浙教版八年级上册2.2 等腰三角形精品一课一练

        专题2.2等腰三角形

姓名：__________________     班级：______________   得分：_________________

注意事项：

本试卷满分100分，试题共24题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（2020•青海）等腰三角形的一个内角为70°，则另外两个内角的度数分别是（　　）

A．55°，55° B．70°，40°或70°，55° 

C．70°，40° D．55°，55°或70°，40°

【分析】已知给出了一个内角是70°，没有明确是顶角还是底角，所以要进行分类讨论，分类后还需用三角形内角和定理去验证每种情况是不是都成立．

【解析】分情况讨论：

（1）若等腰三角形的顶角为70°时，底角＝（180°﹣70°）÷2＝55°；

（2）若等腰三角形的底角为70°时，它的另外一个底角为70°，顶角为180°﹣70°﹣70°＝40°．

故选：D．

2．（2020•上城区二模）若等腰三角形的一个外角度数为100°，则该等腰三角形顶角的度数为（　　）

A．80° B．100° C．20°或100° D．20°或80°

【分析】因为题中没有指明该外角是顶角的外角还是底角的外角，所以应该分两种情况进行分析．

【解析】当100°的角是顶角的外角时，顶角的度数为180°﹣100°＝80°；

当100°的角是底角的外角时，底角的度数为180°﹣100°＝80°，所以顶角的度数为180°﹣2×80°＝20°；

故顶角的度数为80°或20°．

故选：D．

3．（2020春•雨花区期末）已知△ABC为等腰三角形，△ABC的周长为16，中一条边长为4，则另外两边的长为（　　）

A．4，4 B．6，6 C．4，8 D．6，6或4，8

【分析】由于没有明确已知的边长是底还是腰，所以要分类讨论，最后要根据三角形三边关系定理来判断所求的解是否符号要求．

【解析】当4为底时，腰长为：（16﹣4）÷2＝6；4，6，6能构成三角形；

当4为腰时，底长为：16﹣4×2＝8；4+4＝8，不能构成三角形；

所以另外两边的长分别是6，6，

故选：B．

4．（2020春•朝阳区校级期末）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是45°，则这个三角形的底角为（　　）

