2022北京十二中高二（下）期末数学（文字版，含答案含解析）

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2022北京十二中高二（下）期末数 学本试卷共4页，满分150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效.考试结束后，将答题纸交回.第一部分 选择题（共60分）一、选择题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1 已知集合，，则（ ）A. B. C. D. 2. 已知实数，则下列结论正确的是（ ）A. B. C. D. 3. 下面给出的四个随机变量中是离散型随机变量的为（ ）①高速公路上某收费站在半小时内经过的车辆数；②一个沿直线进行随机运动的质点离坐标原点的距离；③某同学射击3次，命中的次数；④某电子元件的寿命；A. ①② B. ③④ C. ①③ D. ②④4. 已知数列首项为，且满足，则此数列的第3项是（ ）A. 4 B. 12 C. 24 D. 325. 下列命题中，正确的是（ ）A. 若等比数列的公比，则为递增数列；B. 若等比数列公比，为递减数列；C. 常数列既是等差数列又是等比数列；D. 若是等差数列，则是等比数列.6. 随机变量的分布列如图，其中成等差数列，则（ ）A. B. C. D. 7. 已知的导数存在，的图象如图所示，则在区间上（ ）A. 的最大值是，最小值是B. 的最大值是，最小值是C. 的最大值是，最小值是D. 的最大值，最小值是8. 若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）A. B. C. D. 9. 已知等差数列的前n项和为.若，且，则的n的最大值是（ ）A. 5 B. 6 C. 10 D. 1110. 已知数列{}的通项为，则“”是“，”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件11. 甲乙丙三人参加2022年冬奥会北京、延庆、张家口三个赛区志愿服务活动，若每人只能选择一个赛区，且选择其中任何一个赛区是等可能．记X为三人选中的赛区个数，Y为三人没有选中的赛区个数，则（ ）A. ， B. ，C. ， D. ，12. 设函数，则下列命题中的真命题是（ ）①是奇函数； ②当时，；③周期函数； ④存在无数个零点；A. ②④ B. ①③ C. ①②③ D. ①②④第二部分 非选择题（共90分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.13. 已知命题“，”是假命题，则实数a的取值范围为______.14. 已知点F为抛物线的焦点，则点F坐标为__________；若双曲线的一个焦点与点F重合，则该双曲线的离心率为___________.15. 某厂有甲、乙两条生产线，甲生产线产出“高品质产品”的概率为0.6，乙生产线产出“高品质产品”的概率为0.5，已知两条生产线产量相同，现从该厂产品中任取一件，则它是“高品质产品”的概率为__________.16. 已知a，b为正实数，直线将圆平分，则的最小值是_________.17. 已知函数，若函数有四个零点，则实数a的取值范围是______________.18. 刺绣是中国优秀的民族传统工艺之一，已经有2000多年的历史.小王同学在刺绣选修课上，设计了一个螺旋形图案--即图中的阴影部分.它的设计方法是：先画一个边长为3的正三角形，取正三角形各边的三等分点，得到第一个阴影三角形；在正三角形中，再取各边的三等分点，得到第二个阴影三角形；继续依此方法，直到得到图中的螺旋形图案，则______;图中螺旋形图案的面积为______.三、解答题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.19. 如图，在长方体中，底面是边长为2的正方形，，E，F分别是的中点.（1）求证：平面；（2）若N为的中点，求直线与平面所成角的正弦值.20. 为减少环境污染、保护生态环境，某校进行了“垃圾分类知识普及活动”，并对高一、高二全体学生进行了相关知识测试.现从高一、高二各随机抽取了20名学生，对他们的成绩（百分制）进行了整理和分析后得到如下信息：高一年级成绩分布表（1）从高一样本中抽取一人，求该人成绩不低于80分的概率；（2）从高二全体学生中抽取3人，这3人中成绩不低于90分的人数记为X，用频率估计概率，求X的分布列和数学期望；（3）学校为提高对垃圾分类知识的了解水平，计划在高一或高二开展一场讲座，已知两个年级学生人数相同，假设讲座能够使学生成绩普遍提高一个等级，那么为使两个年级的整体平均分尽可提高，应该在高一讲座还是在高二讲座？（直接写出结论）21. 已知椭圆过点，离心率为.（1）求椭圆M的方程；（2）已知直线在x轴上方交椭圆M于B，C（异于点A）两个不同的点，直线AB，AC分别与y轴交于点P､Q，O为坐标原点，求的值.22. 