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2020-2021学年福建省漳州第一中学高二下学期期末考试数学试提含解析
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2020-2021学年福建省漳州第一中学高二下学期期末考试数学试题一、单选题1．若复数满足，则复数的模为（ ）A．2 B．1 C． D．【答案】B【分析】利用复数的乘方、除法运算化简，进而求模.【详解】由，所以，故的模为1.故选：B2．某校高二期末考试学生的数学成绩（满分150分）服从正态分布，且，则（ ）A．0.4 B．0.3 C．0.2 D．0.1【答案】D【解析】本题根据题意直接求在指定区间的概率即可.【详解】解：因为数学成绩服从正态分布，且，所以故选：D.【点睛】本题考查利用正态分布求指定区间的概率，是基础题.3．甲，乙，丙三人报考志愿，有三所高校可供选择，每人限报一所，则每所一学校都有人报考的概率为（ ）A． B． C． D．【答案】D【解析】根据题意，分别求每人报考一所学校的不同选法总数和每一所学校都有人报考的选法数，根据概率公式，计算即可求解.【详解】由题意，每人报考一所学校，不同的选法总数是（种）如果每一所学校都有人报考，不同的选法总数是（种）所以如果每一所学校都有人报考的概率为故选：D【点睛】本题考查利用计数原理计算概率，属于基础题.4．已知函数，则与的大小关系是（ ）A． B． C． D．不能确定【答案】A【分析】由题意首先确定函数的解析式，然后结合解析式整理计算即可求得最终结果.【详解】由函数的解析式可得：，令可得：，则，函数的解析式为：，据此可知：，，据此有：.故选：A.【点睛】求函数的导数应注意：①求导之前利用代数或三角变换先进行化简，减少运算量；②根式形式，先化为分数指数幂，再求导．③复合函数求导先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元处理．5．数独是源自18世纪瑞士的一种数学游戏．如图是数独的一个简化版，由3行3列9个单元格构成．玩该游戏时，需要将数字（各3个）全部填入单元格，每个单元格填一个数字，要求每一行、每一列均有这三个数字，则不同的填法有（ ）A．12种 B．24种C．72种 D．216种【答案】A【分析】分步填数，先填第一行三个数字，第二步填第二行的第一个数，第三步其它格子中的数字填法唯一，由分步计数原理可得．【详解】先填第一行，有种不同填法，再填第二行第一列，有2种不同填法，当该单元格填好后，其它单元格唯一确定．根据分步乘法计数原理，共有种不同的填法．故选：A．【点睛】本题考查计数原理等基础知识；考查运算求解能力、应用意识；考查数学抽象、数学建模、逻辑推理等核心素养，体现综合性和应用性．6．已知函数，是函数的导函数，则的图像大致是（ ）A． B．C． D．【答案】C【分析】求导得到，根据奇偶性排除BD，特殊值计算排除A得到答案.【详解】，则，则函数为奇函数，排除BD；，排除A；故选：C.7．已知分别为椭圆的左右顶点，椭圆上异于的点恒满足，则椭圆的离心率为（ ）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：因为分别为椭圆的左右顶点，椭圆上异于的点恒满足既可以解得为D8．函数的定义域是，，对任意，，则不等式的解集为（ ）A． B．C．或 D．或【答案】A【分析】构造函数，结合已知条件可得恒成立，可得为上的减函数，再由，从而将不等式转换为，根据单调性即可求解.【详解】构造函数，因为，所以为上的增函数．又因为，所以原不等式转化为，即，解得.所以原不等式的解集为，故选：A.9．下列说法正确的是（ ）A．在统计学中，回归分析是检验两个分类变量是否有关系的一种统计方法B．线性回归方程对应的直线至少经过其样本数据点中的，，一个点C．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高D．