资料中包含下列文件，点击文件名可预览资料内容
还剩18页未读，
继续阅读
所属成套资源：（人教A版2019）暑假高一升高二数学衔接知识自学讲义
成套系列资料，整套一键下载
第16讲 直线和圆锥曲线的位置关系-暑假高一升高二数学衔接知识自学讲义（人教A版2019）
展开
这是一份第16讲 直线和圆锥曲线的位置关系-暑假高一升高二数学衔接知识自学讲义（人教A版2019）
第16讲 直线和圆锥曲线的位置关系【知识点梳理】知识点一：直线与椭圆的位置关系平面内点与椭圆的位置关系椭圆将平面分成三部分：椭圆上、椭圆内、椭圆外，因此，平面上的点与椭圆的位置关系有三种，任给一点M（x，y），若点M（x，y）在椭圆上，则有；若点M（x，y）在椭圆内，则有；若点M（x，y）在椭圆外，则有.直线与椭圆的位置关系将直线的方程与椭圆的方程联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为Δ.①Δ＞0直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）；②Δ＝0直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)；③Δ＜0直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点．直线与椭圆的相交弦设直线交椭圆于点两点，则==同理可得这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：知识点三、直线与双曲线的位置关系直线与双曲线的位置关系将直线的方程与双曲线的方程联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为Δ.若即，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；若即，①Δ＞0直线和双曲线相交直线和双曲线相交，有两个交点；②Δ＝0直线和双曲线相切直线和双曲线相切，有一个公共点；③Δ＜0直线和双曲线相离直线和双曲线相离，无公共点．直线与双曲线的相交弦设直线交双曲线于点两点，则==同理可得这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：双曲线的中点弦问题遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解.在双曲线中，以为中点的弦所在直线的斜率；涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来相互转化，同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍.解题的主要规律可以概括为“联立方程求交点，韦达定理求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”.知识点四、直线与抛物线的位置关系直线与抛物线的位置关系将直线的方程与抛物线的方程y2=2px（p＞0）联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为Δ.若，直线与抛物线的对称轴平行或重合，直线与抛物线相交于一点；若 ①Δ＞0 直线和抛物线相交，有两个交点；②Δ＝0直线和抛物线相切，有一个公共点；③Δ＜0直线和抛物线相离，无公共点．直线与抛物线的相交弦设直线交抛物线于点两点，则==同理可得这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：抛物线的焦点弦问题已知过抛物线的焦点F的直线交抛物线于A、B两点。设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则：①焦点弦长②③，其中|AF|叫做焦半径，④焦点弦长最小值为2p。根据时，即AB垂直于x轴时，弦AB的长最短，最短值为2p。【题型归纳目录】题型一：直线与椭圆的位置关系题型二：椭圆的弦题型三：椭圆的综合问题题型四：直线与双曲线的位置关系题型五：双曲线的弦题型六：双曲线的综合问题题型七：直线与抛物线的位置关系题型八：抛物线的弦题型九：抛物线的综合问题【典型例题】题型一：直线与椭圆的位置关系例1．（2022·全国·高二课时练习）直线与椭圆的交点个数为（ ）．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个例2．（2022·全国·高二单元测试）已知点､.下列曲线方程中，在该曲线上不存在点P，满足的曲线方程为（ ）A． B．C． D．例3．（2022·江苏·南京市中华中学高二开学考试）椭圆：的左、右顶点分别为，，点在上且直线的斜率的取值范围是，那么直线斜率的取值范围是（ ）A． B． C． D．例4．（2022·江苏·高二）已知椭圆C的标准方程为，若过点的直线l与椭圆C在第一象限相切于点M，则点M的坐标为______．例5．（2022·重庆·西南大学附中高二阶段练习）直线：与椭圆的位置关系是____________.例6．（2022·全国·高二课时练习）已知直线与焦点在轴上的椭圆总有公共点，则b的取值范围是___________.例7．（2022·全国·高二课时练习）已知椭圆C的两个焦点分别是､，且椭圆C经过点.(1)求椭圆C的标准方程；(2)当m取何值时，直线与椭圆C：①有两个公共点；②只有一个公共点；③没有公共点？例8．（2022·四川·宁南中学高二阶段练习（文））已知椭圆的一个顶点为，离心率为.(1)求椭圆的方程(2)过椭圆右焦点且斜率为的直线与椭圆相交于两点A，B，与轴交于点E，线段AB的中点为P，直线过点E且垂直于（其中O为原点），证明直线过定点.例9．（2022·全国·高二课时练习）已知直线与椭圆C：有唯一的公共点，求实数m的值．例10．（2022·吉林·长春吉大附中实验学校高二期末）设，分别是椭圆：的左、右焦点，的离心率为，点是上一点.