2022届福建省三明市第二中学高三上学期阶段2考试数学试题含解析

这是一份2022届福建省三明市第二中学高三上学期阶段2考试数学试题含解析

2022届福建省三明市第二中学高三上学期阶段2考试数学试题一、单选题1．已知集合，则集合中元素之和为（       ）A．1 B．3 C．6 D．10【答案】C【分析】根据题意可得，在根据交集运算，本题注意集合元素．【详解】则集合中元素之和为6故选：C．2．“”是“为真命题”的（       ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】利用恒成立问题求参数的取值范围的方法求出的取值范围，再由充分必要条件的定义进行判断即可.【详解】因为为真命题，又对恒成立，所以为真命题等价于，所以“”不能推出“”，反之，“”能推出“”，所以“”是“为真命题”的必要不充分条件.故选：B【点睛】本题考查利用恒成立问题求参数的取值范围和充分必要条件；考查运算求解能力和逻辑推理能力；熟练掌握恒成立问题求参数的取值范围的方法和充分必要条件的判断是求解本题的关键；属于中档题.3．在边长为1正△中，为中点，则的值等于（       ）A． B．0 C． D．1【答案】A【分析】根据数量积的定义，结合三角形的几何特点，直接求解即可.【详解】根据题意，，故可得；又.故选：.4．已知函数，则不等式的解集为（       ）A． B．C． D．【答案】D【解析】判断出的奇偶性与单调性，然后将不等式转化为，通过单调性变成自变量的比较，从而得到关于的不等式，求得最终结果.【详解】为奇函数，当时，，可知在上单调递增；在上也单调递增，即为上的增函数；由，，解得：或故选：D.【点睛】本题考查利用函数单调性与奇偶性求解函数不等式的问题，解题关键在于将不等式转化为符合单调性定义的形式，利用单调性转变为自变量的比较，属于常考题型.5．已知，，则的最大值为（       ）A．2 B． C． D．【答案】A【分析】根据可得，之后利用基本不等式得到，从而求得结果.【详解】因为，且，所以，即，所以有，当且仅当时取得最大值，故选：A.【点睛】该题考查的是有关应用基本不等式求最值的问题，涉及到的知识点有利用基本不等式求积的最大值，属于简单题目.6．数列1，6，15，28，45，...中的每一项都可用如图所示的六边形表示出来，故称它们为六边形数，那么第10个六边形数为（       ）A．153 B．190 C．231 D．276【答案】B【解析】细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时联系相关知识,如等差数列、等比数列等，结合图形可知，，，，，，，据此即可求解.【详解】由题意知，数列的各项为1，6，15，28，45，...所以，，，，，，所以.故选：B【点睛】本题考查合情推理中的归纳推理；考查逻辑推理能力；观察分析、寻求规律是求解本题的关键；属于中档题、探索型试题.7．已知，则（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用三角函数的诱导公式，化简得，即可求解.【详解】由三角函数的诱导公式，可得.故选：C.8．已知函数，若使得成立，则实数的取值范围是（       ）A． B． C． D．【答案】D【解析】由已知建立方程，反解出，将问题转化为求函数值域问题，然后利用函数的性质求出最值即可求解.【详解】由题意可得：存在实数，使得成立，假设，则，所以有，则，令，则，令，即，解得，令，即，解得，则在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，故选：D.【点睛】关键点睛：本题考查了分段函数的存在性问题，构造函数，利用导函数求最值是解决本题的关键.二、多选题9．下列命题中正确的是（       ）A．非零向量满足，则B．若，则点与在直线的两侧C．命题的否定是D．函数可能是增函数【答案】CD【分析】不妨设均为单位向量，且判断A；根据当点与点均在直线上判断B；根据全称命题的否定判断C；根据时的情况判断D.【详解】解：对于A选项，不妨设均为单位向量，且时，成立，但此时不一定成立，故错误；对于B选项，当点与点均在直线上时，也成立，故错误；对于C选项，命题的否定是，故正确；对于D选项，由于，故当时，，是增函数，故正确.故选：CD10．设是等差数列，为其前项和，且，，则下列结论正确的是（       ）A． B． C． D．、均为的最大值【答案】ABD【分析】利用结论：时，，结合题意易推出，然后逐一分析各选项.【详解】解：由得，即，又∵，，，故B正确；同理由，得，，故A正确；对C，，即，可得，由结论，显然C是错误的；与均为的最大值，故D正确；故选：ABD.【点睛】本题考查了等差数列的前项和公式和的最值问题，熟练应用公式是解题的关键.11．对于函数，，下列说法正确的是（       ）A．对任意的，的最大值为1B．