在回归分析中，相关指数为的模型比相关指数为的模型拟合的效果差【答案】C【详解】分析：首先对每个选项一一进行分析，需要明确独立性检验是检验两个分类变量是否有关系的一种统计方法，回归直线可能不过任何一个样本数据点，残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模拟精度越高，相关指数越大，拟合效果越好的结论，就可以正确选出结果.详解：对于A，统计学中，独立性检验是检验两个分类变量是否有关系的一种统计方法，所以A错；对于B，线性回归方程对应的直线可能不过任何一个样本数据点，所以B错误；对于C，残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高，所以C正确；对于D，回归分析中，相关指数为的模型比相关指数为的模型拟合的效果好，所以D错误.故选C.点睛：根据概率统计中变量间的相关关系，线性回归方程以及残差图与相关指数的概念，对选项中的命题进行分析、判断正误即可.二、多选题10．关于的展开式，则（ ）A．所有项的二项式系数和为128B．所有项系数和为1C．常数项为70D．二项式系数最大的项为第4项【答案】BD【分析】写出展开式的通项，二项式中，令即可得出常数项，令，得到各项系数和，二项式系数和为，即可判断；【详解】二项式展开式的通项为令，解得，则常数项为，故C不正确；且二项式系数最大的项为第4项，故D正确；二项式系数和；令，得所有项的系数和为1，故A错误，B正确；故选：BD11．甲罐中有4个红球，3个白球和3个黑球；乙罐中有5个红球，3个白球和2个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以，和表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以表示由乙罐取出的球是红球的事件，下列的结论：其中正确结论的为（ ）A． B．C．事件与事件不相互独立 D．，，是两两互斥的事件【答案】BCD【解析】根据古典概型概率计算公式及事件的相关概念，逐一分析四个选项的真假，可得答案．【详解】解：甲罐中有4个红球，3个白球和3个黑球；乙罐中有5个红球，3个白球和2个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以、和表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以表示由乙罐取出的球是红球的事件，对A，，故A错误；对B，，故B正确；对C，当发生时，，当不发生时，，事件与事件不相互独立，故C正确；对D，，，不可能同时发生，故是两两互斥的事件，故D正确；故选：BCD．【点睛】本题考查概率的基本概念及条件概率，互斥事件概率加法公式，考查运算求解能力.12．已知函数，，则（ ）A．在上为增函数B．当时，方程有且只有3个不同实根C．的值域为D．若，则【答案】BCD【分析】根据函数解析式作出函数图象，判断函数单调性及值域；根据导数求方程的根的个数；数形结合求得成立时，参数范围；【详解】根据函数解析式作出函数图象，由图象易知，在上不是增函数，故A错误；当时，，则，过定点，当时，与在上相交，共2个交点；当时，，过点作的切线，设切点为，则，，解得，，故当时，与在处相切，有1个交点；故当时，与共有3个交点，故B正确；由图易知，故C正确；当时，等价于，由函数图象，及上述分析知，；当时，等价于，由函数图象，及上述分析知，；故若，，故D正确；故选：BCD三、填空题13．2020年初，湖北成为全国新冠疫情最严重的省份，面临医务人员不足和医疗物资紧缺等诸多困难，全国人民心系湖北，志愿者纷纷驰援若将4名医生志愿者分配到两家医院（每人去一家医院，每家医院至少去1人），则共有__________种分配方案.【答案】14【分析】根据题意先将4名医生分成2组，再分配的两家医院即可求得分配方案的种数，分组时有和两种分组方法，同时注意是平均分组问题.【详解】由题先将4名医生分成2组，有种，再分配的两家医院有种.故答案为：14【点睛】本题考查了排列组组合的综合应用，考查了先选再排的技巧，分组时要注意分类讨论，还有要特别注意平均分组问题的计数方法.14．过双曲线的左焦点作一条直线交双曲线左支于，两点，若，是双曲线的右焦点，则的周长是___________.【答案】24【分析】利用双曲线的定义求焦点三角形的周长即可.