2021-2022学年福建省莆田二中高三（下）返校数学试卷（Word解析版）

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绝密★启用前2021-2022学年福建省莆田二中高三（下）返校数学试卷第I卷（选择题）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）已知a∈R，若集合M={1,a}，N={-1,0,1}，则“M⊆N”是“a=0”的( )A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件直线x+ay+b=0经过第一，二，四象限，则( )A. a<0，b<0 B. a<0，b>0 C. a>0，b<0 D. a>0，b>0已知a=23，b=log32，c=323，则( )A. b0，b>0，且(a-2)(b-1)=92，则a+2b的最小值为( )A. 3+3142 B. 8 C. 4+922 D. 10已知函数f(x)=ax-ex，∀x∈(1,+∞)，f(x)0)与函数g(x)=cos(2x+θ)的图象的对称轴相同，则( )A. ω的值可以为4B. θ的值可以为2π3C. 函数f(x)的单调递增区间为[-π3+kπ,π6+kπ]，k∈ZD. 函数f(x)的所有零点的集合为{x|x=kπ2+π6,k∈Z}函数f(x)=|x|x2+a的大致图象可能是( )A. B. C. D. 如图为陕西博物馆收藏的国宝一一唐金筀宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，巧夺天工，是唐代金银细作的典范．该杯的主体部分可以近似看作是双曲线C：x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右支与直线x=0，y=4，y=-2围成的曲边四边形ABMN绕y轴旋转一周得到的几何体，若该金杯主体部分的上口外直径为1033，下底外直径为2393，双曲线C与坐标轴交于D，E，则( )A. 双曲线C的方程为x23-y29=1B. 双曲线y23-x2=1与双曲线C共渐近线C. 存在一点，使过该点的任意直线与双曲线C有两个交点D. 存在无数个点，使它与D，E两点的连线的斜率之积为3在矩形ABCD中(如图1)，AD=2AB=2，BE=λBC(0<λ≤1).将BAE沿AE折起得到以B1为顶点的锥体(如图2)，若记侧棱B1D的中点为P，则以下判断正确的是( )A. 若λ=12，则CP的长度为定值B. 若λ=1，则三棱锥B1-ACD的外接球表面积为5πC. 若记B1A与平面ACD所成的角为α，则sinα的最大值为255D. 若二面角B1-AE-C为直二面角，且B1D⊥AE，则λ=13第II卷（非选择题）三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）双曲线x23-y2=1的两条渐近线夹角为______．若二项式(x2-13x)n的展开式中含有非零常数项，则正整数n的最小值是______．2021年7月25日召开的第44届世界遗产大会上，“泉州：宋元中国的世界海洋商贸中心”获准列入世界文化遗产名录，至此泉州20年的申遗终于圆梦．申遗的遗产点包括九日山祈风石刻、开元寺、洛阳桥等22处代表性古遗迹，这些古遗迹可分为文化纪念地史迹等五类．这五类古遗迹充分展现了10-14世纪泉州完备的海洋贸易制度体系、发达的经济水平及多元包容的文化态度．某校中学生准备到各类古遗迹打卡，已知该同学打卡第一类、第二类的概率都是23，打卡第三类、第四类和第五类的概率都是12，且是否打卡这五类古遗迹相互独立．用随机变量X表示该同学打卡的类别数，则P(X=4)=______．已知A，B，C，D是体积为2053π的球体表面上四点，若AB=4，AC=2，BC=23，且三棱锥A-BCD的体积为23，则线段CD长度的最大值为______．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）(本小题10.0分)在下列条件：①数列{an}的任意相邻两项均不相等，a1=2，且数列{an2-an}为常数列，②Sn=12(an+n+1)(n∈N*)，③a1=1，Sn=2Sn-1+1(n≥2,n∈N*)中，任选一个，补充在横线上，并回答下面问题．已知数列{an}的前n项和为Sn，______，求数列{an}的通项公式与前n项和Sn．