北师大版 (2019)选择性必修 第一册1.2 空间两点间的距离公式集体备课ppt课件

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第三章 空间向量与立体几何
1.3　空间两点间的距离公式
课标要求
1.掌握并能推导空间两点间的距离公式.2.能够运用空间两点间的距离公式解决有关问题.
素养要求
空间两点间的距离公式体现了逻辑推理和数学运算的核心数学素养.
问题导学预习教材必备知识探究
内容索引
互动合作研析题型关键能力提升
拓展延伸分层精练核心素养达成
WEN TI DAO XUE YU XI JIAO CAI BI BEI ZHI SHI TAN JIU
问题导学预习教材 必备知识探究
1
1.思考　如图(1)，在长方体ABCD－A′B′C′D′中若AB＝a，AD＝b，AA′＝c，你能计算出AC′的长度吗？
图(1)
2.思考　如图(2)，在空间直角坐标系中，若P(x0，y0，z0)，类比上述计算方法，能求出|OP|吗？
图(2)
提示　∵|OA|＝|x0|，|OB|＝|y0|，|OC|＝|z0|，
|DB|＝|z1－z2|，
3.思考　空间任意两点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)间的距离怎么求？ 提示　作长方体使A，B为其体对角线的顶点，长方体的棱都平行于坐标轴， 由已知得，C(x2，y1，z1)，D(x2，y2，z1),
温馨提醒　(1)公式特征：同名坐标差的平方和的算术平方根.
(3)x2＋y2＋z2＝1表示以原点为球心，半径为1的球的方程.
D
解析　|AB|＝
A
解析　由已知得
解得a＝3或a＝5.
HU DONG HE ZUO YAN XI TI XING GUAN JIAN MENG LI TI SHENG
互动合作研析题型 关键能力提升
2
例1 如图，正方体OABC－D′A′B′C′的棱长为a，|AN|＝2|CN|，|BM|＝2|MC′|.求|MN|的长.
解　建立如图所示的空间直角坐标系.
过点M作MF垂直于BC于点F，连接NF，显然MF垂直于平面ABCO，所以MF⊥NF，因为|BM|＝2|MC′|，所以|BF|＝2|FC|，又|AN|＝2|CN|，所以NF∥AB，
1.求空间两点间的距离问题就是把点的坐标代入距离公式进行计算，其中确定点的坐标或合理设出点的坐标是关键.2.若所给题目中未建立坐标系，需结合已知条件建立适当的坐标系，再利用空间两点间的距离公式计算.
训练1 已知△ABC的三个顶点A(1，5，2)，B(2，3，4)，C(3，1，5). (1)求△ABC中最短边的边长； (2)求AC边上中线的长度. 解　(1)由空间两点间距离公式得
例2 在空间直角坐标系中，已知A(3，0，1)，B(1，0，－3)，在y轴上是否存在点M，使△MAB为等边三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由. 解　假设在y轴上存在点M(0，y，0)，使△MAB为等边三角形. 由题意可知y轴上的所有点都能使|MA|＝|MB|成立， 所以只要再满足|MA|＝|AB|，就可以使△MAB为等边三角形.
由空间两点间距离公式求点的坐标的方法(1)若已知点到定点的距离以及点在特殊位置，则可直接设出该点坐标，利用待定系数法求解点的坐标.(2)若已知一点到两个定点的距离之间的关系，以及其他的一些条件，则可以列出关于点的坐标的方程进行求解.
训练2 如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，以正方体的三条棱所在直线为轴建立空间直角坐标系O－xyz.
(1)若点P在线段BD1上，且满足3|BP|＝|BD1|，试写出点P的坐标，并写出P关于y轴的对称点P′的坐标；
(2)在线段C1D上找一点M，使得点M到点P的距离最小，求出点M的坐标.
解　设线段C1D上一点M的坐标为(0，m，m)，则有
例3 如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，AA1＝3，M，N分别是AB，B1C1的中点，点P是DM上的点，DP＝a，当a为何值时，NP的长最小？
解　如图，以点D为原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系.
则D(0，0，0)，N(1，2，3)，设点P的坐标为(x，y，0)，则x＝2y(0≤y≤1).