【详解】由双曲线定义知：，所以，，而，故，故的周长为.故答案为：2415．已知函数关于的不等式只有一个整数解，则实数的取值范围是_____【答案】【分析】由，利用导数研究其单调性、极值，可得函数的图象如图，对分类讨论，分别利用一元二次不等式的解法，结合函数图象判断出不等式的整数解，即可得结果.【详解】由，令，解得，令，解得，的递增区间为，递减区间为，故的最大值是，时，时，且，故在时，，在时，，函数的图象如图，①时，由不等式得或，而时无整数解，的解集为，整数解有无数多个，不合题意；②时，由不等式得解集为，整数解有无数多个，不合题意；③时，由不等式，得或，的解集为无整数解，只需的解集整数解只有一个， 且在上递增，在递减，而，这一正整数只能为3， ，，综上所述，的取值范围是，故答案为.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性与极值、不等式的整数解、数形结合思想的应用，属于难题. 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决选择题、填空题是发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是运用这种方法的关键是正确作出函数图象以及熟练掌握函数图象的几种变换，充分利用数形结合的思想方法能够使问题化难为简，并迎刃而解.四、双空题16．已知随机变量的分布列如表，且，则___________，___________.【答案】 【分析】根据分布列的性质求出，即可求出，再根据方差的性质求出；【详解】解：依题意，，，故答案为：；4．五、解答题17．已知动点与平面上点，的距离之和等于.(1)求动点的轨迹方程；(2)若经过点的直线与曲线交于，两点，且点为的中点，求直线的方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据已知条件，结合椭圆的定义，以及椭圆的性质，即可求解．（2）设，，利用点差法求出直线的斜率，即可求出直线方程；【详解】(1)解：设点的坐标为，，由椭圆定义可知，点轨迹是以，为焦点的椭圆，，，，动点的轨迹的方程为．(2)解：显然直线的斜率存在且不等于，设，，则，，又、在椭圆上，所以，，两式相减得，即所以，即，即，所以直线的方程为，即；18．甲､乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者不得分，比赛进行到一方比另一方多2分或打满6局时停止，设每局中甲获胜的概率为，乙获胜概率为，且各局胜负相互独立.(1)求两局结束时，比赛还要继续的概率；(2)求比赛停止时已打局数的分布列及期望.【答案】(1)；(2)详见解析.【分析】（1）由题可知这两局甲乙各胜一局，利用互斥事件及独立事件概率公式即得；（2）由题可知的所有可能值为，，，求出对应的场次结束时比赛停止的概率，由此能求出的分布列，由的分布列能求出．【详解】(1)由题可知这两局甲乙各胜一局，所以两局结束时，比赛还要继续的概率为；(2)由题可知的可能取值为、、，则，，，故的分布列为的期望．19．已知函数 （1）当时，求在处的切线方程；（2）若函数在上单调递减，求实数的取值范围.【答案】(1)；(2).【详解】分析：（1）当时，．由可求切点的纵坐标为．切线的斜率即为该点出的导函数值，故求导函数，进而求导函数值，可得斜率．利用直线的点斜式方程可写出在处的切线方程为，化简可得 ． （2）由函数在上单调递减，可得在上恒成立．故先求．所以在上恒成立．利用分离变量法可得在上恒成立．构造函数．求其导函数，利用导函数的正负判断函数在区间上的单调性，进而求其最小值．故．详解：（1） 在处的切线方程为，即 （2） 在上单调递减 在上恒成立即在上恒成立记 恒成立，且显然不是常数函数. 在上单调递减 实数的取值范围是.点睛：（1）导函数的几何意义是某点处的导函数值是该点处切线的斜率； （2）函数在某区间上单调递减（递增），可转化该函数的导函数在该区间上恒小于等于（大于等于）0.20．大型综艺节目《最强大脑》中，有一个游戏叫做盲拧魔方，就是玩家先观察魔方状态并进行记忆，记住后蒙住眼睛快速还原魔方，盲拧在外人看来很神奇，其实原理是十分简单的，要学会盲拧也是很容易的.