(1)求椭圆的方程；(2)过点的直线交椭圆E于A，B两点，且，求直线的方程.例11．（2022·全国·高二课时练习）已知直线与椭圆相交于不同的两点，求k的取值范围．题型二：椭圆的弦例12．（2022·福建·莆田一中高二期末）直线x－y＋1＝0被椭圆＋y2＝1所截得的弦长|AB|等于（ ）A． B． C． D．例13．（2022·全国·高二课时练习）已知椭圆的右焦点为，左、右顶点为A、，，．则直线被椭圆截得的弦长为_____________．例14．（2022·全国·高二课时练习）已知直线与椭圆相交于A，B两点，求线段的长．例15．（2022·广东茂名·高二期末）已知椭圆的中心在原点，焦点为，，且长轴长为4.(1)求椭圆的方程；(2)直线与椭圆相交于A，两点，求弦长.例16．（2022·辽宁丹东·高二期末）平面直角坐标系xOy中，点，，点M满足.记M的轨迹为C.(1)说明C是什么曲线，并求C的方程；(2)已知经过的直线l与C交于A，B两点，若，求.例17．（2022·新疆·哈密市第一中学高二期末（理））已知中心在原点的椭圆C的右焦点为，离心率等于.(1)求椭圆C的标准方程；(2)过椭圆右焦点且倾斜角为的直线与椭圆交于两点，求的长.例18．（2022·辽宁沈阳·高二期末）已知椭圆的标准方程为：，若右焦点为且离心率为．（1）求椭圆的方程；（2）设，是上的两点，直线与曲线相切且，，三点共线，求线段的长．例19．（2022·河南·高二阶段练习（理））已知椭圆的离心率为，为右焦点，为的上顶点，且.为坐标原点.（1）求椭圆的方程;（2）设直线与相交于两点，求的面积.例20．（2022·新疆昌吉·高二期末（文））已知椭圆的长轴在轴上，长轴长为4，离心率为，（1）求椭圆的标准方程，并指出它的短轴长和焦距.（2）直线与椭圆交于两点，求两点的距离.例21．（2022·河南·温县第一高级中学高二开学考试（文））已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，左顶点为，离心率为．（1）求椭圆的标准方程；（2）斜率为1的直线与椭圆相交于，两点，求的最大值．题型三：椭圆的综合问题例22．（2022·江苏·高二）（1）已知中心在原点的双曲线的渐近线方程是，且双曲线过点，求双曲线的方程；（2）已知椭圆的中心在坐标原点，右焦点的坐标为，直线交椭圆于两点，线段的中点为，求椭圆的方程；例23．（2022·广东·清远市博爱学校高二阶段练习）已知椭圆M的短轴长为，焦点坐标分别为和.(1)求椭圆M的标准方程.(2)斜率为k的直线与椭圆M交于A､B两点，若线段AB的中点为P，O为坐标原点，且直线OP的斜率kOP存在，试判断k与kOP的乘积是否为定值，若是请求出，若不是请说明理由.例24．（2022·四川·南部县第二中学高二阶段练习（文））已知椭圆的短轴长为，焦点坐标分别为和.(1)求椭圆的标准方程.(2)直线与椭圆交于两点，若线段的中点，求直线的方程.例25．（2022·江苏省阜宁中学高二期中）已知椭圆的右焦点为F(，0)，且点M(－，)在椭圆上.(1)求椭圆的方程；(2)直线l过点F，且与椭圆交于A，B两点，过原点O作l的垂线，垂足为P，若，求λ的值.例26．（2022·四川·宁南中学高二阶段练习（文））已知椭圆的一个顶点为，离心率为.(1)求椭圆的方程(2)过椭圆右焦点且斜率为的直线与椭圆相交于两点A，B，与轴交于点E，线段AB的中点为P，直线过点E且垂直于（其中O为原点），证明直线过定点.例27．（2022·陕西咸阳·高二期末（理））已知点､分别是椭圆C：）的左､右焦点，点P在椭圆C上，当∠PF1F2=时，面积达到最大，且最大值为.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设直线l：与椭圆C交于A､B两点，求面积的最大值.例28．（2022·安徽·淮南第二中学高二阶段练习）点是曲线上任一点，已知曲线在点处的切线方程为．如图，点P是椭圆上的动点，过点P作椭圆C的切线l交圆于点A、B，过A、B作圆O的切线交于点M．(1)求点M的轨迹方程；(2)求面积的最大值．例29．（2022·江苏·高二课时练习）已知椭圆的左、右焦点分别为、，过椭圆的右焦点作直线，与轴垂直，交椭圆于、两点．(1)求的长．(2)求内切圆的面积．例30．（2022·内蒙古师大附中高二期末（理））已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，椭圆C上点M满足．(1)求椭圆C的标准方程：(2)若过坐标原点的直线l交椭圆C于P，Q两点，求线段PQ长为时直线l的方程．例31．（2022·北京平谷·高二期末）已知椭圆C：（）的离心率为，并且经过点，(1)求椭圆C的方程；(2)设点关于坐标原点的对称点为，点为椭圆C上任意一点，直线的斜率分别为，，求证：为定值．题型四：直线与双曲线的位置关系例32．（2022·河南·林州一中高二期中（文））若直线与双曲线没有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为（ ）A． B．C． D．例33．（2022·陕西·西北工业大学附属中学高二阶段练习（文））直线与双曲线的交点个数是（ ）A．1 B．2 C．1或2 D．0例34．（2022·陕西·西安中学高二期末（文））已知双曲线方程为，过点的直线与双曲线只有一个公共点，则符合题意的直线的条数共有（ ）A．4条 B．3条 C．2条 D．1条例35．（多选题）（2022·浙江浙江·高二期中）若双曲线的方程为，则下列说法正确的是（ ）A．双曲线的离心率为 B．双曲线的焦点坐标为C．双曲线的渐近线方程为 D．直线与双曲线有两个交点例36．（2022·江苏·高二）已知直线与双曲线有且只有一个公共点，则C的离心率等于________．例37．（2022·江苏·高二）已知直线与双曲线无交点，则该双曲线离心率的最大值为_________.例38．