初中数学浙教版八年级上册2.4 等腰三角形的判定定理精品同步达标检测题

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专题2.4等腰三角形的判定定理
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2020春•南山区校级期中）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝36°，AD平分∠BAC，则图中等腰三角形的个数是（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】由AC＝BC，可得△ABC是等腰三角形，求得各角的度数，证出∠CAD＝∠BAD＝∠C＝36°，∠BDA＝∠B，确定△BAD与△CAD也是等腰三角形，即可得出结论．
【解析】∵AC＝BC，∠C＝36°，
∴△ABC是等腰三角形，∠BAC＝∠ABC＝72°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠BAD＝∠C＝36°
∴△CAD为等腰三角形，
∵∠BDA＝∠C+∠CAD＝72°＝∠B，
∴△BAD为等腰三角形，
∴则图中等腰三角形的个数是3个．
故选：C．
2．（2021秋•河西区期中）在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝45°，则下列判断错误的是（　　）
A．△ABC是直角三角形 B．△ABC是锐角三角形
C．△ABC是等腰三角形 D．∠A和∠B互余
【分析】根据等腰直角三角形的判定解答即可．
【解析】∵在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝45，
∴∠C＝90°，
即△ABC是等腰直角三角形，∠A和∠B互余
故选：B．
3．（2021秋•尚志市期中）如图所示，在三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝108°，在BC上分别取点D，E使∠BAD＝∠B，∠CAE＝∠C，则图中的等腰三角形有（　　）

A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【分析】根据等腰三角形的判定解答即可．
【解析】∵AB＝AC，∠BAC＝108°，
∴∠B＝∠C＝36°，△ABC是等腰三角形，
∵∠BAD＝∠B＝36°，
∴△ABD是等腰三角形，
∵∠CAE＝∠C＝36°，
∴△AEC是等腰三角形，
∴∠ADC＝∠DAC＝72°，
∴△ADC是等腰三角形，
同理，△ABE是等腰三角形，
∴∠ADE＝∠AED＝72°，
∴△ADE是等腰三角形，
故选：D．
4．（2021秋•珠海期中）如图，直线m，n交于点B，点A是直线m上的点，在直线n上寻找一点C，使△ABC是等腰三角形，这样的C点有多少个？（　　）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】线段AB可为等腰三角形的底边，也可为腰长，所以应分情况进行讨论．
【解析】分两种情况：
①当AB为腰长时，存在3个等腰三角形，
如图1所示：
其中AB＝AC时，有1个；
AB＝BC时，有2个；
②当AB为底边时，有1个，
如图2所示：
∴△ABC是等腰三角形时，这样的C点有4个．
故选：C．


5．（2021秋•海安市期中）在平面直角坐标系中，已知点A（3，3），在x轴的正半轴上确定一点P，使得三角形AOP是等腰三角形，则符合条件的点P共有（　　）
A．2 个 B．3个 C．4个 D．1个
【分析】分别从当OP＝AP时、当OA＝OP时、当OA＝AP时去分析求解即可求得答案．
【解析】如图所示，当OP＝AP时，P1（3，0），
当OA＝OP时，OP＝OA＝32，此时P1（32，0），
当OA＝AP时，P3（6，0）．
故符合条件的点P共有3个．
故选：B．

6．（2021秋•东海县期中）△ABC中，AD，BE分别是边BC，AC上的高，若∠EBC＝∠BAD，则△ABC一定是（　　）
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【分析】发现∠ABC与∠C分别是∠BAD与∠EBC的余角，得到二角相等，根据等腰三角形的判定可得答案．
【解析】∵∠EBC+∠C＝90°，∠C+∠CAD＝90°，
∴∠CAD＝∠EBC，
∵∠EBC＝∠BAD
∴∠BAD＝∠CAD，∠CAD+∠C＝90°∠BAD+∠ABC＝90°
∴∠ABC＝∠C
∴AB＝AC
∴为等腰三角形．
故选：A．

7．（2021春•峄城区期中）如图，已知△ABC中，AB＝3，AC＝5，BC＝7，在△ABC所在平面内一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画（　　）