为了解某市盲拧魔方爱好者的水平状况，某兴趣小组在全市范围内随机抽取了100名魔方爱好者进行调查，得到的情况如表所示：附：，. (1)将用时低于15秒的称为“熟练盲拧者”､不低于15秒的称为“非熟练盲拧者”.请根据调查数据完成以下列联表，并判断是否有的把握认为是否为“熟练盲拧者”与性别有关？(2)以这100名盲拧魔方爱好者的用时不超过10秒的频率，代替全市所有盲拧魔方爱好者的用时不超过10秒的概率，每位盲拧魔方爱好者用时是否超过10秒相互独立.那么在该兴趣小组在全市范围内再次随机抽取20名爱好者进行测试，其中用时不超过10秒的人数最有可能（即概率最大）是多少？【答案】(1)有的把握认为“熟练盲拧者”与性别有关．(2)人【分析】（1）依题意完成列联表，计算出卡方，与参考数值比较，即可判断；（2）设随机抽取了20名爱好者中用时不超过10秒的人数为，由题意可知变量服从二项分布，由，求出的取值范围，再利用，即可求出的值．【详解】(1)解：由题意得列联表如下：所以，所以有的把握认为“熟练盲拧者”与性别有关．(2)解：根据题意得，1名盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的概率为，设随机抽取了20名爱好者中用时不超过10秒的人数为，则变量服从二项分布即，其中，，1，2，，20；由，得，化简得，得；又，所以，即这20名爱好者中用时不超过10秒的人数最有可能是人．21．在平面直角坐标系xOy中，有三条曲线：①；②；③.请从中选择合适的一条作为曲线C，使得曲线C满足：点F(1，0)为曲线C的焦点，直线y=x-1被曲线C截得的弦长为8.（1）请求出曲线C的方程；（2）设A，B为曲线C上两个异于原点的不同动点，且OA与OB的斜率之和为1，过点F作直线AB的垂线，垂足为H，问是否存在定点M，使得线段MH的长度为定值?若存在，请求出点M的坐标和线段MH的长度；若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）；【解析】（1）利用焦点以及弦长排除①②，从而可得，进而求出抛物线.（2）、的斜率存在且不为，不可能是斜率为的直线，设方程：，与抛物线联立，设，，利用韦达定理求出，再将、方程联立，求出交点，过点，观察两个定点，，由，根据直角三角形的性质即可证出.【详解】（1）对于②，，故排除②； 假设①为曲线C，则有，解得，将直线代入，整理可得，解得，此时弦长为，故排除①；所以曲线C为③，则，解得，所以曲线C的方程为.（2）易知、的斜率存在且不为，不可能是斜率为的直线，设方程：，代入，可得，，设，，则，，且，解得， 联立、方程，即，解得，，已知过点，不妨猜测可能为，则，此时不满足为定值，观察两个定点，，由于，故在以为直径的圆上，的中心为圆心，圆心到的距离恒为. 中点为，，所以定点M，线段MH的长度为定值，且 .【点睛】关键点点睛：根据焦点以及弦长确定曲线C，解题的关键是求出直线过点，围绕以及焦点，进行求解，考查了考生的计算求解能力.22．已知函数的极大值点是1.(1)求实数的取值范围；(2)若，证明：.【答案】(1)(2)证明见解析.【分析】（1）由题意可得解得，代入函数，分类讨论实数的取值范围，利用导数求解函数的极值，即可求解.（2）由（1）中函数的单调性可得，计算，通过构造函数，利用导数求解函数的单调性可得，利用函数的单调性证明即可.【详解】(1)解：由题可知，函数的定义域为，因为，所以，解得，此时，，，当时，，所以若，，若，，故是函数的极小值点，不满足题意；当时，由得，或，当时，函数在区间单调递增，不满足题意，当时，若，，若或，，故是函数的极小值点，不满足题意；当时，若或，，若，，故是函数的极大值点，满足题意；综上，可得实数的取值范围为.(2)解：由（1）可得，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，又，所以，因为，令，则，所以函数在区间上单调递增，所以，所以，即，因为函数在区间上单调递增，，所以.综上，. 023用时（秒）男性人数1529106女性人数5111770.1000.0500.0250.0100.0012.7063.8415.0246.63510.828熟练盲拧者非熟练盲拧者男性女性熟练盲拧者非熟练盲拧者男性女性