（2022·全国·高二单元测试）若曲线与直线有公共点，则实数m的取值范围是___________.例39．（2022·上海市建平中学高二阶段练习）若直线与双曲线仅有一个公共点，则k的取值是_________例40．（2022·重庆市清华中学校高二阶段练习）已知双曲线的方程为，直线.(1)求双曲线的渐近线方程、离心率；(2)若直线与双曲线仅有一个公共点，求实数的值.例41．（2022·江苏·高二课时练习）判断直线与双曲线的公共点的个数．题型五：双曲线的弦例42．（2022·江苏·高二）已知，分别是双曲线的左、右焦点，A为一条渐近线上的一点，且，则的面积为（ ）A． B． C．5 D．例43．（2022·江苏·高二）已知为双曲线：的两个焦点，，为上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为________．例44．（2022·江苏·高二课时练习）若经过双曲线的一个焦点，且垂直于实轴的直线l与双曲线交于A，B两点，则线段AB的长为______.例45．（2022·江苏·高二）求直线被双曲线截得的弦长.例46．（2022·全国·高二课时练习）过双曲线的左焦点，作倾斜角为的直线.(1)求证：与双曲线有两个不同的交点；(2)求线段的中点的坐标和.例47．（2022·四川·自贡成外高级中学有限公司高二阶段练习（文））已知双曲线的渐近线方程为，且过点．(1)求双曲线的方程；(2)过双曲线的一个焦点作斜率为的直线交双曲线于两点，求弦长．例48．（2022·内蒙古乌兰察布·高二期末（理））已知双曲线C：（a> 0，b> 0）的离心率为，实轴长为2.(1)求双曲线的焦点到渐近线的距离；(2)若直线y=x+m被双曲线C截得的弦长为，求m的值.例49．（2022·湖北·武汉市第十九中学高二期末）已知点A(-2，0)，B(2，0)，动点M满足直线AM与BM的斜率之积为，记M的轨迹为曲线C.(1)求C的方程，并说明C是什么曲线；(2)若直线和曲线C相交于E，F两点，求.例50．（2022·甘肃兰州·高二期末（文））已知双曲线及直线．（1）若与有两个不同的交点，求实数的取值范围．（2）若与交于，两点，且线段中点的横坐标为，求线段的长．例51．（2022·全国·高二期末）已知焦点在轴上的双曲线的实轴长为，焦距为.（1）求双曲线的标准方程；（2）若直线与双曲线交于两点，求弦长.题型六：双曲线的综合问题例52．（2022·陕西·西北工业大学附属中学高二阶段练习（文））已知双曲线过点，且离心率(1)求该双曲线的标准方程：(2)如果，为双曲线上的动点，直线与直线的斜率互为相反数，证明直线的斜率为定值，并求出该定值.例53．（2022·全国·高二）已知双曲线，是上的任意点.（1）求证：点到双曲线的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；（2）设点的坐标为，求的最小值.例54．（2022·上海·格致中学高二期中）已知点､依次为双曲线（，）的左､右焦点，且，.(1)若，以为法向量的直线经过，求到的距离；(2)设双曲线经过第一､三象限的渐近线为，若直线与直线垂直，求双曲线的离心率.例55．（2022·江苏·高二）在以下三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题：①在抛物线C上，且；②过焦点F作x轴的平行线，与抛物线C交于G，H两点，；③抛物线C的准线过双曲线的下焦点．问题：已知抛物线的焦点为F，点，______，若线段AF的垂直平分线交抛物线于P，Q两点，求线段PQ的长度．例56．（2022·江苏·高二期末）已知双曲线的离心率为，两条准线间的距离为.(1)求C的标准方程；(2)斜率为k的直线l过点，且直线与C的两支分别交于点A，B，①求k的取值范围；②若D是点B关于x轴的对称点，证明：直线AD过定点.例57．（2022·福建泉州·高二期中）平面直角坐标系中，椭圆C与双曲线共焦点，点A，B是C上不关于长轴对称的两点，且的最大值为8．(1)求C的方程；(2)若A，B到点的距离相等，求m的取值范围．例58．（2022·上海市奉贤中学高二阶段练习）如图，在以点O为圆心，为直径的半圆中，D为半圆弧的中点，P为半圆弧上一点，且，双曲线C以A，B为焦点且经过点P．以O为原点，所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系．(1)求双曲线C的方程；(2)设过点D的直线l与双曲线C相交于不同两点E，F，若的面积不小于，求直线l的斜率的取值范围．例59．（2022·全国·高二课时练习）双曲线上的一点P与左右焦点、构成．(1)求的内切圆与x轴正半轴相切的切点N的坐标；(2)已知，求的大小．例60．（2022·全国·高二课时练习）直线l：与双曲线C：交于不同的两点A、B．(1)求实数k的取值范围；(2)若双曲线C的右焦点为F，是否存在实数k，使得AF⊥BF？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．例61．（2022·全国·高二课时练习）平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两定点、，动点满足：．(1)求点P的轨迹方程；(2)设点P的轨迹与双曲线C：交于相异两点M、N．若以MN为直径的圆经过原点，且双曲线C的虚轴长是实轴长的倍，求双曲线C的方程．题型七：直线与抛物线的位置关系例62．（2022·全国·高二课时练习）过点作直线l与抛物线只有一个公共点，这样的直线有（ ）A．1条 B．2条 C．3条 D．无数条例63．（多选题）（2022·江苏·高二）已知直线与抛物线相切，则（ ）A． B． C． D．例64．（2022·北京二中高二学业考试）已知抛物线的焦点到准线的距离为3，过焦点的直线与抛物线交于两点，且，则点到轴的距离为___________.例65．（2022·全国·高二课时练习）过点且与抛物线只有一个公共点的直线的条数为______条．例66．