2022届河北省部分名校高三下学期5月联合模拟数学试题含解析

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2022届河北省部分名校高三下学期5月联合模拟数学试题一、单选题1．已知集合中所含元素的个数为（       ）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】C【分析】根据题意利用列举法写出集合，即可得出答案.【详解】解：因为，所以中含6个元素．故选：C.2．已知函数，则“”是“”的（       ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】求出的解集，根据与解集的关系即可求解.【详解】由，可得或，因为是的真子集，所以“”是“”的充分不必要条件．故选：A3．设偶函数在上单调递增，且，则不等式的解集是（       ）A． B．C． D．【答案】D【分析】由函数为偶函数化简不等式，再由函数的单调性列出不等式组求解即可.【详解】因为是偶函数，所以等价于．又在上单调递增，所以在上单调递减．由，得或又，解得或．故选：D4．已知是正方体的棱的中点，则异面直线和所成角的余弦值为（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】通过作辅助线，找到是和所成的角或其补角．然后利用余弦定理即可求得答案.【详解】如图，设是棱的中点，连接，由是棱的中点，故 ,则,故四边形为平行四边形，故，所以是和所成的角或其补角．设该正方体的棱长为2，则，所以,故异面直线和所成角的余弦值为，故选：A5．已知椭圆为其左焦点，过点且垂直于轴的直线与椭圆的一个交点为，若（为原点），则椭圆的长轴长等于（       ）A．6 B．12 C． D．【答案】C【分析】结合椭圆的几何性质求出，由条件列方程求出，由此可求长轴长.【详解】因为椭圆的左焦点为，所以，又垂直于轴，在椭圆上，故可设，所以，又，所以，又所以．，解得从而，故选：C.6．函数，若存在，使得，则实数的取值范围为（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意，将问题转化为求解函数的最大值问题，先通过导数方法求出函数的最大值，进而求出答案.【详解】因为，所以．由题意，只需．当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，故实数的取值范围为．故选：D.7．月23日，以“和合共生”为主题的2021世界移动通信大会在上海召开，中国规模商用实现了快速发展．为了更好地宣传，某移动通信公司安排五名工作人员到甲､乙､丙三个社区开展宣传活动，每人只能去一个社区且每个社区至少安排一人，则不同的安排方法种数为（       ）A．180 B．150 C．120 D．80【答案】B【分析】由条件求出所有满足条件的分堆方法数，再结合分步乘法计数原理求出安排方法的总数.【详解】先将五名工作人员分成三组，有两种情况，分别为“”和“”，所以共有种不同的分法，再将这三组分给甲､乙､丙三个社区开展宣传活动，则不同的安排方法种数为，故选：B.8．北京年冬奥会开幕式用“一朵雨花”的故事连接中国与世界，传递了“人类命运共同体”的理念．“雪花曲线”也叫“科赫雪花”，它是由等边三角形三边生成的科赫曲线组成的，是一种分形几何．图1是长度为的线段，将图1中的线段三等分，以中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉得到图2，这称为“一次分形”；用同样的方法把图2中的每条线段重复上述操作，得到图3，这称为“二次分形”；．依次进行“次分形”．规定：一个分形图中所有线段的长度之和为该分形图的长度．若要得到一个长度不小于的分形图，则的最小值是（       ）（参考数据，）A． B． C． D．【答案】C【分析】分析可知“次分形”后线段的长度为，可得出关于的不等式，解出的取值范围即可得解.【详解】图1的线段长度为，图2的线段长度为，图3的线段长度为，，“次分形”后线段的长度为，所以要得到一个长度不小于的分形图，只需满足，则，即，解得，所以至少需要次分形．故选：C.二、多选题9．若复数满足，则（       ）A．的实部为2 B．的模为C．的虚部为2 D．在复平面内表示的点位于第四象限【答案】AB【分析】化简复数后根据实部、虚部的概念可判断选项A、C，求出复数的模，可判断选项B，根据复数的几何意义可判断选项D.【详解】因为，所以的实部为2，的虚部为3，所以，在复平面内表示的点位于第一象限故A、B正确，C，D错误．故选：AB10．新冠疫情严重，全国多地暂停了线下教学，实行了线上教学，经过了一段时间的学习，为了堤高学生的学习积极性和检测教学成果，某校计划对疫情期间学成绩优秀的同学进行大力表彰．