若函数.（1）求曲线在点处的切线的方程；（2）判断方程解的个数，并说明理由；（3）当，设，求的单调区间.23. 已知集合.对集合A中的任意元素，定义，当正整数时，定义（约定）.（1）若，求；（2）若满足，且，求的所有可能结果；（3）是否存在正整数n使得对任意都有?若存在，求出n的所有取值；若不存在，说明理由.参考答案一、选择题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知集合，，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由已知，根据条件已给的集合，集合，可直接求解.【详解】由已知，集合，集合，所以.故选：A.2. 已知实数，则下列结论正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由已知，可根据条件，分别对、取值然后验证选项是否满足，选项D，则根据指数函数的单调性可作出判断.【详解】由已知，选项A，若，，满足，但，故该选项错误；选项B，若，，满足，但，故该选项错误；选项C，若，，满足，但，故该选项错误；选项D，因为，由指数函数在上是增函数可得，故该选项正确.故选：D.3. 下面给出的四个随机变量中是离散型随机变量的为（ ）①高速公路上某收费站在半小时内经过的车辆数；②一个沿直线进行随机运动的质点离坐标原点的距离；③某同学射击3次，命中的次数；④某电子元件的寿命；A. ①② B. ③④ C. ①③ D. ②④【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，利用离散型随机变量的定义分析各命题，再判断作答.【详解】对于①，半小时内经过的车辆数可以一一列举出来，故①是离散型随机变量；对于②，沿直线进行随机运动的质点，质点在直线上的位置不能一一列举出来，故②不是离散型随机变量；对于③，某同学射击3次，命中的次数可以一一列举出来，故③是离散型随机变量；对于④，某电子元件的寿命可为任意值，不能一一列举出来，故④不是离散型随机变量；故选：C.4. 已知数列的首项为，且满足，则此数列的第3项是（ ）A. 4 B. 12 C. 24 D. 32【答案】B【解析】【分析】根据递推公式逐项计算即可【详解】由题意，，故选：B5. 下列命题中，正确的是（ ）A. 若等比数列的公比，则为递增数列；B. 若等比数列的公比，为递减数列；C. 常数列既是等差数列又是等比数列；D. 若是等差数列，则是等比数列.【答案】D【解析】【分析】对A,B,C举反例判断即可，对D，设，，再根据等比数列的定义判断即可【详解】对A，等比数列的首项公比，则为递减数列，故A错误；对B，等比数列的首项公比，则为递增数列，故B错误；对C，若常数列满足，则不是等比数列，故C错误；对D，设，，则，又为常数且不为0，故是等比数列，故D正确；故选：D6. 随机变量的分布列如图，其中成等差数列，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由等差数列定义和分布列性质可求得，由此可得结果.【详解】成等差数列，；由分布列性质知：，解得：，，.故选：C.7. 已知的导数存在，的图象如图所示，则在区间上（ ）A. 的最大值是，最小值是B. 的最大值是，最小值是C. 的最大值是，最小值是D. 的最大值，最小值是【答案】B【解析】【分析】根据函数图象的变化快慢即可判断.【详解】由图可知当时，单调递增，，且的图象越来越平缓，所以在单调递减；当时，单调递减，，且的图象越来越陡峭，所以在单调递减；又，所以在单调递减，所以的最大值是，最小值是.故选：B.8. 若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】求导，导函数在上恒非负，根据恒成立的问题的办法解决.【详解】，又在上单调递增，故在上恒成立，而时，易见，只需要即可，故.故选：B.9. 已知等差数列的前n项和为.若，且，则的n的最大值是（ ）A. 5 B. 6 C. 10 D. 11【答案】D【解析】【分析】由已知，设出公差，根据题意条件，先求解出数列的通项公式，然后再求解出，再令求解出n的取值范围即可.【详解】由已知，等差数列中，设公差为，因为，所以，由可得，，所以，，令，得，因为，所以.故选：D.10. 已知数列{}的通项为，则“”是“，”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据，求得，对恒成立，进而得到，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.【详解】由题意，数列的通项为，则，即，对恒成立，当时，取得最小值，所以，所以“”是“，”的充分不必要条件.故选：A.11. 甲乙丙三人参加2022年冬奥会北京、延庆、张家口三个赛区志愿服务活动，若每人只能选择一个赛区，且选择其中任何一个赛区是等可能的．