（2022·湖北·随州市第一中学高二阶段练习）抛物线的准线与轴相交于点，过点作斜率的直线交抛物线于，两点，为抛物线的焦点，若，则直线的斜率___________.例67．（2022·江苏·高二）已知直线与抛物线有且只有一个公共点，则满足条件的实数的值组成集合_______.例68．（2022·江苏·高二）已知双曲线的两条渐近线分别与抛物线的准线交于A、B两点，O为坐标原点，若△AOB的面积为1，则p的值为______．例69．（2022·全国·高二课时练习）求过定点且与抛物线只有一个公共点的直线方程.例70．（2022·全国·高二课时练习）①直线l过点，②直线l与抛物线只有一个公共点，③直线l过抛物线的焦点，从中选择两个条件求直线l的方程.例71．（2022·全国·高二期末）已知抛物线，的焦点为，若过点的直线与抛物线有且只有一个交点，求直线的方程．例72．（2022·全国·高二课时练习）已知直线与抛物线有且只有一个公共点，求的值．题型八：抛物线的弦例73．（2022·江苏·高二）己知F为抛物线的焦点，过F作两条互相垂直的直线，，直线与C交于A、B两点，直线与C交于D、E两点，则的最小值为（ ）A．24 B．22 C．20 D．16例74．（2022·江苏·高二）抛物线的弦AB过其焦点，且垂直于它的对称轴，O为原点，若△AOB的面积为3，则抛物线方程为______．例75．（2022·吉林·长春市第八中学高二阶段练习）已知直线l与抛物线交于A、B两点，若线段AB的中点为，则线段AB的长度为_______．例76．（2022·江苏·高二）已知抛物线：（）的焦点到准线的距离为4，过点的直线与抛物线交于，两点，若，则______．例77．（2022·全国·高二单元测试）过抛物线的焦点的直线和抛物线交于两点，若弦，则该直线的方程是___________.例78．（2022·江苏·高二）设O是坐标原点，F是抛物线的焦点，A是抛物线上的一点，FA与x轴正向的夹角为60°，则___________.例79．（2022·全国·高二课时练习）设F为抛物线C:的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则的面积为______.例80．（2022·广西·高二阶段练习（理））已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于、两点，坐标原点为.(1)若，求直线的方程；(2)若，求的面积.例81．（2022·江苏·高二）已知抛物线的焦点为，为坐标原点．(1)过作垂直于轴的直线与抛物线交于两点，的面积为．求抛物线的标准方程；(2)抛物线上有两点，若为正三角形，求的边长．例82．（2022·江苏·高二）已知过抛物线方程的焦点的直线交抛物线于、两点，若，求弦长．例83．（2022·江苏·高二）已知抛物线过点．(1)求抛物线的方程，并求其准线方程；(2)过该抛物线的焦点，作倾斜角为的直线，交抛物线于两点，求线段的长度．例84．（2022·四川·富顺第二中学校高二阶段练习（理））已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为轴，开口向右且焦点到准线的距离为.(1)求抛物线的标准方程.(2)若过的焦点的直线与抛物线交于两点，且，求直线的方程.题型九：抛物线的综合问题例85．（2022·湖南·高二阶段练习）已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于两点，当时，为坐标原点）是等边三角形.(1)求抛物线的方程.(2)延长交抛物线于点，试问直线是否恒过点？若是，求出点的坐标；若不是，请说明理由.例86．（2022·江苏·高二）已知点与点的距离比它到直线的距离小，若记点的轨迹为曲线．(1)求曲线的方程；(2)若直线与曲线相交于两点，且．求证直线过定点，并求出该定点的坐标．例87．（2022·四川·阆中中学高二期中（文））已知P(1，2)在抛物线C：y2＝2px上．(1)求抛物线C的方程；(2)A，B是抛物线C上的两个动点，如果直线PA的斜率与直线PB的斜率之和为2，证明：直线AB过定点．例88．（2022·四川·棠湖中学高二阶段练习（理））已知曲线C：x2=2y，点D为直线上的动点，过点D作C的两条切线，切点分别为A，B.(1)若点D的坐标为，求这两条切线的方程；(2)证明：直线AB过定点.例89．（2022·广东·深圳市罗湖外语学校高二阶段练习）已知抛物线，直线交C于A，B两点．(1)若弦AB的中点是，求直线l的方程；(2)设，，若，求证：直线过定点．例90．（2022·江西南昌·高二期末（理））已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴上，且抛物线上有一点到焦点的距离为6.(1)求抛物线的方程；(2)若不过原点的直线与抛物线交于A、B两点，且，求证：直线过定点并求出定点坐标.例91．（2022·江苏·高二）已知抛物线的焦点为，为坐标原点．(1)过作垂直于轴的直线与抛物线交于两点，的面积为．求抛物线的标准方程；(2)抛物线上有两点，若为正三角形，求的边长．例92．（2022·江苏·高二）已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线的准线方程是．(1)求抛物线的方程；(2)直线与抛物线交于，两点，求证：．例93．（2022·全国·高二期中）设AB是过抛物线焦点F的一条弦，点A，B在抛物线的准线上的射影分别是，，证明：(1)；(2)以AB为直径的圆和抛物线的准线相切．
