又MD，点到平面的距离是，又，则，三棱锥的体积.(2)存在.，连接并延长至于交于点，，在中：，在中：在上取点，使得，而，则，又平面，平面，平面，在中，，.21．(1)答案见解析(2)【解析】【分析】(1)求函数的导函数，讨论，并解不等式，可得函数的单调区间；(2)由(1)结合零点存在性定理可求.(1)的定义域为，若，则， 在单调递增，单调递减，若，则或，，在单调递增，单调递减，单调递增，若，则或，在单调递减，单调递增，单调递减.(2)可知要有三个零点，则，且由题意也即是的解集就是，也就是关于的不等式的解集就是，令，时，所以有或，当时，，的解是，满足条件，当时，，当时，，不满足条件，故，综合上述.【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．22．(1)(2)【解析】【分析】（1）结合对称性即可直接写出结果；（2）设出直线的参数方程，进而可得然后结合三角函数的图像与性质即可求出结果.(1)点的极坐标为，曲线是过极点且倾斜角为的直线，所以可得点关于曲线的对称点的极坐标为.(2)直线的参数方程为（为参数），设点对应的参数分别为，因为点分别是直线与轴的交点，所有，当时，.23．(1)(2)证明见解析【解析】【分析】（1）分类讨论去绝对值求解即可；（2）先根据基本不等式证明，再利用绝对值的三角不等式证明即可(1)不等式即为，等价为或或解得或或，综上可得，原不等式的解集为.(2)证明：，即，当且仅当即时取等号，当且仅当，即时取等号，当且仅当时取等号，
贵阳第一中学2022届5月高三高考适应性月考卷（八）数学（文）试题一、单选题1．已知集合则集合的元素个数为（ ）A．6 B．7 C．8 D．92．已知复数：满足（为虚数单位），则（ ）A． B． C． D．3．已知数列是等差数列，数列是等比数列，若则的值是（ ）A． B．1 C．2 D．44．若则（ ）A． B． C． D．5．在正方体中，M为的中点，则直线CM为出所成的角为（ ）A． B． C． D．6．顺丰货运公司接到甲､乙两批货品准备运往疫情地区，基本数据如下表：顺丰快递员小王接受派送任务；小王的送货车载货的最大容积为350立方分米，最大载重量为250千克，小王一次送货可获得的最大工资额为（ ）A．150元 B．170元 C．180元 D．200元7．已知圆和直线，则圆心C到直线l的最大距离为（ ）A．1 B．2 C．3 D．8．如图是函数的图像的一部分，则要得到该函数的图像，只需要将函数的图像（ ）A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度9．过抛物线的焦点F的直线l与抛物线C交于点A，B，若若直线l的斜率为k，则k=（ ）A． B． C．或 D．或10．已知函数是偶函数，且函数的图象关于点（1，0）对称，当时，则（ ）A． B． C．0 D．211．已知双曲线的左､右焦点分别为过左焦点作斜率为2的直线与双曲线交于A，B两点，P是AB的中点，O为坐标原点，若直线OP的斜率为，则b的值是（ ）A．2 B． C． D．12．已知奇函数的导函数为，且在上恒有成立，则下列不等式成立的（ ）A． B．C． D．二、填空题13．已知向量若则__________.14．已知圆锥的底面圆心到某条母线的距离为1，则该圆锥母线的长度取最小值时，该圆锥的体积为________.15．已知函数则方程的根___________.16．设数列前n项和为，若，，则___________.三、解答题17．“十四五”规划纲要提出，全面推动长江经济带发展，协同推动生态环境保护和经济发展长江水资源约占全国总量的36%，长江流域河湖､水库､湿地面积约占全国的20%，珍稀濒危植物占全国的39.7%，淡水鱼类占全国的33%.长江经济带在我国生态文明建设中占据重要位置.长江流域某地区经过治理，生态系统得到很大改善，水生动物数量有所增加.为调查该地区某种水生动物的数量，将其分成面积相近的100个水域，从这些水域中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据其中和分别表示第i个样区的水草覆盖面积（单位：公顷）和这种水生动物的数量，并计算得，(1)求该地区这种水生动物数量的估计值（这种水生动物数量的估计值等于样区这种水生动物数量的平均数乘以地块数）；(2)求样本的相关系数（精确到0.01）；(3)根据现有统计资料，各地块间水草覆盖面积差异很大.