2020-2021学年福建省漳州第一中学高二下学期期末考试数学试题一、单选题1．若复数满足，则复数的模为（ ）A．2 B．1 C． D．【答案】B【分析】利用复数的乘方、除法运算化简，进而求模.【详解】由，所以，故的模为1.故选：B2．某校高二期末考试学生的数学成绩（满分150分）服从正态分布，且，则（ ）A．0.4 B．0.3 C．0.2 D．0.1【答案】D【解析】本题根据题意直接求在指定区间的概率即可.【详解】解：因为数学成绩服从正态分布，且，所以故选：D.【点睛】本题考查利用正态分布求指定区间的概率，是基础题.3．甲，乙，丙三人报考志愿，有三所高校可供选择，每人限报一所，则每所一学校都有人报考的概率为（ ）A． B． C． D．【答案】D【解析】根据题意，分别求每人报考一所学校的不同选法总数和每一所学校都有人报考的选法数，根据概率公式，计算即可求解.【详解】由题意，每人报考一所学校，不同的选法总数是（种）如果每一所学校都有人报考，不同的选法总数是（种）所以如果每一所学校都有人报考的概率为故选：D【点睛】本题考查利用计数原理计算概率，属于基础题.4．已知函数，则与的大小关系是（ ）A． B． C． D．不能确定【答案】A【分析】由题意首先确定函数的解析式，然后结合解析式整理计算即可求得最终结果.【详解】由函数的解析式可得：，令可得：，则，函数的解析式为：，据此可知：，，据此有：.故选：A.【点睛】求函数的导数应注意：①求导之前利用代数或三角变换先进行化简，减少运算量；②根式形式，先化为分数指数幂，再求导．③复合函数求导先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元处理．5．数独是源自18世纪瑞士的一种数学游戏．如图是数独的一个简化版，由3行3列9个单元格构成．玩该游戏时，需要将数字（各3个）全部填入单元格，每个单元格填一个数字，要求每一行、每一列均有这三个数字，则不同的填法有（ ）A．12种 B．24种C．72种 D．216种【答案】A【分析】分步填数，先填第一行三个数字，第二步填第二行的第一个数，第三步其它格子中的数字填法唯一，由分步计数原理可得．【详解】先填第一行，有种不同填法，再填第二行第一列，有2种不同填法，当该单元格填好后，其它单元格唯一确定．根据分步乘法计数原理，共有种不同的填法．故选：A．【点睛】本题考查计数原理等基础知识；考查运算求解能力、应用意识；考查数学抽象、数学建模、逻辑推理等核心素养，体现综合性和应用性．6．已知函数，是函数的导函数，则的图像大致是（ ）A． B．C． D．【答案】C【分析】求导得到，根据奇偶性排除BD，特殊值计算排除A得到答案.【详解】，则，则函数为奇函数，排除BD；，排除A；故选：C.7．已知分别为椭圆的左右顶点，椭圆上异于的点恒满足，则椭圆的离心率为（ ）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：因为分别为椭圆的左右顶点，椭圆上异于的点恒满足既可以解得为D8．函数的定义域是，，对任意，，则不等式的解集为（ ）A． B．C．或 D．或【答案】A【分析】构造函数，结合已知条件可得恒成立，可得为上的减函数，再由，从而将不等式转换为，根据单调性即可求解.【详解】构造函数，因为，所以为上的增函数．又因为，所以原不等式转化为，即，解得.所以原不等式的解集为，故选：A.9．下列说法正确的是（ ）A．在统计学中，回归分析是检验两个分类变量是否有关系的一种统计方法B．线性回归方程对应的直线至少经过其样本数据点中的，，一个点C．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高D．在回归分析中，相关指数为的模型比相关指数为的模型拟合的效果差【答案】C【详解】分析：首先对每个选项一一进行分析，需要明确独立性检验是检验两个分类变量是否有关系的一种统计方法，回归直线可能不过任何一个样本数据点，残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模拟精度越高，相关指数越大，拟合效果越好的结论，就可以正确选出结果.