北师大版 (2019)选择性必修 第一册4.2 二项式系数的性质教课ppt课件

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第五章 计数原理
4.2　二项式系数的性质
课标要求
1.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.2.理解二项式系数的性质并灵活运用.
素养要求
通过本节课的学习，进一步提升逻辑推理及数学运算素养.
问题导学预习教材必备知识探究
内容索引
互动合作研析题型关键能力提升
拓展延伸分层精练核心素养达成
WEN TI DAO XUE YU XI JIAO CAI BI BEI ZHI SHI TAN JIU
问题导学预习教材 必备知识探究
1
一、杨辉三角1.思考　根据二项式定理写出(a＋b)n(n＝1，2，3，4，5，6)的二项式系数.可以写成如下形式，则第7行的数字分别是多少？
提示　1，7，21，35，35，21，7，1
2.思考　在上述图形中，每一行的数字有什么特点 ，下一行与上一行的数字有什么联系吗？ 提示　每一行的数字是对称的，先增大，后减小，并且首尾数字均为1.下一行的数字除1外的每一个数字都等于它的“肩上”的两个数字的和.
3.填空　(1)在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数______；
相等
和
温馨提醒　(1)从杨辉三角可以看出(a＋b)n展开后共有n＋1项.(2)(a＋b)n展开后每项的二项式对称出现且先增大后减小.
B
4.做一做　(1)观察图中的数所成的规律，则a所表示的数是(　　) A.8 B.6 C.4 D.2
解析　由题图中，下一行的数是其肩上两数的和，所以4＋a＝10，得a＝6.
C
(2)在(x＋y)n的展开式中，第5项与第7项的系数相等，则n为(　　)A.6 B.8C.10 D.12
二、二项式系数的性质1.思考　在杨辉三角中，如何找二项式系数的最大值？ 提示　观察每行的数字，当n为奇数时，展开后中间两项的二项式系数相等并且最大；当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大.
4.填空
等距离
增大
减小
2n
2n－1
偶数项
温馨提醒　(1)当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大.(2)当n为奇数时，中间两项的二项式系数相等且最大.
A
5.做一做　(1)在(x＋y)n的展开式中，第4项与第8项的系数相等，则展开式中系数最大的项是(　　) A.第6项 B.第5项 C.第5，6项 D.第6，7项
∴展开式中二项式系数最大的项为第6项，它也是系数最大的项.
180
(2)若(2－x)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，则a8＝________.
HU DONG HE ZUO YAN XI TI XING GUAN JIAN MENG LI TI SHENG
互动合作研析题型 关键能力提升
2
ACD
解决与杨辉三角有关问题的一般思路：(1)观察：对题目要横看、竖看、隔行看、连续看，多角度观察；(2)找规律：通过观察找出每一行的数之间，行与行之间的数据的规律.
训练1 如图是与杨辉三角有类似性质的三角形数垒，a，b是某行的前两个数，当a＝7时，b等于(　　) A.20 B.21 C.22 D.23 解析　由a＝7，可知b左肩上的数为6，右肩上的数为 11＋5＝16，所以b＝6＋16＝22.
C
训练2 (1)(1＋x)2n＋1的展开式中，二项式系数最大的项所在的项数是(　　) A.n，n＋1 B.n－1，n C.n＋1，n＋2 D.n＋2，n＋3
C
D
例3 已知(2x－1)5＝a0x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5. 求(1)a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5. (2)求a1＋a3＋a5；
解　(1)令x＝1，得：(2×1－1)5＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5，∴a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝1.①(2)令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝－(－3)5＝35＝243.②∴①－②得：2(a1＋a3＋a5)＝1－243＝－242.∴a1＋a3＋a5＝－121.
(3)求|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|.
解　∵(2x－1)5的展开式中偶数项的系数为负值，∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5.令x＝－1，得：[2×(－1)－1]5＝－a0＋a1－a2＋a3－a4＋a5，即a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝243，∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|＝243.
