第01讲 平面向量与三角形中的范围与最值问题-暑假高一升高二数学衔接知识自学讲义（人教A版2019）

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第01讲 平面向量与三角形中的范围与最值问题 【知识点梳理】知识点一．平面向量范围与最值问题常用方法： 1．定义法第一步:利用向量的概念及其基本运算将所求问题转化为相应的等式关系第二步：运用基木不等式求其最值问题第三步:得出结论2．坐标法第一步 : 根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标第二步: 将平面向量的运算坐标化第三步:运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解3．基底法第一步：利用其底转化向量第二步：根据向量运算律化简目标第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等得出结论4．几何意义法第一步: 先确定向量所表达的点的轨迹第二步: 根据直线与曲线位置关系列式第三步：解得结果知识点二．极化恒等式1．平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和： （1） （2）（2）两式相加得：2．极化恒等式：上面两式相减，得：————极化恒等式（1）平行四边形模式：几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的。（2）三角形模式：（M为BD的中点）ABCM知识点三.在解三角形专题中，求其“范围与最值”的问题，一直都是这部分内容的重点、难点。解决这类问题，通常有下列五种解题技巧:(1)利用基本不等式求范围或最值；(2)利用三角函数求范围或最值；(3)利用三角形中的不等关系求范围或最值；(4)根据三角形解的个数求范围或最值；(5)利用二次函数求范围或最值.要建立所求量(式子)与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量(式子)的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题.这里要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边的范围(也就是函数的定义域)找完善，避免结果的范围过大.【题型归纳目录】题型一：定义法题型二：坐标法题型三：基底法题型四：几何意义法题型五：极化恒等式【典型例题】题型一：定义法例1．（2022·浙江省江山中学模拟预测）已知平面向量满足，且，则向量在向量方向上的投影的最小值为_________．例2．（2022·吉林长春·模拟预测（理））已知中，，，，点P为边AB上的动点，则的最小值为（       ）A．-4 B．-2 C．2 D．4例3．（2022·天津市武清区杨村第一中学二模）在梯形中，与相交于点Q．若，则________；若，N为线段延长线上的动点，则的最小值为_________．例4．（2022·天津南开·二模）已知平行四边形中，，，，则________；若，，则的最大值为________．例5．（2022·北京市十一学校高一阶段练习）若，且，则___________，的最大值为___________.例6．（2022·四川省内江市第六中学高一期中（文））如图，设△ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，AD为BC边上的中线，已知，c＝1且．(1)求b边的长；(2)求△ABC的面积；(3)设点E，F分别为边AB，AC上的动点，线段EF交AD于G，且△AEF的面积为△ABC面积的一半，求的最小值．题型二：坐标法例7．（2022·云南·昆明一中高一期中）在如图所示的平面直角坐标系中，已知点和点，，且，其中O为坐标原点．(1)若，设点D为线段OA上的动点，求的最小值；(2)若，向量，，求的最小值及对应的x值．例8．（2022·甘肃平凉·高一期末）已知等腰直角三角形中，斜边的长为，点M是线段上一点，且，点N在线段上，则的最小值为（       ）A． B． C． D．例9．（2022·甘肃定西·高一阶段练习）菱形的边长为，，点在边上（包含端点），则的最小值为（       ）A． B． C． D．例10．（2022·北京市海淀区教师进修学校高一阶段练习）如图，在四边形中，为线段的中点，为线段上一动点（包括端点），且，则下列说法错误的是（       ）A．B．若为线段的中点，则C．的最小值为D．的最大值比最小值大例11．（2022·全国·高三专题练习）如图所示，点在以为圆心2为半径的圆弧上运动，且，则的最小值为（       ）A． B． C．0 D．2例12．（多选题）（2022·云南·昆明一中高一期中）在边长为2的正方形ABCD中，P，Q在正方形（含边）内，满足，则下列结论正确的是（       ）A．若点P在BD上时，则B．的取值范围为C．若点P在BD上时，D．若P，Q在线段BD上，且，则的最小值为1例13．（多选题）（2022·浙江·高一阶段练习）如图，在四边形中，，为线段的中点，为线段上一动点（包括端点），且，则下列说法正确的是（       ）A． B．若为线段的中点，则C．的最小值为 D．的最大值比最小值大题型三：基底法例14．（2022·山东临沂·高一期中）在中，，，，，则__________，若点在线段上，则 的最大值为___________．例15．（2022·浙江师范大学附属中学高一期末）在梯形中，分别为线段，上的动点.(1)求；(2)若，求；(3)若，求的最小值；例16．（2022·北京市第十二中学三模）为等边三角形，且边长为2，则与的夹角大小为___________，若，则的最小值为___________.例17．（2022·北京市第十二中学高一阶段练习）已知点P是边长为2的正三角形的边BC上的动点，则（       ）A．最大值为6 B．为定值6 C．最小值为3 D．为定值3例18．（2022·天津南开·三模）在等腰梯形中，已知，，，，动点E和F分别在线段和上，且，，当__________时，则有最小值为__________．题型四：几何意义法例19．（2022·湖北·高一阶段练习）如图，圆，圆半径均为4，两圆外切于点O，点A是圆上任意一点，点B是圆上任意一点，则的最小值为___________，最大值为___________例20．（2022·浙江嘉兴·模拟预测）平面向量满足，则的最小值为_________．例21．（2022·浙江·嘉兴市第五高级中学高一期中）已知平面向量,若,则在上投影向量的模长的最小值为（       ）A． B． C． D．例22．