高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册3.1 抛物线及其标准方程课文配套课件ppt

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1.了解抛物线的定义，几何图形和标准方程.2.明确抛物线方程中参数p的几何意义.3.会求抛物线的标准方程，并能应用它解决有关问题.
通过研究抛物线的定义、图形及标准方程，进一步提升数学抽象及数学运算素养.
问题导学预习教材必备知识探究
互动合作研析题型关键能力提升
拓展延伸分层精练核心素养达成
WEN TI DAO XUE YU XI JIAO CAI BI BEI ZHI SHI TAN JIU
问题导学预习教材 必备知识探究
一、抛物线的定义1.思考　如图，把一根直尺固定在画图板内直线l的位置上，截取一根绳子的长度等于AB的长度，现将绳子的一端固定在三角板的顶点A处，另一端用图钉固定在F处，用一支粉笔扣紧绳子，紧靠着三角板的这条直角边把绳子绷紧，然后使三角板紧靠着直尺上下滑动，这样粉笔就描出了一条曲线.在作图的过程中，你能发现点P满足的条件吗？它的轨迹是什么形状？
提示　点P运动的过程中，始终有|PF|＝|PB|，即点P与定点F的距离等于它到直线l的距离，点P的轨迹是抛物线.
2.思考　在上述的过程中，点F不在直线l上，如果点F在直线l上，重复上述过程，点P的轨迹是什么形状？提示　过点F且与l垂直的直线.3.填空　平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离______的点的集合(或轨迹)叫作________，定点F叫作抛物线的______，定直线l叫作抛物线的______.温馨提醒　(1)“一动三定”：一动点M；一定点F(即焦点)；一定直线l(即准线)；一定值1(即动点M到定点F的距离与到定直线l的距离之比为1).(2)若点F在直线l上，点的轨迹是过点F且垂直于直线l的直线.
4.做一做　(1)判断正误①若点P到点F(1，0)的距离和到直线x＝－2的距离相等，则点P的轨迹是抛物线.( )②若点P到点F(1，0)的距离和到直线x＋y－1＝0的距离相等，则点P的轨迹是抛物线.( )提示　由于定点F(1，0)在直线x＋y－1＝0上，所以点P的轨迹不是抛物线.③若点P到点F(1，0)的距离比到直线x＝－2的距离小1，则点P的轨迹是抛物线.( )
(2)在平面内，“点P到某定点的距离等于其到某条定直线的距离”是“点P的轨迹为抛物线”的(　　)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析　若点P的轨迹为抛物线，则点P到某定点的距离等于其到某条定直线的距离，但若点P到某定点的距离等于其到某条定直线的距离，且该定点在该定直线上，则点P的轨迹就不是抛物线，故应为必要不充分条件.
二、抛物线的标准方程1.思考　比较椭圆、双曲线标准方程的建立过程，你认为如何建立坐标系，可能使所求抛物线的方程形式简单？
设M(x，y)是抛物线上任意一点，点M到准线l的距离为d.由抛物线的定义，抛物线是点的集合P＝{M||MF|＝d}.
将上式两边平方并化简，得y2＝2px(p＞0).
2.思考　二次函数的图象也是抛物线，与本节所学抛物线相同吗？提示　不完全相同.当抛物线开口向上或向下时可以看作是二次函数的图象，当开口向左或向右时不能看作二次函数的图象.
3.填空　抛物线的标准方程(p>0)
__________________
______________
温馨提醒　(1)p的几何意义是焦点到准线的距离.(2)抛物线的开口方向取决于一次项变量(x或y)的系数的符号.
(2)抛物线y2＝－8x的焦点坐标是(　　)A.(2，0) B.(－2，0)C.(4，0) D.(－4，0)解析　∵y2＝－8x，∴p＝4，∴焦点坐标为(－2，0).
HU DONG HE ZUO YAN XI TI XING GUAN JIAN MENG LI TI SHENG
互动合作研析题型 关键能力提升
例1 在平面内，到直线l：x＝－2与到定点P(2，0)的距离相等的点的轨迹是(　　)A.抛物线 B.双曲线C.椭圆 D.直线
解析　动点M到定点P(2，0)的距离与到定直线l：x＝－2的距离相等，所以M的轨迹是以点P为焦点，直线l为准线的抛物线.
理解抛物线的定义是解决问题的关键，要抓住平面内的点到定点与到定直线的距离相等这一重要特征，但要注意的是定点不在定直线上.
训练1 若动点P到定点F(1，1)和到直线l：3x＋y－4＝0的距离相等，则动点P的轨迹是(　　)A.椭圆 B.双曲线C.抛物线 D.直线
解析　法一　设动点P的坐标为(x，y).