对本校100名学生的成绩（满分：100分）按分成6组，得到如图所示的频率分布直方图，根据此频率分布直方图，用样本估计总体，则下列结论正确的是（       ）A．若本次测试成绩不低于80分为优秀，则这100人中成绩为优秀的学生人数为10B．该校疫情期间学习成绩在70分到80分的人数最多C．该校疫情期间学生成绩的平均得分超过70分（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）D．该校疫情期间约有的人得分低于60分或不低于90分【答案】BC【分析】根据频率分布直方图逐项求解判断.【详解】因为，所以错误；由频率分布直方图知该校疫情期间学习成绩在70分到80分所对应的频率最大，B正确；因为，所以C正确；因为，所以D错误．故选；BC11．定义：不等式的解集为，若中只有唯一整数，则称为“和谐解集”．若关于的不等式在上存在“和谐解集”，则实数的可能取值为（       ）A． B． C． D．【答案】CD【分析】根据定义解不等式，然后验证哪些选项符合要求.【详解】本题考查新定义与三角函数，考查推理论证能力与直观想象的核心素养．不等式可化为．由函数的图像，可知只有一个整数解，这唯一整数解只能是，因为点是图像上的点，所以．因为，，，.故选：CD.12．如图，在长方形中，为的中点，将沿向上翻折到的位置，连接，在翻折的过程中，以下结论正确的是（       ）A．四棱锥体积的最大值为B．的中点的轨迹长度为C．与平面所成的角相等D．三棱锥外接球的表面积有最小值【答案】ACD【分析】对于A，当平面平面时，四棱锥的体积取得最大值，再计算可判断；对于B，通过的中点的轨迹来判断的中点的轨迹的情况；对于C，利用线面角的知识可判断；对于D，分别从外接球的半径及球心可求解.【详解】对于，易知梯形的面积为，直角斜边上的高为．当平面平面时，四棱锥的体积取得最大值正确．对于，取的中点，连接，则平行且相等，四边形是平行四边形，所以点的轨迹与点的轨迹形状完全相同．过作的垂线，垂足为的轨迹是以为圆心，为半径的半圆弧，从而的中点的轨迹长度为错误．对于，由四边形是平行四边形，知，则平面，则，到平面的距离相等，故与平面所成角的正弦值之比为，C正确．对于外接圆的半径为为的中点，直角外接圆的半径为为的中点，是圆与圆的公共弦，．设三棱锥外接球的球心为，半径为，则．因为，所以，所以球表面积的最小值为正确．故选：ACD三、填空题13．若向量满足，则与的夹角为__________．【答案】【分析】求得向量的模，求出向量的数量积，根据向量的夹角公司求得答案.【详解】设与的夹角为，由题意可知，所以，故，故答案为：14．已知，函数在上的最小值为1，则__________．【答案】1【分析】求函数的导数，讨论a的范围，判断函数的单调性，确定函数的最小值，令其等于1，即可求得答案.【详解】由题意得，当，即时，，在上递增，故，解得；当，即时，当 时，，递减，当 时，，递增，故，解得，不符合，舍去，综上，.故答案为：115．已知圆，直线过点且与圆交于两点，若为线段的中点，为坐标原点，则的面积为__________．【答案】6【分析】根据题意可得直线的方程为，根据垂径定理可求，再求点到直线的距离，计算面积．【详解】由已知点，所以．因为为线段的中点，所以，所以，所以直线的方程为，即．设点到直线的距离为，则，所以．设点到直线的距离为，则，则的面积故答案为：6．16．已知分别为双曲线的左､右焦点，过点的直线与双曲线的左､右两支分别交于两点，且，则双曲线的离心率是__________．【答案】【分析】在中，由正弦定理可得，再根据双曲线的定义可求得，设的中点为，根据题意可得,再根据双曲线的定义可求得，在中，利用余弦定理求得的关系，即可得出答案.【详解】解：在中，由，得，因为，所以，又，设的中点为，则，所以，所以，所以,设，则，又，则，解得，所以，所以是正三角形，从而,在中，由，得，所以．故答案为：.四、解答题17．从①，②这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答．问题：如图，在平面四边形中，已知，且__________．(1)求；(2)若，且，求的长．【答案】(1)(2)【分析】（1）若选①，先用正弦定理算出，然后用余弦定理算出，再用正弦定理计算；若选②，先用面积公式算出，然后用余弦定理算出，再用正弦定理计算.（2）先用两角和的正弦公式算出，然后利用正弦定理计算的长.【详解】(1)选①因为，所以，解得，所以，解得．由，得．选②由，得，所以，解得．由，得．(2)由（1）知，又，所以，从而，所以，由，得．18．已知数列和满足．(1)证明：是等比数列，是等差数列；(2)求的通项公式以及的前项和．