（2022·安徽·合肥一六八中学模拟预测（理））已知△ABC的外接圆半径长为1，则的最小值为（       ）A． B． C． D．例23．（2022·辽宁·高一期中）《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，如图所示的是《易经》中记载的几何图形——八卦图．图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，其余八块面积相等的图形代表八卦田．已知正八边形的边长为，点是正八边形边上的一点，则的最大值是（       ）A． B． C． D．题型五：极化恒等式例24．（2022·全国·模拟预测）在中，已知，，，，，点在边上，则的最大值为（       ）A．3 B．2 C． D．例25．（2022·北京·人大附中模拟预测）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术．图1是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形前纸窗花．图2中正六边形的边长为4，圆的圆心为该正六边形的中心，圆的半径为2，圆的直径，点在正六边形的边上运动，则的最小值为（       ）A．5 B．6 C．7 D．8例26．（2022·辽宁·大连二十四中模拟预测）如图，在等腰直角中，，为的中点，将线段绕点旋转得到线段.设为线段上的点，则的最小值为___________.例27．（2022·湖南·高一阶段练习）已知P是等边三角形ABC所在平面内一点，且，，则的最小值是（       ）A．1 B． C． D．2【过关测试】一、单选题1．（2022·四川省平昌中学高一阶段练习）若向量的模均为2，且，则的最大值（   ）A． B．1 C．2 D．2．（2022·江苏·无锡市第一中学高一阶段练习）已知向量，，则面积的最大值为（       ）A． B． C． D．3．（2022·上海交大附中高一阶段练习）已知向量、，，，若对任意单位向量，均有，则的最大值为（       ）A． B． C． D．4．（2022·江苏·东海县教育局教研室高一期中）已知向量，，当取最大值时，锐角的值为（       ）A． B． C． D．5．（2022·贵州黔东南·高一期中）已知向量，，且，，则的最大值为（       ）A．1 B．3 C．7 D．56．（2022·河南·南阳中学高一阶段练习）已知平面向量均为单位向量，．=0，，则的最大值是（       ）A． B． C． D．7．（2022·河北石家庄·高一阶段练习）骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A（前轮），圆D（后轮）的直径均为均是边长为2的等边三角形．设点P为前轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，的最大值为（       ）A．2 B．4 C． D．68．（2022·四川·雅安中学高一阶段练习）如图，扇形的半径为1，且，点C在弧上运动，若，则的最大值是（            ）A． B． C．1 D．29．（2022·北京·人大附中高一阶段练习）如图，已知等腰中，，，点是边上的动点，则（       ）A．为定值16 B．为定值10 C．最大值为8 D．与的位置有关二、多选题10．（2022·福建·三明一中高一期中）已知，是平面内夹角为的两个单位向量，向量在该平面内，且，则下列结论正确的是（       ）A． B． C． D．的最小值为11．（2022·山东省实验中学高一期中）折扇又名“撒扇”“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1.其平面图如图2的扇形，其中，点E在弧上.（       ）A． B．若，则C．若，则 D．的最小值为12．（2022·江苏·扬州中学高一期中）已知的重心为G，点E是边上的动点，则下列说法正确的是（       ）A．B．若，则的面积是面积的C．若，，则D．若，，则当取得最小值时，13．（2022·山西·大同一中高一阶段练习）已知的重心为，点是边上的动点，则下列说法正确的是（       ）A．B．若，则的面积是面积的C．若，，则D．若，，则当取得最小值时，三、填空题14．（2022·福建·三明市第二中学高一阶段练习）如图，已知正方形ABCD的边长为2，点E为AB的中点．以A为圆心，AE为半径，作圆弧交AD于点F，若P为劣弧EF上的动点，则的最小值为__________．15．（2022·山东枣庄·高一期中）若是边长为6的等边三角形，点满足，且（其中，），则的最小值为______．16．（2022·宁夏·银川一中高一期中）已知为等边三角形，，所在平面内的点满足的最小值为____________．17．（2022·江苏扬州·高一期中）折扇又名“撒扇”“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1.其平面图如图2的扇形，其中，点E在弧上.的最小值为___________18．（2022·上海市七宝中学高一期中）非零向量满足，则的最小值为_______.19．（2022·浙江台州·高一期中）在直角坐标平面内，，，若对任意实数，点都满足，则的最小值为________．20．（2022·上海市第二中学高一期中）在中，,,有下述三个结论：①若G为的重心，则；②若P为边上的一个动点，则为定值2；③若M、N为边上的两个动点，且，则的最小值为．其中所有正确结论的编号________________．21．（2022·北京市十一学校高一阶段练习）已知平面向量满足与的夹角为，记，则的取值范围是___________.22．（2022·四川省广汉中学高一阶段练习（理））已知是边长为2的正三角形，为线段上一点（包含端点），则的取值范围为______．23．（2022·辽宁·沈阳市第一二〇中学高一期中）已知是边长为2的等边三角形，若点是区域内一点（不包括边界），且，则的取值范围是______．24．（2022·江苏·盐城市伍佑中学高一阶段练习）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的项点A、B分别在x轴非负半轴和y轴非负半轴上，顶点C在第一象限内，AB＝2，BC＝1，设∠DAx＝θ，若，则的取值范围为______．25．（2022·湖北荆州·高一期中）在中，D、E分别是BC、AC的中点，且，，则的取值范围是__________．26．（2022·湖南·高一期中）已知，，，，点P为平面ABC内一动点，且满足.（1）已知，则_________；（2）已知，则的取值范围为_________.