初中浙教版第2章 特殊三角形综合与测试单元测试课时练习

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专题2.10第2章特殊三角形单元测试（培优卷）
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分120分，试题共26题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2020春•历城区校级期中）在下列条件中：
①∠A+∠B＝∠C；
②∠A：∠B：∠C＝1：2：3；
③∠A＝2∠B＝3∠C；
④∠A＝∠B＝∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据三角形内角和定理进行计算即可．
【解答】解：①∠A+∠B＝∠C，是直角三角形；
②∠A：∠B：∠C＝1：2：3，是直角三角形；
③∠A＝2∠B＝3∠C，不是直角三角形；
④∠A＝∠B＝∠C，不是直角三角形，是等边三角形，
能确定△ABC是直角三角形的条件有2个，
故选：B．
2．（2020春•朝阳区期末）已知O为数轴原点，如图，
（1）在数轴上截取线段OA＝2；
（2）过点A作直线n垂直于OA；
（3）在直线n上截取线段AB＝3；
（4）以O为圆心，OB的长为半径作弧，交数轴于点C．
根据以上作图过程及所作图形，有如下四个结论：①OC＝5；②OB=13；③3＜OC＜4；④AC＝1．上述结论中，所有正确结论的序号是（　　）

A．①② B．①③ C．②③ D．②④
【分析】由勾股定理求得OB，进而得OC，AC，再判断结论的正误．
【解答】解：根据题意得，OA＝2，AB＝3，∠OAB＝90°，
∴OB=22+32=13，
故②正确；
∵OC＝OB，
∴OC=13，
∴③正确，①错误；
∴AC＝OC﹣OA=13−2≠1，
故④错误；
故选：C．
3．（2021春•覃塘区期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若CD，CM分别是斜边AB上的高和中线，则下列结论中错误的是（　　）

A．∠MCB＝∠MCA B．∠MCB＝∠ACD C．∠B＝∠ACD D．∠MCA＝∠BCD
【分析】根据斜边上的中线性质得到CM＝AM＝BM，则∠MAC＝∠MCA，∠MCB＝∠B，再利用等角的余角相等得到∠ACD＝∠B，∠A＝∠BCD，所以∠B∠MCB＝∠ACD，∠A＝∠MCA＝∠BCD，然后对各选项进行判断．
【解答】解：∵CM为斜边AB上的中线，
∴CM＝AM＝BM，
∴∠MAC＝∠MCA，∠MCB＝∠B，所以A选项的结论错误；
∵CD⊥AB，
∴∠ACD＝∠B，所以C选项的结论正确；
∴∠MCB＝∠ACD，所以B选项的结论正确；
∵CD⊥AB，∠ACB＝90°，
∴∠A＝∠BCD，
∴∠MCA＝∠BCD，所以D选项的结论正确．
故选：A．
4．（2020春•龙岗区期末）在下列各图中，可以由题目条件得出∠1＝∠2的图形个数为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据等腰三角形的性质对第一个图形进行判断，根据对顶角相等对第2个图进行判断；根据平行线的性质和对顶角相等对第3个图进行判断；根据三角形外角性质对第4个图进行判断．
【解答】解：在第一个图中，∵AB＝AC，
∴∠1＝∠2；
在第二个图中，∠1＝∠2；
在第三个图中，
∵a∥b，
∴∠1＝∠3，
而∠2＝∠3，
∴∠1＝∠2；

在第四个图中，∠1＞∠2．
故选：C．
5．（2020春•太原期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AC于点D，连接BD，则下列结论不一定成立的是（　　）