在空间中与距离有关的问题：(1)利用距离判断几何图形的形状.(2)利用距离公式求最值.
训练3 已知A(3，3，1)，B(1，0，5)，求： (1)线段AB的中点坐标及|AB|的长度；
解　设M(x1，y1，z1)是线段AB的中点，则根据中点坐标公式得
根据两点间距离公式，得
(2)到A，B两点的距离相等的点P(x，y，z)的坐标满足的条件.
解　因为点P(x，y，z)到A，B的距离相等，
化简得4x＋6y－8z＋7＝0.即点P(x，y，z)的坐标满足的条件为4x＋6y－8z＋7＝0.
课堂小结
1.牢记一个知识点：空间两点间距离公式.2.掌握一种方法：在求距离的最值时常用函数法.3.辨清一个易错点：点的坐标书写不正确导致距离求解错误.
TUO ZHAN YAN SHEN FEN CENG JING LIAN HE XING SU YANG DA CHENG
拓展延伸分层精练 核心素养达成
3
1.(多选)下面关于空间直角坐标系的叙述错误的是(　 　) A.点P(1，－1，0)，Q(1，2，3)的距离为(1－1)2＋(－1－2)2＋(0－3)2＝18 B.点A(－3，－1，4)与点B(3，－1，－4)关于y轴对称 C.点A(－3，－1，4)与点B(3，－1，－4)关于平面xOz对称 D.空间直角坐标系中的三条坐标轴把空间分为八个部分
ACD
B
D
解析　∵点P在x轴上，∴设点P的坐标为(x，0，0)，由题意|PP1|＝2|PP2|，
解得x＝±1，∴所求点为(1，0，0)或(－1，0，0).
4.在空间直角坐标系O－xyz中，y轴上的点M到点A(1，0，2)与点B(2，2，1) 的距离相等，则点M的坐标是(　　) A.(0，－1，0) B.(0，1，0) C.(0，0，1) D.(2，0，0) 解析　设点M的坐标是M(0，y，0)，∵y轴上的点M到点A(1，0，2)与点B(2，2，1)的距离相等.
B
∴点M的坐标是(0，1，0).故选B.
5.已知点A(1，－2，11)，B(4，2，3)，C(6，－1，4)，△ABC的形状是(　　) A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形
C
解析　由距离公式得：
∴|AC|2＋|BC|2＝|AB|2，∴△ABC为直角三角形.
6.已知A(1，－2，1)，B(2，2，2)，点P在z轴上，且|PA|＝|PB|，则点P的坐标为___________.
(0，0，3)
解析　∵P在z轴上，可设P(0，0，z)，由|PA|＝|PB|，
解析　设AB的中点E，AC的中点G，∵三角形三个顶点为A(2，－1，4)，B(3，2，－6)，C(5，0，2)，
8.在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，A(2，1，1)，B(1，1，2)，C(x，0，1)，则x＝________.
2
解析　由距离公式
∵∠BAC＝90°，∴|BC|2＝|AB|2＋|AC|2，∴(1－x)2＋2＝2＋(2－x)2＋1，解得x＝2.
9.已知A(x，5－x，2x－1)，B(1，x＋2，2－x)，求|AB|取最小值时A，B两点的坐标，并求此时的|AB|.
解　设O为A在底面BCD上的射影，则O为正三角形BCD的中心.如图以OB所在直线为x轴，以OA所在直线为z轴，以过O与CD平行的直线为y轴，建立空间直角坐标系.
又∵A在z轴上，且|AO|＝1，∴A(0，0，1).由两点间的距离公式
11.(多选)下列各点到坐标原点的距离不小于5，且到x轴的距离不小于3的是(　　) A.(1，1，1) B.(1，2，2) C.(2，－3，5) D.(3，0，4)
CD
二、能力提升
可得，到原点的距离不小于5的为C，D，且满足到x轴的距离大于3.
(2)当a为何值时，|MN|的长最小.
解　∵平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF＝AB，AB⊥BE，∴BE⊥平面ABCD，∴AB，BC，BE两两垂直.过点M作MG⊥AB，MH⊥BC，垂足分别为G，H，连接NG，易证NG⊥AB.
∴以B为原点，以BA，BE，BC所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系B－xyz，
三、创新拓展