详解：对于A，统计学中，独立性检验是检验两个分类变量是否有关系的一种统计方法，所以A错；对于B，线性回归方程对应的直线可能不过任何一个样本数据点，所以B错误；对于C，残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高，所以C正确；对于D，回归分析中，相关指数为的模型比相关指数为的模型拟合的效果好，所以D错误.故选C.点睛：根据概率统计中变量间的相关关系，线性回归方程以及残差图与相关指数的概念，对选项中的命题进行分析、判断正误即可.二、多选题10．关于的展开式，则（ ）A．所有项的二项式系数和为128B．所有项系数和为1C．常数项为70D．二项式系数最大的项为第4项【答案】BD【分析】写出展开式的通项，二项式中，令即可得出常数项，令，得到各项系数和，二项式系数和为，即可判断；【详解】二项式展开式的通项为令，解得，则常数项为，故C不正确；且二项式系数最大的项为第4项，故D正确；二项式系数和；令，得所有项的系数和为1，故A错误，B正确；故选：BD11．甲罐中有4个红球，3个白球和3个黑球；乙罐中有5个红球，3个白球和2个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以，和表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以表示由乙罐取出的球是红球的事件，下列的结论：其中正确结论的为（ ）A． B．C．事件与事件不相互独立 D．，，是两两互斥的事件【答案】BCD【解析】根据古典概型概率计算公式及事件的相关概念，逐一分析四个选项的真假，可得答案．【详解】解：甲罐中有4个红球，3个白球和3个黑球；乙罐中有5个红球，3个白球和2个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以、和表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以表示由乙罐取出的球是红球的事件，对A，，故A错误；对B，，故B正确；对C，当发生时，，当不发生时，，事件与事件不相互独立，故C正确；对D，，，不可能同时发生，故是两两互斥的事件，故D正确；故选：BCD．【点睛】本题考查概率的基本概念及条件概率，互斥事件概率加法公式，考查运算求解能力.12．已知函数，，则（ ）A．在上为增函数B．当时，方程有且只有3个不同实根C．的值域为D．若，则【答案】BCD【分析】根据函数解析式作出函数图象，判断函数单调性及值域；根据导数求方程的根的个数；数形结合求得成立时，参数范围；【详解】根据函数解析式作出函数图象，由图象易知，在上不是增函数，故A错误；当时，，则，过定点，当时，与在上相交，共2个交点；当时，，过点作的切线，设切点为，则，，解得，，故当时，与在处相切，有1个交点；故当时，与共有3个交点，故B正确；由图易知，故C正确；当时，等价于，由函数图象，及上述分析知，；当时，等价于，由函数图象，及上述分析知，；故若，，故D正确；故选：BCD三、填空题13．2020年初，湖北成为全国新冠疫情最严重的省份，面临医务人员不足和医疗物资紧缺等诸多困难，全国人民心系湖北，志愿者纷纷驰援若将4名医生志愿者分配到两家医院（每人去一家医院，每家医院至少去1人），则共有__________种分配方案.【答案】14【分析】根据题意先将4名医生分成2组，再分配的两家医院即可求得分配方案的种数，分组时有和两种分组方法，同时注意是平均分组问题.【详解】由题先将4名医生分成2组，有种，再分配的两家医院有种.故答案为：14【点睛】本题考查了排列组组合的综合应用，考查了先选再排的技巧，分组时要注意分类讨论，还有要特别注意平均分组问题的计数方法.14．过双曲线的左焦点作一条直线交双曲线左支于，两点，若，是双曲线的右焦点，则的周长是___________.【答案】24【分析】利用双曲线的定义求焦点三角形的周长即可.【详解】由双曲线定义知：，所以，，而，故，故的周长为.故答案为：2415．已知函数关于的不等式只有一个整数解，则实数的取值范围是_____【答案】【分析】由，利用导数研究其单调性、极值，可得函数的图象如图，对分类讨论，分别利用一元二次不等式的解法，结合函数图象判断出不等式的整数解，即可得结果.