A．BC＝BD B．∠BDC＝∠ABC C．∠A＝∠CBD D．AD＝BD
【分析】根据等腰三角形的性质判断即可．
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
又∵BC、BD是以点B为圆心，BC长为半径圆弧的半径，
∴BC＝BD，故A成立；
∵BC＝BD，
∴∠BDC＝∠BCD，
∴∠BDC＝∠ABC，故B成立；
∵∴∠ABC＝∠ACB＝∠BDC，
∴∠A＝∠CBD，故C成立；
若AD＝BD，则必须∠A＝∠ABD，
∵∠ABC＝∠ACB，
∵BD＝BC，
∴∠BDC＝∠C，
∴必须∠ABC＝∠ACB＝2∠A，
∴5∠A＝180°，
∴必须有∠A＝30°，
∴当∠A＝30°时，AD＝BD，故D不一定成立；
故选：D．
6．（2020春•市北区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝8cm，AE平分∠BAC，交BC于点E．D为AE上一点，且∠ACD＝∠CAD，DE＝3cm，连接CD．过点D作DF⊥AB，垂足为点F，则下列结论正确的有（　　）
①CD＝5cm；②AC＝10cm；③DF＝3cm；④△ACD的面积为10cm2．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】①根据等腰三角形的性质和勾股定理即可求解；
②根据等腰三角形的性质和勾股定理即可求解；
③根据相似三角形的判定与性质即可得到DF的长；
④根据三角形面积公式即可求解．
【解答】解：①∵在△ABC中，AB＝AC，BC＝8cm，AE平分∠BAC，
∴AE⊥BC，BE＝CE＝4cm，
在Rt△DEC中，CD=CE2+DE2=5cm，故①正确；
②∵∠ACD＝∠CAD，
∴AD＝CD＝5cm，
∴AE＝8cm，
在Rt△AEC中，AC=AE2+CE2=45cm，故②错误；
③∵∠DAF＝∠BAE，∠AFD＝∠AEB，
∴△DAF∽△BAE，
∴DF：AD＝BE：AB，即DF：5＝4：45，
解得DF=5．
故DF=5cm，故③错误；
④△ACD的面积为5×4÷2＝10cm2，故④正确．
故选：B．
7．（2021春•磐石市期中）如图，△ABC中，AB＝AC＝5，AE平分∠BAC交BC于点E，点D为AB的中点，连接DE，则DE的长为（　　）

A．2 B．2.5 C．3 D．5
【分析】根据等腰三角形的性质求出BE＝CE，根据三角形的中位线得出DE=12AC，代入求出即可．
【解答】解：∵AB＝AC，AE平分∠BAC，
∴BE＝CE，
∵点D为AB的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
即DE=12AC，
∵AC＝5，
∴DE＝2.5，
故选：B．
8．（2021春•雁塔区校级月考）下列说法：①一个底角和一条边分别相等的两个等腰三角形全等；②底边及底边上的高分别相等的两个等腰三角形全等；③两边分别相等的两个直角三角形全等；④一个锐角和一条边分别相等的两个直角三角形全等，其中正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】利用全等三角形的判定定理分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：①一个底角和一条边分别相等的两个等腰三角形不一定全等；
②底边及底边上的高分别相等的两个等腰三角形全等，正确；
③两边分别相等的两个直角三角形不一定全等；
④如果在两个直角三角形中，例如：两个30°角的直角三角形，一个三角形的直角边与另一个三角形的斜边相等，这两个直角三角形肯定不全等，错误；
故选：A．
9．（2021秋•长白县期末）如图，∠AOB＝α，点P是∠AOB内的一定点，点M、N分别在OA、OB上移动，当△PMN的周长最小时，∠MPN的值为（　　）

A．90°+α B．90°+12α C．180°﹣α D．180°﹣2α
【分析】分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连接P1、P2，交OA于M，交OB于N，△PMN的周长最小值等于P1P2的长，然后依据等腰△OP1P2中，∠OP1P2+∠OP2P1＝180°﹣2α，即可得出∠MPN＝∠OPM+∠OPN＝∠OP1M+∠OP2N＝180°﹣2α．
【解答】解：分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连接P1、P2，交OA于M，交OB于N，则
OP1＝OP＝OP2，∠OP1M＝∠MPO，∠NPO＝∠NP2O，
根据轴对称的性质可得MP＝P1M，PN＝P2N，
∴△PMN的周长的最小值＝P1P2，
由轴对称的性质可得∠P1OP2＝2∠AOB＝2α，
∴等腰△OP1P2中，∠OP1P2+∠OP2P1＝180°﹣2α，
∴∠MPN＝∠OPM+∠OPN＝∠OP1M+∠OP2N＝∠OP1P2+∠OP2P1＝180°﹣2α，
故选：D．

10．（2020春•丰泽区校级期中）如图，∠AOB＝45°，点M、N分别在射线OA、OB上，MN＝6，△OMN的面积为12，P是直线MN上的动点，点P关于OA对称的点为P1，点P关于OB对称点为P2，当点P在直线NM上运动时，△OP1P2的面积最小值为（　　）