A．67°31′ B．22°30′ 

C．67°30′ D．22°30′或67°30′

【分析】分两种情况讨论，求出每种情况的顶角的度数，再利用等边对等角的性质（两底角相等）和三角形的内角和定理，即可求出底角的度数．

【解析】有两种情况；

（1）如图，当△ABC是锐角三角形时，BD⊥AC于D，

则∠ADB＝90°，

已知∠ABD＝45°，

∴∠A＝90°﹣45°＝45°，

∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠C（180°﹣45°）＝67.5°；

（2）如图，当△EFG是钝角三角形时，FH⊥EG于H，

则∠FHE＝90°，

已知∠HFE＝45°，

∴∠HEF＝90°﹣45°＝45°，

∴∠FEG＝180°﹣45°＝135°，

∵EF＝EG，

∴∠EFG＝∠G（180°﹣135°）＝22.5°，

故选：D．

5．（2020春•莲池区校级期末）若一条长为31cm的细线能围成一边长等于7cm的等腰三角形，则该等腰三角形的腰长为（　　）

A．7cm B．9cm C．7cm或12cm D．12cm

【分析】分腰长为7cm和底边长为7cm，分别列出方程，求解即可．

【解析】若腰长7cm，设底边长为xcm，则7+7+x＝31，

解得x＝17，

此时三边长7cm、7cm、17cm，

∵7+7＜17

∴此三角形不成立；

若底边长xcm，则腰长2xcm，由题意得

7+x+x＝31，

解得x＝12，

此时三边长7cm、12cm、12cm．

答：该等腰三角形的腰长为12cm．

故选：D．

6．（2020•毕节市）已知等腰三角形两边的长分别为3和7，则此等腰三角形的周长为（　　）

A．13 B．17 C．13或17 D．13或10

【分析】等腰三角形两边的长为3和7，具体哪条是底边，哪条是腰没有明确说明，因此要分两种情况讨论．

【解析】①当腰是3，底边是7时，不满足三角形的三边关系，因此舍去．

②当底边是3，腰长是7时，能构成三角形，则其周长＝3+7+7＝17．

故选：B．

7．（2020春•浦东新区期末）等腰三角形的周长是20cm，一边是另一边的两倍，则底边长（　　）

A．10cm或4cm B．10cm C．4cm D．无法确定

【分析】根据题意设底边长xcm，则腰长为2xcm，根据周长是20cm，求出x的值即可；

【解析】根据题意设底边长xcm，则腰长为2xcm．

x+2x+2x＝20，

解得  x＝4

故底边长为4cm，

故选：C．

8．（2020春•龙岗区期末）如果等腰三角形的一个内角为50°，那么其它两个内角为（　　）

A．50°，80° B．65°，65° 

C．50°，65° D．50°，80°或65°，65°

【分析】题中没有指出该角是顶角还是底角，故应该分情况进行分析，从而得到答案．

【解析】当该角是底角时，另外两个角分别为：50°，80°；

当该角是顶角时，另外两个角分别是：65°，65°．

故选：D．

9．（2020春•铁西区期末）若等腰三角形的底角为72°，则这个等腰三角形的顶角的度数是（　　）

A．36° B．54° C．72° D．108°

【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论．

【解析】∵等腰三角形的底角为72°，

∴等腰三角形的顶角＝180°﹣72°﹣72°＝36°．

故选：A．

10．（2020春•叙州区期末）已知等腰三角形的两边长分别为a、b，且a、b满足|2a﹣b﹣1|+（b﹣a﹣2）2＝0，则此等腰三角形的周长是（　　）

A．8 B．11 C．12 D．11或13

【分析】首先根据|2a﹣b﹣1|+（b﹣a﹣2）2＝0求得a、b的值，然后求得等腰三角形的周长即可．

【解析】∵|2a﹣b﹣1|+（b﹣a﹣2）2＝0

∴

解得：，

当4为腰时，三边为3，3，5，由三角形三边关系定理可知，周长为：3+3+5＝11．

当5为腰时，三边为5，5，3，符合三角形三边关系定理，周长为：5+5+3＝13．

故选：D．

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上

11．（2020春•和平区期末）在等腰三角形ABC中，它的两边长分别为7cm和3cm，则它的周长为　17　cm．

【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为3cm和7cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．

【解析】当7cm为腰，3cm为底，此时周长＝7+7+3＝17（cm）；

当7cm为底，3cm为腰，则3+3＜7无法构成三角形，故舍去．

故其周长是17cm．

故答案为：17．

12．（2020•齐齐哈尔）等腰三角形的两条边长分别为3和4，则这个等腰三角形的周长是　10或11　．

【分析】分3是腰长与底边长两种情况讨论求解即可．

【解析】①3是腰长时，三角形的三边分别为3、3、4，

∵此时能组成三角形，

∴周长＝3+3+4＝10；

②3是底边长时，三角形的三边分别为3、4、4，

此时能组成三角形，

所以周长＝3+4+4＝11．

综上所述，这个等腰三角形的周长是10或11．

故答案为：10或11．

13．（2020春•金牛区期末）等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为x度，则此三角形的顶角为　2x　度．

【分析】此题要分两种情况推论：当等腰三角形的顶角是钝角时，腰上的高在三角形的外部，根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和；

当等腰三角形的顶角是锐角时，根据直角三角形的两个锐角互余，求得底角，再根据三角形的内角和是180°，得顶角的度数．

【解析】如图，

（1）顶角是钝角时，∠B＝（90﹣x）°，

故顶角＝180°﹣2（90﹣x）°＝2x°；

（2）顶角是锐角时，∠B＝（90﹣x）°，

故顶角＝180°﹣2（90﹣x）°＝2x°．

综上所述，此三角形的顶角为2x度．

故答案为：2x．

14．（2020•新都区模拟）一个等腰三角形的两条边分别是6厘米和8厘米，那么它的周长是　20或22　厘米．

【分析】分两种情况：当5厘米为腰时，当7厘米为腰时，根据周长的公式即可得到结论．

【解析】当6厘米为腰时，周长＝6+6+8＝20（cm），

当8厘米为腰时，周长＝6+8+8＝22（cm），

故答案为20或22．

15．（2020春•安源区期中）等腰三角形腰上的高与腰的夹角为47°，则这个三角形的顶角为　43或137　度．

【分析】根据题意，一种情况为等腰三角形为锐角等腰三角形，根据垂直的性质外角的性质即可推出顶角为137°，另一种情况为等腰三角形为钝角三角形，根据三角形内角和定理和垂直的定理即可推出顶角为43°．

