2021-2022学年黑龙江省大庆市高新区学校七年级（下）期末数学试卷（五四学制）（Word解析版）

2021-2022学年黑龙江省大庆市高新区学校七年级（下）期末数学试卷（五四学制）

一、选择题（本题共10小题，共30分）

1. 以关于、的二元一次方程组的解为坐标的点不可能在平面直角坐标系的第象限．(    )

A. 一 B. 二 C. 三 D. 四

2. 五一小长假，小华和家人到公园游玩．湖边有大小两种游船．小华发现艘大船与艘小船一次共可以满载游客人，艘大船与艘小船一次共可以满载游客人．则艘大船与艘小船一次共可以满载游客的人数为(    )

A.  B.  C.  D.

3. 新型冠状病毒传染性非常强，多是通过飞沫，接触，还有气溶胶传播．所以一定要做好个人防护，尽量少外出，更不要聚集，佩戴医用外科口罩是非常有效的个人防护．为了个人防护，小红用元钱买了，两种型号的医用外科口罩两种型号都买，型每包元，型每包元，在元全部用尽的情况下，有几种购买方案(    )

A. 种 B. 种 C. 种 D. 种

4. 关于，的两个方程组和有相同的解，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 某超市试销一批新款衬衫，一周内销售情况如表所示，那么超市经理最适宜加大进货量的衬衫型号是(    )

A.  B.  C.  D.

6. 方差是刻画一组数据波动大小的量，对于一组数据，，，，，可用如下算式计算方差：，其中“”是这组数据的(    )

A. 最小值 B. 平均数 C. 众数 D. 中位数

7. 一组数据的方差为，将这组数据中每个数据都除以，所得新数据的方差是(    )

A.  B.  C.  D.

8. 如图，，、、、、的关系为(    )

A.
B.
C.
D.

9. 如图，与相交，与相交，下列说法：
   若，则；
   若，则；
   ；
   ，正确的有(    )

A.  B.  C.  D.

10. 如图，已知，为保证两条铁轨平行，添加的下列条件中，正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本题共8小题，共24分）

11. 如图，在同一平面直角坐标系中，直线：与直线：相交于点，则方程组的解为______ ．

12. 年，随州学子尤东梅参加最强大脑节目，成功完成了高难度的项目挑战，展现了惊人的记忆力．在年的最强大脑节目中，也有很多具有挑战性的比赛项目，其中幻圆这个项目充分体现了数学的魅力．如图是一个最简单的二阶幻圆的模型，要求：内、外两个圆周上的四个数字之和相等；外圆两直径上的四个数字之和相等，则图中两空白圆圈内应填写的数字从左到右依次为______和______．
13. 某人次射击命中的环数分别为，，，，若这组数据的中位数为，则这组数据的方差为______ ．
14. 小明在体考时选择了投掷实心球，如图是体育老师记录的小明在训练时投掷实心球的次成绩的折线统计图．这次成绩的中位数是______．
     

15. 已知数据，，，的平均数为，方差为，则数据，，，的平均数为______，方差为______，标准差为______．
16. 如图，一束光沿方向，先后经过平面镜、反射后，沿方向射出，已知，，则______．

17. 如图，将分别含有、角的一副三角板重叠，使直角顶点重合，若两直角重叠形成的角为，则图中角的度数为______．

18. 如图，直线，点、分别在、上，过线段上的点作交于点，则的大小为______度．

三、解答题（本题共10小题，共66分）

19. 解方程组：．
20. 某地区年进出口总额为亿元，年进出口总额比年有所增加，其中进口额增加了，出口额增加了．
    注：进出口总额进口额出口额．
    设年进口额为亿元，出口额为亿元，请用含，的代数式填表：

已知年进出口总额比年增加了亿元，求年进口额和出口额分别是多少亿元？

21. 港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥，它由桥梁和隧道两部分组成，桥梁和隧道全长共其中桥梁长度比隧道长度的倍少求港珠澳大桥的桥梁长度和隧道长度．
22. 某校组织了一次“校徽设计“竞赛活动，邀请名老师作为专业评委，名学生代表参与民主测评，且民主测评的结果无弃权票．某作品的评比数据统计如下：