当时，的值域中只有一个元素C．当时，在内只有一个零点D．当时，的值域为【答案】BD【解析】取利用辅助角公式以及正弦函数的性质得出，从而判断A；由平方关系判断B；由得出，结合函数在图象的交点个数判断C；根据二倍角公式化简解析式，再由正弦函数的性质得出值域判断D.【详解】对于A项，当时，，，故A错误；对于B项，，即的值域为，故B正确；对于C项，由，解得，函数在的图象如下图所示由图可知，函数在内有两个交点，即在内有2个零点，故C错误；对于D项，，因为，所以，即的值域为，故D正确；故选：BD【点睛】关键点睛：本题在解决C项时，关键是将函数的零点个数转化为两个函数图象的交点个数问题，从而得出零点个数.12．对于函数，下列正确的是（       ）A．是函数的一个极值点B．的单调增区间是，C．在区间上单调递减D．直线与函数的图象有个交点【答案】AC【分析】对函数求导，判断函数的单调性，极值点，进而可判断每个选项的对错.【详解】由题意，函数的定义域为，，，得；，得或，所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为，，所以是函数的极小值点，故A正确，B错误，C正确；又因为，且，所以直线与函数函数的图象有个交点，故D错误.故选：AC【点睛】用导数求函数的单调区间或判断函数的单调性问题时应注意如下几方面：(1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域；(2)不能随意将函数的2个独立的单调递增（或递减）区间写成并集形式；(3)利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.三、填空题13．设（i虚数单位），则的最大值为________.【答案】【分析】由复数的四则运算、模长公式结合三角函数的性质得出答案.【详解】故答案为：14．已知曲线在点处的切线平行于直线，则________.【答案】-1【分析】利用复合函数求导法则：，可得，再根据导数的几何意义求解．【详解】则由题意可得：解得故答案为：-1．15．已知，，，则的大小关系为__________ (用“”连接).【答案】【解析】借助对数函数和指数函数的单调性寻求中间量，借助中间量比较大小关系.【详解】解：由得，由得，由得，所以.故答案为：.【点睛】方法点睛：指、对、幂大小比较的常用方法：（1）底数相同，指数不同时，如和，利用指数函数的单调性；（2）指数相同，底数不同，如和利用幂函数单调性比较大小；（3）底数相同，真数不同，如和利用指数函数单调性比较大小；（4）底数、指数、真数都不同，寻找中间变量0，1或者其它能判断大小关系的中间量，借助中间量进行大小关系的判定．四、双空题16．已知函数，那么________；若存在实数a，使得，则a 的个数是_______________．【答案】     1     4【解析】（1）直接代入求值即可；（2）运用换元法，结合函数的图象，分类讨论求出a 的个数.【详解】（1）（2）令，即满足，①t=1，即a=±1时，经检验，均满足题意；②t <1，即 −1 1时，，由，解得t =0或1（舍去）；再由解得a = 0或 2 ；③t > 1，即a < − 1时，，由t= 2−t ，解得 t = 1 （舍去）；综上所述：共有 4 个 a ．【点睛】本题考查了求函数值，考查了方程有解求实数个数问题，考查了分类讨论法、换元法。五、解答题17．已知数列的前项和为，.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由得，可得是等比数列；（2）由（1）可得，利用错位相减法，结合等比数列的求和公式可得数列的前项和.【详解】（1）当时，，当时，即：，数列为以2为公比的等比数列.（2）两式相减，得.【点睛】错位相减法求数列的和是重点也是难点，相减时注意最后一项的符号，最后结果一定不能忘记等式两边同时除以.18．在①，且；②.两个条件中任选一个，补充到下面问题中，并解答.在中，内角的对边分别为，已知(1)求；(2)已知函数，求的最小值.【答案】(1)(2)【分析】（1）若选择①根据向量共线的坐标表示得到，再由正弦定理将边化角，结合诱导公式及二倍角公式计算可得；若选择②根据同角三角函数的基本关系及正弦定理将角化边，再由余弦定理计算可得；（2）由（1）可得，由的取值范围求出的取值范围，再结合余弦函数的性质计算可得；【详解】(1)解：若选择①：因为，且，所以，由正弦定理得，因为，所以，所以，又因为，所以，即.因为，，所以，所以，所以，所以.若选择②：，可得.整理可得，由正弦定理可得，由余弦定理可得，因为，所以.(2)解：由（1）知：，可得函数，因为，所以，可得，所以，所以的最小值为.19．已知函数，其中为自然对数的底数.（参考数据：）(1)讨论的单调性；(2)设，恒成立，求的最大值.