【解析】①此等腰三角形为钝角三角形，

∵等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为47°，

∴此三角形的顶角＝90°+47°＝137°，

②此等腰三角形为锐角三角形，

∵等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为47°，

∴此三角形的顶角＝90°﹣47°＝43°．

故答案为：43或137．

16．（2020春•赣榆区期中）如果实数a、b满足|a﹣2|+（b﹣4）2＝0，且a、b恰好是等腰△ABC的两边长，则△ABC的周长是　10　．

【分析】根据非负数的意义列出关于a、b的方程并求出a、b的值，再根据a是腰长和底边长两种情况讨论求解．

【解析】根据题意，，

解得，

（1）若2是腰长，则三角形的三边长为：2、2、4，

不能组成三角形；

（2）若2是底边长，则三角形的三边长为：2、4、4，

能组成三角形，

周长为2+4+4＝10．

故答案为：10．

17．（2020•浙江自主招生）等腰三角形，一腰上的中线将它的周长分成12和9两部分，则腰长为　6或8　．

【分析】设腰长为x，底边长为y，根据等腰三角形一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分为9和12两部分，列方程解得即可．

【解析】设腰长为x，底边长为y，

则或，

解得：或，

经检验，都符合三角形的三边关系．

因此三角形的底边长为9或5，等腰三角形的腰长为6或8．

故答案为：6或8．

18．（2021秋•宿豫区期中）在等腰三角形ABC中，∠A＝2∠B，则∠C的度数为　45°或72°　．

【分析】分∠A是顶角和底角两种情况分类讨论列出方程求解即可．

【解析】设∠B＝x°，则∠A＝2x°，

当∠A是顶角时，∠A+2∠B＝180°，

即：4x＝180，

解得：x＝45，

此时∠C＝∠B＝45°；

当∠A是底角时，2∠A+∠B＝180°，

即5x＝180，

解得：x＝36°，

此时∠C＝2∠B＝72°，

故答案为：45°或72°．

三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

19．（2020春•高新区期末）二元一次方程组的解x，y的值是一个等腰三角形两边的长，且这个等腰三角形的周长为5，求腰的长．（注：等腰三角形中相等的两条边叫做等腰三角形的腰）