第16讲 直线和圆锥曲线的位置关系【知识点梳理】知识点一：直线与椭圆的位置关系平面内点与椭圆的位置关系椭圆将平面分成三部分：椭圆上、椭圆内、椭圆外，因此，平面上的点与椭圆的位置关系有三种，任给一点M（x，y），若点M（x，y）在椭圆上，则有；若点M（x，y）在椭圆内，则有；若点M（x，y）在椭圆外，则有.直线与椭圆的位置关系将直线的方程与椭圆的方程联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为Δ.①Δ＞0直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）；②Δ＝0直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)；③Δ＜0直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点．直线与椭圆的相交弦设直线交椭圆于点两点，则==同理可得这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：知识点三、直线与双曲线的位置关系直线与双曲线的位置关系将直线的方程与双曲线的方程联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为Δ.若即，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；若即，①Δ＞0直线和双曲线相交直线和双曲线相交，有两个交点；②Δ＝0直线和双曲线相切直线和双曲线相切，有一个公共点；③Δ＜0直线和双曲线相离直线和双曲线相离，无公共点．直线与双曲线的相交弦设直线交双曲线于点两点，则==同理可得这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：双曲线的中点弦问题遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解.在双曲线中，以为中点的弦所在直线的斜率；涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来相互转化，同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍.解题的主要规律可以概括为“联立方程求交点，韦达定理求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”.知识点四、直线与抛物线的位置关系直线与抛物线的位置关系将直线的方程与抛物线的方程y2=2px（p＞0）联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为Δ.若，直线与抛物线的对称轴平行或重合，直线与抛物线相交于一点；若 ①Δ＞0 直线和抛物线相交，有两个交点；②Δ＝0直线和抛物线相切，有一个公共点；③Δ＜0直线和抛物线相离，无公共点．直线与抛物线的相交弦设直线交抛物线于点两点，则==同理可得这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：抛物线的焦点弦问题已知过抛物线的焦点F的直线交抛物线于A、B两点。设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则：①焦点弦长②③，其中|AF|叫做焦半径，④焦点弦长最小值为2p。根据时，即AB垂直于x轴时，弦AB的长最短，最短值为2p。【题型归纳目录】题型一：直线与椭圆的位置关系题型二：椭圆的弦题型三：椭圆的综合问题题型四：直线与双曲线的位置关系题型五：双曲线的弦题型六：双曲线的综合问题题型七：直线与抛物线的位置关系题型八：抛物线的弦题型九：抛物线的综合问题【典型例题】题型一：直线与椭圆的位置关系例1．（2022·全国·高二课时练习）直线与椭圆的交点个数为（ ）．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个例2．（2022·全国·高二单元测试）已知点､.下列曲线方程中，在该曲线上不存在点P，满足的曲线方程为（ ）A． B．C． D．例3．（2022·江苏·南京市中华中学高二开学考试）椭圆：的左、右顶点分别为，，点在上且直线的斜率的取值范围是，那么直线斜率的取值范围是（ ）A． B． C． D．例4．（2022·江苏·高二）已知椭圆C的标准方程为，若过点的直线l与椭圆C在第一象限相切于点M，则点M的坐标为______．例5．（2022·重庆·西南大学附中高二阶段练习）直线：与椭圆的位置关系是____________.例6．（2022·全国·高二课时练习）已知直线与焦点在轴上的椭圆总有公共点，则b的取值范围是___________.例7．（2022·全国·高二课时练习）已知椭圆C的两个焦点分别是､，且椭圆C经过点.(1)求椭圆C的标准方程；(2)当m取何值时，直线与椭圆C：①有两个公共点；②只有一个公共点；③没有公共点？例8．（2022·四川·宁南中学高二阶段练习（文））已知椭圆的一个顶点为，离心率为.(1)求椭圆的方程(2)过椭圆右焦点且斜率为的直线与椭圆相交于两点A，B，与轴交于点E，线段AB的中点为P，直线过点E且垂直于（其中O为原点），证明直线过定点.例9．（2022·全国·高二课时练习）已知直线与椭圆C：有唯一的公共点，求实数m的值．例10．（2022·吉林·长春吉大附中实验学校高二期末）设，分别是椭圆：的左、右焦点，的离心率为，点是上一点.(1)求椭圆的方程；(2)过点的直线交椭圆E于A，B两点，且，求直线的方程.例11．（2022·全国·高二课时练习）已知直线与椭圆相交于不同的两点，求k的取值范围．题型二：椭圆的弦例12．（2022·福建·莆田一中高二期末）直线x－y＋1＝0被椭圆＋y2＝1所截得的弦长|AB|等于（ ）A． B． C． D．例13．（2022·全国·高二课时练习）已知椭圆的右焦点为，左、右顶点为A、，，．则直线被椭圆截得的弦长为_____________．例14．（2022·全国·高二课时练习）已知直线与椭圆相交于A，B两点，求线段的长．例15．（2022·广东茂名·高二期末）已知椭圆的中心在原点，焦点为，，且长轴长为4.(1)求椭圆的方程；(2)直线与椭圆相交于A，两点，求弦长.例16．