A．2条 B．3条 C．4条 D．5条
【分析】根据等腰三角形的性质分别利用AB为底以及AB为腰得出符合题意的图形即可．
【解析】如图所示，当AB＝AF＝3，BA＝BD＝3，AB＝AE＝3，BG＝AG时，都能得到符合题意的等腰三角形．

故选：C．
8．（2021秋•睢宁县期中）如图，△ABC中，∠B＝∠C，BD＝CD，则下列判断不一定正确的是（　　）

A．AB＝AC B．AD⊥BC
C．∠BAD＝∠CAD D．△ABC是等边三角形
【分析】由等腰三角形的判定由性质分别对各个选项进行判断即可．
【解析】∵∠B＝∠C，
∴AB＝AC，
∴选项A不符合题意；
∵∠B＝∠C，
∴AB＝AC，BD＝CD，
∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，
∴选项B、选项C不符合题意；
当△ABC中有一个角为60°时，△ABC是等边三角形，
∴选项D符合题意；
故选：D．
9．（2020•焦作一模）已知，在△ABC中，AB＝AC，如图，
（1）分别以B，C为圆心，BC长为半径作弧，两弧交于点D；
（2）作射线AD，连接BD，CD．
根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（　　）

A．∠BAD＝∠CAD B．△BCD是等边三角形
C．AD垂直平分BC D．S四边形ABDC＝AD•BC
【分析】根据作图方法可得BC＝BD＝CD，进而可得△BCD等边三角形，再利用垂直平分线的判定方法可得AD垂直平分BC，利用等腰三角形的性质可得∠BAD＝∠CAD，利用面积公式可计算四边形ABDC的面积．
【解析】根据作图方法可得BC＝BD＝CD，
∵BD＝CD，
∴点D在BC的垂直平分线上，
∵AB＝AC，
∴点A在BC的垂直平分线上，
∴AD是BC的垂直平分线，故C结论正确；
∴O为BC中点，
∴AO是△BAC的中线，
∵AB＝AC，
∴∠BAD＝∠CAD，故A结论正确；
∵BC＝BD＝CD，
∴△BCD是等边三角形，故B结论正确；
∵四边形ABDC的面积＝S△BCD+S△ABC=12BC•DO+12BC•AO=12BC•AD，故D选项错误，
故选：D．

10．（2021秋•辛集市期末）如图，在钝角三角形ABC中，∠ABC为钝角，以点B为圆心，AB长为半径面弧；再以点C为圆心，AC长为半径画弧；两弧交于点D，连结AD，CB的延长线交AD于点E．下列结论错误的是（　　）

A．CE垂直平分AD B．CE平分∠ACD
C．△ABD是等腰三角形 D．△ACD是等边三角形
【分析】依据作图可得CA＝CD，BA＝BD，即可得到CB是AD的垂直平分线，依据线段垂直平分线的性质以及三角形内角和定理，即可得到结论．
【解析】由题可得，CA＝CD，BA＝BD，
∴CB是AD的垂直平分线，
即CE垂直平分AD，故A选项正确；
∴∠CAD＝∠CDA，∠CEA＝∠CED，
∴∠ACE＝∠DCE，
即CE平分∠ACD，故B选项正确；
∵DB＝AB，
∴△ABD是等腰三角形，故C选项正确；
∵AD与AC不一定相等，
∴△ACD不一定是等边三角形，故D选项错误；
故选：D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2021秋•长春期中）下列三角形中：①有两个角等于60°的三角形；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个角都相等的三角形；④三边都相等的三角形．其中是等边三角形的有　①②③④　（填序号）．
【分析】根据等边三角形的定义即可判断．
【解析】①有两个角等于60°的三角形是等边三角形．
②有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．
③三个角都相等的三角形是等边三角形
④三边都相等的三角形是等边三角形，
故答案为①②③④．
12．（2021秋•乳山市期中）已知a、b、c是△ABC的三边的长，且满足a2+2b2+c2﹣2b（a+c）＝0，则此三角形的形状为　等边三角形　．
【分析】利用三角形三边关系判断三角形的形状，根据已知条件得出三角形三个边的关系式从而判断三角形的形状．
【解析】由已知条件a2+2b2+c2﹣2b（a+c）＝0化简得，
（a﹣b）2+（b﹣c）2＝0
∴a﹣b＝0，b﹣c＝0
即 a＝b，b＝c
∴a＝b＝c
故答案为等边三角形．
13．（2016秋•临城县期末）如图已知OA＝a，P是射线ON上一动点，∠AON＝60°，当OP＝　a　时，△AOP为等边三角形．