【答案】(1)当时， 在上单调递减；当时， 在上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增，在上单调递减．(2)3【分析】（1），讨论的符号可判断的符号；（2）构建，题意可理解为，利用函数解关于的不等式．【详解】(1)由题意得，则，当时，当时恒成立，则在上单调递减；当时，令，得，令，得.函数在上单调递增，在上单调递减；当时，令，得，令，得，函数在上单调递增，在上单调递减；综上所述：当时， 在上单调递减；当时， 在上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增，在上单调递减．(2)设函数，则，令，得，在上单调递减， 在上单调递增；则，要使恒成立，只要恒成立，即令，则当时恒成立∴在上单调递减，又∵，所以满足条件的的最大值为3.20．已知向量，，其中．（1）若，且，求的值；（2）设函数，当时，是否存在整数使得的值域为？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）存在，.【分析】(1)由给定条件求得，进而求出x的三角函数即可计算得解； (2)求出的表示式，再化简函数，然后按a值的正负分别求出函数值域即可作答.【详解】（1）因，则，整理得：，，于是得，而，即，又，从而得，即，所以；（2）由题意，，因，则，因此，，而，则当时，的值域是，又的值域为，于是得，解得，都是整数，符合题意，当时，的值域是，又的值域为，于是得，解得，不全是整数，不合题意，综上，存在整数使得的值域为.21．某普通高中为了解本校高三年级学生数学学习情况，对期末考试数学成绩进行分析，从中抽取了n名学生的成绩作为样本进行统计（该校全体学生的成绩均在[60，150]），按下列分组[60，70），[70，80），[80，90），[90，100），[100，110），[110，120），[120，130），[130，140），[140，150]作出频率分布直方图.如图，样本中分数在[70，90）内的所有数据是：72，75，77，78，81，82，85，88，89.根据往年录取数据划出预录分数线，分数区间与可能被录取院校层次如表.（1）根据样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为概率，若在该校高三年级学生中任取1人，求此人能被专科院校录取的概率；（2）在选取的样本中，从可能录取为自招和专科两个层次的学生中随机抽取3名学生进行调研，用ξ表示所抽取的3名学生中为专科的人数，求随机变量ξ的分布列和数学期望.【答案】（1）；（2）分布列答案见解析，数学期望：2.【分析】（1）由题意可知，分数在[70，80）的学生有4名，分数在[80，90）的学生有5名，再结合频率分布直方图可求出的值，从而可求出，求出分数在[60，80）的人数，进而可求出概率，（2）由题意可得随机变量ξ的所有可能取值为0，1，2，3，然后求出对应的概率，从而可求得随机变量ξ的分布列和数学期望【详解】解：（1）由题意知分数在[70，80）的学生有4名，分数在[80，90）的学生有5名，由题图可知，分数在[70，80）的频率为0.008×10=0.08，则n==50，所以x==0.01，y==0.014，样本中可能被专科院校录取的人数为50×（0.004+0.008）×10=6.抽取的50人中，可能被专科院校录取的频率是，所以从该校高三年级学生中任取1人可能被专科院校录取的概率.（2）选取的样本中可能被专科院校录取的人数为6，可能被自招院校录取的人数为50×（0.012+0.008+0.004）×10=12，随机变量ξ的所有可能取值为0，1，2，3，所以P（ξ=0）===；P（ξ=1）===；P（ξ=3）===；P（ξ=4）===.∴随机变量ξ的分布列为所以E（ξ）=0×+1×+2×+3×=2.22．已知函数，其中.（1）当时，求函数的极值；（2）若，试讨论函数在上的零点个数.【答案】（1）当时，函数取得极大值，当时，函数取得极小值；（2）当时，在上有唯一零点，当时，在上没有零点．【分析】（1）把代入后对函数求导，然后结合导数可求函数的单调性，进而可求极值；（2）先对函数求导，然后结合导数与单调性关系对进行分类讨论，确定导数符号，然后结合导数与函数的性质可求．【详解】（1）当时 ，，，，令得或，得所以函数在上单调递减，在，上单调递增所以当时，函数取得极大值，当时，函数取得极小值，（2），令得或 因为，所以，所以当 ，即时，在上单调递减，若函数有零点，则，解得：，若函数无零点，则，即当时，即时，在上单调递减，在上单调递增，由于，，令，令，则，所以在上递减，，即，所以在上递增， ，即，所以在上没有零点，综上，当时，在上有唯一零点，当时，在上没有零点．【点睛】本题综合考查了导数与函数性质的应用，体现了转化思想与分类讨论思想的应用，属于难题．分数[60，80）[80，120）[120，150）可能被录取院校层次专科本科自招ξ0123P