（2022·辽宁丹东·高二期末）平面直角坐标系xOy中，点，，点M满足.记M的轨迹为C.(1)说明C是什么曲线，并求C的方程；(2)已知经过的直线l与C交于A，B两点，若，求.例17．（2022·新疆·哈密市第一中学高二期末（理））已知中心在原点的椭圆C的右焦点为，离心率等于.(1)求椭圆C的标准方程；(2)过椭圆右焦点且倾斜角为的直线与椭圆交于两点，求的长.例18．（2022·辽宁沈阳·高二期末）已知椭圆的标准方程为：，若右焦点为且离心率为．（1）求椭圆的方程；（2）设，是上的两点，直线与曲线相切且，，三点共线，求线段的长．例19．（2022·河南·高二阶段练习（理））已知椭圆的离心率为，为右焦点，为的上顶点，且.为坐标原点.（1）求椭圆的方程;（2）设直线与相交于两点，求的面积.例20．（2022·新疆昌吉·高二期末（文））已知椭圆的长轴在轴上，长轴长为4，离心率为，（1）求椭圆的标准方程，并指出它的短轴长和焦距.（2）直线与椭圆交于两点，求两点的距离.例21．（2022·河南·温县第一高级中学高二开学考试（文））已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，左顶点为，离心率为．（1）求椭圆的标准方程；（2）斜率为1的直线与椭圆相交于，两点，求的最大值．题型三：椭圆的综合问题例22．（2022·江苏·高二）（1）已知中心在原点的双曲线的渐近线方程是，且双曲线过点，求双曲线的方程；（2）已知椭圆的中心在坐标原点，右焦点的坐标为，直线交椭圆于两点，线段的中点为，求椭圆的方程；例23．（2022·广东·清远市博爱学校高二阶段练习）已知椭圆M的短轴长为，焦点坐标分别为和.(1)求椭圆M的标准方程.(2)斜率为k的直线与椭圆M交于A､B两点，若线段AB的中点为P，O为坐标原点，且直线OP的斜率kOP存在，试判断k与kOP的乘积是否为定值，若是请求出，若不是请说明理由.例24．（2022·四川·南部县第二中学高二阶段练习（文））已知椭圆的短轴长为，焦点坐标分别为和.(1)求椭圆的标准方程.(2)直线与椭圆交于两点，若线段的中点，求直线的方程.例25．（2022·江苏省阜宁中学高二期中）已知椭圆的右焦点为F(，0)，且点M(－，)在椭圆上.(1)求椭圆的方程；(2)直线l过点F，且与椭圆交于A，B两点，过原点O作l的垂线，垂足为P，若，求λ的值.例26．（2022·四川·宁南中学高二阶段练习（文））已知椭圆的一个顶点为，离心率为.(1)求椭圆的方程(2)过椭圆右焦点且斜率为的直线与椭圆相交于两点A，B，与轴交于点E，线段AB的中点为P，直线过点E且垂直于（其中O为原点），证明直线过定点.例27．（2022·陕西咸阳·高二期末（理））已知点､分别是椭圆C：）的左､右焦点，点P在椭圆C上，当∠PF1F2=时，面积达到最大，且最大值为.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设直线l：与椭圆C交于A､B两点，求面积的最大值.例28．（2022·安徽·淮南第二中学高二阶段练习）点是曲线上任一点，已知曲线在点处的切线方程为．如图，点P是椭圆上的动点，过点P作椭圆C的切线l交圆于点A、B，过A、B作圆O的切线交于点M．(1)求点M的轨迹方程；(2)求面积的最大值．例29．（2022·江苏·高二课时练习）已知椭圆的左、右焦点分别为、，过椭圆的右焦点作直线，与轴垂直，交椭圆于、两点．(1)求的长．(2)求内切圆的面积．例30．（2022·内蒙古师大附中高二期末（理））已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，椭圆C上点M满足．(1)求椭圆C的标准方程：(2)若过坐标原点的直线l交椭圆C于P，Q两点，求线段PQ长为时直线l的方程．例31．（2022·北京平谷·高二期末）已知椭圆C：（）的离心率为，并且经过点，(1)求椭圆C的方程；(2)设点关于坐标原点的对称点为，点为椭圆C上任意一点，直线的斜率分别为，，求证：为定值．题型四：直线与双曲线的位置关系例32．（2022·河南·林州一中高二期中（文））若直线与双曲线没有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为（ ）A． B．C． D．例33．（2022·陕西·西北工业大学附属中学高二阶段练习（文））直线与双曲线的交点个数是（ ）A．1 B．2 C．1或2 D．0例34．（2022·陕西·西安中学高二期末（文））已知双曲线方程为，过点的直线与双曲线只有一个公共点，则符合题意的直线的条数共有（ ）A．4条 B．3条 C．2条 D．1条例35．（多选题）（2022·浙江浙江·高二期中）若双曲线的方程为，则下列说法正确的是（ ）A．双曲线的离心率为 B．双曲线的焦点坐标为C．双曲线的渐近线方程为 D．直线与双曲线有两个交点例36．（2022·江苏·高二）已知直线与双曲线有且只有一个公共点，则C的离心率等于________．例37．（2022·江苏·高二）已知直线与双曲线无交点，则该双曲线离心率的最大值为_________.例38．（2022·全国·高二单元测试）若曲线与直线有公共点，则实数m的取值范围是___________.例39．（2022·上海市建平中学高二阶段练习）若直线与双曲线仅有一个公共点，则k的取值是_________例40．（2022·重庆市清华中学校高二阶段练习）已知双曲线的方程为，直线.(1)求双曲线的渐近线方程、离心率；(2)若直线与双曲线仅有一个公共点，求实数的值.例41．（2022·江苏·高二课时练习）判断直线与双曲线的公共点的个数．题型五：双曲线的弦例42．（2022·江苏·高二）已知，分别是双曲线的左、右焦点，A为一条渐近线上的一点，且，则的面积为（ ）A． B． C．5 D．例43．（2022·江苏·高二）已知为双曲线：的两个焦点，，为上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为________．