【分析】根据“有一内角为60度的等腰三角形是等边三角形”进行解答．
【解析】∵AON＝60°，
∴当OA＝OP＝a时，△AOP为等边三角形．
故答案是：a．
14．（2021秋•海淀区期末）如图，已知∠MON，在边ON 上顺次取点P1，P3，P5 …，在边OM 上顺次取点P2，P4，P6 …，使得OP1＝P1P2＝P2P3＝P3P4＝P4P5 …，得到等腰△OP1P2，△P1P2P3，△P2P3P4，△P3P4P5 …

（1）若∠MON＝30°，可以得到的最后一个等腰三角形是　△P1P2P3　；
（2）若按照上述方式操作，得到的最后一个等腰三角形是△P3P4P5，则∠MON 的度数α 的取值范围是　18°≤α＜22.5°　．
【分析】（1）利用等腰三角形的性质求出∠OP2P3即可判断．
（2）由题意要使得得到的最后一个等腰三角形是△P3P4P5，需要满足：∠P4P3P5＝4α＜90°且∠MP4P5＝5α≥90°，解不等式即可解决问题．
【解析】（1）∵OP1＝P1P2＝P2P3，
∴∠OP2P1＝∠O＝30°，
∠P2P1P3＝∠P2P3P1＝60°，
∴∠OP2P3＝90°，
∴△P2P3P4不存在，
∴以得到的最后一个等腰三角形是△P1P2P3．
故答案为△P1P2P3．

（2）由题意要使得得到的最后一个等腰三角形是△P3P4P5，
需要满足：∠P4P3P5＝4α＜90°且∠MP4P5＝5α≥90°，
∴18°≤α＜22.5°，
故答案为18°≤α＜22.5°．
15．（2021秋•樊城区期末）已知：如图△ABC中，∠B＝50°，∠C＝90°，在射线BA上找一点D，使△ACD为等腰三角形，则∠ACD的度数为　70°或40°或20°　．

【分析】分三种情形分别求解即可；
【解析】如图，有三种情形：

①当AC＝AD时，∠ACD＝70°．
②当CD′＝AD′时，∠ACD′＝40°．
③当AC＝AD″时，∠ACD″＝20°，
故答案为70°或40°或20°
16．（2021秋•雅安期末）在△ABC中，∠A＝20°，当∠B＝　80°或20°或140°　时，△ABC为等腰三角形．
【分析】根据等腰三角形两底角相等列式进行计算即可得解．
【解析】当∠A为顶角等于20°时，
∴底角∠B=12（180°﹣20°）＝80°，△ABC是等腰三角形，
当∠A＝∠B＝20°时，△ABC是等腰三角形，
当∠A＝∠C＝20°时，则∠B＝140°，△ABC是等腰三角形，
故答案为：80°或20°或140°．
17．（2020春•浦东新区期末）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝9，BO、CO分别是∠ABC、∠ACB的平分线，MN经过点O，且MN∥BC，MN分别交AB、AC于点M、N，则△AMN的周长是　15　．

【分析】由在△ABC中，∠BAC与∠ACB的平分线相交于点O，过点O作MN∥BC，易证得△BOM与△CON是等腰三角形，继而可得△AMN的周长等于AB+AC．
【解析】∵在△ABC中，∠BAC与∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠ABO＝∠OBC，∠ACO＝∠BCO，
∵MN∥BC，
∴∠MOB＝∠OBC，∠NOC＝∠OCB，
∴∠ABO＝∠MOB，∠ACO＝∠NOC，
∴BM＝OM，CN＝ON，
∴△AMN的周长是：AM+NM+AN＝AM+OM+ON+AN＝AM+BM+CN+AN＝AB+AC＝9+6＝15．
故答案为：15．
18．（2020春•沙坪坝区校级期末）如图所示，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠B＝50°，D为BC的中点，点E在AB上，∠AED＝73°，若点P是等腰△ABC的腰上的一点，则当△EDP为以DE为腰的等腰三角形时，∠EDP的度数是　34°或100°或134°　．