【详解】由，令，解得，令，解得，的递增区间为，递减区间为，故的最大值是，时，时，且，故在时，，在时，，函数的图象如图，①时，由不等式得或，而时无整数解，的解集为，整数解有无数多个，不合题意；②时，由不等式得解集为，整数解有无数多个，不合题意；③时，由不等式，得或，的解集为无整数解，只需的解集整数解只有一个， 且在上递增，在递减，而，这一正整数只能为3， ，，综上所述，的取值范围是，故答案为.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性与极值、不等式的整数解、数形结合思想的应用，属于难题. 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决选择题、填空题是发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是运用这种方法的关键是正确作出函数图象以及熟练掌握函数图象的几种变换，充分利用数形结合的思想方法能够使问题化难为简，并迎刃而解.四、双空题16．已知随机变量的分布列如表，且，则___________，___________.【答案】 【分析】根据分布列的性质求出，即可求出，再根据方差的性质求出；【详解】解：依题意，，，故答案为：；4．五、解答题17．已知动点与平面上点，的距离之和等于.(1)求动点的轨迹方程；(2)若经过点的直线与曲线交于，两点，且点为的中点，求直线的方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据已知条件，结合椭圆的定义，以及椭圆的性质，即可求解．（2）设，，利用点差法求出直线的斜率，即可求出直线方程；【详解】(1)解：设点的坐标为，，由椭圆定义可知，点轨迹是以，为焦点的椭圆，，，，动点的轨迹的方程为．(2)解：显然直线的斜率存在且不等于，设，，则，，又、在椭圆上，所以，，两式相减得，即所以，即，即，所以直线的方程为，即；18．甲､乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者不得分，比赛进行到一方比另一方多2分或打满6局时停止，设每局中甲获胜的概率为，乙获胜概率为，且各局胜负相互独立.(1)求两局结束时，比赛还要继续的概率；(2)求比赛停止时已打局数的分布列及期望.【答案】(1)；(2)详见解析.【分析】（1）由题可知这两局甲乙各胜一局，利用互斥事件及独立事件概率公式即得；（2）由题可知的所有可能值为，，，求出对应的场次结束时比赛停止的概率，由此能求出的分布列，由的分布列能求出．【详解】(1)由题可知这两局甲乙各胜一局，所以两局结束时，比赛还要继续的概率为；(2)由题可知的可能取值为、、，则，，，故的分布列为的期望．19．已知函数 （1）当时，求在处的切线方程；（2）若函数在上单调递减，求实数的取值范围.【答案】(1)；(2).【详解】分析：（1）当时，．由可求切点的纵坐标为．切线的斜率即为该点出的导函数值，故求导函数，进而求导函数值，可得斜率．利用直线的点斜式方程可写出在处的切线方程为，化简可得 ． （2）由函数在上单调递减，可得在上恒成立．故先求．所以在上恒成立．利用分离变量法可得在上恒成立．构造函数．求其导函数，利用导函数的正负判断函数在区间上的单调性，进而求其最小值．故．详解：（1） 在处的切线方程为，即 （2） 在上单调递减 在上恒成立即在上恒成立记 恒成立，且显然不是常数函数. 在上单调递减 实数的取值范围是.点睛：（1）导函数的几何意义是某点处的导函数值是该点处切线的斜率； （2）函数在某区间上单调递减（递增），可转化该函数的导函数在该区间上恒小于等于（大于等于）0.20．大型综艺节目《最强大脑》中，有一个游戏叫做盲拧魔方，就是玩家先观察魔方状态并进行记忆，记住后蒙住眼睛快速还原魔方，盲拧在外人看来很神奇，其实原理是十分简单的，要学会盲拧也是很容易的.为了解某市盲拧魔方爱好者的水平状况，某兴趣小组在全市范围内随机抽取了100名魔方爱好者进行调查，得到的情况如表所示：附：，. (1)将用时低于15秒的称为“熟练盲拧者”､不低于15秒的称为“非熟练盲拧者”.