例44．（2022·江苏·高二课时练习）若经过双曲线的一个焦点，且垂直于实轴的直线l与双曲线交于A，B两点，则线段AB的长为______.例45．（2022·江苏·高二）求直线被双曲线截得的弦长.例46．（2022·全国·高二课时练习）过双曲线的左焦点，作倾斜角为的直线.(1)求证：与双曲线有两个不同的交点；(2)求线段的中点的坐标和.例47．（2022·四川·自贡成外高级中学有限公司高二阶段练习（文））已知双曲线的渐近线方程为，且过点．(1)求双曲线的方程；(2)过双曲线的一个焦点作斜率为的直线交双曲线于两点，求弦长．例48．（2022·内蒙古乌兰察布·高二期末（理））已知双曲线C：（a> 0，b> 0）的离心率为，实轴长为2.(1)求双曲线的焦点到渐近线的距离；(2)若直线y=x+m被双曲线C截得的弦长为，求m的值.例49．（2022·湖北·武汉市第十九中学高二期末）已知点A(-2，0)，B(2，0)，动点M满足直线AM与BM的斜率之积为，记M的轨迹为曲线C.(1)求C的方程，并说明C是什么曲线；(2)若直线和曲线C相交于E，F两点，求.例50．（2022·甘肃兰州·高二期末（文））已知双曲线及直线．（1）若与有两个不同的交点，求实数的取值范围．（2）若与交于，两点，且线段中点的横坐标为，求线段的长．例51．（2022·全国·高二期末）已知焦点在轴上的双曲线的实轴长为，焦距为.（1）求双曲线的标准方程；（2）若直线与双曲线交于两点，求弦长.题型六：双曲线的综合问题例52．（2022·陕西·西北工业大学附属中学高二阶段练习（文））已知双曲线过点，且离心率(1)求该双曲线的标准方程：(2)如果，为双曲线上的动点，直线与直线的斜率互为相反数，证明直线的斜率为定值，并求出该定值.例53．（2022·全国·高二）已知双曲线，是上的任意点.（1）求证：点到双曲线的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；（2）设点的坐标为，求的最小值.例54．（2022·上海·格致中学高二期中）已知点､依次为双曲线（，）的左､右焦点，且，.(1)若，以为法向量的直线经过，求到的距离；(2)设双曲线经过第一､三象限的渐近线为，若直线与直线垂直，求双曲线的离心率.例55．（2022·江苏·高二）在以下三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题：①在抛物线C上，且；②过焦点F作x轴的平行线，与抛物线C交于G，H两点，；③抛物线C的准线过双曲线的下焦点．问题：已知抛物线的焦点为F，点，______，若线段AF的垂直平分线交抛物线于P，Q两点，求线段PQ的长度．例56．（2022·江苏·高二期末）已知双曲线的离心率为，两条准线间的距离为.(1)求C的标准方程；(2)斜率为k的直线l过点，且直线与C的两支分别交于点A，B，①求k的取值范围；②若D是点B关于x轴的对称点，证明：直线AD过定点.例57．（2022·福建泉州·高二期中）平面直角坐标系中，椭圆C与双曲线共焦点，点A，B是C上不关于长轴对称的两点，且的最大值为8．(1)求C的方程；(2)若A，B到点的距离相等，求m的取值范围．例58．（2022·上海市奉贤中学高二阶段练习）如图，在以点O为圆心，为直径的半圆中，D为半圆弧的中点，P为半圆弧上一点，且，双曲线C以A，B为焦点且经过点P．以O为原点，所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系．(1)求双曲线C的方程；(2)设过点D的直线l与双曲线C相交于不同两点E，F，若的面积不小于，求直线l的斜率的取值范围．例59．（2022·全国·高二课时练习）双曲线上的一点P与左右焦点、构成．(1)求的内切圆与x轴正半轴相切的切点N的坐标；(2)已知，求的大小．例60．（2022·全国·高二课时练习）直线l：与双曲线C：交于不同的两点A、B．(1)求实数k的取值范围；(2)若双曲线C的右焦点为F，是否存在实数k，使得AF⊥BF？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．例61．（2022·全国·高二课时练习）平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两定点、，动点满足：．(1)求点P的轨迹方程；(2)设点P的轨迹与双曲线C：交于相异两点M、N．若以MN为直径的圆经过原点，且双曲线C的虚轴长是实轴长的倍，求双曲线C的方程．题型七：直线与抛物线的位置关系例62．（2022·全国·高二课时练习）过点作直线l与抛物线只有一个公共点，这样的直线有（ ）A．1条 B．2条 C．3条 D．无数条例63．（多选题）（2022·江苏·高二）已知直线与抛物线相切，则（ ）A． B． C． D．例64．（2022·北京二中高二学业考试）已知抛物线的焦点到准线的距离为3，过焦点的直线与抛物线交于两点，且，则点到轴的距离为___________.例65．（2022·全国·高二课时练习）过点且与抛物线只有一个公共点的直线的条数为______条．例66．（2022·湖北·随州市第一中学高二阶段练习）抛物线的准线与轴相交于点，过点作斜率的直线交抛物线于，两点，为抛物线的焦点，若，则直线的斜率___________.例67．（2022·江苏·高二）已知直线与抛物线有且只有一个公共点，则满足条件的实数的值组成集合_______.例68．（2022·江苏·高二）已知双曲线的两条渐近线分别与抛物线的准线交于A、B两点，O为坐标原点，若△AOB的面积为1，则p的值为______．例69．（2022·全国·高二课时练习）求过定点且与抛物线只有一个公共点的直线方程.例70．（2022·全国·高二课时练习）①直线l过点，②直线l与抛物线只有一个公共点，③直线l过抛物线的焦点，从中选择两个条件求直线l的方程.例71．