【分析】根据等腰三角形的性质和全等三角形的判定和性质定理解答即可．
【解析】∵AB＝AC，∠B＝50°，∠AED＝73°，
∴∠EDB＝23°，
∵当△DEP是以∠EDP为顶角的等腰三角形，
①当点P在AB上，
∵DE＝DP1，
∴∠DP1E＝∠AED＝73°，
∴∠EDP1＝180°﹣73°﹣73°＝34°，
②当点P在AC上，
∵AB＝AC，D为BC的中点，
∴∠BAD＝∠CAD，
过D作DG⊥AB于G，DH⊥AC于H，
∴DG＝DH，
在Rt△DEG与Rt△DP2H中，DE=DP2DG=DH，
∴Rt△DEG≌Rt△DP2H（HL），
∴∠AP2D＝∠AED＝73°，
∵∠BAC＝180°﹣50°﹣50°＝80°，
∴∠EDP2＝134°，
③当点P在AC上，
同理证得Rt△DEG≌Rt△DPH（HL），
∴∠EDG＝∠P3DH，
∴∠EDP3＝∠GDH＝100°，
故答案为：34°或100°或134°．

三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2021秋•邵阳县期末）如图，在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC
（1）试判定△ODE的形状，并说明你的理由；
（2）若BC＝10，求△ODE的周长．

【分析】（1）证明∠ABC＝∠ACB＝60°；证明∠ODE＝∠ABC＝60°，∠OED＝∠ACB＝60°，即可解决问题．
（2）证明BD＝OD；同理可证CE＝OE；即可解决问题．
【解析】（1）△ODE是等边三角形；理由如下：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°；
∵OD∥AB，OE∥AC，
∴∠ODE＝∠ABC＝60°，∠OED＝∠ACB＝60°，
∴△ODE为等边三角形．
（2）∵OB平分∠ABC，OD∥AB，
∴∠ABO＝∠DOB，∠ABO＝∠DBO，
∴∠DOB＝∠DBO，
∴BD＝OD；同理可证CE＝OE；
∴△ODE的周长＝BC＝10．

20．（2020•沙坪坝区自主招生）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D，点E是AB的中点，连结DE．
（1）求证：△ABD是等腰三角形；
（2）求∠BDE的度数．

【分析】（1）根据等腰三角形的性质和三角形内角和得出∠DBC＝36°，进而根据等腰三角形的判定解答即可；
（2）根据等腰三角形的性质和三角形内角和解答即可．
【解答】证明：（1）∵AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠ABC＝∠C＝72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC＝36°，∠A＝36°，
∴BD＝AD，
即△ABD是等腰三角形；
（2）∵点E是AB的中点，
∴AE＝EB，
∴∠DEB＝90°，
∴∠BDE＝90°﹣36°＝54°．
21．（2021秋•嘉祥县期末）（1）如图①，△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于O点，过O点作EF∥BC交AB、AC于点E、F，试猜想EF、BE、CF之间有怎样的关系，并说明理由；
（2）如图，若将图①中∠ACB的平分线改为外角∠ACD的平分线，其它条件不变，请直接写出EF、BE、CF之间的关系　EF＝BE﹣CF　．

【分析】（1）等腰三角形有△BEO和△CFO，根据角平分线性质和平行线性质推出∠EBO＝∠EOB，∠FOC＝∠FCO，根据等角对等边推出即可；根据BE＝OE，CF＝OF即可得出EF与BE、CF之间的关系；
（2）等腰三角形有△BEO和△CFO，根据角平分线性质和平行线性质推出∠EBO＝∠EOB，∠FOC＝∠FCO，根据等角对等边推出即可；根据BE＝OE，CF＝OF即可得出EF与BE、CF之间的关系．
【解析】（1）EF＝BE+CF，
理由：∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠EBO＝∠OBC，∠FCO＝∠OCB，
∵EF∥BC，
∴∠EOB＝∠OBC，∠FOC＝∠OCB，
∴∠EBO＝∠EOB，∠FOC＝∠FCO，
∴BE＝OE，CF＝OF，
∴EF＝OE+OF＝BE+CF；
（2）不成立，
理由：∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACD，
∴∠EBO＝∠OBC，∠FCO＝∠OCD，
∵EF∥BC，
∴∠EOB＝∠OBC，∠FOC＝∠OCD，
∴∠EBO＝∠EOB，∠FOC＝∠FCO，
∴BE＝OE，CF＝OF，
∴EF＝OE﹣OF＝BE﹣CF．
故答案为EF＝BE﹣CF．
22．（2021秋•确山县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE．
（1）求证：△DEF是等腰三角形；
（2）当∠A＝40°时，求∠DEF的度数．

