高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册第五章 计数原理2 排列问题2.2 排列数公式课文内容课件ppt

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1.通过实例理解排列的概念，掌握排列数公式及推导方法.2.能应用排列知识解决简单的实际问题.
通过学习排列的概念，进一步提升数学抽象及逻辑推理素养.
问题导学预习教材必备知识探究
互动合作研析题型关键能力提升
拓展延伸分层精练核心素养达成
WEN TI DAO XUE YU XI JIAO CAI BI BEI ZHI SHI TAN JIU
问题导学预习教材 必备知识探究
一、排列与排列数1.思考　从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？提示　
2.填空　排列及排列问题 (1)排列：一般地，从n个不同的元素中取出m(m≤n，且m，n∈N＋)个元素，按照____________排成一列，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.
(3)排列问题：把有关求____________的问题叫作排列问题.温馨提醒　(1)要求m≤n.(2)按照一定顺序排列，顺序不同，排列不同.(3)m＝n时叫全排列.
3.做一做　(1)判断正误①在一个排列中，若交换两个元素的位置，则该排列不发生变化.( )提示　在一个排列中，若交换两个元素的位置，则该排列与原来的排列不同.②在一个排列中，同一个元素不能重复出现.( )③从1，2，3，4中任选两个元素，就组成一个排列.( )提示　从1，2，3，4中任选两个元素并按照一定的顺序排成一列，才能组成一个排列.④从5个同学中任选2个同学分别参加数学和物理竞赛的所有不同的选法是一个排列问题.( )
(2)从甲、乙、丙三人中选两人站成一排的所有站法为(　　)A.甲乙，乙甲，甲丙，丙甲B.甲乙丙，乙丙甲C.甲乙，甲丙，乙甲，乙丙，丙甲，丙乙D.甲乙，甲丙，乙丙解析　选出两人，两人的不同顺序都要考虑.
二、排列数公式1.思考　北京、广州、南京、武汉4个城市相互通航，请用列举法和排列数分别写出所有机票的种数？你能得到什么结论？提示　列举法
提示　我们把从n个不同元素中取出m(m≤n，且m，n∈N＋)个元素的排列，看成从n个不同的球中取出m个球，放入排好的m个盒子中，每个盒子里放一个球，我们根据分步乘法计数原理排列这些球：第1步，从全体n个球中任选一个放入第1个盒子，有n种方法；第2步，从剩下的(n－1)个球中任选一个放入第2个盒子，有(n－1)种方法；第3步，从剩下的(n－2)个球中任选一个放入第3个盒子，有(n－2)种方法；……
第m步，从剩下的[n－(m－1)]个球中任选一个放入第m个盒子，有[n－(m－1)]种方法，如表所示.
因此，根据分步乘法计数原理，从n个不同的球中取出m个球的排列，共有n(n－1)(n－2)·…·[n－(m－1)]种方法.
温馨提醒　(1)乘积是m个连续正整数的乘积；(2)第一个数最大，是A的下标n；(3)第m个数最小，是n－m＋1.
5.做一做　(1)A等于(　　)A.9×3B.93C.9×8×7D.9×8×7×6×5×4×3解析　根据排列数公式可知A＝9×8×7，故选C.
(2)某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了__________条毕业留言(用数字作答).
HU DONG HE ZUO YAN XI TI XING GUAN JIAN MENG LI TI SHENG
互动合作研析题型 关键能力提升
例1 判断下列问题是否为排列问题.(1)北京南站、上海虹桥站、天津南站三个高铁站之间的的高铁票的价格(假设来回的票价相同)；(2)选2个小组分别去植树和种菜；
解　(1)中票价只有三种，虽然高铁票是不同的，但票价是一样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题.(2)植树和种菜是不同的，存在顺序问题，属于排列问题.
(3)选2个小组去种菜；(4)选10人组成一个学习小组；(5)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员；(6)某班40名学生在假期相互打电话.
解　(3)，(4)不存在顺序问题，不属于排列问题.(5)中每个人的职务不同，例如甲当班长与当学习委员是不同的，存在顺序问题，属于排列问题.(6)A给B打电话与B给A打电话是不同的，所以存在着顺序问题，属于排列问题.所以(2)，(5)，(6)属于排列问题.
判断一个问题是否为排列问题，主要从“取”与“排”两方面考虑(1)“取”指检验取出的m个元素是否重复；(2)“排”指检验取出的m个元素是否有顺序，其判断标准是，交换两个位置看其结果是否有变化，有变化就是有顺序，无变化就是无顺序.
训练1 下列问题是排列问题吗？(1)从1，2，3，4四个数字中，任选两个做加法，其结果有多少种不同的可能？(2)从1，2，3，5四个数字中，任选两个做除法，其结果有多少种不同的可能？(3)会场有50个座位，要求选出3个座位有多少种方法？若选出3个座位安排3位客人入座，又有多少种方法？解　(1)不是；(2)是；(3)第一问不是，第二问是.理由：由于加法运算满足交换律，所以选出的两个元素做加法求结果时，与两个元素的位置无关，但列除法算式时，两个元素谁作除数，谁作被除数不一样，此时与位置有关.选出3个座位与顺序无关，“入座”问题同“排队”，与顺序有关，故选3个座位安排3位客人入座是排列问题.
例2 四个人A，B，C，D坐成一排照相有多少种坐法？将它们一一列出来.解　先安排A有4种坐法，安排B有3种坐法，安排C有2种坐法，安排D有1种坐法，由分步乘法计数原理得，有4×3×2×1＝24(种).画出树状图.
由“树状图”可知，所有坐法为ABCD，ABDC，ACBD，ACDB，ADBC，ADCB，BACD，BADC，BCAD，BCDA，BDAC，BDCA，CABD，CADB，CBAD，CBDA，CDAB，CDBA，DACB，DABC，DBAC，DBCA，DCAB，DCBA.
迁移 对本例，若加上限制条件：D不能在“排头”(即每个排列的最左端不是D)，这样的排列有几个？解　由例2的树状图可知这样的排列共有24－6＝18(个).
利用“树状图”法解决简单排列问题的适用范围及策略(1)适用范围：“树状图”在解决排列元素个数不多的问题时，是一种比较有效直观的表示方式.(2)策略：在操作中先将元素按一定顺序排出，然后以先安排哪个元素为分类标准进行分类，再安排第二个元素，并按此元素分类，依次进行，直到完成一个排列，这样能做到不重不漏，然后再按树状图写出所有排列.
训练2 (1)从1，2，3，4四个数字中任取两个数字组成无重复数字的两位数，一共可以组成多少个？(2)写出从4个元素a，b，c，d中任取3个元素的所有排列.解　(1)由题意作“树状图”，如下.
故组成的所有两位数为12，13，14，21，23，24，31，32，34，41，42，43，共有12个.(2)由题意作“树状图”，如下.
故所有的排列为abc，abd，acb，acd，adb，adc，bac，bad，bca，bcd，bda，bdc，cab，cad，cba，cbd，cda，cdb，dab，dac，dba，dbc，dca，dcb.
(1)解　因为55－n，56－n，…，69－n中的最大数为69－n，且共有69－n－(55－n)＋1＝15(个)元素，
排列数公式的形式及选用依据排列数公式有两种形式，一种是连乘积的形式，另一种是阶乘的形式，若要计算含有数字的排列数的值，常用连乘积的形式进行计算，而要对含有字母的排列数的式子进行变形或作有关的论证时，一般用阶乘式.
训练3 不等式A