A．6 B．8 C．12 D．18
【分析】连接OP，过点O作OH⊥NM交NM的延长线于H．首先利用三角形的面积公式求出OH，再证明△OP1P2是等腰直角三角形，OP最小时，△OP1P2的面积最小．
【解答】解：连接OP，过点O作OH⊥NM交NM的延长线于H．


∵S△OMN=12•MN•OH＝12，MN＝6，
∴OH＝4，
∵点P关于OA对称的点为P1，点P关于OB对称点为P2，
∴∠AOP＝∠AOP1，∠POB＝∠P2OB，OP＝OP1＝OP2
∵∠AOB＝45°，
∴∠P1OP2＝2（∠POA+∠POB）＝90°，
∴△OP1P2是等腰直角三角形，
∴OP＝OP1最小时，△OP1P2的面积最小，
根据垂线段最短可知，OP的最小值为4，
∴△OP1P2的面积的最小值=12×4×4＝8，
故选：B．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2020春•闵行区期末）如图，已知△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，如果△ABD的周长为12，△ABC的周长为16，那么AD的长是　4　．

【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的周长即可得到结论．
【解答】解：∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，
∴BD＝CD，
∵△ABC的周长为16，
∴AB+BD=12×16＝8，
∵△ABD的周长为12，
∴AD＝12﹣8＝4，
故答案为：4．
12．（2020•黄冈）已知：如图，在△ABC中，点D在边BC上，AB＝AD＝DC，∠C＝35°，则∠BAD＝　40　度．

【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理即可得到结论．
【解答】解：∵AD＝DC，
∴∠DAC＝∠C＝35°，
∴∠ADB＝∠DAC+∠C＝70°．
∵AB＝AD，
∴∠B＝∠ADB＝70°，
∴∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB＝180°﹣70°﹣70°＝40°．
故答案为：40．．
13．（2020春•汉寿县期中）如图，在△APB中，∠APB＝90°，AB＝4，O是AB的中点，∠1＝60°，则BP＝　23　．

【分析】根据直角三角形斜边上的中线的相关性质，可求出PO=12AB，进而可证明△BOP为等腰三角形，结合已知数据利用勾股定理即可求出BP的长．
【解答】解：∵∠APB＝90°，AB＝4，O是AB的中点，
∴PO＝BO=12AB＝2，
∴∠BPO＝∠OBP，
∵∠1＝60°，
∴∠ABP＝30°，
∴AP=12AB＝2，
∴BP=42−22=23，
故答案为：23．
14．（2020春•水磨沟区校级期中）三角形两边分别是6和8，要使这个三角形是直角三角形，则第三条边长是　10或27　．
【分析】根据勾股定理的逆定理分类讨论进行解答即可．
【解答】解：∵一个三角形的两边分别是6和8，
∴可设第三边为x，
∵此三角形是直角三角形，
∴当x是斜边时，x2＝62+82，解得x＝10；
当8是斜边时，x2+62＝82，解得x＝27．
故答案为：10或27．
15．（2021秋•正阳县期末）如图，∠MON内有一点P，点P关于OM的轴对称点是G，点P关于ON的轴对称点是H，GH分别交OM、ON于A、B点，若∠MON＝35°，则∠GOH＝　70°　．

【分析】连接OP，根据轴对称的性质可得∠GOM＝∠MOP，∠PON＝∠NOH，然后求出∠GOH＝2∠MON，代入数据计算即可得解．
【解答】解：如图，连接OP，
∵P点关于OM的轴对称点是G，P点关于ON的轴对称点是H，
∴∠GOM＝∠MOP，∠PON＝∠NOH，
∴∠GOH＝∠GOM+∠MOP+∠PON+∠NOH＝2∠MON，
∵∠MON＝35°，
∴∠GOH＝2×35°＝70°．
故答案为：70°．

16．（2020春•西城区校级期中）如图，已知直角△ABC中，CD是斜边AB上的高，AC＝4，BC＝3，则CD＝　2.4　．

【分析】先根据勾股定理求出直角三角形的斜边长，再由三角形的面积公式即可得出结论．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，AC＝4，BC＝3，
∴AB=42+32=5，
∴CD=3×45=2.4．
故答案为：2.4．
17．（2020春•宁德期末）如图，在△ABC中，AC＝AB，△ABC的角平分线AD交BE于点F，若∠AFE＝32°，则∠FBD＝　58　°．

