2020-2021学年4.2 直线与圆锥曲线的综合问题备课ppt课件

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第二章 圆锥曲线
4.2　直线与圆锥曲线的综合问题
课标要求
1.进一步熟悉直线与圆锥曲线的位置关系；2.掌握弦长公式，会求解与弦长有关的问题.
素养要求
通过对直线与圆锥曲线的位置关系的讨论，进一步提升逻辑推理及数学运算素养.
问题导学预习教材必备知识探究
内容索引
互动合作研析题型关键能力提升
拓展延伸分层精练核心素养达成
WEN TI DAO XUE YU XI JIAO CAI BI BEI ZHI SHI TAN JIU
问题导学预习教材 必备知识探究
1
1.思考　已知直线l：y＝kx＋m上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段AB的长度如何表示.
温馨提醒　(1)对于斜率不确定时，需讨论斜率存在或不存在两种情况.(2)过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点的弦AB，弦长|AB|＝x1＋x2＋p.通径是过焦点的弦中最短的弦.
C
解析　当AB垂直于对称轴时，|AB|取最小值，此时AB为抛物线的通径，长度等于2p.
解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
消y得3x2＋4x－2＝0.
HU DONG HE ZUO YAN XI TI XING GUAN JIAN MENG LI TI SHENG
互动合作研析题型 关键能力提升
2
解　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，易得双曲线的左焦点为F1(－2，0)，
与双曲线方程联立，消y得8x2－4x－13＝0.
求弦长的两种方法(1)求出弦两端点的坐标，然后利用两点间的距离公式求解，(2)结合根与系数的关系，利用弦长公式求解.
解　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
因为直线斜率为1，且过点F，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
所以直线AB的斜率存在，设为k，
(1)解决抛物线的焦点弦问题时，要注意抛物线定义在其中的应用，通过定义将焦点弦长度转化为端点的坐标问题，从而可借助根与系数的关系进行求解.(2)设直线方程时要特别注意斜率不存在的直线应单独讨论.
解　设交点M(x1，y1)，N(x2，y2)，
得(1＋2k2)x2＋4kx＝0，当k＝0时，直线l与曲线C相切，故Δ＝16k2＞0，
整理得k4＋k2－2＝0，解得k2＝1，或k2＝－2(舍去).经检验k＝±1符合题意，∴直线l的方程是x－y＋1＝0或x＋y－1＝0.
又由a2＝b2＋c2，可得a2＝3c2，b2＝2c2，
因为点M在椭圆上，且MF2⊥x轴，故把x＝c代入椭圆方程，
(2)若直线y＝kx＋2交椭圆于A，B两点，求△ABO(O为坐标原点)面积的最大值.
解　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，将y＝kx＋2代入椭圆方程，得(3k2＋2)x2＋12kx＋6＝0，由Δ>0，可得3k2－2>0，则有
所以△ABO的面积
令3k2－2＝t，则t∈(0，＋∞)，
当且仅当t＝4时取等号.
在圆锥曲线中求与弦长有关的最值问题需注意：(1)分清是哪种圆锥曲线；(2)一般会得到关于参数的函数转化为函数的最值问题.利用函数的性质或者基本不等式的性质求解.
(2)斜率为－1的直线与椭圆C相交于A，B两点，求|AB|的最大值.
解　设直线AB的方程为y＝－x＋m，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
得3x2－4mx＋2m2－6＝0，
当m＝0时，满足Δ＞0，|AB|max＝4.
课堂小结
1.牢记一个知识点：弦长公式.2.掌握两种方法：数形结合，分类讨论.3.辨清一个易错点：易忽略直线斜率不存在的情况.
TUO ZHAN YAN SHEN FEN CENG JING LIAN HE XING SU YANG DA CHENG
拓展延伸分层精练 核心素养达成
3
1.过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，且|AB|＝8，那么抛物线方程为(　　) A.y2＝2x B.y2＝4x C.y2＝8x D.y2＝6x
B
所以|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋p＝8，∴p＝2，∴抛物线方程为y2＝4x.
D
B
∵线段PF1的中点的坐标为(0，2)，
B
A
得(4b2＋a2)y2－12b2y＋9b2－a2b2＝0，Δ＝144b4－4(a2＋4b2)(9b2－a2b2)＞0，即a2＋4b2＞9.
8.已知抛物线x2＝4y的焦点为F，经过F的直线与抛物线相交于A，B两点，则以AB为直径的圆在x轴上所截得的弦长的最小值是________.
解析　由题意知满足题意的AB所在直线的斜率存在，故AB所在的直线方程可设为y＝kx＋1，代入x2＝4y，整理得x2－4kx－4＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝4k，由y＝kx＋1可得y1＋y2＝kx1＋1＋kx2＋1＝4k2＋2，|AB|＝y1＋y2＋p＝4k2＋4，
设两个交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
(2)若l与C有两个不同的交点，求双曲线C的离心率e的取值范围.
因为a2－b2＝3，所以a2＝6，b2＝3.
(2)C，D为椭圆M上两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD的面积的最大值.
设CD的方程为：x＝y＋m，C(x3，y3)，D(x4，y4)
A
二、能力提升
解析　∵x＝1是圆x2＋y2＝1的一条切线，∴椭圆的右焦点为(1，0)，即c＝1.
又c2＝a2＋b2＝12＋b2，所以b2(12＋b2)＝3(b2＋12)，所以b2＝3，
得(x1，y1)＋(x2，y2)＝t(x0，y0)，所以x1＋x2＝tx0，y1＋y2＝ty0.将直线方程代入双曲线方程，
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三、创新拓展
解析　由|F1F2|＝2可得：F2(1，0)，所以PF2⊥x轴，
A中，|QF1|＋|QP|＝2a－|QF2|＋|QP|＝2a－(|QF2|－|QP|)≥2a－|PF2|＝2a－1，当且仅当Q，P，F2三点共线时，取到最小值为2a－1，所以A正确；B中，因为P在椭圆内，b>1，所以短轴长2b>2，故B不正确；