记X为三人选中的赛区个数，Y为三人没有选中的赛区个数，则（ ）A. ， B. ，C. ， D. ，【答案】D【解析】【分析】可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，从而求出，进而求出；的可能取值为1，2，3，分别求出相应的概率，从而求出，进而求出，由此能求出结果．【详解】解：由题意得的可能取值为1，2，3，则，，，所以，，的可能取值为0，1，2，则，，，，；，．故选：D．12. 设函数，则下列命题中真命题是（ ）①是奇函数； ②当时，；③是周期函数； ④存在无数个零点；A. ②④ B. ①③ C. ①②③ D. ①②④【答案】D【解析】【分析】对①，根据奇偶性的定义化简计算即可判断；对②，令，利用导数求出的范围即可判断；对③，假设周期为，化简判断可得；对④，求解方程即可判断.【详解】对①，，所以是奇函数，故①正确；对②，令，则，又，所以在单调递减，因为，，所以存在，使，当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以，所以，所以，故②正确；对③，假设的周期为，则对一切成立，取时，，得，再取时，，得，显然无解，故不是周期函数，故③错误；对④，令，解得，取，则，解得或，所以有无数个零点，故④正确.故选：D.【点睛】关键点点睛：本题考查与三角函数有关的复合函数，解题的关键是考虑的性质，利用导数研究是关键点.第二部分 非选择题（共90分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.13. 已知命题“，”是假命题，则实数a的取值范围为______.【答案】【解析】【分析】根据“， ”是假命题，得出它的否定命题是真命题，求出实数a的取值范围．【详解】解：∵命题“， ”是假命题，∴，是真命题，即使不等式有解；所以，解得：或.∴实数a的取值范围是.故答案为：.【点睛】本题主要考查根据特称命题与全称命题的真假求参数，考查了一元二次不等式能成立问题，属于基础题.14. 已知点F为抛物线的焦点，则点F坐标为__________；若双曲线的一个焦点与点F重合，则该双曲线的离心率为___________.【答案】 ①. ②. 【解析】【分析】（１）根据抛物线的焦点坐标求解即可；（２）根据双曲线基本量间的关系求解即可【详解】（１）抛物线的标准方程，故中，故其焦点为，故；（２）由题意，，解得，故离心率为故答案为：；15. 某厂有甲、乙两条生产线，甲生产线产出“高品质产品”的概率为0.6，乙生产线产出“高品质产品”的概率为0.5，已知两条生产线产量相同，现从该厂产品中任取一件，则它是“高品质产品”的概率为__________.【答案】##【解析】【分析】根据全概率公式求解即可【详解】由题意，因为两条生产线产量相同，故从该厂产品中任取一件，抽取到甲、乙两条生产线的概率均为0.5，故从该厂产品中任取一件，则它是“高品质产品”的概率为故答案为：16. 已知a，b为正实数，直线将圆平分，则的最小值是_________.【答案】8【解析】【分析】根据圆的性质，结合基本不等式进行求解即可.【详解】因为直线过圆心，所以，因为a、b为正实数，所以，当且仅当时取等号，即时取等号，故答案为：817. 已知函数，若函数有四个零点，则实数a的取值范围是______________.【答案】【解析】【分析】由于函数有四个零点，所以有4个不同的根，所以函数的图象与直线有4个不同的交点，所以画出函数图象，利用图象求解即可【详解】因为函数有四个零点，所以方程有4个不同的解，所以函数的图象与直线有4个不同的交点，①当时，，则，当时，，当时，，所以上递增，在上递减，所以当时，有最大值，当时，，当时， ②当时，，当时，有最小值所以图象如图所示由图可知，当时，函数的图象与直线有4个不同的交点，所以实数a的取值范围是，故答案为：18. 刺绣是中国优秀的民族传统工艺之一，已经有2000多年的历史.小王同学在刺绣选修课上，设计了一个螺旋形图案--即图中的阴影部分.它的设计方法是：先画一个边长为3的正三角形，取正三角形各边的三等分点，得到第一个阴影三角形；在正三角形中，再取各边的三等分点，得到第二个阴影三角形；继续依此方法，直到得到图中的螺旋形图案，则______;图中螺旋形图案的面积为______.【答案】 ①. ②. 【解析】【分析】根据余弦定理得到等边三角形边长成等比数列，即可得的长度，再根据三角形的面积公式，求得各个阴影三角形面积成等比数列，即可求解.【详解】解：设正三角形的边长为，后续各正三角形的边长依次为，，，设第一个阴影三角形面积为,后续阴影三角形面积为由题意知，，，所以为以为首项，为公比的等比数列，所以，所以，所以；所以，又，所以是以为首项，为公比的等比数列，故图中阴影部分面积为，故答案为：；.三、解答题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.19. 如图，在长方体中，底面是边长为2的正方形，，E，F分别是的中点.