(本小题12.0分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos2B=3cos(A+C)+1．(1)求B．(2)若△ABC的面积S=53，a=10，求sinAsinC的值．(本小题12.0分)如图，斜三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形，AB=AA1=6，∠A1AC=60°，F，G，D，E分别为AB，CC1，AA1，BB1的中点．(1)证明：FG//平面C1DE；(2)若平面AA1C1C⊥平面ABC，求平面C1DE与平面ABC所成锐二面角的余弦值．(本小题12.0分)某次围棋比赛的决赛，由甲乙两人争夺最后的冠军．决赛先进行两天，每天实行三盘两胜制，即先赢两盘者获得该天胜利，此时该天比赛结束．若甲乙中的一方能连续两天胜利，则其为最终冠军；若前两天双方各赢一天，则第三天只进行一盘附加赛，该附加赛的获胜方为最终冠军．设每盘比赛甲获胜的概率为p(0b>0)的离心率为32，且点A(0,1)在E上．(1)求E的方程；(2)点B为E的下顶点，点P在E内且满足PA⋅PB=0，直线AP交E于点Q，求QP⋅QA的取值范围．(本小题12.0分)已知a∈R，f(x)=x⋅e-αx(其中e为自然对数的底数)．(1)讨论函数y=f(x)的单调性；(2)若a>0，函数y=f(x)-a有两个零点x1，x2，求证：x1+x2>2e．答案和解析1.【答案】B 【解析】解：若M⊆N，则a=0或a=-1，则“M⊆N”是“a=0”的必要不充分条件，故选：B．根据集合关系求出a的值，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据集合关系求出a的值是解决本题的关键，是基础题．2.【答案】C 【解析】解：因为直线x+ay+b=0经过第一、二、四象限，则该直线的斜率-1a<0，可得a>0，该直线在y轴上的截距-ba>0，可得b<0．故选：C．分析出直线x+ay+b=0的斜率以及该直线在y轴上的截距的符号，即可得出a、b的符号．本题考查了直线斜率和截距的应用，属于基础题．3.【答案】D 【解析】解：log3230=1，∴b1，从而可得出a，b，c的大小关系．本题考查了指数函数和对数函数的单调性，对数的运算性质，考查了计算能力，属于基础题．4.【答案】C 【解析】解：因为cos(π4-α)=-35，所以22cosα+22sinα=22(cosα+sinα)=-35，两边平方，可得12(1+sin2α)=925，则sin2α=-725．故选：C．将已知等式利用两角差的余弦公式化简可得22(cosα+sinα)=-35，两边平方，利用同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦公式即可求解．本题主要考查了两角差的余弦公式，同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．5.【答案】D 【解析】解：由互不重合的直线a，b，互不重合的平面α，β，知：在A中，由于α∩β=b，a//α，a//β，过直线a作与α、β都相交的平面γ，记α∩γ=d，β∩γ=c，则a//d且a//c，∴d//c．又d⊂α，α∩β=b，∴d//b.∴a//b.故A正确；在B中，若α⊥β，a⊥α，b⊥β，则由面面垂直和线面垂直的性质得a⊥b，故B正确；在C中，若α⊥β，α⊥γ，β∩γ=a，则由线面垂直的判定定理得a⊥α，故C正确；在D中，若α//β，a//α，则a//β或a⊂β，故D错误．故选：D．由线线平行的性质定理能判断A的正误；由面面垂直和线面垂直的性质定理能判断B的正误；由线面垂直的判定定理能判断C的正误；在D中，a//β或a⊂β．本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．6.【答案】C 【解析】解：设高分别为3cm、4cm、6cm对应的底边长分别为a、b、c(单位：cm)，则3a=4b=6c，设a=4t(t>0)，则b=3t，c=2t，由三角形三边关系可知 a+b>ca+c>bb+c>a，这样的三角形存在，设该三角形的最大内角为θ，则cosθ=b2+c2-a22bc=-14，则θ为钝角，故能作出一个钝角三角形．故选：C．计算出三角形三边的比值，并计算出三角形中最大角的余弦值，可得出结论．