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据所给递推关系，结合结论提示，变形递推关系，由等比、等差定义证明即可；（2）由（1）求出通项公式，利用分组求和即可得解.【详解】(1)证明：因为，所以，即，所以是公比为的等比数列．将方程左右两边分别相减，得，化简得，所以是公差为2的等差数列．(2)由（1）知，，上式两边相加并化简，得，所以．19．新能源汽车是指除汽油､柴油发动机之外的所有其他能源汽车，被认为能减少空气污染和缓解能源短缺的压力．在当今提倡全球环保的前提下，新能源汽车越来越受到消费者的青睐，新能源汽车产业也将成为末来汽车产业发展的导向与目标．某车企统计了近期购车的车主性别与购车种类的情况，其中购车的男性占近期购车车主总人数的，女性购置新能源汽车人数为所有购车总人数的，男性购置传统燃油汽车人数为所有购车总人数的，现有如下表格：(1)完成上面的的列联表，并判断能否有的把握认为是否购置新能源汽车与性别有关；(2)以样本中购置新能源汽车的频率作为概率，现从全国购车的车主中随机抽取4人，设其中购置新能源汽车的人数为，求的分布列及期望．参考公式及数据：，其中．【答案】(1)填表见解析；有的把握认为是否购置新能源汽车与性别有关(2)分布列见解析；期望为3【分析】（1）由题中的数据可计算出每一个值，然后填表即可，再根据表中的数据计算即可求解问题；（2）由题意，将问题看成是二项分布即可求解问题.【详解】(1)由题中的数据可得列联表如下：所以，所以有的把握认为是否购置新能源汽车与性别有关．(2)（2）由题意及（1）知，购置新能源汽车的概率为的可能取值为．，故的分布列为：所以20．如图，在四棱锥中，已知是等边三角形，为的中点．(1)证明：平面．(2)若，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）分别由等边三角形、等腰三角形得到线线垂直，从而得到线面垂直；（2）建立空间直角坐标系后，计算出平面的法向量和写出平面的一个法向量，再用向量的夹角公式求出二面角的余弦值即可．【详解】(1)证明：取的中点，连接．因为是等边的中线，所以．因为是棱的中点，为的中点，所以，且．因为，所以，且，所以四边形是平行四边形，所以．因为为的中点，所以，从而．又，且、平面，所以平面．(2)由（1）知，又，，且、平面，所以平面，从而平面．以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系E-xyz．因为等边的边长为，所以，．设平面的法向量为，由得令，则，所以．又平面的一个法向量为，所以，即平面与平面所成锐二面角的余弦值为．21．已知抛物线上的点与焦点的距离为9，点到轴的距离为．(1)求抛物线的方程．(2)经过点的直线与抛物线交于两点，为直线上任意一点，证明：直线的斜率成等差数列．【答案】(1)；(2)证明见解析.【分析】(1)由条件结合抛物线的定义列方程求即可；(2)联立方程组，利用设而不求的方法证明即可.【详解】(1)设点，由题意可知，所以，解得．因为，所以．所以抛物线的方程为．(2)设直线的方程为，联立方程组消去得，所以．设，则，又因为，所以，即直线的斜率成等差数列．【点睛】解决直线与抛物线的综合问题的一般方法为设而不求法，要证明直线的斜率成等差数列只需证明即可.22．已知定义在上的函数为自然对数的底数．(1)当时，证明：；(2)若在上存在极值，求实数的取值范围；(3)在（1）的条件下，若恒成立，求实数的取值范围．【答案】(1)证明见解析；(2)；(3).【分析】（1）先对函数求导，进而判断函数的单调性，然后求出函数的最小值即可证明问题；（2）将问题转化为直线与曲线在内有交点（非切点），进而通过导数方法及零点存在定理求得答案；（3）设，进而分类讨论求出函数的最小值，最后求出答案.【详解】(1)当时，，则．当时，，则，所以在上为增函数，从而．(2)因为，所以，由，可得．因为在上存在极值，所以直线与曲线在内有交点（非切点）．令，其中，则在上恒成立，所以在上单调递减，且，结合函数与函数在上的图像可知，当时，直线与曲线在上的图像有交点（非切点），即实数的取值范围为．(3)依题意得在上恒成立．设，其中，则，由（1）知，则．①当时，，此时在上单调递增，故，符合题意；②当时，由（1）知在上为增函数，且.而，于是时，，故存在（唯一），使得，当时，，此时单调递减，当时，，此时单调递增，所以，不符合题意．综上，实数的取值范围为．【点睛】本题第（2）问采取了分参的方法，进而充分结合了函数的图像，需要我们对基本初等函数的图像非常熟悉；第（3）问在找零点时运用了放缩法，非常重要，平常注意总结.购置新能源汽车（辆）购置传统燃油汽车（辆）总计男性60女性总计购置新能源汽车（辆）购置传统燃油汽车（辆）总计男性501060女性251540总计752510001234