【分析】根据三线合一得到∠ADB＝90°，再根据对顶角相等得到∠BFD＝32°，从而可算出∠FBD．
【解答】解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，即∠ADB＝90°，
∵∠AFE＝32°，
∴∠BFD＝32°，
∴∠FBD＝90°﹣32°＝58°，
故答案为：58．
18．（2021秋•滨州期中）已知，∠MON＝30°，点A1、A2、A3在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1＝a，则△A7B7A8的边长为　64a　．

【分析】根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出A1B1∥A2B2∥A3B3，以及A2B2＝2B1A2，得出A3B3＝4B1A2＝4a，A4B4＝8B1A2＝8a，A5B5＝16B1A2…进而得出答案．
【解答】解：∵△A1B1A2是等边三角形，
∴A1B1＝A2B1，∠3＝∠4＝∠12＝60°，
∴∠2＝120°，
∵∠MON＝30°，
∴∠1＝180°﹣120°﹣30°＝30°，
又∵∠3＝60°，
∴∠5＝180°﹣60°﹣30°＝90°，
∵∠MON＝∠1＝30°，
∴OA1＝A1B1＝a，
∴A2B1＝a，
∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，
∴∠11＝∠10＝60°，∠13＝60°，
∵∠4＝∠12＝60°，
∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，
∴∠1＝∠6＝∠7＝30°，∠5＝∠8＝90°，
∴A2B2＝2B1A2，B3A3＝2B2A3，
∴A3B3＝4B1A2＝4a，
A4B4＝8B1A2＝8a，
A5B5＝16B1A2＝16a，
以此类推：A7B7＝64B1A2＝64a．
故答案是：64a．

三、解答题（本大题共8小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2021秋•保山期中）如图，△ABC是等边三角形，BD是AC边上的高，延长BC至E，使DB＝DE．
（1）求∠BDE的度数；
（2）求证：△CED为等腰三角形．

【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠E＝∠DBE，根据等边三角形的性质得到∠ACB＝∠ABC＝60°，求得∠DBC＝30°，根据三角形的内角和即可得到结论；
（2）根据三角形的外角的性质得到∠CDE＝∠ACB﹣∠E＝30°，根据等腰三角形的判定定理即可得到结论．
【解答】解：（1）∵DB＝DE，
∴∠E＝∠DBE，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝∠ABC＝60°，
∵△ABC是等边三角形，BD是高，
∴∠DBC＝30°，
∴∠E＝∠DBE＝30°，
∴∠BDE＝120°；
（2）∵∠ACB＝60°，∠E＝30°，
∴∠CDE＝∠ACB﹣∠E＝30°，
∴∠CDE＝∠E，
∴CD＝CE，
∴△CED是等腰三角形．
20．（2021秋•自贡期中）如图，BD是等边三角形ABC的角平分线，E是BC延长线上的一点，且CE＝CD，DF⊥BC，垂足为F．BF与EF相等吗？为什么？

【分析】根据等边三角形的性质得∠ABC＝∠ACB＝60°，再由BD是角平分线得∠CBD＝30°，接着根据等腰三角形的性质，由CD＝CE得到∠CDE＝∠E，利用三角形外角性质可计算出∠E＝30°，所以∠DBE＝∠E，于是可判断△DBE为等腰三角形，然后根据等腰三角形的性质可得BF＝EF．
【解答】解：BF与EF相等．理由如下：
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵BD是等边三角形ABC的角平分线，
∴∠CBD＝30°，
∵CD＝CE，
∴∠CDE＝∠E，
而∠BCD＝∠CDE+∠E＝60°，
∴∠E＝30°，
∴∠DBE＝∠E，
∴△DBE为等腰三角形，
∵DF⊥BC，
∴BF＝EF．
21．（2020春•江阴市期中）（1）如图，△ABC的高BD、CE相交于点O，且OB＝OC．求证：AB＝AC．
（2）在△ABC的形外有一点O，若O到AB、AC的距离相等，且OB＝OC，则AB、AC相等吗？若相等，请画图并给予证明；若不相等，请画图并说明理由．