【分析】由于x，y的值是一个等腰三角形两边的长，所以x，y可能是腰也可能是底，依次分析即可解决，注意应三角形三边关系验证是否能组成三角形．

【解析】解方程组得，

①若x、y都为腰，则x＝y，

3m﹣3＝﹣m+3，

解得m，x＝y，底边为2，符合题意；

②若x为腰、y为底，则2x+y＝5，

2（3m﹣3）+（﹣m+3）＝5，

解得m，x，y，符合题意；

③若y为腰、x为底，则x+2y＝5，

（3m﹣3）+2（﹣m+3）＝5，m＝2，x＝3，y＝1，不符合题意，舍去．

所以等腰三角形的腰长为或．

20．（2020春•西城区期末）已知一个三角形的三条边的长分别为n+2，n+6，3n．

（1）n+2　＜　n+6；（填“＞”，“＝”或“＜”）

（2）若这个三角形是等腰三角形，求它的三边的长；

（3）若这个三角形的三条边都不相等，且n为正整数，直接写出n的最大值．

【分析】（1）根据不等式的性质即可求解；

（2）根据等腰三角形的性质，分两种情况求出n，再根据三角形三边关系即可求解；

（3）根据三角形三边关系可求n的最大值．

【解析】（1）n+2＜n+6；（填“＞”，“＝”或“＜”）

（2）①n+2＝3n，

解得n＝1，

三角形三边的长为3，3，7，不符合三角形三边关系；

②n+6＝3n，

解得n＝3，

三角形三边的长为5，9，9．

综上所述，三角形三边的长为5，9，9；

（3）依题意有（n+6）﹣（n+2）＜3n＜（n+6）+（n+2），

解得n＜8，

∵n为正整数，

∴n的最大值为7．

故答案为：＜．

21．（2020春•郑州期末）求证：等腰三角形的底角必为锐角．

【分析】用反证法证明；先设等腰三角形的底角是直角或钝角，然后得出假设与三角形内角和定理相矛盾，从而得出原结论成立．

【解答】证明：①设等腰三角形底角∠B，∠C都是直角，则∠B+∠C＝180°，

而∠A+∠B+∠C＝180°+∠A＞180°，这与三角形内角和等于180°矛盾．

②设等腰三角形的底角∠B，∠C都是钝角，则∠B+∠C＞180°，

而∠A+∠B+∠C＞180°，这与三角形内角和等于180°矛盾．

综上所述，假设①，②错误，所以∠B，∠C只能为锐角．

故等腰三角形的底角必为锐角．

22．（2021秋•宜城市期末）一个等腰三角形的一边长为5，周长为23，求其他两边的长．

【分析】此题要分两种情况进行讨论：①当腰长为5时；②当底边长为5时，分别计算出其它两边，注意要符合三角形三边关系．

【解析】若长为5的边是腰，设底边长为x，

则2×5+x＝23，解得x＝13．

∵5+5＜13，

∴长度为5，5，13的三条线段不能组成三角形．

若长为5的边是底边，设腰长为x，

则2x+5＝23，解得x＝9．

∵5+9＞9，

∴长度为5，9，9的三条线段能组成三角形．

答：其他两边为9，9．

23．（2021春•成华区期末）已知：△ABC是等腰三角形，

（1）若∠A＝80°，当∠A为顶角，∠B为底角时，则∠B＝　50　°；

当∠A为底角，∠B为底角时，则∠B＝　80　°；

当∠A为底角，∠B为顶角时，则∠B＝　20　°；

（2）若∠A＝α，求∠B的度数（用含α的代数式表示）．

【分析】（1）根据等腰三角形的性质和三角形的内角和解答即可；

（2）根据等腰三角形的性质和三角形的内角和解答即可．

【解析】（1）∵△ABC是等腰三角形，∠A＝80°，

∴当∠A为顶角，∠B为底角时，则∠B＝50°；

当∠A为底角，∠B为底角时，则∠B＝80°；

当∠A为底角，∠B为顶角时，则∠B＝20°；

（2）∵△ABC是等腰三角形，∠A＝α，

当∠A是顶角时，∠B90°，

当∠A是底角时，∠B是底角时，∠B＝α，

当∠A是底角，∠B是顶角时，∠B＝180°﹣α﹣α＝180°﹣2α；

故答案为：（1）50；80；20．

24．（2021秋•越城区期末）数学课上，张老师举了下面的例题：

例1等腰三角形ABC中，∠A＝110°，求∠B的度数．（答案：35°）

例2等腰三角形ABC中，∠A＝40°，求∠B的度数．（答案：40°或70°或100°）

张老师启发同学们进行变式，小敏编了如下两题：

变式1：等腰三角形ABC中，∠A＝100°，求∠B的度数．

变式2：等腰三角形ABC中，∠A＝45°，求∠B的度数．

（1）请你解答以上两道变式题．

（2）解（1）后，小敏发现，∠A的度数不同，得到∠B的度数的个数也可能不同．如果在等腰三角形ABC中，设∠A＝x°，当∠B只有一个度数时，请你探索x的取值范围．

【分析】（1）由条件可判断∠A为顶角，再利用三角形内角和定理求得∠B的度数．

（2）分两种情况：

①当90≤x＜180时，∠A只能为顶角，得到∠B的度数只有一个；

②当0＜x＜90时，当x＝60时，等腰三角形ABC是等边三角形，得到∠B的度数只有一个，于是得到结论．

【解析】（1）变式1：∵∠A＝100°，

∴∠A只能为△ABC的顶角，

∵△ABC为等腰三角形，

∴∠B＝∠C（180°﹣100°）＝40°；

变式2：若∠A为顶角，则∠B＝（180°﹣∠A）÷2＝67.5°；

若∠A为底角，∠B为顶角，则∠B＝180°﹣2×45°＝90°；

若∠A为底角，∠B为底角，则∠B＝45°；

故∠B＝67.5°或90°或45°；

（2）分两种情况：

①当90≤x＜180时，∠A只能为顶角，

∴∠B的度数只有一个；

②当0＜x＜90时，当x＝60时，等腰三角形ABC是等边三角形，

∴∠B的度数只有一个，

∴当∠B只有一个度数时，请你探索x的取值范围为90≤x＜180或60．