2021-2022学年天津市河东区求真高级中学高二（下）期末数学试卷（Word解析版）

2021-2022学年天津市河东区求真高级中学高二（下）期末数学试卷

一、单选题（本大题共9小题，共45.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 设集合，，则(    )

A.  B.  C.  D.

2. 函数的最小正周期为，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

3. 下列函数为奇函数的是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 函数，已知，则(    )

A.  B.  C.  D.

5. 已知，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

6. 甲、乙等人排成一列，若甲需要站两侧，则排法总数为(    )

A.  B.  C.  D.

7. 在的展开式中，若常数项为，则实数值为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 为了得到函数的图象，可以将函数的图象(    )

A. 向右平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度

9. 甲投篮球次，首次投篮命中率为，在投篮过程中，若球被投中，则下次投篮的命中率为，若球未投中，则下次投篮命中率为，则在次投篮中，恰好投中次的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）

10. 已知为虚数单位，则______．
11. 的展开式中的系数是______．
12. 正四棱柱的体积为，底面对角线，则棱柱的高为______．
13. 中，，，，则______．
14. 盒子里装有同样大小的个白球和个黑球，甲先从中取球不放回，之后乙再从盒子中取个球．
    则甲所取的个球为同色球的概率为______；
    设事件为“甲所取的个球为同色球”，事件为“乙所取的球与甲所取的球不同色”，则在事件发生的条件下，求事件发生的概率______．
15. 已知随机变量的概率分布列为：

已知的数学期望为，则______．

三、解答题（本大题共5小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16. 设，已知函数过点，且函数的对称轴为．
    求函数的表达式；
    若，函数的最大值为，最小值为，求的值．
17. 已知，．
    求；
    求．
18. 如图四棱锥中，底面，四边形中，，，，为的中点．
    求证：平面；
    求证：面．

19. 在某公园中的射击游戏场中，在一次射击游戏中，要求射击次，若至少命中一次则获奖，否则不获奖．已知游客甲的射击命中率为．
    求甲在一次射击游戏中获奖的概率；
    若甲玩三次射击游戏，设为获奖次数，求随机变量的概率分布列及数学期望值．
20. 设箱子里装有同样大小的个红球及白球、黑球、黄球、绿球各个．
    若甲从中一次性摸出个球，求两个球颜色不相同的概率；
    若乙从中一次性取出个球，设个球中的红球个数为，求随机变量的概率分布列及数学期望值．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：集合，，
．
故选：．
结合集合交集的定义即可．
本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：的最小正周期为，又，
．
故选：．
根据正弦型函数的周期计算公式即可求解．
本题考查了正弦函数的周期的求解，考查了函数思想，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于：定义域为，则，所以为非奇非偶函数，故A错误；
对于：定义域为，则，即为偶函数，故B错误；
对于：定义域为，则，故为奇函数，故C正确；
对于：定义域为，所以为非奇非偶函数，故D错误；
故选：．
根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性，即可得答案．
本题考查函数奇偶性的判断，注意常见函数的奇偶性，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：根据题意，函数，已知，
则，可得，
故，．
故选：．
根据题意，由函数的解析式和可得，进而可得，即可得答案．
本题考查函数解析式的计算，涉及对数的运算，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：因为，
，
，
所以，
故选：．
由指数函数与对数函数的单调性求解即可
本题考查三个数的大小的判断，考查指数函数与对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：根据题意，甲在两侧选一种站法为，剩余人全排列有种
共计种安排方法．
故选：．
根据题意，先分析甲的站法，再将剩余人全排列，由分步计数原理计算可得答案．
本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：展开式的通项为，
令，得，
所以常数项为，解得．
故选：．
根据二项式展开式的通项，列出关于的方程，解之即可．
本题考查二项式定理，熟练掌握展开式的通项是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查函数的图象变换规律，属于基础题．
由条件利用函数的图象变换规律，可得结论．
【解答】
解：将函数的图象向右平移个单位长度，可得函数的图象，
故选：．  

9.【答案】 

【解析】解：依题意次投篮中，恰好投中次的概率．
故选：．
根据相互独立事件与互斥事件的概率公式计算可得；
本题主要考查相互独立事件，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
利用复数的运算法则即可得出．
本题考查了复数的运算法则，属于基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：二项式的展开式中含的项为，
所以的系数为，
故答案为：．
根据二项式定理求出展开式中含的项，由此即可求解．
本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．
 

12.【答案】 

【解析】解：正四棱柱底面为正方形，对角线，
故底面边长，设棱柱的高为，
故正四棱柱的体积为：，
所以高，
故答案为：．
利用正四棱柱的几何性质计算底面边长，再结合体积，即可求解棱柱的高．
本题主要考查了正四棱柱的结构特征和体积公式，属于基础题．
 

13.【答案】 

【解析】解：设，由余弦定理得，
即，
整理得，
由于，解得，即．
故答案为：．
由余弦定理得，代入数值解出即可．
本题主要考查了余弦定理在求解三角形中的应用，属于基础题．
 

14.【答案】  

【解析】解：设事件为“甲所取的个球为同色球”
所以．
．
．
故答案为：；．
利用超几何分布求概率即可；
利用条件概公式求解即可．
本题主要考查条件概率，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：，又，
解得：．
则．
故答案为：．
根据的数学期望和分布列的概率之和为列出方程组，求出，进而计算出．
本题主要考查离散型随机变量的分布列和期望，属于基础题．
 

16.【答案】解：过点，且对称轴为，
，解得，可得；
由可得，
在上单调递减，在上单调递增，
又，，，
，，
即，，得． 

【解析】根据函数过点及二次函数的对称轴，可得关于，的方程组，解得、的值，即可求出函数解析式；
将函数配成顶点式，即可得到函数的单调性，从而求出函数的最值，即可得到的值．
本题考查函数解析式的求解及常用方法，训练了利用二次函数的单调性求最值，是中档题．
 

17.【答案】解：因为，，
故，
所以；
． 

【解析】根据同角三角函数的关系求解，再根据正弦的二倍角公式求解即可；
根据两角和的余弦公式求解即可
本题主要考查了同角平方关系，和差角公式在三角化简求值中的应用，属于基础题．
 

18.【答案】证明：取的中点，连接，，
为的中点，，且，
又，且，可得，且，得四边形是平行四边形，，
平面，平面，平面；
由已知设，得，，
，即，
平面，平面，由直线与平面垂直的性质可得，
而，，平面，平面． 

【解析】取的中点，连接，，即可得到且，从而得到，即可得证；
利用勾股定理逆定理得到，再由线面垂直的性质得到，即可得证．
本题考查直线与平面平行、直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，考查推理论证能力，是中档题．
 

19.【答案】解：设“甲在一次射击游戏中获奖”为事件，则．
由可知甲在一次射击游戏中获奖的概率为，
则随机变量，且，，，，，
随机变量的概率分布列为：

． 

【解析】由对立事件与相互独立事件的概率公式求解即可；
由二项分布求解即可．
本题主要考查离散型随机变量的分布列和期望，属于中档题．
 

20.【答案】解：记“甲从中一次性摸出个球，两个球颜色不相同”为事件，
甲从中一次性摸出个球共有种，
两个球颜色不相同有种，
所以．
随机变量的可能取值为，，，，
且，，，，
所以随机变量的概率分布列为：

． 

【解析】由古典概型的概率公式求解即可；
随机变量的可能取值并求出每个值的概率即可求解．
本题主要考查离散型随机变量的分布列和期望，属于中档题．