【分析】（1）证明△BCD≌△CBE得∠ABC＝∠ACB，进而得结论；
（2）画出∠BAC的平分线与BC的垂直平分线不重合时的图形，证明Rt△AOE≌Rt△AOD，再由线段和差，便可得结论．
【解答】解：（1）∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
在△BCD和△CBE中，
∠CBD=∠BCE∠CDB=∠BEC=90°BC=CB，
∴△BCD≌△CBE（AAS），
∴∠BCD＝∠CBE，即∠ACB＝∠ABC，
∴AB＝AC；

（2）AB与AC不一定相等．
理由如下：当∠BAC的平分线与BC的垂直平分线不重合时，OE⊥AB于E，OD⊥AC于D，且OE＝OD，OB＝OC，如下图，

∵OD⊥AC，OE⊥AB，
∴∠AEO＝∠ADO＝90°，
在Rt△AOE和Rt△AOD中，
AO=AOOE=OD，
∴Rt△AOE≌Rt△AOD（HL），
∴AE＝AD，
∵AB＝AE+BE，AC＝AD﹣CD，
∴AB≠AC．
即在△ABC的形外有一点O，若O到AB、AC的距离相等，且OB＝OC，则AB、AC不一定相等．
22．（2020春•铁东区期中）在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝BC，由于某种原因，由C到B的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点D（A、D、B在同一条直线上），并新修一条路CD，测得CA＝6.5千米，CD＝6千米，AD＝2.5千米．
（1）问CD是否为从村庄C到河边最近的路？请通过计算加以说明；
（2）求原来的路线BC的长．

【分析】（1）利用勾股定理逆定理证明CD⊥AB，根据垂线段最短可得答案；
（2）设BC＝x千米，则BD＝（x﹣2.5）千米，利用勾股定理列出方程，再解即可．
【解答】解：（1）是，
理由：∵62+2.52＝6.52，
∴CD2+AD2＝AC2，
∴△ADC为直角三角形，
∴CD⊥AB，
∴CD是从村庄C到河边最近的路；

（2）设BC＝x千米，则BD＝（x﹣2.5）千米，
∵CD⊥AB，
∴62+（x﹣2.5）2＝x2，
解得：x＝8.45，
答：路线BC的长为8.45千米．
23．（2021秋•鼓楼区期中）如图（1）是用硬板纸做成的两个全等的直角三角形，两直角边的长分别为a和b，斜边长为c，请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形．
（1）画出拼成的这个图形的示意图，并用这个图形证明勾股定理；
（2）假设图（1）中的直角三角形有若干个，你能运用图（1）中所给的直角三角形拼出另一种能证明勾股定理的图形吗？请画出拼后的示意图（无需证明）

【分析】（1）此题要由图中给出的三个三角形组成一个梯形，而且上底和下底分别为a，b，高为a+b；此题主要是利用梯形的面积和三角形的面积公式进行计算，根据图中可知，由此列出等式即可求出勾股定理；
（2）此题的方法很多，这里只举一种例子，即把四个直角三角形组成一个正方形．
【解答】解解：（1）如图所示，是梯形；

由上图我们根据梯形的面积公式可知，梯形的面积=12（a+b）（a+b）．
从上图我们还发现梯形的面积＝三个三角形的面积，即 12ab+12ab+12c2．
两者列成等式化简即可得：a2+b2＝c2；

（2）画边长为（a+b）的正方形，如图，其中a、b为直角边，c为斜边．

24．（2020春•北镇市期中）如图，在等边△ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，且AD＝BE，BD，CE交于点P，CF⊥BD，垂足为点F．
（1）求证：BD＝CE；
（2）若PF＝3，求CP的长．

【分析】（1）根据△ABC为等边三角形，证明△ABD≌△BCE，即可证明BD＝CE；
（2）结合（1）证明△CPF为直角三角形，∠FCP＝30°，根据PF＝3，即可求CP的长．
【解答】解：（1）证明：∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝BC，∠A＝∠ABC＝60°，
又∵AD＝BE，
∴△ABD≌△BCE（SAS），
∴BD＝CE．
（2）由（1）可知，∠ABC＝60°，△ABD≌△BCE，
∴∠ABD＝∠BCE，
∴∠ABD+∠CBD＝∠ABC＝60°，
∴∠BCE+∠CBD＝60°，
∴∠BPC＝180°﹣60°＝120°，
∴∠FPC＝180°﹣120°＝60°，
∵CF⊥BD，
∴△CPF为直角三角形，
∴∠FCP＝30°，
∴CP＝2PF，
∵PF＝3，
∴CP＝6．
25．（2021秋•惠民县期中）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，BE与CD交与点O，给出下列四个条件：
①∠DBO＝∠ECO，②∠BDO＝∠CEO，③BD＝CE，④OB＝OC．
（1）从上述四个条件中，任选两个为条件，可以判定△ABC是等腰三角形？写出所有可能的情况．
（2）选择（1）中的某一种情形，进行说明．