本题考查余弦定理的应用，是中档题．7.【答案】D 【解析】解：∵a>0，b>0，且(a-2)(b-1)=92，∴b-1=92(a-2)，即b=2a+52a-4，∴a+2b=a+2a+5a-2=a2+5a-2，∵b=2a+52a-4，∴a>2，令f(a)=a2+5a-2(a>2)，求导可得，f'(a)=2a(a-2)-a2-5(a-2)2=(a-5)(a+1)(a-2)2，当a∈(2,5)时，f'(a)<0，f(a)为减函数，当a∈(5,+∞)时，f'(a)>0，f(a)为增函数，故f(a)min=f(5)=10，故a+2b最小值为10．故选：D．根据已知条件可得，b=2a+52a-4，再结合导数研究函数的单调性，即可求解．本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查计算能力，属于中档题．8.【答案】D 【解析】解：∀x∈(1,+∞)，f(x)ex-a(lnx+1)，⇔∀x∈(1,+∞)，ex-ax>eln(ex)-aln(ex)，令g(x)=ex-ax，⇔g(x)>g(ln(ex))，⇔∀x∈(1,+∞)，g(x)>g(lnx+1)，又当x>1时，x>lnx+1恒成立，∴只需g(x)在(1,+∞)单调递增即可，即g'(x)=ex-a≥0在(1,+∞)上恒成立，∴a≤ex在(1,+∞)上恒成立，∴a≤e．故选：D．原问题等价于∀x∈(1,+∞)，ex-ax>eln(ex)-aln(ex)，令g(x)=ex-ax，⇔g(x)>g(ln(ex))，⇔∀x∈(1,+∞)，g(x)>g(lnx+1)，只需g(x)在(1,+∞)单调递增即可，利用g'(x)=ex-a≥0在(1,+∞)上恒成立，即可求解．本题考查了恒成立问题，考查了同构思想，考查了计算能力，属于难题，9.【答案】BC 【解析】解：若两个函数图象的对称轴相同，则函数周期必然相同，则ω=2，故A错误，f(x)=sin(2x+π6)，由2x+π6=kπ+π2，k∈Z，得x=kπ2+π6，k∈Z，若x=kπ2+π6，k∈Z是g(x)的对称轴，则2x+θ=2×(kπ2+π6)+θ=kπ+π3+θ，则π3+θ=mπ，则θ=mπ-π3，m∈Z，当m=1时，θ=2π3，故B正确，由2kπ-π2≤2x+π6≤2kπ+π2，k∈Z，得kπ-π3≤x≤kπ+π6，k∈Z，即f(x)的单调递增区间为[-π3+kπ,π6+kπ]，k∈Z，故C正确，由2x+π6=kπ，得x=kπ2-π12，k∈Z，即函数的零点集合为{x|x=kπ2-π12,k∈Z}，故D错误，故选：BC．根据两个函数对称轴相同，得到周期相同，求出ω的值，然后根据三角函数的性质分别进行判断即可．本题主要考查三角函数的图象和性质，根据对称轴关系求出ω的值是解决本题的关键，是中档题．10.【答案】AC 【解析】解：当a=0时，f(x)=|x|x2=1|x|=1x,x>0-1x,x<0，此时对应图象为A，当a>0时，f(x)的定义域为R，f(-x)=f(x)，则f(x)是偶函数，当x>0时，f(x)=xx2+a=1x+ax≤12a，且f(x)>0，此时对应图象为C，当a<0时，f(x)=|x| x2+a的定义域为{x|x≠± -a}，x>0时，f(x)=xx2+a=1x+ax，当x>- a时，y=g(x)=x+ax为增函数，且y=x+ax>0，∴f(x)=1 g(x)为减函数，此时B图象不合适，故选：AC．分别讨论当a=0，a<0或a>0时，对应函数的图象和性质即可．本题主要考查函数图象的识别和判断，讨论当a=0，a>0或a<0是是解决本题的关键，是中档题．11.【答案】ABD 【解析】解：由题意上口外直径为1033，下底外直径为2393，可得焦点在x轴上，设双曲线mx2+ny2=1，mn<0，因为双曲线过点(533,4)，(393,-2)，将这两个点的坐标代入双曲线的方程可得：253m+16n=1133m+4n=1，解得m=13，n=-19，所以该双曲线的方程为：x23-y29=1；所以A正确；该双曲线的渐近线的方程为：y=±3x，而y23-x2=1的渐近线的方程为y=±3x，所以B正确；C中，当过这个嗲的直线的斜率与渐近线的方程平行时，则直线与双曲线只有一个交点，所以C不正确；D中，由双曲线的方程可得与坐标轴的交点为(±3,0)，即D，E的坐标分别为(-3,0)，(3,0)，设双曲线上的点为P(x,y)，则x23-y29=1，可得y2=9(x23-1)=3(x2-3)，所以kPD⋅kPE=yx+3⋅yx-3=y2x2-3=3(x2-3)x2-3=3，所以双曲线上除了D，E以外，任意一点与D，E的斜率之积都为3，所以D正确；故选：ABD．