专业评委给分统计表
记“专业评委给分”的平均数为．
求该作品在民主测评中得到“不赞成”的票数；
对于该作品，问的值是多少？
记“民主测评得分”为，“综合得分”为，若规定：
“赞成”的票数分“不赞成”的票数分；
．
求该作品的“综合得分”的值．

23. 省射击队为从甲、乙两名运动员中选拔一人参加金国比赛，对他们进行了六次测试，成绩单位：环如下表：

分别计算甲、乙六次测试成绩的平均数和方差；
你认为推荐谁参加全国比赛更合适？请说明理由．

24. 已知：如图，，和互余，于点．
    填空：和可用关系式表示为______；与有怎样的关系式：______；
    求证：．

25. ，两地相距，甲、乙两人分别开车从地出发前往地，其中甲先出发如图是甲，乙行驶路程，随行驶时间变化的图象，请结合图象信息，解答下列问题：
    填空：甲的速度为______；
    分别求出，与之间的函数解析式；
    求出点的坐标，并写出点的实际意义．

26. 已知点在上，点，在上，，．
    求证：；
    若，，求证：；
    若，，求的度数．

27. 设是，，的平均数，即，则方差，它反映了这组数的波动性，
    证明：对任意实数，，，，，与，，，方差相同；
    证明；
    以下是我校初二班位同学的身高单位：厘米：
    ，，，，，，，，，，计算这组数的方差．
28. 如图，在中，与的平分线相交于点．
    如果，求的度数；
    如图，作外角，的角平分线交于点，试探索，之间的数量关系．
    如图，延长线段，交于点，在中，存在一个内角等于另一个内角的倍，求的度数．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：方程组，得，
当时，点在第一象限，故选项A不合题意；
当时，点在第二象限，故选项B不合题意；
当时，点在第三象限，故选项C不合题意；
因为，所以点不可能在平面直角坐标系的第四象限．
故选：．
解方程组求得，的值，利用平面直角坐标系象限内坐标的特点判定点的位置．
本题主要考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，平面内点的坐标的特征．求得方程组的解是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：设艘大船可载人，艘小船可载人，
依题意得：，
得：，
，
即艘大船与艘小船一次共可以满载游客的人数为，
故选：．
设艘大船可载人，艘小船可载人，依题意：艘大船与艘小船一次共可以满载游客人，艘大船与艘小船一次共可以满载游客人．列出二元一次方程组，求出的值即可．
此题考查了二元一次方程组的应用等量关系正确列出二元一次方程组是解题的关键
 

3.【答案】 

【解析】解：设可以购买包型口罩，包型口罩，
依题意得：，

又，均为正整数，
或或，
共有种购买方案．
故选：．
设可以购买包型口罩，包型口罩，利用总价单价数量，即可得出关于，的二元一次方程，结合，均为正整数，即可得出共有种购买方案．
本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：由题意得：，
得：，
把代入中得：，
解得：，
原方程组的解为：，
把代入方程组中可得：，
解得：，
，
故选：．
先联立不含，的两个方程，解方程组求出，的值，再代入含，的两个方程联立的方程组中，进行计算即可解答．
本题考查了二元一次方程组的解，熟练掌握同解方程组是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：型号为厘米的销量最多，
所以超市经理最适宜加大进货量的衬衫型号是厘米，
故选：．
找到销售量的众数即可．
考查了众数的定义，解题的关键是了解众数是出现次数最多的数，众数不唯一．
 

6.【答案】 

【解析】解：方差，
中“”是这组数据的平均数，
故选：．
根据方差的定义可得答案．
本题考查方差，解题的关键是掌握方差的定义：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数叫做这组数据的方差．
 

7.【答案】 

【解析】解：将这组数据中的每个数据都除以，所得到的一组数据的方差将缩小倍，
新数据的方差是．
故选：．
根据方差的性质可知，数据中的每个数据都缩小倍，则方差缩小倍，即可得出答案．
本题考查了方差，一般地设有个数据，，，，若每个数据都扩大或缩小相同的倍数，方差则变为这个倍数的平方倍．
 

8.【答案】 

【解析】解：连接，

在中，，
在中，，
，
，
，
，
，
，
，，
，，
，
，
．
故选：．
分析题意，，然后利用三角形的内角和、等量代换求解即可．
本题考查了多边形的内角和，将题目所求转化为三角形的内角和，再运用等量代换是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：