（2022·全国·高二期末）已知抛物线，的焦点为，若过点的直线与抛物线有且只有一个交点，求直线的方程．例72．（2022·全国·高二课时练习）已知直线与抛物线有且只有一个公共点，求的值．题型八：抛物线的弦例73．（2022·江苏·高二）己知F为抛物线的焦点，过F作两条互相垂直的直线，，直线与C交于A、B两点，直线与C交于D、E两点，则的最小值为（ ）A．24 B．22 C．20 D．16例74．（2022·江苏·高二）抛物线的弦AB过其焦点，且垂直于它的对称轴，O为原点，若△AOB的面积为3，则抛物线方程为______．例75．（2022·吉林·长春市第八中学高二阶段练习）已知直线l与抛物线交于A、B两点，若线段AB的中点为，则线段AB的长度为_______．例76．（2022·江苏·高二）已知抛物线：（）的焦点到准线的距离为4，过点的直线与抛物线交于，两点，若，则______．例77．（2022·全国·高二单元测试）过抛物线的焦点的直线和抛物线交于两点，若弦，则该直线的方程是___________.例78．（2022·江苏·高二）设O是坐标原点，F是抛物线的焦点，A是抛物线上的一点，FA与x轴正向的夹角为60°，则___________.例79．（2022·全国·高二课时练习）设F为抛物线C:的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则的面积为______.例80．（2022·广西·高二阶段练习（理））已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于、两点，坐标原点为.(1)若，求直线的方程；(2)若，求的面积.例81．（2022·江苏·高二）已知抛物线的焦点为，为坐标原点．(1)过作垂直于轴的直线与抛物线交于两点，的面积为．求抛物线的标准方程；(2)抛物线上有两点，若为正三角形，求的边长．例82．（2022·江苏·高二）已知过抛物线方程的焦点的直线交抛物线于、两点，若，求弦长．例83．（2022·江苏·高二）已知抛物线过点．(1)求抛物线的方程，并求其准线方程；(2)过该抛物线的焦点，作倾斜角为的直线，交抛物线于两点，求线段的长度．例84．（2022·四川·富顺第二中学校高二阶段练习（理））已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为轴，开口向右且焦点到准线的距离为.(1)求抛物线的标准方程.(2)若过的焦点的直线与抛物线交于两点，且，求直线的方程.题型九：抛物线的综合问题例85．（2022·湖南·高二阶段练习）已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于两点，当时，为坐标原点）是等边三角形.(1)求抛物线的方程.(2)延长交抛物线于点，试问直线是否恒过点？若是，求出点的坐标；若不是，请说明理由.例86．（2022·江苏·高二）已知点与点的距离比它到直线的距离小，若记点的轨迹为曲线．(1)求曲线的方程；(2)若直线与曲线相交于两点，且．求证直线过定点，并求出该定点的坐标．例87．（2022·四川·阆中中学高二期中（文））已知P(1，2)在抛物线C：y2＝2px上．(1)求抛物线C的方程；(2)A，B是抛物线C上的两个动点，如果直线PA的斜率与直线PB的斜率之和为2，证明：直线AB过定点．例88．（2022·四川·棠湖中学高二阶段练习（理））已知曲线C：x2=2y，点D为直线上的动点，过点D作C的两条切线，切点分别为A，B.(1)若点D的坐标为，求这两条切线的方程；(2)证明：直线AB过定点.例89．（2022·广东·深圳市罗湖外语学校高二阶段练习）已知抛物线，直线交C于A，B两点．(1)若弦AB的中点是，求直线l的方程；(2)设，，若，求证：直线过定点．例90．（2022·江西南昌·高二期末（理））已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴上，且抛物线上有一点到焦点的距离为6.(1)求抛物线的方程；(2)若不过原点的直线与抛物线交于A、B两点，且，求证：直线过定点并求出定点坐标.例91．（2022·江苏·高二）已知抛物线的焦点为，为坐标原点．(1)过作垂直于轴的直线与抛物线交于两点，的面积为．求抛物线的标准方程；(2)抛物线上有两点，若为正三角形，求的边长．例92．（2022·江苏·高二）已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线的准线方程是．(1)求抛物线的方程；(2)直线与抛物线交于，两点，求证：．例93．（2022·全国·高二期中）设AB是过抛物线焦点F的一条弦，点A，B在抛物线的准线上的射影分别是，，证明：(1)；(2)以AB为直径的圆和抛物线的准线相切．
相关试卷
第15讲 直线和圆锥曲线的位置关系（九大题型）-暑假高一升高二数学衔接知识自学讲义（苏教版）： 这是一份第15讲 直线和圆锥曲线的位置关系（九大题型）-暑假高一升高二数学衔接知识自学讲义（苏教版），文件包含第15讲直线和圆锥曲线的位置关系九大题型解析版docx、第15讲直线和圆锥曲线的位置关系九大题型原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共67页， 欢迎下载使用。
第14讲 双曲线-暑假高一升高二数学衔接知识自学讲义（人教A版2019）： 这是一份第14讲 双曲线-暑假高一升高二数学衔接知识自学讲义（人教A版2019）
第12讲 直线与圆、圆与圆的位置关系-暑假高一升高二数学衔接知识自学讲义（人教A版2019）： 这是一份第12讲 直线与圆、圆与圆的位置关系-暑假高一升高二数学衔接知识自学讲义（人教A版2019），文件包含第12讲直线与圆圆与圆的位置关系解析版docx、第12讲直线与圆圆与圆的位置关系原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共92页， 欢迎下载使用。