（1）求证：平面；（2）若N为的中点，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）见解析 （2）【解析】【分析】（1）如图所示，以点为坐标原点，以分别为轴建立空间直角坐标系利用向量法证明；（2）利用向量法求直线与平面所成角的正弦值．【小问1详解】如图所示，以点为坐标原点，以分别为轴建立空间直角坐标系由题得,由题得,设平面的法向量为，所以.所以，因为平面，所以平面.【小问2详解】由题得，设直线与平面所成角为，所以.所以直线与平面所成角的正弦值为.20. 为减少环境污染、保护生态环境，某校进行了“垃圾分类知识普及活动”，并对高一、高二全体学生进行了相关知识测试.现从高一、高二各随机抽取了20名学生，对他们的成绩（百分制）进行了整理和分析后得到如下信息：高一年级成绩分布表（1）从高一样本中抽取一人，求该人成绩不低于80分的概率；（2）从高二全体学生中抽取3人，这3人中成绩不低于90分的人数记为X，用频率估计概率，求X的分布列和数学期望；（3）学校为提高对垃圾分类知识的了解水平，计划在高一或高二开展一场讲座，已知两个年级学生人数相同，假设讲座能够使学生成绩普遍提高一个等级，那么为使两个年级的整体平均分尽可提高，应该在高一讲座还是在高二讲座？（直接写出结论）【答案】（1） （2）答案见详解； （3）高二年级.【解析】【分析】（1）在抽取20个人的情况直接进行计算即可；（2）先求出样本中不低于90分的学生的概率，由于用频率估计概率，在全体高二学生抽取时，可近似看成二项分布，利用二项分布可得出的分布列，利用二项分布的期望公式可求得的值；（3）计算两者的平均分作为依据.【小问1详解】依题意，抽取的20名高一学生中，不小于分的概率为；【小问2详解】在高二20人的样本中，不低于90分的人数有人，抽到不低于90分的人的概率为，依题意，在全体高二学生抽取一人不低于90分学生的概率也是，服从二项分布，即，可能的取值为，概率如下：，，，，分布列表格如下：根据二项分布的期望公式，.【小问3详解】应该去高二年级，高一年级的平均分为：，高二年级平均分为：，高二均分更低，因此选高二.21. 已知椭圆过点，离心率为.（1）求椭圆M的方程；（2）已知直线在x轴上方交椭圆M于B，C（异于点A）两个不同的点，直线AB，AC分别与y轴交于点P､Q，O为坐标原点，求的值.【答案】（1） （2）【解析】分析】（1）直接由点坐标及离心率求得椭圆方程即可；（2）联立直线与椭圆求得，再表示出直线AB，AC的方程，求得P､Q坐标，再计算即可.【小问1详解】由题意知：，则，，则椭圆M的方程为；【小问2详解】联立直线与椭圆，整理得，，即，又直线在x轴上方交椭圆M于B，C（异于点A）两点，则；设，则，，，易得直线AB，AC斜率必然存在，则，令，得，则，同理可得，且，则.22. 若函数.（1）求曲线在点处的切线的方程；（2）判断方程解的个数，并说明理由；（3）当，设，求的单调区间.【答案】（1） （2）个，理由见解析； （3）答案见解析【解析】【分析】（1）首先求出，再求出导函数，即可求出切线的斜率，从而求出切线方程；（2）由导函数可得的单调性，即可求出的最大值，即可判断；（3）首先求出导函数，令，解得或，再对参数分三种情况讨论，分别求出函数的单调区间.【小问1详解】解：因为，所以，所以，则，所以切点坐标为，切线的斜率，所以切线方程为.【小问2详解】解：因为，所以当时，当时，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，则仅有一个实数解；【小问3详解】解：当时，，，则，令，解得或，当时，，此时令，解得或，令，解得，故的单调递增区间为：，，单调递减区间为，当时，令时，解得或，令时，解得，故的单调递增区间为、，单调递减区间为．当时，恒成立，所以的单调递增区间为，无单调递减区间．综上所述：当时，的单调递增区间为：，，单调递减区间为，当时，单调递增区间为、，单调递减区间为．当时，单调递增区间为，无单调递减区间．23. 已知集合.对集合A中的任意元素，定义，当正整数时，定义（约定）.（1）若，求；（2）若满足，且，求的所有可能结果；（3）是否存在正整数n使得对任意都有?若存在，求出n的所有取值；若不存在，说明理由.【答案】（1） （2）、、、 （3）存在，【解析】【分析】（1）根据定义写出即可得结果.（2）由题设有或，再依据定义确定的所有可能结果；（3）由定义得，依次写出直到即可判断存在性，并确定n的所有取值.【小问1详解】由题意，，，，【小问2详解】由且，①，当或1时，，同理，或1时，，或1时，，或1时，，所以①等价于，则，，当，，则为满足；当，，则为满足，当，，则为满足，当，，则为满足，综上，的所有可能结果、、、.【小问3详解】存在正整数n使且，理由如下：由，则，所以，若，，所以，若，则，，，所以，对都有，当时，恒成立，综上，n所有取值为使成立.【点睛】本题解题关键是理解清楚集合定义，按照所给定义结合已知分析推理即可.等级EDCBA成绩人数123410等级EDCBA成绩人数123410