由题意可得双曲线在x轴上，且可得过两点的坐标，设双曲线的方程，将两点的坐标代入可得参数的值，求出双曲线的方程，判断出A正确；再求出该双曲线的渐近线的方程，求出双曲线y23-x2=1的渐近线的方程可得两个双曲线的方程的渐近线方程相同，判断B正确；过一点斜率与渐近线的斜率相等时与双曲线只有一个交点，判断出C不正确；设双曲线上的点的坐标，求出直线PD，PE的斜率之积为定值3，则存在无数多个点满足条件，判断出D正确．本题考查双曲线的方程的求法及性质的应用，属于中档题．12.【答案】ABC 【解析】解：对于A，当λ=12时，点E为BC的中点，在翻折的过程中，取AB1的中点Q，连接EQ，PQ，则易证明ECPQ为平行四边形，所以CP=EQ为定长(EQ为△AB1E的中线)，故A正确；对于B，当λ=1时，点E与点C重合，△AB1E与△ADC为两个全等的直角三角形，取AC的中点O，连接OB1，OD，则易知O为三棱锥B1-ACD的外接球的球心，外接球的半径R=OA=12AC=52，故S球=4πR2=5π，故B正确；对于C，在翻折的过程中，当且仅当平面AB1E⊥平面ACD时，AB1与平面ACD所成角最大为∠B1AE，则sin∠B1AE=B1EAE=x1+x2=11x2+1(设BE=x，00，所以16k2+1k2≥216=8，当且仅当16k2=1k2，即k=±12时取等号，所以0<4816k2+1k2+8≤4816=3，所以QP⋅QA的取值范围为(0,3]．【解析】本题考查求椭圆的方程及直线与圆，椭圆的综合应用，属于中档题．(1)由椭圆的离心率及过的点A的坐标可得a，b的值，进而求出椭圆的方程；(2)由(1)可得B的坐标，再由点P在E内且满足PA⋅PB=0，可得P的轨迹方程为单位圆，设直线AP的方程，与圆联立求出P的坐标，与椭圆联立求出Q的坐标，求出数量积QP⋅QA的表达式，由均值不等式可得其范围．22.【答案】解：(1)f'(x)=e-ax-ax⋅e-ax=e-ax(1-ax)，∵a∈R，∴a<0时，f'(x)=e-ax(1-ax)>0⇒x>1a，f'(x)=e-ax(1-ax)<0⇒x<1a，∴a<0时，增区间为：[1a,+∞)，减区间为：(-∞,1a)；a=0时，f'(x)=e-ax(1-ax)=1>0，∴a=0时，增区间为：(-∞,+∞)；a>0时，f'(x)=e-ax(1-ax)>0⇒x<1a，f'(x)=e-ax(1-ax)<0⇒x>1a，∴a>0时，增区间为：(-∞,1a]，减区间为：(1a,+∞)；综上：a<0时，增区间为：[1a,+∞)，减区间为：(-∞,1a)；a=0时，增区间为：(-∞,+∞)；a>0时，增区间为：(-∞,1a]，减区间为：(1a,+∞)；(2)证明：由(1)知，a>0时，增区间为：(-∞,1a]，减区间为：(1a,+∞)；且x>1a时，f(x)>0，f极大值(x)=f(1a)=1ae，函数y=f(x)的大致图像如下图所示：因为a>0时，函数y=f(x)-a有两个零点x1，x2，所以a<1ae，即a<1e，不妨设x12a，即证：x1>2a-x2，因为x1<1a，所以2a-x2<1a，又y=f(x)在(-∞,1a)单调递增，所以即证：f(x1)>f(2a-x2) 又f(x1)=f(x2)，所以即证：f(x2)>f(2a-x2)，x2>1a，令函数F(x)=f(x)-f(2a-x)，x∈(1a,+∞)，则F'(x)=e-ax(1-ax)+e-2+ax[1-a(2a-x)]=(1-ax)[e-ax-e-2+ax]，因为x>1a，所以-ax0，函数F(x)=f(x)-f(2a-x)在(1a,+∞)单调递增，所以F(x)>F(1a)=0，因为x2>1a，所以，f(x2)>f(2a-x2)，即x1+x2>2a>2e．【解析】(1)求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间；(2)求出f(x1)>f(2a-x2)，问题转化为f(x2)>f(2a-x2)，x2>1a，令函数F(x)=f(x)-f(2a-x)，x∈(1a,+∞)，求出函数的导数，根据函数的单调性证明即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查转化思想，是难题．