请根据调查数据完成以下列联表，并判断是否有的把握认为是否为“熟练盲拧者”与性别有关？(2)以这100名盲拧魔方爱好者的用时不超过10秒的频率，代替全市所有盲拧魔方爱好者的用时不超过10秒的概率，每位盲拧魔方爱好者用时是否超过10秒相互独立.那么在该兴趣小组在全市范围内再次随机抽取20名爱好者进行测试，其中用时不超过10秒的人数最有可能（即概率最大）是多少？【答案】(1)有的把握认为“熟练盲拧者”与性别有关．(2)人【分析】（1）依题意完成列联表，计算出卡方，与参考数值比较，即可判断；（2）设随机抽取了20名爱好者中用时不超过10秒的人数为，由题意可知变量服从二项分布，由，求出的取值范围，再利用，即可求出的值．【详解】(1)解：由题意得列联表如下：所以，所以有的把握认为“熟练盲拧者”与性别有关．(2)解：根据题意得，1名盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的概率为，设随机抽取了20名爱好者中用时不超过10秒的人数为，则变量服从二项分布即，其中，，1，2，，20；由，得，化简得，得；又，所以，即这20名爱好者中用时不超过10秒的人数最有可能是人．21．在平面直角坐标系xOy中，有三条曲线：①；②；③.请从中选择合适的一条作为曲线C，使得曲线C满足：点F(1，0)为曲线C的焦点，直线y=x-1被曲线C截得的弦长为8.（1）请求出曲线C的方程；（2）设A，B为曲线C上两个异于原点的不同动点，且OA与OB的斜率之和为1，过点F作直线AB的垂线，垂足为H，问是否存在定点M，使得线段MH的长度为定值?若存在，请求出点M的坐标和线段MH的长度；若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）；【解析】（1）利用焦点以及弦长排除①②，从而可得，进而求出抛物线.（2）、的斜率存在且不为，不可能是斜率为的直线，设方程：，与抛物线联立，设，，利用韦达定理求出，再将、方程联立，求出交点，过点，观察两个定点，，由，根据直角三角形的性质即可证出.【详解】（1）对于②，，故排除②； 假设①为曲线C，则有，解得，将直线代入，整理可得，解得，此时弦长为，故排除①；所以曲线C为③，则，解得，所以曲线C的方程为.（2）易知、的斜率存在且不为，不可能是斜率为的直线，设方程：，代入，可得，，设，，则，，且，解得， 联立、方程，即，解得，，已知过点，不妨猜测可能为，则，此时不满足为定值，观察两个定点，，由于，故在以为直径的圆上，的中心为圆心，圆心到的距离恒为. 中点为，，所以定点M，线段MH的长度为定值，且 .【点睛】关键点点睛：根据焦点以及弦长确定曲线C，解题的关键是求出直线过点，围绕以及焦点，进行求解，考查了考生的计算求解能力.22．已知函数的极大值点是1.(1)求实数的取值范围；(2)若，证明：.【答案】(1)(2)证明见解析.【分析】（1）由题意可得解得，代入函数，分类讨论实数的取值范围，利用导数求解函数的极值，即可求解.（2）由（1）中函数的单调性可得，计算，通过构造函数，利用导数求解函数的单调性可得，利用函数的单调性证明即可.【详解】(1)解：由题可知，函数的定义域为，因为，所以，解得，此时，，，当时，，所以若，，若，，故是函数的极小值点，不满足题意；当时，由得，或，当时，函数在区间单调递增，不满足题意，当时，若，，若或，，故是函数的极小值点，不满足题意；当时，若或，，若，，故是函数的极大值点，满足题意；综上，可得实数的取值范围为.(2)解：由（1）可得，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，又，所以，因为，令，则，所以函数在区间上单调递增，所以，所以，即，因为函数在区间上单调递增，，所以.综上，. 023用时（秒）男性人数1529106女性人数5111770.1000.0500.0250.0100.0012.7063.8415.0246.63510.828熟练盲拧者非熟练盲拧者男性女性熟练盲拧者非熟练盲拧者男性女性
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