求二项展开式的各项系数之和常用赋值法“赋值法”是求二项式系数常用的方法，根据题目要求，灵活赋给字母不同的值.一般地，要使展开式中项的关系变为系数的关系，令x＝0可得常数项，令x＝1可得所有项系数之和，令x＝－1可得偶数项系数之和与奇数项系数之和的差，而当二项展开式中含负值项时，令x＝－1则可得各项系数绝对值之和.
训练3 (1)已知(1－3x)8＝a0＋a1x＋…＋a7x7＋a8x8.求：①a0＋a1＋…＋a8；②a0＋a2＋a4＋a6＋a8；③|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a8|.解　①令x＝1，得a0＋a1＋…＋a8＝(－2)8＝256.Ⅰ②令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＋a8＝48.ⅡⅠ＋Ⅱ，得2(a0＋a2＋a4＋a6＋a8)＝28＋48，
故a0，a2，a4，a6，a8＞0，a1，a3，a5，a7＜0，∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a8|＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a8＝48＝65 536.
课堂小结
1.牢记两个知识点：(1)杨辉三角；(2)二项式系数的性质.2.掌握一种方法：赋值法.3.辨清一个易错点：在求二项式系数的最大值时需对n讨论.
TUO ZHAN YAN SHEN FEN CENG JING LIAN HE XING SU YANG DA CHENG
拓展延伸分层精练 核心素养达成
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1.在(1＋x)n(n∈N＋)的展开式中，若只有x5的系数最大，则n的值为(　　) A.8 B.9 C.10 D.11 解析　由题意，得展开式共有11项，所以n＝10.
C
2.设(x2＋1)(2x＋1)9＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋…＋a11(x＋2)11，则a0＋a1＋a2＋…＋a11的值为(　　) A.－2 B.－1 C.1 D.2
A
解析　令x＝－1，则原式化为[(－1)2＋1][2×(－1)＋1]9＝a0＋a1(2－1)＋a2(2－1)2＋…＋a11(2－1)11，∴a0＋a1＋a2＋…＋a11＝－2.
B
C
AB
解析　根据二项式系数的性质，知(a＋b)10的展开式中各二项式系数之和为210＝1 024，故A正确；(a＋b)10的展开式中，二项式系数最大的项是中间一项即第6项的二项式系数最大，故B正确，C错误；易知展开式中各项的系数与对应二项式系数相等，故第6项的系数最大，故D错误.故选AB.
6.已知(2＋x)(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，则a1＋a2＋a3＋…＋a8＝________.
-5
解析　令x＝0，得a0＝2，令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a8＝－3.∴a1＋a2＋a3＋…＋a8＝－5.
10
解析　2n＝32，故n＝5.
令10－5k＝0，得k＝2.
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(2)a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a100；
解　(1)令x＝0，则a0＝2100.(2)令x＝1，
(3)a1＋a3＋a5＋…＋a99；
解　令x＝－1，
与①式联立相减得a1＋a3＋…＋a99＝
(4)(a0＋a2＋…＋a100)2－(a1＋a3＋…＋a99)2；
(5)|a0|＋|a1|＋…＋|a100|.
解　|a0|＋|a1|＋…＋|a100|，即
解　(1)由题意，结合二项式系数的性质可得2n＝32，解得n＝5.
AD
二、能力提升
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解析　设(2x－1)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，且奇次项的系数和为A，偶次项的系数和为B.则A＝a1＋a3＋a5＋…，B＝a0＋a2＋a4＋a6＋….由已知可知，B－A＝38.令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋…＋an(－1)n＝(－3)n，即(a0＋a2＋a4＋a6＋…)－(a1＋a3＋a5＋a7＋…)＝(－3)n，即B－A＝(－3)n，∴(－3)n＝38＝(－3)8，∴n＝8.由二项式系数的性质，可得
三、创新拓展
选择③：令x＝1，可得展开式所有项的系数和为1，而二项式系数和为2n，于是得1·2n＝256，解得n＝8.