若，则，则，故此说法正确；
若，由得到，，则，则；故此说法正确；
由得到，，由得，，则，故此说法正确；
由得，只有时，故此说法错误．
故选：．
根据平行线的性质和判定逐一进行判断求解即可．
此题考查了平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：由不能判定两条铁轨平行，故该选项不符合题意；
B.由，可判定两枕木平行，故该选项不符合题意；
C.，，
，
两条铁轨平行，故该选项符合题意；
D.由不能判定两条铁轨平行，故该选项不符合题意；
故选：．
根据平行线的判定逐项分析即可得到结论．
本题主要考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解决问题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：直线：与直线：相交于点，
关于、的方程组的解为，
故答案为：．
两条直线的交点坐标就是两条直线的解析式构成的方程组的解．
本题考查了一次函数与二元一次方程组的知识，解题的关键是了解方程组的解与函数图象的交点坐标的关系．
 

12.【答案】   

【解析】解：设图中两空白圆圈内应填写的数字从左到右依次为，
外圆两直径上的四个数字之和相等

内、外两个圆周上的四个数字之和相等

联立解得：，
图中两空白圆圈内应填写的数字从左到右依次为，
故答案为：；．
根据题意要求可得关于所要求的两数的两个等式，解出两数即可．
此题比较简单，主要考查了有理数的加法，主要依据题中的要求列式即可以求解．
 

13.【答案】 

【解析】解：根据题意，数据，，，，的中位数为，
则有，
这组数据的平均数为，
则这组数据的方差，
故答案为：．
根据题意，由中位数的定义可得的值，计算出这组数据的平均数，再根据方差计算公式列式计算即可．
本题考查中位数和数据的方差计算，关键是由中位数的定义求出的值．
 

14.【答案】 

【解析】解：由次成绩的折线统计图可知：
这次成绩从小到大排列为：
，，，，，，
所以这次成绩的中位数是：．
故答案为：．
根据中位数定义：将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．即可得解．
本题考查了折线统计图、中位数，解决本题的关键是掌握中位数．
 

15.【答案】     

【解析】解：数据，，，的平均数为，方差为，
数据，，的平均数为，方差为，
，，，的平均数为和方差，方差为；
标准差为．
故答案为：，，．
先根据、、、的平均数为，方差为，求出数据，，的的平均数为，方差为，从而得出数据，，，的平均数和方差，最后根据标准差的定义即可得出答案．
本题考查平均数和方差，标准差，若在原来数据前乘以同一个数，平均数也乘以同一个数，而方差要乘以这个数的平方，在数据上同加或减同一个数，方差不变．
 

16.【答案】 

【解析】解：一束光沿方向，先后经过平面镜、反射后，沿方向射出，
，，
在中，，
．
故答案为：．
根据平面镜反射的规律得到，，在中，根据三角形内角和定理求出的度数，即可得到的度数．
本题考查了角的计算，根据平面镜反射的规律得到，是解题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：如图，

，，
，
，
，
，
，
故答案为：．
求出，根据三角形内角和定理求出，求出，根据三角形的外角性质求出即可．
本题考查了三角形的内角和定理和三角形的外角的性质，能灵活运用定理进行推理和计算是解此题的关键，注意：三角形的内角和等于，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
 

18.【答案】 

【解析】解：

过点作，
，
，
，，
，
，
．
故答案为：．
直接利用平行线的性质得出的度数，再结合直角求出的度数，再利用平行线的性质得出答案．
此题主要考查了平行线的性质，正确掌握平行线的性质是解题关键．
 

19.【答案】解：，
得：，
把代入得：，
原方程组的解为． 

【解析】通过加减消元法消去求出的值，代入第一个方程求出的值即可得出答案．
本题考查了解二元一次方程组，解二元一次方程组的基本思路是消元，把二元方程转化为一元方程是解题的关键．
 

20.【答案】；
年进口额是亿元，出口额是亿元． 

【解析】解：由表格可得，
年进出口总额为：，
故答案为：；
由题意可得，
，
解得，
答：年进口额是亿元，出口额是亿元．
根据题意和表格中的数据，可以用含、的代数式表示出年进出口总额；
根据题意和题目中的数据，可以列出相应的方程组，然后求解即可．
本题考查二元一次方程组的应用、列代数式，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程组．
 