为提高样本的代表性以获得该地区这种水生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由.附：相关系数18．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值及三角形ABC的面积；若问题中的三角形不存在，请说明理由.问题：是否存在它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且___________？注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.19．如图，M，N分别在x轴､y轴上运动，点P满足点P的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)直线与曲线C交于A，B两点，C，D在曲线C上，，求四边形ACBD面积的最大值.20．如图，四棱锥中，平面.M是CD中点，N是PB上一点.(1)若求三棱锥的体积；(2)是否存在点N,使得平面,若存在求PN的长；若不存在，请说明理由.21．已知函数(1)讨论的单调性；(2)当有三个零点时a的取值范围恰好是求b的值.22．在直角坐标系xOy中，已知直线l过点倾斜角为且(1)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求点M关于曲线R）的对称点的极坐标；(2)已知点A，B分别是直线l与x，y轴的交点，求的最小值.23．已知函数(1)求不等式的解集；(2)若正数a，b满足求证： 体积（立方分米/件）重量（千克/件）快递员工资（元/件）甲批货品20108乙批货品102010参考答案：1．B【解析】【分析】化简集合，由条件确定的元素及其个数.【详解】由解得，所以.又所以，共有7个元素，故选：B.2．A【解析】【分析】根据复数的除法运算与共轭复数的定义求解即可【详解】故选：A3．B【解析】【分析】由等差中项及等比中项的性质求解即可.【详解】由等差中项的性质可得，由等比中项的性质可得，因此，.故选：B.4．B【解析】【分析】利用诱导公式计算可得；【详解】解：因为，所以，故选：B.5．D【解析】【分析】，所求角为，利用几何体性质，解即可【详解】设正方体棱长为1，连接与所成角即是与所成角，，为，故选：D6．B【解析】【分析】由已知列出约束条件及目标函数，再作可行域利用目标函数的几何意义求其最大值.【详解】设一次派送甲种货品件､乙种货品件，则满足即小王派送完毕获得的工资元，画出可行域（如图阴影部分），由解得以目标函数在点处取得最大值，故元.所以小王一次送货可获得的最大工资额为170元，故选：B.7．A【解析】【分析】根据直线方程确定所过的定点，再由定点与圆心的距离即可得圆心C到直线l的最大距离.【详解】由直线l得：，则直线l恒过定点，由圆，则圆心，故圆心C到直线l的最大距离.故选：A8．A【解析】【分析】先由图像求得，再由辅助角公式化简，最后由三角函数的平移变换即可求解.【详解】由题图知：，又，，解得，又，将向左平移得.故选：A.9．C【解析】【分析】由条件结合抛物线的定义，解三角形求直线l的斜率.【详解】当在轴上方时，过分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为，过作于，设，则，所以，所以，同理可得当在轴下方时，的值为，故选：C.10．B【解析】【分析】由条件确定函数的周期，根据条件及周期的性质求.【详解】根据题意，函数是偶函数，则函数的对称轴为，则有，又由函数的图象关于点成中心对称，则，则有，即，变形可得，则函数是周期为8的周期函数，，故选：B.11．D【解析】【分析】利用点差法设、，作差即可得到，再根据斜率公式，从而得到，即可得解；【详解】解：设、，则，，两式相减可得，为线段的中点，，，，又，， ，即，，故选：D.12．B【解析】【分析】构造函数，由得，即，即可得到单调性，再结合的奇偶性，即可对选项进行判断【详解】构造函数，由在上恒有成立，即在上为增函数，又由为偶函数，，故A错误.偶函数在上为增函数，在上为减函数，，故B正确；，，故C错误；，，故D错误.故选：B13．##1.5【解析】【分析】由向量的垂直的坐标表示求，再计算即可.【详解】由，，得，则，所以所以.故答案为：.14．【解析】【分析】先根据等面积得母线的长度与底面半径与高关系，再根据基本不等式求长度取最小值，进而确定底面半径与高的值，最后根据圆锥的体积求结果.