整理，得x2＋9y2＋4x－12y－6xy＋4＝0，即(x－3y＋2)2＝0，∴x－3y＋2＝0.所以动点P的轨迹为直线.法二　显然定点F(1，1)在直线l：3x＋y－4＝0上，则与定点F和直线l距离相等的动点P的轨迹是过F点且与直线l垂直的一条直线.
例2 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程.(1)焦点为(－2，0)；(2)准线为y＝－1；
∴抛物线的标准方程为y2＝－8x.
∴抛物线的标准方程为x2＝4y.
解　(3)由题意，抛物线方程可设为y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0)，将点A(2，3)的坐标代入，得32＝m·2或22＝n·3，
∴所求抛物线的标准方程为y2＝5x或y2＝－5x或x2＝5y或x2＝－5y.
抛物线标准方程的求法：(1)定义法：利用抛物线的定义列出动点满足的方程，进行化简，最后写出标准方程.(2)待定系数法：由于标准方程有四种形式，因而在求方程时应首先确定焦点在哪一个半轴上，进而确定方程的形式，然后再利用已知条件确定p的值.
训练2 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程.(1)过点(3，－4)；
解　法一　∵点(3，－4)在第四象限，∴设抛物线的标准方程为y2＝2px (p>0)或x2＝－2p1y (p1>0).把点(3，－4)的坐标分别代入y2＝2px或x2＝－2p1y，得(－4)2＝2p·3或32＝－2p1·(－4)，
法二　抛物线的方程可设为y2＝ax (a≠0)或x2＝by (b≠0).
(2)焦点在直线x＋3y＋15＝0上.
解　令x＝0得y＝－5；令y＝0得x＝－15.∴抛物线的焦点为(0，－5)或(－15，0).∴所求抛物线的标准方程为x2＝－20y或y2＝－60x.
1.牢记两个知识点：(1)抛物线的定义； (2)抛物线的标准方程的四种形式.2.辨清一个易错点：易混淆抛物线的焦点位置和方程形式.
TUO ZHAN YAN SHEN FEN CENG JING LIAN HE XING SU YANG DA CHENG
拓展延伸分层精练 核心素养达成
解析　∵抛物线的标准方程为x2＝4y，
3.顶点在原点，对称轴是y轴，并且顶点与焦点的距离等于3的抛物线的标准方程是(　　)A.x2＝±3y B.y2＝±6xC.x2＝±12y D.x2＝±6y
∴抛物线的标准方程为x2＝±12y.
4.(多选)经过点P(4，－2)的抛物线的标准方程可以为(　　)A.y2＝x B.x2＝8yC.x2＝－8y D.y2＝－8x
解析　若抛物线的焦点在x轴上，设抛物线的方程为y2＝2px(p＞0)，又因为抛物线经过点P(4，－2)，
所以抛物线的方程为y2＝x.若抛物线的焦点在y轴上，设抛物线的方程为x2＝－2py(p＞0)，又因为抛物线经过点P(4，－2)，所以42＝－2p×(－2)，解得p＝4，所以抛物线的方程为x2＝－8y.
解析　依题意，动点M到点(0，0)的距离等于其到定直线3x＋4y－1＝0的距离，且点(0，0)不在直线3x＋4y－1＝0上，因此动点M的轨迹是抛物线.故选D.
6.抛物线方程为7x＋4y2＝0，则焦点坐标为_____________.
8.若抛物线y2＝4x上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是________.
解析　抛物线y2＝4x的焦点为F(1，0)，准线为x＝－1，由M到焦点的距离为10，可知M到准线x＝－1的距离也为10，故M的横坐标满足xM＋1＝10，解得xM＝9，所以点M到y轴的距离为9.
10.已知抛物线C：x2＝2py(p＞0)上两点A，B且AB⊥y轴，OA⊥OB，△AOB的面积为16，求抛物线C的方程.解　不妨设点A在第一象限且A(m，n)，则B(－m，n)，可得m2＝2pn，AB⊥y轴，且OA⊥OB，即△AOB为等腰直角三角形，则OA的斜率为1，即m＝n，由△AOB的面积为16，
解得m＝n＝4，故p＝2，所以抛物线C的方程为x2＝4y.
12.(多选)已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上的点P(m，－2)到焦点的距离为4，则m的值可以为(　　)A.－4 B.－2 C.2 D.4
13.如图，已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，点A到抛物线准线的距离等于5，过点A作AB垂直于y轴，垂足为点B，OB的中点为M.
(1)求抛物线的方程：
所以抛物线的方程为y2＝4x.
(2)过点M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标.
解析　如图所示，易得F(2，0)，过点P作PN⊥l，垂足为N.