【分析】（1）由AB＝AC，∠ABC＝∠ACB，BE＝CF，BD＝CE．利用边角边定理证明△DBE≌△CEF，然后即可求证△DEF是等腰三角形．
（2）根据∠A＝40°可求出∠ABC＝∠ACB＝70°根据△DBE≌△CEF，利用三角形内角和定理即可求出∠DEF的度数．
【解答】证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
在△DBE和△CEF中
BE=CF∠ABC=∠ACBBD=CE，
∴△DBE≌△CEF，
∴DE＝EF，
∴△DEF是等腰三角形；

（2）∵△DBE≌△CEF，
∴∠1＝∠3，∠2＝∠4，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠B=12（180°﹣40°）＝70°
∴∠1+∠2＝110°
∴∠3+∠2＝110°
∴∠DEF＝70°

23．（2021秋•天心区校级期末）如图，△ABC是等边三角形，DF⊥AB，DE⊥CB，EF⊥AC，求证：△DEF是等边三角形．

【分析】由△ABC是等边三角形和DF⊥AB，DE⊥CB，EF⊥AC，求出∠FAC＝∠BCE＝∠DBA＝30°，推出∠D＝∠E＝∠F＝60°，推出DF＝DE＝EF，即可得出△DEF等边三角形．
【解答】证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，∠ABC＝∠ACB＝∠CAB＝60°，
∵DF⊥AB，DE⊥CB，EF⊥AC，
∴∠DAB＝∠ACF＝∠CBE＝90°，
∴∠FAC＝∠BCE＝∠DBA＝30°，
∴∠D＝∠E＝∠F＝180°﹣90°﹣30°＝60°，
∴DF＝DE＝EF，
∴△DEF是等边三角形，
24.（2021秋•平邑县期中）如图（1），点P是等腰三角形ABC底边BC上的一动点，过点P作BC的垂线，交直线AB于点Q，交CA的延长线于点R．
（1）请观察AR与AQ，它们相等吗？并证明你的猜想．
（2）如图（2）如果点P沿着底边BC所在的直线，按由C向B的方向运动到CB的延长线上时，（1）中所得的结论还成立吗？请你在图（2）中完成图形，并给予证明．

【分析】（1）根据等腰三角形的性质求出∠B＝∠C，根据等角的余角相等求出∠BQP＝∠PRC，再根据对顶角相等可得∠BQP＝∠AQR，从而得到∠AQR＝∠PRC，然后根据等角对等边证明即可；
（2）根据等腰三角形的性质求出∠ABC＝∠C，再根据对顶角相等可得∠ABC＝∠PBQ，从而得到∠C＝∠PBQ，然后根据等角的余角相等求出∠Q＝∠R，最后根据等角对等边证明即可．
【解析】（1）解：AR＝AQ．
理由如下：∵△ABC是等腰三角形，
∴AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵PR⊥BC，
∴∠B+∠BQP＝90°，
∠C+∠PRC＝90°，
∴∠BQP＝∠PRC，
∵∠BQP＝∠AQR（对顶角相等），
∴∠AQR＝∠PRC，
∴AR＝AQ；

（2）AR＝AQ依然成立．
理由如下：如图，∵△ABC是等腰三角形，
∴AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，
∵∠ABC＝∠PBQ（对顶角相等），
∴∠C＝∠PBQ，
∵PR⊥BC，
∴∠R+∠C＝90°，
∠Q+∠PBQ＝90°，
∴∠Q＝∠R，
∴AR＝AQ．