21.【答案】解：设港珠澳大桥隧道长度为，桥梁长度为．
由题意列方程组得：．
解得：
答：港珠澳大桥的桥梁长度和隧道长度分别为和． 

【解析】设港珠澳大桥隧道长度为，桥梁长度为由桥梁和隧道全长共，得桥梁长度比隧道长度的倍少，得，然后列出方程组，解方程组即可．
本题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组．
 

22.【答案】解：该作品在民主测评中得到“不赞成”的票数：张，
答：该作品在民主测评中得到“不赞成”的票是张；
分；
答：的值是分；
分；


分．
答：该作品的“综合得分”的值为分． 

【解析】“不赞成”的票数总票数赞成的票；
平均数总分数总人数；
根据“赞成”的票数分“不赞成”的票数分；求出该作品的“综合得分”的值．
本题考查了加权平均数、算术平均数，掌握这两种平均数的应用，其中读懂题意是解题关键．
 

23.【答案】解：甲的平均成绩：，
乙的平均成绩是：；
，
；

选乙，因为甲乙两人平均数相同，且乙的方差小，成绩比较稳定． 

【解析】先计算出数据的平均数，再计算方差，一般地设个数据，，，的平均数为，，则方差；
根据方差和平均数两者进行分析．
此题主要考查了计算平均数和方差，关键是掌握方差的计算公式．一般地设个数据，，，的平均数为，，则方差
 

24.【答案】   

【解析】解：和互余，
，
，
，
，
故答案为：；；
证明：，
，
，
又和互余，
，
，
，
，
．
结合题意及直角三角形的两锐角互余求解即可；
首先由，得和互余，再由已知得到，由和互余，得到，从而证得．
此题考查的知识点是平行线的判定和性质，由及三角形内角和定理得出和互余是解决问题的关键．
 

25.【答案】 

【解析】解：甲的速度为：，
故答案为：；
由可知，出与之间的函数解析式为；
设与之间的函数解析式为，根据题意得：
，
解得，
；
根据题意，得，
解得，
，
点的坐标为，
故点的实际意义是甲车出发小时后被乙车追上，此时两车行驶了．
根据“速度路程时间”可得答案；
根据的结论可得出与之间的函数解析式；利用待定系数法可得与之间的函数解析式；
根据的结论列方程求解即可．
本题考查了一次函数的应用，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式．
 

26.【答案】证明：，，，
，
；
证明：，
，
，
，
，
，
，
；
解：，
，
，，
，
解得，
，
，
而． 

【解析】根据对顶角相等得出，已知，，可得出，根据内错角相等，两直线平行证得结论；
已知，，故，证得，已知，故CE，根据平行线的性质证得结论；
，可证得，根据平行线的性质可得，再根据即可求出，而．
本题考查了平行线的判定和性质，熟练应用判定定理和性质定理是解题的关键，平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．
 

27.【答案】证明：设，，，的平均数是，方差为，，，，的平均数为，方差为，
则，



，
对任意实数，，，，与，，，方差相同；

证明：



；

解：由得，将这个数都减去得：，，，，，，，，，；
，，

，
对任意实数，，，，，与，，，方差相同，
这组数的方差是． 

【解析】设，，，的平均数是，方差为，，，，的平均数为，方差为，根据方差公式即可得到结论；
根据方差公式计算即可；
根据的结论计算即可．
本题考查方差的定义与意义：一般地设个数据，，，的平均数为，则方差，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．也考查了平均数．
 

28.【答案】解：，
，
点是和的角平分线的交点，
，，
，
；

，，
，
点是和的角平分线的交点，
，，
，
；

如图中，延长到．
为的外角的角平分线，
是的外角的平分线，
，
平分，
，
，
，
即，
，
，
即，

，
如果中，存在一个内角等于另一个内角的倍，那么分为四种情况：
，则，；
，则，，；
，则，；
，则，，
综合上述，的度数是或或或． 

【解析】根据三角形内角和定理求出，根据角平分线的定义得出，，求出，再根据三角形内角和定理求出即可；
根据三角形外角性质得出，，求出，根据角平分线的定义得出，，求出，根据三角形内角和定理求出即可；
根据角平分线的定义得出，，根据三角形外角性质得出，求出，求出，分为四种情况：，，，，再求出答案即可．
本题考查了三角形的外角性质，三角形内角和定理，角平分线的定义等知识点，注意：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，三角形的内角和等于，用了分类讨论思想．