【分析】（1）根据已知条件即可找到证明∠ABC＝∠ACB的组合；
（2）要证△ABC是等腰三角形，就要证∠ABC＝∠ACB，根据已知条件即可找到证明∠ABC＝∠ACB的组合；
【解答】解：（1）上述四个条件中，①③，①④，②③，②④组合可判定△ABC是等腰三角形．

（2）选择①③证明．
∵∠DBO＝∠ECO，BD＝CE，∠DOB＝∠EOC，
∴△DOB≌△EOC，
∴OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴△ABC是等腰三角形；
26．（2021秋•垦利区期中）已知点C为线段AB上一点，分别以AC、BC为边在线段AB的同侧作△ACD和△BCE，且CA＝CD，CB＝CE，∠ACD＝∠BCE，直线AE与BD交于点F．

（1）如图1，若∠ACD＝60°，则∠AFB＝则　120°　，如图2，若∠ACD＝90°，则∠AFB＝　90°　，如图3，若∠ACD＝α，则∠AFB＝　180°﹣α　（用含α的式子表示）；
（2）设∠ACD＝α，将图3中的△ACD绕点C顺时针旋转任意角度（交点F至少在BD、AE中的一条线段上），如图4，试探究∠AFB与α的数量关系，并予以证明．
【分析】（1）如图1，首先证明△BCD≌△ECA，得出∠EAC＝∠BDC，再根据∠AFB是△ADF的外角求出其度数．如图2，首先证明△ACE≌△DCB，得出∠AEC＝∠DBC，又有∠FDE＝∠CDB，进而得出∠AFB＝90°．如图3，由∠ACD＝∠BCE得到∠ACE＝∠DCB，再由三角形的内角和定理得∠CAE＝∠CDB，从而得出∠DFA＝∠ACD，得到结论∠AFB＝180°﹣α．
（2）由∠ACD＝∠BCE得到∠ACE＝∠DCB，通过证明△ACE≌△DCB得∠CBD＝∠CEA，由三角形内角和定理得到结论∠AFB＝180°﹣α．
【解答】解：（1）如图1，CA＝CD，∠ACD＝60°，
所以△ACD是等边三角形．
∵CB＝CE，∠ACD＝∠BCE＝60°，
所以△ECB是等边三角形．
∵AC＝DC，∠ACE＝∠ACD+∠DCE，∠BCD＝∠BCE+∠DCE，
又∵∠ACD＝∠BCE，
∴∠ACE＝∠BCD．
∵AC＝DC，CE＝BC，
∴△ACE≌△DCB．
∴∠EAC＝∠BDC．
∠AFB是△ADF的外角．
∴∠AFB＝∠ADF+∠FAD＝∠ADC+∠CDB+∠FAD＝∠ADC+∠EAC+∠FAD＝∠ADC+∠DAC＝120°．
如图2，∵AC＝CD，∠ACE＝∠DCB＝90°，EC＝CB，
∴△ACE≌△DCB．
∴∠AEC＝∠DBC，
又∵∠FDE＝∠CDB，∠DCB＝90°，
∴∠EFD＝90°．
∴∠AFB＝90°．
如图3，∵∠ACD＝∠BCE，
∴∠ACD+∠DCE＝∠BCE+∠DCE．
∴∠ACE＝∠DCB．
∴∠CAE＝∠CDB．
∴∠DFA＝∠ACD．
∴∠AFB＝180°﹣∠DFA＝180°﹣∠ACD＝180°﹣α．

（2）∠AFB＝180°﹣α；
证明：∵∠ACD＝∠BCE＝α，则∠ACD+∠DCE＝∠BCE+∠DCE，
即∠ACE＝∠DCB．
在△ACE和△DCB中，
∵AC=DC∠ACE=∠DCBCE=CB，
∴△ACE≌△DCB（SAS）．
则∠CBD＝∠CEA，由三角形内角和知∠EFB＝∠ECB＝α．
∠AFB＝180°﹣∠EFB＝180°﹣α．