【详解】设圆锥的母线为，半底面径为，高为，则当且仅当时，取最小值因此圆锥的体积为，故答案为：【点睛】本题考查圆锥的体积公式、利用基本不等式求最值，考查基本求解能力，属基础题.15．或2##2或-1【解析】【分析】利用导数判断函数在上的单调性，结合零点存在性定理确定在上的解，再求方程的正根即可.【详解】当时，，所以，令，得，当时，，当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以，故当时，有唯一根，当时，，令，解得（舍去）或2，故当时，的根为2，综上，根为或2.故答案为：或2.16．【解析】【分析】根据得到，即可得到，从而求出的通项公式，最后根据等差数列求和公式计算可得；【详解】解：当时，，，整理可得，，数列是以1为首项，2为公差的等差数列，，.故答案为：17．(1)(2)(3)采用分层抽样的方法，理由见解析【解析】【分析】（1）根据该地区这种水生动物数量的估计值的计算方法求解即可；（2）根据相关系数的公式求解即可；（3）根据（2）中的结论各样区的这种水生动物的数量与水草覆盖面积有很强的正相关性考虑即可(1)样区水生动物平均数为，地块数为100，该地区这种水生动物的估计值为.(2)样本的相关系数为(3)由（2）知各样区的这种水生动物的数量与水草覆盖面积有很强的正相关性，由于各地块间水草覆盖面积差异很大，从而各地块间这种野生动物的数量差异很大，所以采用分层抽样的方法较好地保持了样本结构与总体结构得以执行，提高了样本的代表性，从而可以获得该地区这种水生动物数量更准确的估计.18．答案见解析【解析】【分析】先由正弦定理及题设求得，若选①，由余弦定理得关于的方程，方程无解，则三角形不存在；若选②，由余弦定理解出c的值，由面积公式计算三角形ABC的面积即可；若选③，先由正弦定理求得，再由余弦定理解出c的值，由面积公式计算三角形ABC的面积即可.【详解】，由正弦定理得，，则，，，，若选①，，所以由余弦定理，即，即.，所以方程没有实数根，所以问题中的三角形不存在.若选②，所以由余弦定理，即，即，（负值舍去），.若选③，，所以由正弦定理，，又余弦定理，则，，19．(1)(2)【解析】【分析】(1)设，根据曲线方程的定义求其轨迹方程；(2)联立方程组求，由条件表示四边形ACBD面积并求其最值.(1)设由已知，即，又，即，所以曲线C的方程为；(2)设，则，，，设的方程为，当时，，此时.四边形ACBD面积的最大值为.【点睛】直线与椭圆的综合问题的解决经常需使用设而不求法.20．(1)；(2)存在，.【解析】【分析】（1）证得点到平面的距离是，进而可求出结果；（2）证得，进而可证出平面，从而可求出PN的长.(1)，由面面且交线是，又，面，所以平面，又MD，点到平面的距离是，又，则，三棱锥的体积.(2)存在.，连接并延长至于交于点，，在中：，在中：在上取点，使得，而，则，又平面，平面，平面，在中，，.21．(1)答案见解析(2)【解析】【分析】(1)求函数的导函数，讨论，并解不等式，可得函数的单调区间；(2)由(1)结合零点存在性定理可求.(1)的定义域为，若，则， 在单调递增，单调递减，若，则或，，在单调递增，单调递减，单调递增，若，则或，在单调递减，单调递增，单调递减.(2)可知要有三个零点，则，且由题意也即是的解集就是，也就是关于的不等式的解集就是，令，时，所以有或，当时，，的解是，满足条件，当时，，当时，，不满足条件，故，综合上述.【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．22．(1)(2)【解析】【分析】（1）结合对称性即可直接写出结果；（2）设出直线的参数方程，进而可得然后结合三角函数的图像与性质即可求出结果.(1)点的极坐标为，曲线是过极点且倾斜角为的直线，所以可得点关于曲线的对称点的极坐标为.(2)直线的参数方程为（为参数），设点对应的参数分别为，因为点分别是直线与轴的交点，所有，当时，.23．(1)(2)证明见解析【解析】【分析】（1）分类讨论去绝对值求解即可；（2）先根据基本不等式证明，再利用绝对值的三角不等式证明即可(1)不等式即为，等价为或或解得或或，综上可得，原不等式的解集为.(2)证明：，即，当且仅当即时取等号，当且仅当，即时取等号，当且仅当时取等号，
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